Рабочая тетрадь для учащихся 9 класса по подготовке к олимпиаде

КГУ «Арзамасская средняя школа»

Рабочая тетрадь

по подготовке к олимпиаде

по физике

ученика ___ класса

Арзамасской средней школы

__________________________

составила: Хатунцева В.Р.

2014г

1. Изучение пропорции и решение уравнений с помощью пропорции. Знакомство с формулами и способами преобразования формул

По трём известным членам пропорции всегда можно найти её неизвестный (четвёртый) член.

Решить пропорцию - значит, найти все её члены. Решим пропорцию ниже (найдём x).

Чтобы найти "x", используем основное свойство пропорции (правило "креста").

Теперь мы готовы разбираться, как решать задачи на пропорции.

Решение задач на пропорции

Задача

Из лука сделано 50 выстрелов. 5 стрел пролетело мимо мишени. Определите процент попадания.

По традиции подчёркнем важные и числовые данные в задаче.

Обратите внимание, что нам нужно определить процент попаданий, а не процент пролетевших мимо стрел.

Поэтому вначале посчитаем, сколько стрел попало в цель. Сделать это не составит труда.

• 50 - 5 = 45 (стрел) - попало в цель.

Далее для решения задачи составим таблицу, куда занесём все данные. Запомните, что напротив 100% в таблице обычно пишется общее количество чего-либо. Неизвестные проценты обозначим буквой x.

Стрелы

Проценты

Всего выпущено

50

100 %

Попало в цель

45

x %

Чтобы правильно записывать нужные данные в таблицу, запомните простое правило.

Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д.

Теперь, используя таблицу, составим нужную пропорцию и решим её с помощью правила «креста».

Ответ: 90% - процент попадания в мишень.

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО

Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

 Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

2. Вектора. Сложение и вычитание векторов. Знакомство с прямоугольной системой координат.

• Понятие вектора. Свободный вектор

• Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
  
  В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

• Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

• !!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

• Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении  и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

• То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

• 1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
   и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

• 2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
   В частности, наш вектор  можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

• Длиной или модулем ненулевого вектора  называется длина отрезка . Длина нулевого вектора  равна нулю. Логично.

• Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

• Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

• То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

• Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:
  

• Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте вектор произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё математически корректно – вектор можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

• Итак, свободный вектор – это множество одинаковых  направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

• Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия.

• Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

• Действия с векторами. Коллинеарность векторов

• В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

• Правило сложения векторов по правилу треугольников

• Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора  и :
  

• Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор  от конца вектора :
  

• Суммой векторов  и  является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов  представляет собой вектор результирующего пути  с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

• Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

• Умножение вектора на число

• Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

• Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

• Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация:  (векторы сонаправлены) или  (векторы направлены противоположно).

• Произведением ненулевого вектора  на число  является такой вектор , длина которого равна , причём векторы   и  сонаправлены при  и противоположно направлены при .

• Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:
  

• Разбираемся более детально:

• 1) Направление. Если множитель  отрицательный,  то вектор меняет направление на противоположное.

• 2) Длина. Если множитель заключен в пределах  или , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора  в два раза меньше длины вектора . Если множитель  по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в  раз.

• 3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно  коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

• 4) Векторы  сонаправлены. Векторы  и  также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

• Какие векторы являются равными?

• Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

• С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

• Координаты вектора на плоскости и в пространстве

• Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы  и :

• 

• Векторы  и  ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.  

• Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

• Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

• Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

• Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

• Любой вектор  плоскости единственным образом выражается в виде:
  , где  – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение  называется разложением вектора  по базису .

• 

• Простейшие задачи - Действия с векторами в координатах

• Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

• Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

• Как найти вектор по двум точкам?

• Если даны две точки плоскости  и , то вектор  имеет следующие координаты:
  

• Если даны две точки пространства  и , то вектор  имеет следующие координаты:
  

• То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

• Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.

• Пример 1

• Даны две точки плоскости  и . Найти координаты вектора

• Решение: по соответствующей формуле:
  

• Как вариант, можно было использовать следующую запись:
  

• Эстеты решат и так:

• Ответ:

• 

• Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

• Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

• Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

• Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

• Дамы и господа, набиваем руку:

• Пример 2

• а) Даны точки  и . Найти векторы  и .
  б) Даны точки  и . Найти векторы  и .
  в) Даны точки  и . Найти векторы  и .
  г) Даны точки . Найти векторы .

• Как найти длину отрезка?

• Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

• Если даны две точки плоскости  и , то длину отрезка  можно вычислить по формуле

• Если даны две точки пространства  и , то длину отрезка  можно вычислить по формуле

• Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты:  и , но более стандартен первый вариант

• Пример 3

• Даны точки  и . Найти длину отрезка .

