Разработка урока по алгебре в 10 классе при подготовке к ЕГЭ Отбор корней в тригонометрическом уравнении

• 1 слайд

  Отбор корней в тригонометрических уравнениях.
  Вычислите:
  Вывод:
  

• 2 слайд

  . Имеет ли смысл выражение (ответ обоснуйте):
  Какой формулой выражается решение для каждого из уравнений:
  Назовите множество решений уравнений:
  

• 3 слайд

  Для нахождения корней уравнения выберете из предложенных приемов соответствующий и укажите нужную формулу.
  
  Понижение степени.
  
  
  Разложение на множители.
  
  

• 4 слайд

  Преобразование произведения в сумму
  Универсальная подстановка
  

Тема: Отбор корней в тригонометрических уравнениях.

 Тематическое планирование уроков повторения

№ пп	Тема	Количество часов
1	Радианная мера. Основные формулы тригонометрии	1
2	Тригонометрические функции и их графики. Основные свойства функций.	1
3	Исследование тригонометрических функций.	1
4	Теорема о корне. Аркфункции. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.	1
5	Способы решения тригонометрических уравнений и неравенств.	1
6	Отбор общих корней в нескольких сериях решений тригонометрического уравнения.	1
7	Способы отбора корней тригонометрического уравнения.	2
8	Отбор корней уравнения, связанный с методом замены	1
9	Комбинированные уравнения	2
10	Контрольная работа	1

7.  Способы отбора корней тригонометрического уравнения

Цели урока:

• Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении тригонометрических уравнений:
  отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.
• Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
• Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.
• Способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного;

Оборудование: компьютер, проектор, экран, системно-обобщающая схема, листы учета знаний, текстовые задания, доска, мел, указка.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин.)

Сегодня у нас урок по теме «Способы отбора корней тригонометрического уравнения». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Научимся отбору корней тригонометрического уравнения тремя способами.

Успех этой работы может обеспечить лишь хорошие знания тригонометрических формул, умение грамотно выбирать способы решений  тригонометрических уравнений, что вырабатывается только достаточной практикой.

2. Устная работа (8 мин.) (презентация)

На экране размещены вопросы:

1. Вычислите:

Вывод:

2. Имеет ли смысл выражение (ответ обоснуйте):

3. Какой формулой выражается решение для каждого из уравнений:

4. Назовите множество решений уравнений:

Значения а	Уравнение	Формулы решения уравнений
	sinx=a
	sinx=a	уравнение решений не имеет
а=0	sinx=0
а=1	sinx= 1
а= -1	sinx= -1
	cosx=a
	cosx=a	уравнение решений не имеет
а=0	cosx=0
а=1	cosx= 1
а= -1	cosx= -1
	tgx=a
	ctgx=a

3. Систематизация теоретического материала (10 мин).

(презентация)

       При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений

обычно используют один из следующих способов.

● Арифметический способ:

а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;

б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

● Алгебраический способ:

а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;

б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

● Геометрический способ:

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

Методический комментарий.

1. Обратить внимание учащихся на важность темы урока.
2. Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ;  решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.

4.  Выполнение практических заданий (20 мин.)

      Приведенные три задачи рекомендуется решать учителю у доски  с привлечением учащихся.

Задача 1. Решить уравнение   6sin²x+2sin²2x=5  и указать корни, принадлежащие промежутку .

Решение.  Приведем уравнение  6sin²x+2sin²2x=5  к квадратному уравнению относительно cos2x.

 .

Откуда  cos2x=1,

Здесь применим способ отбора  в промежуток при помощи двойного неравенства

 

Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.

 При к=2 получим  , при к=3 получим .

Ответ:

  Методический комментарий.  Для решения следующей задачи  лучше вызвать к доске сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.

Задача 2. Решить уравнение

                      

Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду

  

  Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Отбор корней на промежутке (0;5) проведем двумя способами. Первый способ -для  первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.

, 0<k<5, .

 Так как к – целое число, то к=1. Тогда  - решение исходного уравнения.

 Рассмотрим вторую систему совокупности

   

Если  n=0, то . При п=-1;-2;… решений не будет.

Если  п=1,- решение системы и, следовательно,  исходного уравнения.

Если п=2, то

 При  решений не будет.

Ответ:

Задача 3. Найти все корни уравнения 

                             на отрезке

Решение. Решение уравнения высвечивается на экране. По отдельным этапам решения задаются вопросы учителем в устной форме или  тексты вопросов даются на экране.

 Какой системе равносильно исходное уравнение?

 

Какие преобразования напрашиваются для уравнения?

 В правой и левой части уравнения воспользоваться формулой двойного угла. Записать систему в виде:

 

Не совсем очевидно, но если   выполнить группировку в левой части уравнения, то  получим произведение двух множителей.

Совокупность, каких двух систем получили после преобразования уравнения?  

           

  Первая система решений не имеет, так как   

  В каком виде запишем решение уравнения второй системы совокупности?

 Поскольку решение  исходного уравнения нужно найти на отрезке, решение уравнения  запишем в виде совокупности

Какие  корни из полученной совокупности принадлежат рассматриваемому промежутку?

   При m=0   

 , поэтому

 ни при каком 

  Проиллюстрируем полученные выводы на тригонометрическом круге (рис.3)

                                                                   у

                            

                                                         0                          x

Ответ: .

5. Выполнение практических заданий (20 мин.)

Решение уравнений.

Задача 1. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе

Далее имеем:

Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1)

Рис. 1

Получаем, что не может быть решением исходного уравнения.

Ответ:

В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.

В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.

Задача 2. Решить уравнение.

Решение. Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.

Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)

Рис. 2

Из рисунка хорошо видно, что – решение исходного уравнения.

Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

3sin2x = 10 cos²x – 2.

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.

В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

6sinxcosx = 10cos²x – sin²x – cos²x, т.е. sin²x – 9cos²x+ 6sinxcosx = 0

, т.к. в противном случае sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin²x+ cos²x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos²x. Получим tg²x+ 6tgx – 9 =0.

Пусть tg x = t, тогда      t²+ 6t – 9 = 0,   t₁ = 2,   t₂ = –8.

tg x = 2 или tg x = – 8;

Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.

1) .

Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=1, то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=2, то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .

Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.

Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку

Это

2)

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.

Ответ:

Задача 4. Решить уравнение   6sin²x+2sin²2x=5  и указать корни, принадлежащие промежутку .

Решение.  Приведем уравнение  6sin²x+2sin²2x=5  к квадратному уравнению относительно cos2x.

 .

Откуда  cos2x=1,

Здесь применим способ отбора  в промежуток при помощи двойного неравенства

    

Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.

 При к=2 получим  , при к=3 получим .

Ответ:  

  Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски  с привлечением учащихся.  Для решения следующей задачи  лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.

Задача 5. Решить уравнение

                       

Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду

  

  Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Отбор корней на промежутке (0;5) проведем двумя способами. Первый способ -для  первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.

, 0<k<5, .

 Так как к – целое число, то к=1. Тогда  - решение исходного уравнения.

 Рассмотрим вторую систему совокупности

   

Если  n=0, то . При п=-1;-2;… решений не будет.

Если  п=1,- решение системы и, следовательно,  исходного уравнения.

Если п=2, то

 При  решений не будет.

Ответ:

Задача 6. Найти все корни уравнения 

                             на отрезке

Решение. Решение уравнения высвечивается на экране. По отдельным этапам решения задаются вопросы учителем в устной форме или  тексты вопросов даются на экране.

 Какой системе равносильно исходное уравнение?

 

Какие преобразования напрашиваются для уравнения?

 В правой и левой части уравнения воспользоваться формулой двойного угла. Записать систему в виде:

 

Не совсем очевидно, но если   выполнить группировку в левой части уравнения, то  получим произведение двух множителей.

Совокупность, каких двух систем получили после преобразования уравнения?  

           

  Первая система решений не имеет, так как   

  В каком виде запишем решение уравнения второй системы совокупности?

 Поскольку решение  исходного уравнения нужно найти на отрезке, решение уравнения  запишем в виде совокупности

 Какие  корни из полученной совокупности принадлежат рассматриваемому промежутку?

   При m=0   

 , поэтому

 ни при каком 

  Проиллюстрируем полученные выводы на тригонометрическом круге (рис.3)

6. Самостоятельная работа.

1. Решить уравнение

cos3x=cos5x+cosx, если

Ответ:

2. Решить уравнение

Ответ:

Указание. При решении уравнения после возведения в квадрат и замены переменной отбор корней можно осуществить в квадратном уравнении.

3. Решить уравнение

Ответ:

7. Домашнее задание.

Решить уравнение:

1.

2.

3.

Необязательное задание.

Решить уравнение

8. Итоги.

Комментарий для учителя. Самостоятельная работа носит обучающий характер. Хорошие оценки следует выставить в журнал.

Материал рассчитан на сдвоенный урок.

Литература:

1.      Кравцев С.В. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных – М: Издательство: “Экзамен”, 2005

2.      А.Г.Корянов, А.А. Прокофьев. Лекции 1–4. Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников – М: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.

3.      Фестиваль открытых уроков

4.      Материалы ЕГЭ.

Контрольная работа

1.

2.

3.    Решите систему уравнений

4.

Таблица оценки качества выполнения учебных заданий по    математике

Класс	Количество учащихся в классе	Из них присутствовало	Качество выполнения работ				% качества	% успеваемости
			«2»	«3»	«4»	«5»
11Б	21	21	1	7	10	3	62%	95%

Количество правильно выполненных заданий

Класс		№1	№2	№3	№4
11Б	приступили	21	19	17	15
	решили верно	19	16	15	14

Учитель математики  У.А. Калиева

Краткое описание документа:

Урок по теме «Способы отбора корней тригонометрического уравнения». Повторение, обобщение, приведение в систему изученные виды, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Научить учащихся отбору корней тригонометрического уравнения тремя способами.

Успех этой работы может обеспечить лишь хорошие знания тригонометрических формул, умение грамотно выбирать способы решений тригонометрических уравнений, что вырабатывается только достаточной практикой.

Обратить внимание учащихся на важность темы урока.

Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, встречаются в № 13 тестов ЕГЭ; решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.