Проект по математике "Криптография. Чтение нечитаемого".

Оглавление.

I. Введение………………………………………………………..3

II. Основная  часть………………………………………………..4

           1.Что такое криптография и шифр…………………………...4

 2. История развития криптографии…………………………..4

 3.Способы шифрования………………………………………..5

3.1 Шифр «Сцитала»……………………………………..5

3.2. Шифр Цезаря и совершенный квадрат Цезаря…...5

3.3 «Диск Энея»…………………………………………..6

3.4 Способ «решётки Кардано»………………………...7

          4. Практическая часть………………………………………….9

 5.Математические основы криптографии…………………..10

 6.Криптография в других науках…………………………...11

III. Вывод……………………………………………………….12

IV. Список литературы………………………………………..13

V. Приложение…………………………………………………14

I. Введение.

В июне 1815 года Наполеон проигрывал англичанам битву при Ватерлоо. По легенде, за сражением внимательно наблюдали братья Ротшильды. Едва убедившись, что Наполеон проигрывает сражение, один из них, державший почтовых голубей, отправил их с зашифрованными инструкциями, привязанными к лапкам, в Лондон своим агентам.Утром следующего дня, загнав дорогих лошадей, один из братьев Ротшильдов явился на Лондонскую биржу. Он был единственным в Лондоне, кто знал о поражении Наполеона. Притворно сокрушаясь по поводу успехов французского императора, он немедленно приступил к массовой продаже своих акций. Остальные биржевики сразу же последовали его примеру, так как решили, что сражение проиграли англичане. Английские, австрийские и прусские ценные бумаги дешевели с каждой минутой и оптом скупались агентами Ротшильда. О том, что Наполеон проиграл битву, на бирже узнали лишь через день. Многие держатели ценных бумаг покончили с собой, а Ротшильды заработали 40 миллионов фунтов стерлингов. Достоверная информация, полученная раньше других, позволила Ротшильдам вести беспроигрышную игру на бирже. До наших дней дошла знаменитая фраза одного из братьев-хитрецов: «Кто владеет информацией, тот владеет миром».

Во все времена люди пытались скрыть ту или иную информацию от других. По мере развития цивилизации информации становилось всё больше, а необходимость её скрывать всё важнее.Поэтому мы выбрали столь сложную, но очень интересную тему.

 Целью проекта является знакомство с криптографией и изучение применения в ней основ математики.

Задачи :

- изучить историю криптографии;

-познакомиться с видами шифров, способами шифровки;

--изготовить действующие макеты приборов для шифрования текста;

- научиться использовать шифры на практике;

-установить связь криптографии с математикой;

-рассмотреть шифры в литературных произведениях.

Для реализации поставленных задач были использованы следующие методы исследования: теоретический (поисковый, описательный) и практический (метод анализа и обобщения).

Мы выдвинули гипотезу о том, что шифрование информации интересно и  в современное время, при этом идет развитие и усовершенствование старинных простых шифров.

II. Основная часть.

1. Что такое криптография и шифр.

Криптография – наука о методах преобразования (шифрования) информации с целью её защиты от незаконных пользователей. Термин «криптография» происходит от двух греческих слов: «криптос» - тайна и «графейн» - писать, и означает тайнопись. Для тайнописи используется шифр – способ, метод преобразования информации с целью её защиты от незаконных пользователей.

2.История развития криптографии.

Шифры имеют большую историю.Долгое время занятие криптографией было уделом чудаков. Они придумывали разные шифры. До наших дней дошли знаменитые шифры замены, шифры перестановки или их сочетания, например, шифр «Сцитала», шифр Цезаря, «диск Энея» и решетка Кардано.

Современный период развития криптографии (с конца 1970-х годов по настоящее время) отличается зарождением и развитием нового направления — криптография с открытым ключом. Её появление знаменуется не только новыми техническими возможностями, но и сравнительно широким распространением криптографии для использования частными лицами. Современная криптография образует отдельное научное направление на стыке математики и информатики — работы в этой области публикуются в научных журналах, организуются регулярные конференции. Практическое применение криптографии стало неотъемлемой частью жизни современного общества — её используют в таких отраслях, как электронная коммерция, электронный документооборот (включая цифровые подписи), телекоммуникации и других.В теории криптографии существует несколько  задач. Мы же в своей работе рассмотрим только одну и, на наш взгляд, самую главную -обеспечение конфиденциальности – это решение проблемы защиты информации от ознакомления с её содержанием со стороны лиц, не имеющих права доступа к ней.

3. Способы шифрования.

3.1 Шифр «Сцитала». 