• Решение: по соответствующей формуле:
  

• Ответ:

• Для наглядности выполню чертёж
  

• Отрезок  – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ  можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

• Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат  и хороший математический стиль предполагает  вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде  не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

• Вот другие распространенные случаи:
  

• Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число  ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа  последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
   Готово.

• Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
  
  В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня  во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

• Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
  

• Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

• Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

• Пример 4

• Даны точки  и . Найти длину отрезка .

• Как найти длину вектора?

• Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

• Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

• Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

• Пример 5

• Даны точки  и . Найти длину вектора .

• Я взял те же точки, что и в Примере 3.

• Решение: Сначала найдём вектор :
  

• По формуле  вычислим длину вектора:
  

• Ответ:

• Выполним чертеж к задаче:
  

• Пример 6

• а) Даны точки  и . Найти длину вектора .
  б) Даны векторы , ,  и . Найти их длины.

• Действия с векторами в координатах

• 1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости  и . Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты: . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: . Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор  и найдём сумму трёх векторов:

• Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .

• 2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор  умножить на число , необходимо каждую координату данного вектора умножить на число :
  .

• Для пространственного вектора  правило такое же:
  

• Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

• Пример 7

• Даны векторы  и . Найти  и

• Решение чисто аналитическое:
  

• Ответ:

• Пример 8

• Даны векторы  и . Найти  и

• Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:
  

• Ответ:

• Пример 9

• Даны векторы . Найти  и

3. Знакомство с понятием плотности тела.

Физическая величина

Плотность

Обозначение

ρ

Что характеризует

Массу вещества в единице объема

Формула

ρ=

С какими величинами связана

V ,m

Единицы измерения

кг/м³ , г/см³

Что показывает

2700 кг/м³ , 7 г/см³

Способы измерения

По формуле

• Работа с таблицами учебника «Плотности веществ».

Плотность веществ 2700 кг/м³ , 7 г/см³. Что это за вещества? Как узнать? (по таблице плотностей).

Назовите твердые тела с наибольшей плотностью, с наименьшей.

Назовите жидкости с наибольшей плотностью, с наименьшей.

1. «Вовочкина» задача: Вовочка решил полакомиться, нашел две банки. В одной килограмм меда, в другой килограмм масла.

Пробовать нельзя. Помоги Вовочке выбрать банку с медом.

2. Задача Шерлока Холмса.

На столе перед гениальными сыщиками Ш.Холмсом и д.Ватсоном лежали янтарные бусы. «Это фамильная ценность, - с гордостью сказал д.Ватсон. А сделал их очень хороший масте так, что до сих пор остается загадкой, какая из множества по виду янтарных бусин сделана и полиэфирной смолы». – Пустяки, определить это несложно, – улыбаясь, сказал Шерлок Холмс.

Как гениальный сыщик хотел найти пластмассовую бусину? (Сравнить плотности бусинок. Плотность янтаря 1,05 – 1,2 г/см³, у пластмасс она 1.7 - 1,8 г/см³).

3. Задача. Как определить, например, плотность мыла или шокода?

Давайте найдем плотность шоколада.

Дома попробуйте сами определить плотность мыла.

4. Вопрос: Изменится ли плотность куска пластилина, если его смять?

5. А можно ли пользуясь формулой плотности определить другие физические величины, например массу или объем? Да.

6. Маленький зверек крот, который сам весит всего 100г выносит на поверхность 5 м³ земли. Давайте посчитаем массу вынесенной земли.

• А как найти объем?

• 7. Задача Архимеда.

Сейчас я вам расскажу занимательную историю, которая произошла с Архимедом, великим древнегреческим ученым. Произошла она более 2000 лет назад. Архимед жил в Сиракузах и правитель этого города Гиерон поклялся богам после победы над врагами подарить в храм золотую корону. Он победил и заказал у мастера золотую корону. Мастер сделал корону. Ее взвесили и вес короны совпал с весом выданного мастеру золота. После этого царю донесли, что мастер обманул его, взял себе часть золота и заменил его серебром. Гиерон разгневался, но уличить мастера не мог. Тогда он попросил Архимеда решить эту задачу.

Архимед долго не мог догадаться, как раскрыть обман мастера. И вот, отправившись в баню, он забрался в ванну, полную до краев воды, вода вылилась из ванны, а Архимед выскочил с криком «Эврика», что означает «нашел». В легенде говорится, что Архимед так и бежал голым домой, чтобы побыстрее решить задачу.

Итак, вылившаяся из ванны вода натолкнула Архимеда на очень интересную мысль. Попробуй самостоятельно сделать вывод

8. В цистерне с жидким топливом со временем образуется отстой, содержащий грязь и механические примеси. При открытии крана отстой может попасть в заправочные баки машин, тракторов и вызвать их порчу. Как избежать попадания примесей в баки?

