Разработка урока по математике на тему "ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ" (9 класс)

Теорема о разложении квадратного трехчлена
на множители

Цели: изучить теорему о разложении квадратного трехчлена на множители и формировать умение ее применять.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Какие из чисел: 1; 2; 3; –3  – являются корнями трехчлена х² + х – 6?

2. Сколько корней имеет квадратный трехчлен:

а) х² – 7;                             г) 5х² + 10;

б) 5х – 6х²;                         д) х² + 2х – 7;

в) х² + 2х + 1;                     е) х² + 2х + 10?

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся и создать у них мотивацию.  Поэтому  следует  разобрать,  как  разложить  на  множители квадратный  трехчлен  методом  группировки,  рассмотрев  несколько примеров:

а) х² + 3х – 4 = х² + 4х – х – 4 = х (х + 4) – (х + 4) = (х + 4) (х – 1);

б) –х² + 3х + 10 = –(х² – 3х – 10) = –(х² – 5х + 2х – 10) = –(х (х – 5) +
+ 2 (х – 5)) = – (х – 5) (х + 2) = (5 – х) (х + 2);

в) 2х² + 6х + 4 = 2 (х² + 3х + 2) = 2 (х² + х + 2х + 2) = 2 (х (х + 1) +
+ 2 (х + 1)) = 2 (х + 1) (х + 2).

Выполнение этих заданий позволит учащимся повторить метод группировки разложения многочлена на множители, а также убедиться в том, что этот метод не является достаточно удобным в данной ситуации. Учитель сообщает, что существует теорема, позволяющая разложить на множители квадратный трехчлен более простым способом.

Далее следует разобрать теорему, после чего предложить учащимся применить ее к тем трехчленам, которые были разложены на множители методом группировки в начале урока. Учащиеся убеждаются, что результаты получаются одинаковые.

На доску выносится запись:

ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2)

,

которая сохраняется до конца урока.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют задания на непосредственное применение изученной теоремы. Использование теоремы для упрощения выражений лучше рассмотреть на следующем уроке.

Упражнения:

1. № 76, № 77 (а, б).

2. № 79 (а), № 80.

В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить № 82.

Р е ш е н и е

Учащиеся  могут  подобрать  такой  трехчлен  с  конкретными  коэффициентами  и  разложить  его  на  множители.  Н а п р и м е р:  х² + 3х + 2 =
= (х + 1) (х + 2). Однако доказательство факта, данного в задаче, необходимо провести в общем виде.

Пусть а = п, b = 2п, с = 3п. Тогда получим квадратный трехчлен пх² +
+ 2пх + 3п. Его дискриминант равен –8п², то есть трехчлен такого вида корней не имеет, значит, не удовлетворяет условию задачи. Замечаем, что дискриминант будет отрицательным в тех трехчленах, в которых а = 3п или с = 3п.

Условию будут удовлетворять только два трехчлена:

пх² + 3пх + 2п и 2пх² + 3пх + п. Разложим их на множители:

пх² + 3пх + 2п = 0;

D = 9п² – 8п² = п^2;

х₁ = ;              ;

пх² + 3пх + 2п = п (х + 1) (х + 2);

2пх² + 3пх + п = 0;

D = 9п² – 8п² = п^2;

х₁ = ;            ;

2пх² + 3пх + п = 2п  (х + 1) = п (2х + 1) (х + 1).

Подставляя  конкретные  значения  п,  можно  получить  бесконечно много  квадратных  трехчленов  указанного  вида:  х² + 3х + 2, 2х² + 3х + 1, 2х² + 6х + 4, 4х² + 6х + 2 и т. п.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Что такое квадратный трехчлен?

– Как найти корни квадратного трехчлена?

– Сформулируйте теорему о разложении квадратного трехчлена на множители.

– Любой ли квадратный трехчлен можно разложить на множители? От чего это зависит?

Домашнее задание: № 77 (в, г), № 78, № 79 (б).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 81.