Разработка урока по теме " линейные неравенства с параметром"

Учебный проект по теме:

«Линейные уравнения и неравенства с параметром»

В последние годы задачи с параметрами (и, прежде всего уравнения и неравенства с одним параметром) постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и, но и в контрольных и экзаменационных работах в школе. Задачи с параметрами для большинства учащихся являются непривычными, а для многих из них сложными. Школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, всеми учащимися, и более глубокое изучение возможно только на внеклассных занятиях. В этом заключается главная проблема, в которой мы постараемся разобраться. Мы решили создать проект по теме «Линейные уравнения и неравенства с параметром» и защитить его на районной научно – практической конференции школьников по теме «Мой первый научный проект».   

Цели проекта:  подобрать теоретический материал, связанный с параметрами, научиться решать линейные уравнения и неравенства с параметрами, привлечь внимание  одноклассников к этим задачам и научить их решать.

Задачи:

·         Расширение кругозора.

·         Уметь находить и анализировать информацию.

·         Уметь выбирать необходимое, делать вывод и использовать полученные сведения и умения.

 Погружение в проект:  

Впервые с параметрами мы столкнулись в 8 классе на факультативе. Тема оказалась для нас сложной,  и мы решили изучить   более подробно теорию «Решение линейных уравнений и неравенств».  При решении уравнений и неравенств возник  вопрос: «Существует ли алгоритм решения линейных уравнений и неравенств?»

     Сначала рассмотрели несложные уравнения   и неравенства: 

1)   Решите уравнение:  ах = 1.

Решение:  ах = 1,  х =

  Ответ: если а = 0, то корней нет; если а ≠0, то х = .

  2)  Решите уравнение:  (а – 1) х = 12.

  Решение:  (а – 1) х = 12,  х =

  Ответ:  если а = 1, то корней нет;  если а  ≠ 1, то х =

    3)  Решите уравнение:     х (а²- 1) = (а+1)(1 х).

    Решение: )    х (а²- 1) = (а+1)(1 х),

       а ﴾а+1﴿ х = а + 1,

если а  ≠ 0 и а ≠-1, то х = ,

если а = 0, то уравнение примет вид 0∙x=1. Это уравнение не имеет корней,

если а = 1, то имеем уравнение 0∙x: = 0, корнем которого может служить любое число.

Ответ: если а ≠ 0 и а ≠ -1, то x=; если  а = 0, то корней нет; если а = −1, то уравне­ние имеет бесконечное множество корней, его корнем являет­ся любое число.

    4)  Решите неравенство:  ах < 1

     Решение: рассмотрим три случая: если а = 0, то х – любое число;

     если а < 0, то х > ;  если а > 0, то х < .

     Ответ:  если а = 0, то х – любое число;  если а < 0, то х > ;  если а > 0,

      то х < .

    5)  Решите неравенство:  3х – а > ах – 2

         Решение: 3х – а > ах – 2;

                          3х – ах > а – 2;

                          х( 3 – а) > а – 2

        Рассмотрим случаи: если а = 3, 0 * х > 1  решений нет

        если а > 3, то х < ; если а < 3, то х > .

      Ответ:  если а = 3, то решений нет; если а > 3, то х < ; если а < 3,

      то х > .

Осуществление деятельности:

Проанализировав решения, мы: 

ü  получили общую схему (алгоритм) решения уравнения

                         ах = b

Если а = 0, b ≠ 0, то уравнение корней не имеет

Если а = 0, b = 0, то корнем уравнения является любое число

Если а ≠ 0, то уравнение имеет единственный корень х = .

общую схему (алгоритм) решения неравенства

                         ах > b   (ах < b)

Если а = 0, b ≥ 0 , то решений нет

Если а >0, то х >

Если а < 0, то х <  

Если а = 0, b <0, то х – любое число

ü  Ввели понятие «параметр» и связанные с ним понятия: что значит, решить уравнение и неравенство с параметром  

В большинстве уравнений и неравенств буквами обозначены переменные. Однако бывают случаи, когда буквами заменяют конкретные числа и решают уравнение или неравенство в общем виде. Буквы, заменяющие в уравнении или неравенстве конкретные числовые данные, называются параметрами.

