Решение текстовых логических задач методом рассуждений

Решение текстовых логических задач.

Решение логических  задач с помощью рассуждений.

Пример

На школьную олимпиаду по английскому языку были отправлены четверо лучших учеников из разных классов: Мария, Лариса, Кирилл и Петр. Одноклассники ребят высказали свои предположения о распределении мест между участниками  олимпиады:

- «Первые два места  займут Мария и Лариса соответственно», - предложил первый;

- «Кирилл может быть не лучший, но второе место – точно его! А самый слабый из  четверки -                         «Петр!»,  - сказал второй спорщик;

-  «третий, подумав, возразил: «Вы недооцениваете Петра, он займет третье место, а Мария

     будет второй, так как при всем своем уме, она плохо оформляет свои работы».

По завершении олимпиады выяснилось, что пари не выиграл никто, т. к. каждый сделал по одному неверному прогнозу.                                                                                                                           Какие места на  олимпиаде заняли Мария, Лариса, Кирилл и Петр? В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам ребят в указанном порядке имен.

Решение

1.      Предположим, что первый спорщик прав в том, что лучшей будет Мария (обозначим       М1).Тогда, исходя из анализа прогнозов по окончании олимпиады, 2-е предположение этого спорщика  ложно (обозначим – Л2).

2.       Посмотрим, кто из спорщиков еще упоминал Марию или Ларису. Третий спорщик ставил Марию на второе место, значит, исходя из 1- го предположения, это утверждение ложно, а прогноз о том, что Петр займет 3 – е место (П3) – истинен.

3.      2-й спорщик поставил Петра на последнее  место и, предположительно, ошибался. Значит истинно, что Кирилл – на 2 –м месте (К2).

4.      Остается Лариса, и ей достается 4- е место (Л4), что не противоречит  1 –му предположению, которое мы сделали.

Как видите, первое же предположение дало положительные ответы и не противоречило ни одному из дальнейших рассуждений. Но так бывает не всегда.

Ответ: 1423.

Решение логических задач табличным способом.

Пример

В  педагогическом институте  преподаватели Афанасьева, Бирюкова, Климова, Дунин, Исаев и   Федоров преподают  немецкий язык, английский язык, французский язык, историю, физическое воспитание и математику. Преподаватель немецкого языка и преподаватель математики в студенческие годы занимались танцами. Исаев старше Федорова, но стаж работы у него меньше, чем у преподавателя физкультуры. Будучи студентками, Афанасьева и Бирюкова учились вместе в одном университете. Все остальные окончили педагогический институт. Федоров – отец преподавателя французского языка. Преподаватель  английского языка – самый старший из всех по возрасту и имеет самый большой стаж работы. Он работает в этом институте с тех пор, как окончил его. Преподаватели математики и истории  - его бывшие студенты. Афанасьева старше преподавателя немецкого языка. Назовите, кто какой предмет преподает?

Решение

 Составим таблицу

	Физкультура	Англ. язык	Франц. язык	Нем. язык	История	Математика
Афанасьева				-	-	-
Бирюкова					-	-
Климова
Дунин				-		-
Исаев				-		-
Федоров			-	-		-

Внося в таблицу факты, мы получили в последнем столбце все « - », кроме одной ячейки. Так как по условию 6 преподавателей и 6 предметов, ставим «+» Климовой, т.е. она  - математик. Ставим ей  « - » на всех других предметах.

	Физкультура	Англ. язык	Франц. язык	Нем. язык	История	Математика
Афанасьева				-	-	-
Бирюкова	-	-	-	+	-	-
Климова	-	-	-	-	-	+
Дунин				-		-
Исаев				-		-
Федоров			-	-		-

Теперь в графе Немецкий язык проявилась единственная незаполненная минусами ячейка: Бирюкова – преподаватель немецкого языка. Расставим минусы в ее строке. Рассуждаем далее. Исаев не преподаватель физкультуры. Афанасьев и Бирюкова не учились у преподавателя английского языка, т. е., и значит не преподают его. Преподаватель  английского языка  старше Федорова,  т.  е.,  Федоров  –  не преподаватель  английского языка,  а также не математик и историк,      т. е.  он преподает физическую культуру:  ставим «+». Запомним остальные ячейки 1 го столбца «-».