Лабораторная работа № 1.
тема: Определение внутреннего объема флакона из-под духов.

Оборудование:

• флакон из-под духов с пробкой,

• весы, гири,

• мензурка.

Способ 1.

Выполнение лабораторной работы.

1. Взвесить на весах флакон.

2. Найти объем стекла (плотность стекла известна)

3. Опустить в мензурку закрытый флакон и определить объем вытесненной воды, который равен внешнему объему флакона

4. Определить внутренний объем флакона

Расчеты и выводы:

Способ 2.

Выполнение лабораторной работы.

1. Определить объем закрытого флакона с помощью мензурки V _внеш

2. Открытый флакон погрузить в мензурку, после полного заполнения водой определить объем стекла V _ст

3. Определить внутренний объем флакона

Расчеты и выводы:

Лабораторная работа № 2.
тема: Определение пустого пространства теннисного шарика, заполненного кусочками алюминия.

Оборудование:

• теннисный шарик, наполненный кусочками алюминия и герметически закрытый,

• весы, гири,

• мензурка.

Выполнение лабораторной работы.

1. Определить массу шарика с помощью рычажных весов.

2. Определить объем шарика с помощью мензурки.

3. Определить объем алюминия (пренебрегая массой шарика)

4. Найти объем пустого пространства

Расчеты и выводы:

Лабораторная работа № 3.
тема: Определение массы латуни (меди) и алюминия в капроновом мешочке, не раскрывая его.

Оборудование:

• мешочек с кусочками металлов,

• весы, гири,

• мензурка.

Выполнение лабораторной работы.

1. Взвесить мешочек на рычажных весах.

2. Определить объем металлов в мешочке с помощью мензурки.

3. Определить объем каждого металла

,

,

4. Определить массу каждого металла

Расчеты и выводы:

Лабораторная работа № 4.
тема: Определение давления, создаваемого цилиндрическим телом на горизонтальную поверхность.

Способ 1.

Оборудование:

• цилиндрическое тело,

• весы, гири,

• линейка.

Выполнение лабораторной работы.

1. Определить массу тела с помощью рычажных весов.

2. Найти вес тела

3. Измерить диаметр цилиндра d с помощью линейки.

4. Определить площадь основания

5. Определить давление, оказываемое телом на горизонтальную поверхность , где F=P

Расчеты и выводы:

Способ 2.

Оборудование:

• цилиндрическое тело,

• весы, гири,

• миллиметровая бумага.

Выполнение лабораторной работы.

1. Определить массу тела с помощью рычажных весов.

2. Найти вес тела

3. Поставить на миллиметровую бумагу тело, обвести контур и приблизительно найти площадь основания цилиндра.

4. Определить давление, оказываемое телом на горизонтальную поверхность , где F=P

Расчеты и выводы:

Способ 3.

Оборудование:

• цилиндрическое тело, известной плотности,

• полоска миллиметровой бумаги.

Выполнение лабораторной работы.

1. Измерить полоской миллиметровой бумаги высоту h цилиндра и диаметр основания d.

2. Найти площадь основания и объем тела ,

3. Найти вес тела

4. Определить давление, оказываемое телом на горизонтальную поверхность , где F=P

Расчеты и выводы:

Лабораторная работа № 5.
тема: Определение массы тела, плавающего в воде.

Оборудование:

• цилиндрический сосуд (пластмассовая бутылка с отрезанным верхом),

• линейка,

• тело, плавающее в воде.

Выполнение лабораторной работы.

1. Отметить уровень воды в бутылке.

2. Опустить в воду тело, определить высоту подъема воды h

3. Измерить диаметр d бутылки с помощью линейки.

4. Определить площадь сечения бутылки и объем вытесненной воды телом ,

5. Найти массу тела, используя условие плавания тела

Расчеты и выводы:

Лабораторная работа № 6.
тема: Определение объема куска льда.

Оборудование:

• цилиндрический сосуд (пластмассовая бутылка с отрезанным верхом),

• линейка,

• кусок льда.

Выполнение лабораторной работы.

1. Отметить уровень воды в бутылке.

2. Опустить в воду кусок льда, определить высоту подъема воды h

3. Измерить диаметр d бутылки с помощью линейки.

4. Определить площадь сечения бутылки и объем вытесненной воды льдом ,

5. Найти объем льда, используя условие плавания тела

Расчеты и выводы:

Лабораторная работа № 7.
тема: Определение плотности твердого тела.

Оборудование:

• сосуд с водой,

• твердое тело небольших размеров,

• стакан,

• весы, гири.

Выполнение лабораторной работы.

