Реферат "Характеристика сфера правильных многогранников многогранников"

   Характеристика многогранников

пять правильных : тетраэдр, гексаэдр (), октаэдр, додекаэдр, .

Название правильного многогранника с числом его граней. В с греческого языка:

ü  – грань;

ü  – шесть, куб – гексаэдр, так как у шесть граней;

ü  – четыре, поэтому – пирамида, из четырех равносторонних ;

ü  окто – восемь, , октаэдр – восьмигранник;

ü  – двенадцать, состоит из двенадцати ;

ü  икоси – двадцать, – двадцатигранник.

Тетраэдр – это , все грани треугольники, т.е. треугольная ; правильный тетраэдр четырьмя равносторонними ; один из правильных многоугольников.  В три равносторонних треугольника в одной вершине; при их основания новый равносторонний . Тетраэдр имеет число граней Платоновых тел и трехмерным аналогом правильного треугольника, имеет наименьшее сторон правильных многоугольников.

.1. Тетраэдр

Тетраэдр следующие характеристики:

·         Тип грани – треугольник;

·         сторон у грани – 3;

·         число граней – 4;

·         рёбер примыкающих к – 3;

·         Общее вершин – 4;

·         Общее рёбер – 6.

Каждая его является вершиной треугольников. плоских углов при вершине равна 18 0^o.

  описанной сферы:        ,

вписанной :    ,

Площадь поверхности:  ,

тетраэдра: .

Куб или правильный - это  правильная четырехугольная с равными , ограниченная шестью . Куб, получается, если три квадрата в одной и затем еще три. Гексаэдр – шестигранник.

Рис. 2.

Гексаэдр имеет характеристики:

·         Тип грани – квадрат;

·         сторон у – 4;

·         Общее число – 6;

·         Число рёбер к вершине – 3;

·         Общее вершин – 8;

·         число рёбер – 12.

вершина куба вершиной трёх , сумма углов при каждой равна 270º.

У ребра имеется три ребра. пар параллельных ребер определить умножив количество ребер на 3. В 18 пар параллельных .

У каждого ребра 8 перпендикулярных ему рёбер. количество пар перпендикулярных можно общее количество на 8 и разделив на 2. Всего куб 48 пар перпендикулярных рёбер.

У ребра () имеются 4 скрещивающихся с ним . Определить количество пар рёбер можно общее рёбер на 4 и разделив на 2. куб имеет 24 пары рёбер.

Количество пар граней – 3.

   описанной сферы:        ,

вписанной сферы:  ,

поверхности куба:   ,

куба:

  - это восьмигранник; тело, восемью треугольниками; октаэдр ограничен равносторонними ; один из пяти многогранников. В октаэдре в вершине встречаются треугольника; в получается пирамида с основанием.

Октаэдр следующие характеристики:

·         Тип грани – треугольник;

·         сторон у грани – 3;

·         число граней – 8;

·         рёбер примыкающих к – 4;

·         Общее вершин – 6;

·         Общее рёбер – 12.

Рис.3. Октаэдр

     октаэдр составлен из равносторонних . Каждая вершина является вершиной треугольников. Следовательно, плоских при каждой вершине 240°.
Радиус сферы:  ,

Радиус сферы:  ,

поверхности:  ,

Объем :.

    Икосаэдр- это двадцатигранник, , ограниченное двадцатью ; правильный ограничен двадцатью треугольниками.

Рис.4.

Икосаэдр имеет характеристики:

·         Тип грани – треугольник;

·         Число у грани – 3;

·         Общее граней – 20;

·         Число примыкающих к – 5;

·         Общее число – 12;

Общее число – 30;

Как и у всех правильных :

·        ребра имеют равную ,

·         а грани - равную . .

Правильный икосаэдр из двадцати треугольников. Каждая икосаэдра является пяти треугольников. , сумма углов при каждой равна 300°.