	Физкультура	Англ. язык	Франц. язык	Нем. язык	История	Математика
Афанасьева		-		-	-	-
Бирюкова	-	-	-	+	-	-
Климова	-	-	-	-	-	+
Дунин	-			-		-
Исаев	-			-		-
Федоров	+	-	-	-	-	-

Сопоставим некоторые условия. Самый старший и по возрасту и по стажу - преподаватель английского языка. У Исаева – не самый большой стаж, а Федотов  - не самый старший. Значит, преподаватель английского языка – не Исаев и не Федоров. В столбце Английский язык образовалась одна незаполненная ячейка,  из чего следует, что  английский язык преподает Дунин «+». В остальных ячейках в строке проставляем «-».

	Физкультура	Англ. язык	Франц. язык	Нем. язык	История	Математика
Афанасьева		-		-	-	-
Бирюкова	-	-	-	+	-	-
Климова	-	-	-	-	-	+
Дунин	-	+		-		-
Исаев	-	-		-	-	-
Федоров	+	-	-	-	-	-

В  столбце История определилась незаполненная ячейка: история – Исаев. Проставляем в его строке недостающие  «-».

	Физкультура	Англ. язык	Франц. язык	Нем. язык	История	Математика
Афанасьева		-		-	-	-
Бирюкова	-	-	-	+	-	-
Климова	-	-	-	-	-	+
Дунин	-	+	-	-	-	-
Исаев	-	-	-	-	+	-
Федоров	+	-	-	-	-	-

Тогда французский язык преподает Афанасьева. Задача решена.

Ответ:  Афанасьева преподает французский язык, Бирюкова – немецкий язык, Климова – математику, Исаев  – историю, Федоров  - физическое воспитание, Дунин –  английский язык

Решение логических задач графическим способом

Пример

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В каком сосуде  находится квас?

Решение

1.      Составим схему соответствия сосудов и напитков: сверху разместим все сосуды, снизу – все напитки. Если бы ограничений не было, верхние и нижние объекты имели связи «все со всеми».

 

                                                                                                                                                                                         

2.      Удалим связи, которых не может быть по условию задачи:

- в бутылке не молоко и не вода;

- в кувшине не лимонад и не квас;

- в банке не лимонад и не вода;

- молоко не в банке и не в стакане.

 

                                       

3.      После удаления лишних связей (см. схему), стало понятно, что для молока остался один вариант - в кувшине. Так как в одном сосуде может быть только один напиток, то удаляем все связи кувшина, кроме молока.

 

Бу

 

4.      Теперь из схемы видно, что для воды место только в стакане, потому удаляем связи стакана с другими напитками.

 

5.      Теперь на схеме видно, что лимонад может быть только в бутылке, удаляем связь «Бутылка­  - Квас».

        

6.       На схеме осталось только 4 связи, и можно ответить на поставленный вопрос: квас находится в банке.

       Ответ: Банка

Тренировочные задания.

Задача №1.

В первом туре школьного конкурса «Эрудит» в четверку лучших вошли: Дима, Катя, Миша, и Нина. И, конечно, болельщики высказывали свои предположения о распределении мест во втором, финальном туре.

 Один считал, что первым будет Дима, а Миша будет вторым.

 Другой болельщик выразил надежду на то, что Катя займет четвертое место, а второе место достанется Нине.

 Третий же был уверен в том, что Катя займет третье место,  а на втором месте будет Дима.

В результате оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какие места заняли Дима, Катя, Миша, Нина?

Ответ:   Дима занял первое место,  Катя – третье место,  Миша  -   четвертое место,  Нина  –  второе место.

Задача №2.

Как – то случай свел в одном купе известного астронома, поэта, прозаика и драматурга. Это были Алексеев, Борисов, Константинов и Дмитриев. Оказалось, что  каждый из них взял с собой книгу, написанную одним из пассажиров купе.

Алексеев и Борисов углубились в чтение, предварительно обменявшись купленными книгами. Поэт  читал пьесу.

Прозаик, очень молодой человек, выпустивший свою книгу, говорил, что он никогда ничего не читает по астрономии.

 Борисов купил в дорогу одно из произведений Дмитриева.

Никто из пассажиров не покупал и не читал книги, написанные им самим.

Что читал каждый из них? Кто кем был?

Ответ: Алексеев – поэт, Борисов – астроном, Дмитриев – драматург, Константинов – прозаик.

Задача №3.

Три молодые мамы Анна, Ирина и Ольга, гуляя в парке со своими малышами, встретили свою четвертую подругу. На вопрос, как зовут малышей, желая подшутить над подружкой, они ответили:

Анна:       «Моего малыша зовут Денис, а Кирилл – сын Ирины».

Ирина:    «Моего  сыночка зовут максим, а Кирилл – сын Анны».

Ольга:     «Мой мальчик – Кирилл, а сына Анны зовут Максим».

Каждая из них один раз сказала правду и один раз солгала. Как зовут мальчиков Анны, Ирины и Ольги?

Ответ:  сына Анны зовут Денис, сына Ирины  - Максим, а сына Ольги – Кирилл.

Задача №4.

В семье трое детей. Тоне вдвое больше лет, чем будет  Гале тогда, когда Жене исполнится столько же лет, сколько Тоне сейчас.

Кто из них самый старший, кто самый младший, кто средний по возрасту?

Ответ: Тоня – старшая, Женя – средняя, Галя – младшая.

Задача №5.

Алла, Галя, Лена и Марина играли в домино.

Марина младше, чем Галя.

Лена старше, чем любая из ее противниц.

 Марина старше, чем ее партнерша.

Алле и Гале вдвоем больше лет, чем Лене и марине вместе.

Кто с кем  играл, как  распределить девушек по возрасту?

Ответ: старшая Галя играет с Леной, следующей за ней по возрасту; предпоследняя по возрасту, Марина играет с младшей Аллой.

Задача №6.

Три участника из разных школ на вопрос, в какой школе учатся, ответили: 

Артем:      «Я учусь в школе №534, а Кирилл  - в школе №76».

Кирилл:     «Я учусь в школе №534, а Артем – в школе №105».

Максим:     «Я учусь в школе №534, а Артем  - в школе №76».

Каждый из них один раз сказал правду и один раз солгал.

В каких школах учатся Артем, Кирилл и  Максим?

Ответ: Артем учится в школе №105, Кирилл – в школе №76 и Максим в школе №534.

Задача №7.

Не самый прилежный ученик подал документы в престижный в уз, рассуждая при этом:

- если я сдам профилирующий экзамен – иностранный язык, - то историю я сдам при условии, что не «завалю» сочинение;

- не может быть, чтобы я « завалил» и сочинение, и иностранный язык;

- достаточным условием «завала» история является двойка по сочинению.

 После экзаменов выяснилось, что ученик был достаточно прозорлив, т.к. только одно из его рассуждений оказалось ложным.

Как были сданы экзамены?

Ответ: не сдан ни один экзамен.

Задача №8.

Три школьника Миша, Коля и Сергей, оставшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в этот время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее: 

Миша:      «Я не бил окно, и Коля тоже…»

Коля:         «Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!»

 Сергей:     «Я не делал этого, стекло разбил Миша».

Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, директор, смог докопаться до истины.

Кто разбил стекло в классе?

Ответ: окно разбил Миша.