 Под параметрами мы понимаем входящие в алгебраические выражения величины, численные значения которых явно не заданы, однако считаются принадлежащими определённым числовым множествам.

Со времён Декарта последними буквами латинского алфавита x, у и z обычно обозначают переменные, а первыми a, b и c – параметры. Это позволяет во многих случаях не указывать, какой буквой обозначен параметр, а какой – переменная.

Итак, всякая задача с параметром – это целая серия однотипных задач, которые соответствуют всем значениям параметра.

Уравнение с параметром  – это семейство уравнений, определяемых параметром.

Решить уравнение или неравенство с параметром – значит:

1.            указать, при каких значениях параметра есть решения;

2.            найти их;

3.            выяснить, при каких значениях параметра решений нет.

То есть для каждого значения параметра нужно указать множество решений данного уравнения или неравенства.

Эта задача может формулироваться не только прямым указанием «для каждого значения параметра найти все решения уравнения (неравенства)», но и несколько закамуфлировано, например, «найти все значения параметра, при каждом из которых решение уравнения (неравенства), удовлетворяет заданным условиям».

Задача исследования уравнения или неравенства с параметром, как правило, довольно трудна. Она всегда предполагает рассмотрение нескольких случаев, ни один из которых нельзя потерять. К тому же при решении можно «приобрести» так называемые посторонние корни, проверка которых для уравнения с параметром – задача весьма непростая.

Поэтому при решении крайне важно понимать, какие преобразования происходят – равносильные или нет, и применять по возможности равносильные.

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей,  системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат.

Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, - это  необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Рассмотрим несколько уравнений и неравенств, а остальные предлагаем для самостоятельного решения, из которых составили дидактический материал.

  Пример   1.  При каком значении параметра а уравнение

а ( х – 1) = 2х + 5  не имеет корней?

Решение:   Перепишем    уравнение    а ( х – 1) = 2х + 5  в виде

                ах – а = 2х + 5,

                ах – 2х = 5 + а,

                х(а – 2) = 5 + а.  Если а = 2, то уравнение корней не имеет.

Ответ: при  а = 2.

Пример 2.   Решить уравнение а²х - а² - х + а + 2 = 0.

Решение:  Оставим в левой части уравнения выражения с пере­менной, а константы перенесем в правую часть:

  а²х - х = а² - а - 2,

 (а² - 1)х = (а - 2)(а + 1),

(а - 1)(а + 1)х = (а - 2)(а + 1).

Достаточно рассмотреть три случая: 1) а = 1, 2) а = -1, 3) а  ±1.

Если а = 1, то уравнение перепишется в виде 0·х = -2.

Это уравнение решений не имеет. Если а = -1, то 0 · х = 0, и решением будет любое действительное число.

Если а  ±1, то х =  .

Ответ: если а = ±1, то х = ; если а = -1,то х- любое; если а = 1, то решений нет.

Пример 3. Определить количество корней в зависимости от значений параметра b:

 b²х + 4b + 4 = 4х + 3b²

Решение: Преобразуем уравнение:

b²х – 4x = 3b² - 4b – 4,

(b² – 4)x = 3b² - 4b – 4.

Разложим на множители выражения, стоящие в левой и пра­вой частях уравнения:

(b - 2)(b + 2)х = 3(b+ )(b - 2).

Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям при реше­нии примеров

1 и 2, получим ответ.

Ответ: если b ±2, то одно решение; если b= 2, то решений бесконечно много; если b= -2, то решений нет.

Пример 4. При каких целых значениях параметра а корень уравнения

(а - 5)х + а = 3 лежит в промежутке [0; 5]?   

Решение. Очевидно, при а 5 уравнение имеет корень х =.

Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в промежутке [0; 5].

 Для этого решим двойное неравенство 0 5:

0 5.