1. Определить массу стакана, доверху налитого водой m₁.

2. Определить массу тела m.

3. Отлить воду из стакана, опустить тело в стакан, долить воду доверху и определить массу стакана с водой и телом m₂.

4. Определить массу вытесненной воды телом

5. Найти объем вытесненной воды, который равен объему тела

6. Определить плотность тела

Расчеты и выводы:

Решаем задачи самостоятельно

Задача № 1 :
Два одинаковых ящика наполнены дробью: в одном лежит крупная дробь, в другом – мелкая. Какой из них имеет большую массу

Задача № 2 :
В двух одинаковых стаканах налита вода до одинаковой высоты. В первый стакан опустили однородный слиток стали массой 100 г, а во второй – слиток серебра той же массы. Одинаково ли поднимется вода в обоих стаканах?

Задача № 3 :
Масса пустой пол-литровой бутылки равна 400 г. Каков ее наружный объем?   

Задача № 4 :
Найдите емкость стеклянного сосуда, если его масса 50 г и наружный объем 37 см ³.   

Задача № 5 :
Тщательным совместным растиранием смешали по 100 г парафина, буры и воска. Какова средняя плотность получившейся смеси, если плотность этих веществ равна соответственно 0,9 г/см ³, 1,7 г/см ³, 1 г/см ³ ?
  

Задача № 6 :
В куске кварца содержится небольшой самородок золота. Масса куска равна 100 г, а его средняя плотность 8 г/см ³. Определите массу золота, содержащегося в куске кварца, если плотность кварца 2,65 г/см ³, а плотность золота – 19,4 г/см ³.   

Задача № 7:
В чистой воде растворена кислота. Масса раствора 240 г, а его плотность 1,2 г/см ³. Определите массу кислоты, содержащейся в растворе, если плотность кислоты 1,8 г/см ³. Принять объем раствора равным сумме объемов его составных частей.   

Задача № 8 :
Железная и алюминиевая детали имеют одинаковые объемы. Найдите массы этих деталей, если масса железной детали на 12,75 г больше массы алюминиевой.    (Ответ: 19,5 г, 6,75 г).

Задача № 9 :
Сплав состоит из олова массой 2,92 кг и свинца массой 1,13 кг. Какова плотность сплава, если считать, что объем сплава равен сумме объемов его составных частей?   

Задача № 10 :
Имеются два бруска: медный и алюминиевый. Объем одного из этих брусков на 50 см ³ больше, чем объем другого, а масса на 175 г меньше массы другого. Каковы объемы и массы брусков.
  

Задача № 11 :
Моток медной проволоки сечением 2 мм ² имеет массу 17,8 кг. Как, не разматывая моток, определить длину проволоки? Чему она равна?   

Задача № 12 :
Определите плотность стекла из которого сделан куб массой 857,5 г, если площадь всей поверхности куба равна 294 см ².   

Задача № 13 :
Какую массу имеет куб с площадью поверхности 150 см ², если плотность вещества, из которого он изготовлен, равна 2700 кг/м ³?   

Задача № 14 :
Почему кусок хозяйственного мыла легче разрезать крепкой ниткой, чем ножом?

Задача № 15 :
Дайте физическое обоснование пословице: "Коси коса, пока роса; роса долой и мы домой". Почему при росе косить траву легче?

Задача № 16 :
Почему при постройке электровозов не применяются легкие металлы или сплавы?

Задача № 17 :
Объем бензина в баке автомобиля во время поездки уменьшился на 25 л. На сколько уменьшился вес автомобиля?    (Ответ: на 178 Н).

Задача № 18 :
Сосуд объемом 20 л наполнили жидкостью. Какая это может быть жидкость, если ее вес равен 160 Н?
  

Задача № 19 :
Вес медного шара объемом 120 см ³ равен 8,5 Н. Сплошной этот шар или полый?   

Задача № 20 :
Брусок массой 2 кг имеет форму параллелепипеда. Лежа на одной из граней, он оказывает давление 1 кПа, лежа на другой – 2 кПа, стоя на третьей – 4 кПа. Каковы размеры бруска?   

4. Равномерное и равноускоренное движение

Формулы:

Задача № 1 :
Трактор тянет широкозахватную сенокосилку со средней скоростью 6,28 км/ч. Какую площадь трав можно убрать за 8 часов работы, если тракторист обедал 30 минут, а ширина захвата сенокосилки 14,5 м?

Задача № 2 :
В гонке участвуют 4 спортсмена, которые развивают разные скорости. Кто победит? Кто отстанет? Если первый спортсмен 165 м проходит 30 секунд, второй спортсмен 9,9 км за 30 мин., третий - 66 м за 2 мин., четвёртый 475.3 км за сутки.