Из исторической энциклопедии мы узнали, что одним  из самых первых шифровальных приспособлений был жезл («Сцитала»), применявшийся ещё во времена войны Спарты против Афин  в V веке до н.э. Спартанский полководец Лисандр получил от своего агента в стане персов шифрованное сообщение, которое позволило Лисандру опередить персов и разгромить их. Сообщение было написано на поясе официального гонца следующим образом: на цилиндр виток к витку наматывали пояс (без просветов и нахлёстов), а затем на этом поясе вдоль его оси записывали необходимый для передачи текст; потом пояс разматывали, и получалось, что поперёк пояса в беспорядке написаны буквы. Гонец не догадывался, что узор на его красивом поясе на самом деле содержит зашифрованную информацию. Чтобы расшифровать полученную информацию, Лисандр взял сциталь такого же диаметра, аккуратно намотал на него пояс и вдоль сциталя прочитал сообщение от своего агента. Такой способ шифрования осуществляет перестановку местами букв сообщения.

3.2. Шифр Цезаря и совершенный квадрат Цезаря.

 Великий римский полководец Юлий Цезарь (99-44 гг до н. э), был одним из первых в истории человеком, использовавшим шифр. Когда его посыльные стали попадать в руки врага вместе с его секретными посланиями, то он придумал примитивный способ шифровки своих указаний. Он преобразовывал послания таким образом, чтобы текст выглядел бессмыслицей. Шифр Цезаря, также известный как шифр сдвига, код Цезаря или сдвиг Цезаря — один из самых простых и наиболее широко известных методов шифрования. Это вид шифра подстановки, в котором каждый символ в открытом тексте заменяется символом, находящимся на некотором постоянном числе позиций левее или правее него в алфавите, чаще всего со сдвигом вправо на 3. 
Совершенный квадрат Цезаря использовался, когда  послание состояло из числа букв, равного полному квадрату – шестнадцати, двадцати пяти, тридцати шести, …, ста – в зависимости от того, какой объём информации нужно было передать. Цезарь тайно объяснил офицерам, что по получении этого якобы случайного набора букв, они должны записать текст таким образом, чтобы он составил квадрат, Тогда при прочтении сверху вниз, перед глазами появлялось тайное послание. Например, высказывание «Математика – царица всех наук» при данной шифровке пройдёт следующие этапы преобразования: буквы располагаем в столбцы квадрата 5х5 одну за другой без знаков препинания; переписываем столбцы в строку:

     М     А     Ц     А     Н
     А      Т     А     В     А
     Т      И     Р      С     У
     Е      К     И      Е     К
     М     А     Ц      Х
МАЦАНАТАВАТИРСУЕКИЕКМАЦХ.

3.3 «Диск Энея».

Один из первых изобретателей шифров, известный по имени - греческий полководец Эней Тактика. Он создал простое, но очень удобное устройство - «диск Энея». Это был небольшой диск, с просверленными вдоль его края отверстиями. Отверстия соответствовали буквам алфавита. Для того чтобы зашифровать текст, нить вдевали в эти отверстия так, чтобы по ходу нити последовательность отверстий была такой же, как у соответствующих им букв в тексте. Когда получатель сообщения начинал вытягивать эту нить, то он мог прочитать все буквы, правда в обратном порядке. Если сообщение было перехвачено, гонец легко мог его уничтожить, выдернув нить.

3.4 Способ «решётки Кардано».

Одним из способов ведения секретной переписки является, так называемый способ «решётки». Его придумал Джироламо Кардано, известный римский математик. Желающие вести тайную переписку по этому способу готовят решётку, то есть бумажный квадрат с прорезанными окошечками. Окошечки размещены не произвольно, а в определенном порядке. Наложив решётку на листок бумаги, мы пишем сообщение букву за буквой в окошечках решётки

				1
2
							4
				3

Пусть требуется послать товарищу такую записку: «Математика уступает свои крепости только смелым и умным. Она королева наук».

Наложив решётку на листок бумаги, мы пишем сообщение букву за буквой в окошечках решётки. Так как окошек 16, то сначала помещается только часть записки. Сняв решётку, мы увидим запись, представленную на рисунке. Здесь ничего засекреченного пока нет. Но это только начала; записка в таком виде не останется. Поворачиваем решетку по часовой стрелке на четверть оборота. При новом положении решетки все ранее написанные буквы закрываются, а окошечках появляется чистая бумага. В них пишут следующие 16 букв секретного сообщения. Если теперь убрать решетку, получим запись, показанную на следующем рисунке:  Такую запись не поймет не только посторонний человек, но и сам писавший, если позабудет текст своего сообщения.

Таким образом квадрат поворачивают ещё два раза, снова записывая в окошечки по 16 следующих букв. В результате буквы текста перемешиваются. Если остаются пустые клетки, то в них записываются буквы русского алфавита, для того, чтобы в записке не оставалось пробелов. Наконец, после последнего поворота решетки, получается письмо следующего вида:

Попробуйте в нём что-нибудь разобрать! Пусть записка попадёт в руки противнику, догадаться о её содержании он не сможет. Прочесть её в состоянии только адресат, у которого есть точно такая же решётка, как и у отправителя.

Адресат наложит свою решётку на текст, обратив её цифрой 1 вверх, и выпишет те буквы, которые появятся в окошечках. Это будут первые 16 букв сообщения. После четырёх поворотов записка будет прочтена.

Число различных решёток чрезвычайно велико. Все решётки, какие можно изготовить для 64 клеточного квадрата, отмечены на рисунке. Можно выбрать для окошечек любые 16 клеток, заботясь лишь о том, чтобы в числе взятых клеток не было двух с одинаковыми номерами. Для той решётки, которую использовали мы были взяты следующие номера клеток: 2, 4, 5, 14, 9, 11, 7, 16, 8, 15, 3, 12, 10, 6, 13, 1. Ни один номер не повторяется.

Подсчитаем математически, сколько может существовать разных решеток. Клетку 1 можно взять в качестве окошка в 4-х местах. В каждом случае можно присоединить клетку 2, взяв её также в 4-х местах. Следовательно, два окошка можно наметить 4 х 4, т.е. 16 способами. Три окошка - 4х4х4=64 способа. Таким образом, устанавливаем, что 16 окошек можно набрать 4¹⁶ способами (произведение 16 четверок). Число это превышает 4000 миллионов. Если даже считать наш расчёт преувеличенным на несколько сот миллионов (так как неудобно пользоваться решетками с примыкающими друг к другу окошечками, и эти случаи надо исключить), то все же остается несколько тысяч миллионов решеток.

4. Практическая часть.

Изучив способы шифрования мы изготовили действующие макеты приборов для шифрования текста: шифровальный прибор Сцитала,  решетку Кардано, диск Энея, шифр Цезаря.

 Шифр «Сцитала».  Цель: зашифровать текст методом перестановки с помощью изготовленной сциталы и представить друзьям и родным ленту с зашифрованным текстом.  Я взяла цилиндр, прикрепила к нему ленту и наматала её на цилиндр. Затем на этой ленте  вдоль его цилиндра записала сообщение, потом ленту размотала, и получалось, что поперёк пояса в беспорядке написаны буквы. Вывод: данный метод перестановки прост в использовании и без специального прибора текст не прочитывается.

«Шифр Цезаря».  Цель: зашифровать текст  шифром Цезаря  и представить друзьям и родным ленту с зашифрованным текстом. Я взял лист ватмана и зашифровал теорему геометрии: вертикальные углы равны. Каждую букву сообщения я заменил на букву, которая находится в алфавите  на три позиции левее. Используя  квадрат  Цезаря, я зашифровал эту же теорему, буквы располагал  в столбцы квадрата 5х5 одну за другой без знаков препинания; переписал столбцы в строку и получилось тайное сообщение. Вывод: данный метод перестановки прост в использовании и без специального прибора текст не прочитывается.

«Диск Энея». Я взяла  небольшой диск, проделала вдоль его края отверстия. Отверстия подписала буквами алфавита. Для того чтобы зашифровать текст, нить вдела в эти отверстия так, чтобы по ходу нити последовательность отверстий была такой же, как у соответствующих им букв в тексте. Когда получатель сообщения начинал вытягивать эту нить, то он мог прочитать все буквы, правда в обратном порядке. Вывод: данный метод перестановки прост в использовании и без специального прибора текст не прочитывается.

«Решётка Кардано». Я вырезала бумажный квадрат,  поделила  линиями на 4 меньших квадрата, прорезала в нём 16 окошечек. Записала в окошечки 16 букв, повернула квадрат и снова записала в окошечки по 16 следующих букв. В результате буквы текста перемешиваются. Если остаются пустые клетки, то в них записываются буквы русского алфавита, для того, чтобы в записке не оставалось пробелов. Вывод: данный метод перестановки прост в использовании и без специального прибора текст не прочитывается.

5. Математические основы криптографии.

Методы и результаты различных разделов математики (в частности, алгебры, комбинаторики, теории чисел, теории алгоритмов, теории вероятностей и математической статистики) используются как при разработке шифров, так и при их исследованиях, в частности, при поиске методов вскрытия шифров. Криптография является богатым источником трудных математических задач, а математика — одной из основ криптографии. История показывает, что рано или поздно развитие математических методов и техники приводит к тому, что задачи, казавшиеся неразрешимыми, находят решение. Отставание в творческом соревновании математиков разных стран может привести к поражениям в экономике, дипломатии и военных операциях.