В этом отрезке находятся только два целых числа: 3 и 4, они и будут решением задачи.

Ответ: а = 3, а = 4.

Пример 5. При каких значениях параметра а корень уравнения 2ах - 3 = 4х + а не меньше корня уравнения 5х - а(х + 1) = 0?

Решение:  Приведем оба уравнения к виду хр = q и решим их:

2ах - 3 = 4x + а  2аx - 4х = 3 + а  х(2а – 4) = а + 3,

5x – а(х + 1) = 0  5x - ах = а  х(5 - а) = а.Первое уравнение имеет корень х =    при а  2, второе уравнение имеет корень х =   при а 5. Из условия получаем неравенство  .

Преобразуем его:

 

Последнее неравенство приводится к виду

Решаем это неравенство методом интервалов:

Ответ: а

Пример 6.  Решить неравенство  - 1 + 3ах  6х + 10а.

Решение: Преобразуем неравенство:

-1 + Зах  6х + 10а,  

3ах - 6х  10а + 1, 

 х(3а - 6)  10а + 1.

Если а = 2, то неравенство перепишется так: 0•х  21, то х- любое число.

Если а > 2,то х  ; если а < 2, то х  .

Ответ: если  а < 2, то х ;); если а = 2, то х – любое число; если а > 2,

то х;).

Пример 7.    Решить неравенство ax + 4 > 2x + a².

Решение: ax + 4 > 2x + a²;

                (a – 2)x > a² - 4. Рассмотрим 3 случая:

если  a = 2,  неравенство 0 ∙ x > 0 решений не имеет;

если  a > 2, ( a – 2) x >(a – 2) (a + 2);

                    x > a + 2;

если  a < 2, ( a – 2) x >(a – 2) (a + 2);

                     x < a + 2.

Ответ: x > a + 2 при a > 2; x < a + 2, при a < 2; решений нет при a = 2.

Пример 8.   При каких a неравенство 3x – 2a > 0 является следствием неравенства x – 1 + a > 0?

Решение. Неравенство  3x – 2a > 0             (1)

является следствием неравенства     x – 1 + a > 0    (2)                                                       

в том случае, если множество решений X1 неравенства (1) содержит множество решений X2 неравенства (2). Так как X1 = (2a/3 ; + ∞), то включение X2 c X1 выполняется, если 2a/3 ≤ 1 – a, т.е. при a ≤ 3/5.

Ответ: a ≤ 3/5.

 Пример 9.  Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

 < 0 выполняется при всех х таких, что 2 х  4.

Решение: Сначала решим неравенство    < 0 методом интервалов. Для этого определим положение чисел а и 8а на координатной прямой.

Пусть а < 8а, то есть а >0. Тогда решением неравенства будет интервал

а< х< 8а. Это неравенство по условию должно выполняться для всех 2 х  4, 

то есть отрезок         должен содержаться в интервале (а;8а). Это требование

равносильно системе    из которой следует, что < а < 2.

  Если а > 8а, то а < 0, и оба числа а и 8а будут отрицательными, что не

  удовлетворяет условию 2 х  4.

  Ответ: < а < 2.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Решите уравнение (1-13).

1.    (а + 1)х = а- 1.

(Ответ: Если а -1, то х = ; если а = -1, то решений нет).

2.    (а - 2)х = 5 - а.

(Ответ: Если а  2, то х =; если а = 2, то решений нет).

3.    ах = а² + 2а.

(Ответ: Если а0, то х = а + 2; если а = 0, то х — любое число).

4.    (а - 3)х = 3 - а.

 (Ответ: Если а 3, то х = -1;если а = 3, то х — любое число).

5.   m x+2x+3=1-x

(Ответ:  Если m–3, то х =  ; если m = -3, то решений нет).

6.    

 (Ответ:  Если m , m  , то х = - ; если m = - или m = 0, то решений

  нет).

 7.   

 (Ответ: Если m, m, то х = ;  если m =0 или m = 3, то решений нет).

8.    