Задача № 3 :
У свинцовой пластинки определите толщину, её длина равна 40 см, ширина 2,5 см. Если пластинку опустить в стакан, до краёв наполненный водой, выльется 80 г воды.

Задача № 4 :
Из двух сёл, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа? На сколько км/ч пешеходы сближаются друг с другом (эту величину называют скорость сближения)?

Задача № 5 :
Определите толщину одной страницы выданной книги.

Задача № 6 :
Два спортсмена одновременно стартуют в противоположных направлениях из одной точки замкнутой беговой дорожки стадиона и к моменту встречи пробегают – один 160 м, а другой 240 м. При старте в одном направлении более быстрый спортсмен дает 100 м форы более медленному. Через сколько метров от точки старта он догонит соперника?

Задача № 7 :
Зависимость скорости пешехода V от времени приведена на графике. Найти среднюю скорость пешехода за первые 8 секунд (4 балла). Найти среднюю скорость за большой промежуток времени, если, начиная с момента t = 6 с, скорость равна 1 м/c

Задача № 8 :
Два металла с плотностями 10500 кг/м³ и 19300 кг/м³ сплавляют, взяв в одном случае равные объемы этих металлов, а в другом – равные массы. Какой будет плотность сплава в первом и втором случаях? Считать, что объем сплава равен сумме объемов сплавляемых металлов.

Задача № 9 :
Самый быстрый круг был пройден в Италии в 1979 г. на автомобиле «Мерседес-Бенц»за 1 мин 52,67 с при скорости 403,878 км/ч.
Какое расстояние было преодолено и какая работа совершена, если мощность двигателя 500 л. с. (1 л. с. = 735 Вт)?

Задача № 10:
Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, а вторую половину пути со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость на всем пути?

Задача № 11 :
Заяц, спасаясь от преследующей его собаки, делает резкие прыжки в сторону. Почему собаке трудно поймать зайца, хотя она бегает быстрее?

Задача № 12 :
Алёша сошёл вниз по спускающемуся эскалатору метро за время t₁ = 50 с и наступил при этом на N₁ = 90 ступенек. Тут же по этой лестнице он пошел вверх и за время подъёма t₂ = 150 с наступил на N₂ = 135 ступенек. За какое время t_x Алёша поднимется по неподвижному эскалатору, если при этом он наступит на N₃ = 112 ступенек? Считайте, что Алёша всё время относительно неподвижных платформ метро двигался с постоянной скоростью и наступал на каждую ступеньку.

Задача № 13 :
При движении автомашины с некоторой скоростью длина её тормозного пути S₁ = 12 м. Какой станет длина тормозного пути при увеличении скорости автомашины в n = 1,5 раза? Режим торможения считайте в обоих случаях одинаковым.

5. Задачи на законы динамики и кинематики

Формулы:

Задача № 1 :

На столе лежат: линейка, гирька известной массы и прямоугольный брусок мела (см. рис.).

Как с помощью этого оборудования измерить плотность мела? Примечание. В прямоугольных треугольниках с одинаковыми острыми углами α справедливы равенства: c₁/c₂ = а₁/а₂ =b₁/b₂ (см. рис.).

Задача № 2 :

На горизонтальном глинистом дне водоема лежит кирпич (см. рис.). Вода под него не проникает. На сколько процентов изменится модуль силы давления кирпича на дно, если со временем вода под него проникнет? Масса кирпича m = 4,0 кг, площадь его соприкосновения с дном S = 200 см², высота столба воды над кирпичом h = 1,0 м, плотность воды ρ₀ = 1,0 г/см³, плотность кирпича ρ = 2,7 г/см³, атмосферное давление р = 100 кПа, коэффициент g = 10 Н/кг.

Задача № 3 :
Самая длинная лестница в швейцарских Альпах имеет 11 674 ступеньки высотой 20 см каждая.
Какую работу должен совершить тяжеловес Джон Бровер Минной из США массой 635 кг, чтобы подняться но ней?

Задача № 4 :
Самые высокие «Американские горки» позволяют спускающемуся телу развить скорость 38,4 м/с.
Какова высота спуска, если считать трение ничтожно малым?

Задача №5 :
Самый большой телефонный аппарат, изготовленный в 1988 г. в Голландии,
имел массу 3,5 т и был установлен на высоте 2 м.
Какова была сила натяжения троса при его подъеме?
Какова совершенная при этом работа?

Задача № 6 :
Самые большие часы массой 35 т были установлены на павильоне «ЭКСПО-86» в Швейцарии.
Какая сила понадобилась для их подъема?
Какова высота павильона, если при подъеме часов была совершена работа 387 МДж?

Задача №7:
В 1990 г. во Франции один человек зубами поднял груз массой 281,5 кг на высоту 17 см.
Какая работа была совершена при этом?

Задача № 8 :
В 1989 г. в Великобритании зарегистрировано, что за 24 ч рекордсмен поднял груз общей массой 367,7 т
на высоту 2 м.
Какую среднюю мощность он развивал?

Задача № 9 :
Самый высокий подвижный кран «Розенкранц К-10001» способен поднять 30 т груза на высоту 160 м
со скоростью 7,2 км/ч.
Какую работу он совершает и какую мощность развивает?

Задача №10 :
Грузовые автомобили часто имеют сзади колеса с двойными баллонами. Для чего это делается?

Задача № 11 :
Почему принцесса  на  горошине испытывала дискомфорт, лежа на перине, под которой были положены горошины?

Задача № 12 :
Почему человек может ходить по берегу моря, покрытому галькой, не испытывая болезненных ощущений, и не может идти по дороге, покрытой щебенкой?

Задача № 13 :
Масса одного тела в 10 раз больше массы другого. Площадь опоры второго тела в 10 раз меньше площади опоры второго. Сравните давления, оказываемые этими телами на поверхность стола.

14.  Автомобиль массой 3,2 т за время 15 с от начала движения развил скорость, равную 9 м/с. Определите силу, сообщающую ускорение автомобилю.
 

15. Канат выдерживает нагрузку 2000 Н. С каким наибольшим ускорением можно поднимать груз массой 120 кг, чтобы канат не разорвался?

16. Подъем груза массой 75 кг с помощью каната на высоту 15 м продолжался 3 с. Определите вес груза при подъеме с постоянным ускорением.

17. На гладком столе лежат два связанных нитью груза. Масса левого груза равна 200 г, масса правого груза равна 300 г. К правому грузу приложена сила 1 Р, к левому 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы и какова сила натяжения соединяющей нити? (Трение не учитывать.)

18. На неподвижном блоке уравновешены два груза, по 100 г каждый. Какой массы перегрузок надо положить на один из грузов для того, чтобы система начала двигаться с ускорением 0,2 м/с^2?

19. Конькобежец проезжает по гладкой горизонтальной поверхности льда по инерции расстояние, равное 80 м. Какова начальная скорость конькобежца, если его масса равна 60 кг, а коэффициент трения равен 0,015? 

6. Задачи на определение давления твердых тел, газов и жидкостей. Сообщающиеся сосуды

Формулы:

Задача № 1 :
Какое давление создает на фундамент кирпичная стена высотой 10 м ?   

Задача № 2 :
Цилиндр, изготовленный из алюминия, имеет высоту 10 см. Какую высоту имеет медный цилиндр такого же диаметра, если он оказывает на стол такое же давление?   

Задача № 3 :
Почему вода из ванны вытекает быстрее, если в нее погружается человек?

Задача № 4 :
Ширина шлюза 10 м. Шлюз заполнен водой на глубину 10 м. С какой силой давит вода на ворота шлюза?

Задача № 5 :
В цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода, в равных по массе количествах. Общая высота двух слоев жидкости равна 29,2 см. Вычислите давление на дно этого сосуда.   

Задача № 6 :
В цистерне, заполненной нефтью, на глубине 3 м имеется кран, площадь отверстия которого 30 см ². С какой силой давит нефть на кран?   

Задача № 7 :
В полый куб налита доверху вода. Во сколько раз сила давления воды на дно больше силы давления на боковую стенку? Атмосферное давление не учитывать

Задача № 8 :
В сообщающиеся сосуды налита ртуть. В один сосуд добавили воду, высота столба которого 4 см. Какой высоты должен быть столб некоторой жидкости в другом сосуде, чтобы уровень ртути в обоих сосудах был одинаков, если плотность жидкости в 1,25 раза меньше плотности воды

7. решение олимпиадных задач

Вариант № 1.

Задача № 1 :
Сплав золота и серебра массой 400 г имеет плотность 14·10³ кг/м³. Полагая объем сплава равным сумме объемов его составных частей, определите массу золота и процентное содержание его в сплаве. Плотность золота – 19 300 кг/м³, плотность серебра – 10 500 кг/м³. (3 балла)

Задача № 2 :
Как определить плотность неизвестной жидкости, используя только стакан, воду и весы с разновесом? (3 балла)

Задача № 3 :
Поезд длиной 240 м, двигаясь равномерно, прошел мост за 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 360 м? (2 балла)

Задача № 4 :
Коробок в форме куба заполнен водой. Определите давление воды на дно коробка, если масса воды в нем равна 64 г. Плотность воды 1000 кг/м³. (2 балла)

Задача № 5 :
Почему мокрая бумага рвется легче, чем сухая?