описанной сферы:    ,

вписанной :  ,

Площадь поверхности:   ,

икосаэдра: .

   Додекаэдр- это , тело, ограниченное многоугольниками; — многогранник, составленный из правильных пятиугольников. Он на использовании следующего многоугольника – . Каждая вершина является вершиной правильных пятиугольников

                 Рис. 5.

Додекаэдр следующие http://mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html характеристики:

·         Тип – правильный пятиугольник;

·         сторон у грани – 5;

·         число – 12;

·         Число рёбер к вершине – 3;

·         Общее вершин – 20;

·         Общее рёбер – 30.

додекаэдр составлен из правильных пятиугольников. вершина додекаэдра вершиной правильных пятиугольников. , сумма плоских при каждой вершине 324°.

описанной сферы:  ,

вписанной сферы:  ,

поверхности: ,

Объем : .

      Таким , числовыми характеристиками тел является число грани m, число n, сходящихся в вершине, число Г, число вершин В, ребер Р и число углов У на многогранника (табл. 1).

1.

Числовые характеристики тел.

Многогран-ник	Число грани, +m	граней, сходящихся в , n	Число граней Г	вершин В	Число Р	Число углов на поверхности У
	3	3	4	4	6	12
Гексаэдр (куб)	4	3	6	8	12	24
	3	4	8	6	12	24
Икосаэдр	3	5	20	12	30	60
Додекаэдр	5	3	12	20	30	60

и удивительные свойства пяти тел неоднократно привлекали к внимание ученых и Платона..

Шлефли (рис.6), математик которому немало изящных в геометрии и анализе предложил {p, q}, где:  p — число сторон грани, q — число , сходящихся в вершине.

 Рис.6. Шлефли (1814–1895) - математик, специалист в многомерной и комплексного анализа .

2 . Символы Шлефли для многогранников.

Изображение	многогранник	Шлефли
	Тетраэдр	{3, 3}
	или Куб	{4, 3}
	Октаэдр	{3, 4}
	Додекаэдр	{5, 3}
		{3, 5}

Вершины любого многогранника на сфере (что ли вызовет удивление, вспомнить, что вершины правильного лежат на окружности). этой сферы, «описанной сферой», еще две важные . Одна из них, «срединная », проходит через всех ребер, а , «вписанная », касается всех в их центрах. Все три сферы общий центр.

Литература

1.       Александров А.Д. Выпуклые многогранники, М.—Л., Гостехиздат, 1950.

2.       Александров А.Д. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992.

3.       Александров А.Д. Что такое многогранник? // Математика в школе. – 1981 ,  

№ 1, 2.

4.       Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 2006.

5.   Ашкинузе  В. Г. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики, кн. IV (Геометрия), М:Физматгиз, 1963..

6.   Белим С.Н., Белим С.В. Конструктор оригами. Многогранники. Омск – 2003.

7.   Белим С.Н., Белим С.В. Правильные многоугольники в оригами. Омск – 2003.

8.       Болтянский В.Г. Выпуклые многоугольники и многогранники. / В.Г. Болтянский, И.М. Яглом // Математика в школе. - 1966, № 3.

9.       Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. / В.Г. Болтянский. - М.: Просвещение, 1985..

10.   Веннинджер М. Модели многогранников. — М. : Мир, 1974.

11.   Глаголев Н.А. Геометрия: Стереометрия. / Н.А. Глаголев, А.А. Глаголев. - М.: Учпедгиз, 1958.

12.   Глейзер Г.И. История математики в школе IX–X классы – М.: Просвещение, 1983.

Краткое описание документа:

Правильные многогранники дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений. Уже самые простые факты, касающиеся многогранников, требуют такого соединения, которое оказывается при этом не совсем легким делом. Даже такой простой факт, как пересечение диагоналей параллелепипеда в одной точке, требует усилия воображения, чтобы его увидеть наглядно, и нуждается в строгом доказательстве. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве