Решение уравнений и неравенств с параметром

Уравнения и неравенства с параметром

Пояснительная записка

В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения предлагаются задания по теме: «Уравнения и неравенства с параметром». Многочисленные задачи с параметром со всех сторон обыгрывают тему квадратного трехчлена: при решении тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, приходится обращаться к нахождению корней квадратного трехчлена, области значений квадратичной функции, определению знака квадратного трехчлена. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало.

            В предлагаемых материалах задачи с параметром рассматриваются как средство обобщения и систематизации знаний о квадратичной функции. Основная цель курса – повысить математическую культуру учащихся, подготовить их для выполнения наиболее сложных задач на экзаменах, дать возможность попробовать свои силы в решении нестандартных задач, оценить свои способности к математике на повышенном уровне.

Учебно-тематический план

Тема	Количество часов
1. Что значит решить уравнение с параметром	1
2. Нахождение корней квадратного трехчлена	1
3. Теоремы о расположении корней	1
4. Плоскость «неизвестная-параметр»	1

Занятие 1.Что значит решить уравнение с параметром

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами («параметр» с греческого parametron – отмеривающий).

            В обыденной жизни мы употребляем слово «параметр» как величину, характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора.

            В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. Числовые значения этой величины позволяют выделить определенный элемент (кривую) из множества элементов (кривых) того же ряда. Например, в уравнении х² + у² = r² величина r является параметром окружности.

             В задачах с параметрами наряду с неизвестными фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа.

            С параметрами мы встречались, когда вводили понятия линейная функция, линейное уравнение, квадратное уравнение.

Определение. Пусть дано равенство с переменными х и а   f(x;a) = 0. Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х , то уравнение f(x;a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

            Под областью определения уравнения f(x;a) = 0 с параметром  а  будем понимать все такие системы значений х и а, при которых f(x;а) имеет смысл.

            Решить уравнение f (х;а) = 0 с параметром  а – значит для каждого действительного значения  а  найти все решения данного уравнения или установить , что их нет.

            Договоримся все значения параметра  а, при которых f (x;а) не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.

Решить уравнения с параметром  а

1. х - а = 0

  Ответ: х=а  при любом  а

2.х – а^1/2 = 0                                                                      _      

  Ответ: если а<0, то решений нет; если а≥ 0, то х = √а.

3. ах = 2

  Ответ: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0 х = 2/а

4. (а² – 4)х = а + 2

. Ответ: если а = -2, то х€ R,

              если а = 2, то решений нет

              если а≠ ±2, то х = 1/(а – 2).

                 ____

5. (х – 3)√х - а  = 0

    Ответ: если а<3, то х=а и х=3

                если а = 3, то х = 3

                если а > 3, то х = а.

6. При каких значениях параметра а уравнения  ах = 12   и   3х = а   имеют общие корни?

7. При каких значениях параметра b уравнение    b(b – 3)x = 10(2b + x) не имеет корней?

8.Решите уравнение относительно  у:

   а) у – с       у - 4    

           4          с

   б) су²  + 8 = 2у² + 4с

    в) ау² + 6у + а = 3(2у – а)

   г)  у² – 3у = а² + 3а

9. Найдите наибольшее целое отрицательное значение параметра k, при котором уравнение

                       ___2___      ___1___    

                         2х – k       kx - 2               имеет положительное решение.

10. Найдите все значения параметра  а, при каждом из которых уравнение

                      _____________

                    √ 7х² + 2ах – 5а² = х + а       имеет ровно два решения.

Занятие 2.

Наиболее часто встречающиеся задания  в задачах с параметром типа «Найти а, при которых уравнение имеет два различных корня», «Найти а, при которых корни уравнения больше (или меньше) заданного числа».

            Самый простой и надежный способ решения такой задачи заключается в том, чтобы вычислить корни данного уравнения в зависимости от параметра и выяснить, когда выполнены условия задачи.

Пример 1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения

                    х² – 5ах + 6а² = 0                               будут больше 100 ?

Решив это уравнение относительно х получим  х₁= 2а     и    х₂ = 3а, осталось решить неравенства относительно  а     2а > 100     и        3a > 100.

Однако, этот способ приемлем, только если выражения для корней не очень сложные (дискриминант является полным квадратом).

            Второй прием, который может быть использован в случаях, когда надо сравнить  корни квадратного трехчлена с нулем, использование теоремы Виета.

Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

                     (а – 1)х² – (а – 1)х + (а² + 2) = 0

                   Имеет два различных положительных корня?

Условие наличия двух различных корней  D>0, корней одного знака – х₁ * х₂ = с/а > 0, оба корня положительны, если х₁ +х₂ = -b/а > 0, следовательно надо решить систему, состоящую из трех неравенств, относительно а.