Хотя сами методы криптографии и криптоанализа до недавнего времени были не очень тесно связаны с математикой, во все времена многие известные математики участвовали в расшифровке важных сообщений. И часто именно они добивались заметных успехов, ведь математики в своей работе постоянно имеют дело с разнообразными и сложными задачами, а каждый шифр — это серьезная логическая задача. Постепенно роль математических методов в криптографии стала возрастать, и за последнее столетие они существенно изменили эту древнюю науку.

Понимание математического характера криптографии началось с работ все того же К. Шеннона. Его труд «Математическая теория криптографии» в секретном варианте появился в 1945 году. А рассекречен и опубликован был в США в 1949 году. В 1963 году по инициативе А. Н. Колмогорова сборник работ К. Шеннона был издан и на русском языке. Криптографические методы и средства защиты информации, а также их математические основы являются фундаментальными исследованиями, связывающими воедино области математики, информатики и физики.

Одним из разделов математики, который используется в криптографии, является комбинаторика. Она занимается разного рода наборами, которые можно образовывать из элементов некоего конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии ещё во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетаниями». В XII в. Баскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Как научная дисциплина комбинаторика сформировалась в XVII в. Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы 16 «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги «Arsconjectandi» («Искусство предугадывания») в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.

6.Криптография в других науках.

Кодирование или шифрование информации применяется не только в математике или информатике, но и в других науках. В географии шифрование используются как координаты местонахождения объекта, в биологии вся информация о человеке зашифрована в генетическом коде, прекрасная музыка зашифрована в нотах, художники скрывают информацию в своих неотразимых полотнах. Некоторые сведения о свойствах шифров и их применении можно найти и в художественной литературе, особенно в приключенческой, детективной и военной. Хорошее подробное объяснение особенностей одного из простейших шифров — шифра замены и методов его вскрытия содержится в известных произведениях: «Золотой жук» Э. По и «Пляшущие человечки» А. Конан Дойла, Ж. Верна «Путешествие к центру Земли», В.Каверин «Исполнение желаний», А.С. Пушкин «Евгений Онегин». Например, в романе Ж. Верна «Путешествие к центру Земли» в руки профессора Лиденброка попадает пергамент с рукописью из знаков рунического письма. Каждое множество α состоит из одного элемента. Элемент каждого множества выбирается из набора символов. В рассказе А. Конан Дойла «Пляшущие человечки» каждый символ изображает пляшущего человечка в самых различных позах. В романе Ж. Верна «Путешествие к центру Земли» каждый рунический знак был заменен на соответствующую букву немецкого языка, что облегчило восстановление открытого сообщения. В заключение рассказа о шифрах перестановки можно вспомнить историю с зашифрованным автографом А. С. Пушкина, описанную в романе В. Каверина «Исполнение желаний», где главный герой романа нашел в одном из секретных ящиков пушкинского бюро фрагмент недописанной Х главы «Евгения Онегина». Льюис Кэрролл, автор знаменитой на весь мир «Алисы в Стране чудес» и «Алисы в Зазеркалье», преподавал математику в Оксфордском университете и выдумывал не только сказки, но и головоломки, математические загадки и игры. Именно ему принадлежит идея сделать «из мухи слона», «волка» превратить в «козу» и т.д. Большим любителем математики был также великий русский поэт М.Ю.Лермонтов. Он является автором любимого салонного развлечения с угадыванием задуманного числа путем преобразования множества арифметических действий.

III. Вывод.

В нашей работе мы рассмотрели несколько из многочисленных примеров тайнописи, которые близко соприкасаясь с математикой, лишний раз доказывают, как разнообразны стороны «жизни» этой науки.

Изучив историю криптографии и познакомившись с видами шифров ,мы изготовили действующие макеты приборов для шифрования текста, научившись использовать их на практике. Работая над проектом, мы убедились что криптография связана не только с математикой , но и с другими науками. В современном мире криптография находит множество различных применений: используется  в сотовой связи, платном цифровом телевидении при подключении к Wi-Fi и на транспорте для защиты билетов от подделок, и в банковских операциях, и даже для защиты электронной почты от спама, это подтверждает нашу гипотезу: шифрование информации интересно и  в современное время.C усложнением информационных технологий в человеческом обществе возникают новые задачи по защите информации, что требует развития новых методов в криптографии.

IV. Список использованных источников и литературы.

1.     Жарковская,Н.А. Математический клуб Кенгуру /Н.А.Жарковская .-Санкт-Петербург:изд.Левша.Санкт-Петербург,2012.-28 с.

2.     Введение в криптографию /ред.В.В.Ященко .-Москва:изд.МЦНМО,2007.-134 с.

3.     Википедия [электронный ресурс]-режим доступа, https://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия

V.Приложение.