Задача № 6 :
Выяснить экспериментально, какая из сил больше и во сколько раз: вес бруска или сила тяги при равномерном его движении по поверхности стола?

Задача № 7 :
Необходимо как можно точнее узнать диаметр сравнительно тонкой проволоки располагая для этой цели только школьной тетрадью в клетку и карандашом. Как следует поступить?

Задача № 8 :
Используя динамометр и латунную гирю массой 200 г, определить плотность данной жидкости.

Задача № 9 :
Пуля, летящая со скоростью 650 м/c, имеет температуру 75 °C. Она попадает в сугроб и застревает в нем. Температура снега в сугробе 0 °C. При этом 6,5 г снега тает и обращается в воду с температурой 0 °C. Найдите массу пули. Удельную теплоту плавления снега считать равной 3,4·105 Дж/кг. А удельная теплоемкость свинца равна 130 Дж/(кг·°C).

Задача № 10 :
В сосуде со ртутью плавает стальной брусок. Как изменится глубина погружения бруска в ртуть, если в сосуд налить воды так, что брусок окажется под водой? Построить график изменения давления на дно сосуда.

Задача № 11 :

Предположим, что найдена жидкость, которая не меняет свой объем при нагревании. Как будет вести себя такая жидкость, если ее налить в кастрюлю и поставить на плиту?

Задача № 12 :
Что труднее: тянуть нагруженные санки за веревку по горизонтальной поверхности или толкать их перед собой палкой такой же длины, как веревка? Ответ обоснуйте и подтвердите рисунками действующих сил.

Задача № 13 :
Какие приборы Вам понадобятся, чтобы определить: является ли данный Вам алюминиевый шар сплошным или пустотелым и как это сделать? Как можно рассчитать объем возможной полости? Какой из предложенных Вами способов является наиболее точным, экономичным?

Задача № 14 :
Почему жареная пища вкуснее вареной? Ответ обосновать.

Задача № 15 :
Пригородный поезд, состоящий из 8 вагонов, проезжает 240 км за 5 часов. Коэффициент сопротивления движению в среднем к=0,01. Какое количество дизельного топлива с удельной теплотой сгорания 42МДж/кг расходует тепловоз за 1 рейс, если масса каждого вагона равна 60 тонн, а КПД его дизельных двигателей 40%? Какую среднюю механическую мощность развивает тепловоз?

Задача № 16 :
Как определить плотность неизвестной жидкости, используя только стакан, воду и весы с разновесом?

2 вариант

Олимпиадные задания.
1. Как с помощью весов, набора гирь и сосуда с водой определить плотность камня,если его объём невозможно измерить непосредственно.

2. Выяснить экспериментально, какая из сил больше и во сколько раз:
вес бруска или сила тяги при равномерном его движении по поверхности стола ?

3. Как с помощью закона Архимеда определить объём тела ?
Оборудование: тело массой 1 кг из набора грузов, динамометр, сосуд с водой.

4. Необходимо как можно точнее узнать диаметр сравнительно тонкой проволоки располагая для этой цели только школьной тетрадью в клетку и карандашом.
Как следует поступить ?

5. Стеклянная пробка имеет внутри полость.
Можно ли с помощью весов, набора гирь и сосуда с водой определить объём полости, не разбивая пробки ?
Если можно, то как ?

6. Имеется алюминиевый шарик.
Как с помощью весов и мензурки определить, сплошной шарик или внутри него есть воздушная полость ?

7. Как определить массу некоторого тела с помощью штатива, пружины, линейки и единственной гири известной массы.

8. В ящике стола лежали два одинаковых бруска.
Один из них был изготовлен из мягкого железа и магнитными свойствами не обладал (точнее, не был магнитом), а второй - стальной и намагничен.
Как пользуясь только этими двумя брусками отличить магнит от простого железа.

9. Как измерить диаметр футбольного мяча с помощью жёсткой линейки ?

10. Определить плотность неизвестной жидкости, имея линейку, деревянный брусок, сосуд и воду.

11. Определить давление бруска на поверхность стола при различных положениях бруска.
При каком положении брусок оказывает наибольшее/наименьшее давление.

12. Возьмите кусок медной проволоки произвольной длины.
Пользуясь только линейкой и таблицами, рассчитайте её сопротивление.

13. Используя динамометр и латунную гирю массой 200 г, определить плотность данной жидкости.

14. Как при помощи компаса определить, течёт ли ток в проводнике ?
В катушке с током.

15. Имея динамометр определить сколько выльется воды из отливного стакана,
если в него опустить данный кусок пластилина (плотность 1,3 г/см").
Ответ проверить с помощью мензурки.

16. Действует ли сила тяготения между космонавтом и Землёй,
когда космонавт, как говорят, находится в состоянии невесомости ?

17. Два поезда идут навстречу друг другу: один - ускоренно на север, а другой - замедленно на юг.
Как направлены ускорения двух поездов ?

18. Для отделения зёрен ржи от ядовитых зёрен спорыни смесь высыпают в воду, и зёрна ржи, и зёрна спорыни в ней тонут.
А затем в воду добавляют соль и зёрна спорыни начинают всплывать, а ржаные остаются на дне.
Объясните явление.

19. В одинаковых ли направлениях относительно друг друга движутся капли дождя, идущих над Невой и идущих над Днепром в безветренную погоду ?

20. Если из винтовки выстрелить в варёное яйцо, в нём образуется отверстие.
Если выстрелить в сырое, то оно разлетится.
Как это объяснить ?

21. Двигаясь по сыпучему песку или рыхлому снегу, мы затрачиваем больше энергии, чем при движении по твёрдой дороге.
Почему ?

22. Почему не рекомендуется мокрую ткань, окрашенную в тёмный цвет, оставлять на длительное время в соприкосновение с белой тканью ?
Объясните происходящее явление.

23. Против течения моторная лодка плывёт медленнее, чем в стоячей воде, зато по течению - быстрее.
Где удастся проплыть быстрее одно и то же расстояние туда и обратно - в реке или в озере.

24. Человек, стоя на платформе весов, быстро приседает и выпрямляется.
Как изменяются показания весов во время этого движения ?

25. За счёт чего увеличивается потенциальная энергия поднимающегося воздушного шара ?

Контрольные вопросы по физике для 7 класса.

· Что такое физика? _________________________________________

· Что такое физическое тело?_______________________________________

· Что такое вещество?____________________________________________

· Что такое физическое явление?____________________________________

· Что такое физическая величина?___________________________________

· Что значит измерить физическую величину?__________________________

· Как определить цену деления шкалы измерительного прибора? (правило)

· Как правильно снимать показания прибора, если стрелка устанавливается между штрихами шкалы?

· Чему равна максимально возможная погрешность измерения прибором?

· С летящего самолёта сбрасывают груз. Упадёт ли он на землю под местом бросания? Если нет, то куда сместится относительно этого места и почему?

· Почему при вытекании воды сосуд, подвешенный на нити, вращается? Отверстие имеет винтовую нарезку.

· Мальчик прыгает с нагруженной баржи на берег. Почему движение баржи в сторону, противоположную прыжку, незаметно?

· Чем объяснить отличие плотности водяного пара от плотности воды?

· Почему жидкость можно переливать из сосуда в сосуд?

· Можно ли для определения массы тела пользоваться рычажными весами на другой планете?

· Капля дождя равномерно движется вниз. Какие силы в этом случае действуют на каплю? Изобразите эти силы графически.

· Почему после дождя грунтовая дорога скользкая?

· Из баллона медленно выпустили половину газа. Как изменилось давление газа в баллоне? Объясните почему.

· Зачем шланги к насосам, служащим для откачивания воздуха из баллонов, делают из толстостенной резиновой трубки (иногда усиленной стальной спиралью)?

· Что такое молекула?

· Из чего состоят молекулы веществ?

· Почему молекулы различных веществ различны?

· Чем (по каким признакам) различаются молекулы разных веществ?

· Какой характер имеет движение молекул вещества?

· Почему все тела при нагревании увеличивают свой объём, т.е. расширяются?

· Что такое диффузия?

· Приведите примеры проявления диффузии в повседневной жизни (в жидкостях, в газах, в твёрдых веществах).

· От чего и как зависит скорость движения молекул?

· Какими способами можно ускорить диффузию?

· Почему при повышении температуры диффузия протекает быстрее? (назовите 2 причины)

· В каких веществах (т.е. какого агрегатного состояния) диффузия протекает медленнее всего и в каких – быстрее всего?

· Каковы признаки вещества в твердом агрегатном состоянии?

· Каковы признаки вещества в жидком агрегатном состоянии?

· Каковы признаки вещества в газообразном агрегатном состоянии?

· Какие два вида взаимодействия между молекулами вещества существуют?

· Какой вид взаимодействия между молекулами преобладает при сжатии тела?

· Какой вид взаимодействия между молекулами преобладает при растяжении тела?

· В каких веществах (т.е. какого агрегатного состояния) промежутки между молекулами самые большие и в каких - самые маленькие?

· В каких веществах (т.е. какого агрегатного состояния) скорость движения молекул самая большая и в каких - самая маленькая?

· В каких веществах (т.е. какого агрегатного состояния) взаимодействие между молекулами самое сильное и в каких – самое слабое?

Справочный материал

величины

Формулы, единицы

65