Занятие 3.     Третий путь решения этой задачи заключается в применении теорем о расположении корней квадратного трехчлена. Эти теоремы не входят непосредственно в школьную программу, но обоснование теорем строится на элементарных фактах школьной математики. Рассуждения строятся исходя из геометрического смысла условий задачи. Величины, характеризующие положение графика квадратичной функции – параболы, достаточно просто выражаются через коэффициенты Это дискриминант, сумма и произведение корней, абцисса вершины параболы и, наконец, значение трехчлена в любой точке А. (Рассмотреть на иллюстрации зависимость расположения от наличия корней)

Теорема 1. Для того, чтобы оба корня х₁ и х₂ квадратного трехчлена f(x) = ax² + bx + c  были различны и оба больше заданного числа М, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

                           D > 0,                                                                 D > 0,

        при а > 0    x_в  = - b/2a < M,                                    при  а < 0        x_в = - b/2a > M

                        f(M) > 0                                                              f(M) < 0

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена f(x) = ax² + bx + c  были расположены по разные стороны от заданного числа М, необходимо и достаточно выполнения условия    

                                a*f(M) < 0.

Теорема 3. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) = ax² + bx + c лежали на заданном интервале ( М ; N ), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

                                        D ≥ 0,                                                              D ≥ 0

                                        M < x_в < N                                                       M < x_в < N

       при а > 0                 f(M) > 0                                при  а < 0            f(M) < 0

                                        f(N) > 0                                                            f(N) < 0

Теорема 4. Для того, чтобы  корни квадратного трехчлена f(x) = ax² + bx + c лежали по разные стороны от данного отрезка [ М;N ], необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

                                        а * f (M) < 0 

                                        а * f (N) < 0

Пример 1. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями уравнения

                                 х² + ( 4а + 5 )х + 3 – 2а = 0 ?

Пример 2. Найти все значения параметра  а , при каждом из которых  уравнение

                                (а – 2)х² – 2ах + 2а – 3 = 0       имеет два положительных корня.

Задания:

1. При каких значениях параметра  а  корни уравнения ах² – (2а + 1)х + 3а – 1 = 0  больше    1?

2.Найдите возможные варианты параметра  а, если известно, что корни уравнения

                          х² – 2ах + а + 2 = 0            равны между собой.

3. При каких значениях параметра  а  корни уравнения

                      (а + 1)х² – 3ах + 4а = 0 принадлежат интервалу (2;5) ?

4.Наидите все возможные значения параметра  а  , при которых неравенство

                        а(а² – 1)х² ≤ а(2ах + 1)     выполнено при любых значениях х.

5. При каких значениях параметра  а  уравнение

                        cos⁴2x – 2(a + 2)cos²2x – (2a + 5) = 0   имеет хотя бы одно решение?

6. Найдите все значения параметра  а, при каждом из  которых уравнение

                          25^х + (5а² + а + 4)* 5^х – а – 2 = 0        имеет единственное решение.

7. Найдите все значения параметра  а, при каждом из которых уравнение

                         log²₄ – (6a + 23)log₄ x + 9a² + 69a + 132 = 0   имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 40.     

Занятие 4.

Для решения многих неравенств широко используется метод интервалов. При решении уравнений и неравенств с параметром применение метода интервалов может быть затруднено, так как взаимное расположение точек, отмечаемых на числовой оси, может изменяться в зависимости от значений параметра. В этой ситуации помогает метод областей. Это весьма полезный прием, в некотором смысле обобщающий метод интервалов. Он заключается в изображении на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам.

Поскольку при решении уравнений и неравенств с параметром мы выражаем неизвестную через параметр, то есть смысл рассмотреть графики функций х = f (a), то есть рассмотреть плоскость «неизвестная – параметр», систему координат с осями Ох и Оа.

Пример 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно решение х системы

           х² + (5а + 2)х + 4а² + 2а ≤ 0

           х² + а² = 4

Корнями квадратного трехчлена, стоящего в левой части первого неравенства данной системы являются числа

                  х₁ = -4а -2    и     х₂ = - а

Поэтому первое неравенство системы можно переписать в виде

                   х² + (5а + 2)х + 4а² + 2а = (х + 4а + 2) * (х + а ) ≤ 0.

Рассмотрим множество точек на плоскости ( а;х), в которых левая часть полученного выражения обращается в нуль. Это множество представляет собой объединение двух прямых, разбивающих всю плоскость на четыре области. В каждой из этих областей квадратный трехчлен из левой части первого неравенства системы имеет постоянный знак.

Второе уравнение исходной системы определяет окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Решениями системы на плоскости ( а; х ) являются дуги этой окружности, проходящие через заштрихованные области. Найдя координаты точек пересечения окружности с прямыми, запишем ответ.

Ответ: а  [ -; -16/17] 

Пример 2. Найти все значения параметра а, при которых неравенство

                     3 - | x – a | > x²         имеет хотя бы одно отрицательное решение.

(Рассмотреть совокупность двух систем, полученных в результате снятия знака модуля )

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти все значения параметра q, при каждом из которых число целочисленных решений неравенства  х² – 5(х – 1) + 3|х – q| - q ≤0        максимально.
2. Найти все значения параметра p, при каждом из которых множество решений неравенства    (p – x²) (p + x – 2) < 0   не содержит ни одного решения неравенства  х² ≤ 1.
3. Найдите все значения параметра р, при которых неравенство    log_(x-p) x² < 2  выполняется хотя бы для одного числа х такого, что | x | < 0,01.
4. Решите неравенство с параметром  а     

             = х

5.    Решите неравенство с параметром  а

             x^{log x} > a