  (Ответ: Если а , то х = 2а+1; если а = 0, то решений нет).

9.   

  (Ответ: Если m, m, то х = ; если m = -1 или m = 0, то решений нет).

10.  

  (Ответ: Если а  -2, а0, то х = ; если а = -2 или а = 0, то решений нет).

11.  

  (Ответ: Если а2, а-1, то х =; если а = 2 или а = -1, то решений нет).

12. 

  (Ответ: Если а2, а, то х = ; если а = 2 или а = , то решений

  нет).

13.  

  (Ответ: Если а-с, с 0, то х = ; если а = -с или с = 0, то решений нет).

14.  При каком значении параметра b уравнение bх = b+ х + 1 не имеет корней?

(Ответ:  Если а 0,а 1,то х =; если а = 0, то х — любое число).

15.  Найдите все значения параметра а, при которых уравне­ние  а(а + 2)х = 1 - х не имеет решений.

(Ответ: а = -1).

16. Найдите все значения р, при каждом из которых решение
уравнения

а)         6 р - 3р + 4рх = 4р + 12х  меньше 1;

б)         5х - 18р = 21 - 5рх - р  больше 3;

в)         15х - 7р = 2 + 6р - Зрх  меньше 2.

(Ответ: а) p (-2;3);   б) p;-3);   в) p (-5;4)).

17. При каких значениях параметра а уравнение (а - 2)х = а + 4 имеет корень,  не равный 3?

(Ответ: При любых а, кроме а =2, а =5).

18. При каких значениях параметра а корень уравнения
(1 - а) х = а + 3 лежит:

а) в промежутке [-1; 3];    б) в промежутке [1; 4]?

(Ответ: а) а ;0];   б) а ;).

Решите неравенство (1-7).

1.    a (3x – 1) > 3x – 2. 

  (Ответ: x >  при a > 1; x <    при a < 1; x є R при a = 1).

2.  

 (Ответ: Если  m, то х ; если 0  m < 2, то

х; если  m = 2, то решений нет).

3.   

 (Ответ: Если а <1, то х ; если 1 , то  

   х;

если а = 2, то х; если а >2, то х ).

 4.   

  (Ответ: Если а < 0, то х; если а = 0, то х ; если а > 0, то

  х ).

5.   

 Ответ. Если а < 0, то х если а = 0, то х; если а >0, то

х.

6. 

 Ответ. Если а < 0, то х; если а = 0, то решений нет; если  а >0, то

х.

7.

 Ответ. Если а < 0, то х ; если а = 0, то решений нет; если  а >0, то

х .

8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство  выполняется для всех х промежутка 1.

Ответ.  а .

9.  При каких a неравенство ax +2 – a/3 < 0 выполняется для всех x  (1;2)?

(Ответ: a  (2; 8)).

10. При каких a неравенство 5x > a + 3 является следствием неравенства

(a – 1)x > 1?

(Ответ: a  [1;2]).

Защита проекта:

выступление на научно – практической конференции школьников.

Используемая литература:

1. Научно-практический журнал «Математика для школьников»  2004 г.

    Изд. «Школьная пресса»

2. В.В. Локоть «Задачи с параметрами». Изд. «Аркти» Москва 2003г.

    Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра.  Дополнительные главы к     

    школьному учебнику 8 класса». Изд. «Просвещение» 2001г.

3. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика»  1999г. – 2005 г.

    Изд. дом «Первое сентября»

4. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами:

    Справочное пособие по математике. — 2-е изд. — Минск: Асар, 2002г.

5.  Л.А. Солуковцева  «Линейные и дробно – линейные уравнения и

     неравенства с параметрами»  Москва, Чистые пруды, 2007 (Библиотечка

     «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 1(13)).

6.  Гусев ВА., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. —

     М.: Просвещение, 1988.

Участники проекта: учащиеся 9 А класса

     Агалакова Анна и Гавриленко Алена

Руководитель: Пименова Е.Н.- учитель математики

2006 – 2007 уч. год