Системы счисления (10 класс)

• 1 слайд

  Понятие и виды
  систем счисления
  Непозиционные и позиционные системы счисления
  Алфавит и основание системы счисления
  

• 2 слайд

  Система счисления
  Система счисления (СС, с.с.) — это способ записи чисел с помощью специальных знаков — цифр.
  Числа:12, 45 789, XIV.
  Цифры:0, 1, 2, 3,... I, V, X,...
  
  Система счисления
  Непозиционная
  система счисления
  Позиционная
  система счисления
  Системы счисления,
  в которых значение числа
  НЕ зависит
  от позиции цифры в нем
  Системы счисления,
  в которых значение числа зависит
  от позиции цифры в нем
  

• 3 слайд

  Унарная с.с. — одна цифра обозначает
  единицу (1 день, 1 камень, 1 баран).
  
  Римская с.с.
  I– 1 (палец);
  V– 5 (пять пальцев);
  X– 10 (две ладони);
  L– 50 (Quinquaginta);
  C– 100 (Centum);
  D– 500 (Demimille);
  M – 1000 (Mille).
  Непозиционные
  системы счисления
  Меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него, а в остальных случаях знаки складываются:
  IV → 5 – 1 = 4
  VI → 5 + 1 = 6
  

• 4 слайд

  Примеры:
  MDCXLIV =
  Непозиционные
  системы счисления
  1000
  + 500
  + 100
  – 10
  + 50
  – 1
  + 5
  2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
  2389 = MMCCCLXXXIX
  M M
  CCC
  LXXX
  IX
  = 1644
  Для записи больших чисел надо вводить
  новые знаки-цифры.
  Невозможность записи дробных чисел.
  Сложность выполнения арифметических операций.
  

• 5 слайд

  Алфавит системы счисления — это набор цифр,
  с помощью которых записываются числа.
  Пример:
  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  
  Основание — это количество
  цифр в алфавите системы счисления.
  Записывается в виде нижнего индекса.
  Пример:
  1010, 2345, 1342560.
  Позиционные
  системы счисления
  

• 6 слайд

  Позиционные
  системы счисления
  десятичная — количество пальцев на руках, используется при счете;
  двенадцатеричная — количество фаланг пальцев
  на руке при подсчете их большим
  (1 дюжина = 12 штук);
  шестидесятеричная (60 = 12 × 5), используется
  в единицах измерения времени, астрономии, геометрии и др. областях.
  

• 7 слайд

  Задание
  Запишите цифры от 0 до 10 в следующих с. с.:
  0
  1
  10
  11
  100
  101
  110
  1000
  111
  1001
  1010
  0
  1
  2
  10
  11
  12
  20
  22
  21
  100
  101
  0
  1
  2
  3
  10
  11
  12
  20
  13
  21
  22
  0
  1
  2
  3
  4
  10
  11
  13
  12
  14
  20
  0
  1
  2
  3
  4
  5
  10
  12
  11
  13
  14
  

• 8 слайд

  Разряд — это позиция цифры в числе.
  
  
  
  
  
  
  aiЦифры числа
  qОснование системы счисления (210 = 102, 310 = 103)
  nЧисло разрядов целой части числа
  mЧисло разрядов дробной части числа
  Развернутая запись числа
  3 7 8
  2 1 0
  разряды
  сотни десятки единицы
  = 3 × 102 + 7 × 101 + 8 × 100
  8
  70
  300
  Aq = ± (an-1qn-1 + an-2qn-2 + ... + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + ... + a-mq-m)
  

• 9 слайд

  Знать:
  понятие систем счисления, особенности позиционных и непозиционных систем
  счисления;
  формулу развернутой записи числа.
  Читать § 9 стр. 88
  Задачи № 1—3.
  
  
  
  Домашнее задание
  
  
  

• 10 слайд

  Перевод чисел в позиционных системах счисления
  Перевод в 10 с.с.
  Перевод целой и дробной части числа из 10 с.с.
  

• 11 слайд

  Для перевода числа в 10 с.с., необходимо записать его в развернутой форме и произвести вычисления.
  Полученный результат будет записан в 10 c.с.
  
  
  
  Пример:
  3 2 1 0 -1 -2
  1243,445
  Перевод в 10 с.с. из других с.с.
  Aq = ± (an-1qn-1 + an-2qn-2 + ... + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + ... + a-mq-m)
  = 1 × 53 + 2 × 52 + 4 × 51 + 3 × 50 + 4 × 5-1 +
  + 4 × 5-2 = 1 × 125 + 2 × 25 + 4 × 5 + 3 × 1 + 4 × 1/5 +
  + 4 × 1/25 = 125 + 50 + 20 + 3 + 0,8 + 0,16 = 198,9610
  

• 12 слайд

  Алгоритм перевода целой части числа:
  
  Основание новой с.с. выразить в 10 с.с.
  
  Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на основание с.с.
  до тех пор, пока не получим ноль.
  
  Полученные остатки привести
  в соответствие с алфавитом новой с.с.
  
  Составить число в новой с.с, записывая
  его начиная с последнего остатка.
  Перевод из 10 с.с. в другие с.с.
  

• 13 слайд

  Пример:
  Перевести число 3710 в 2, 8 и 16 с.с.
  Перевод из 10 с.с. в другие с.с.
  37
  2
  18
  36
  1
  2
  9
  18
  0
  2
  4
  8
  1
  2
  2
  4
  0
  2
  1
  2
  0
  2
  0
  0
  1
  37
  8
  4
  32
  5
  8
  0
  0
  4
  37
  16
  2
  32
  5
  16
  0
  0
  2
  3710 = 1001012
  3710 = 458
  3710 = 2516
  

• 14 слайд

  Алгоритм перевода дробной части числа:
  
  Основание новой с.с. выразить в 10 с.с.
  
  Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробных частей произведения
  на основание системы счисления до тех пор,
  пока не получим ноль или нужную точность представления числа.
  
  Полученные целые части произведений привести
  в соответствие с алфавитом новой с.с.
  
  Составить дробную часть числа, начиная с целой части первого произведения.
  Перевод из 10 с.с. в другие с.с.
  

• 15 слайд

  Пример:
  Перевести число 0,187510 в 2, 8 и 16 с.с.
  Перевод из 10 с.с. в другие с.с.
  0,187510 = 0,00112
  0,1875
  2
  ×
  0,3750
  2
  ×
  0,7500
  2
  ×
  1,0000
  1,5000
  2
  ×
  0,1875
  8
  ×
  1,5000
  8
  ×
  4,0000
  0,1875
  16
  ×
  1,1250
  1,875
  +
  3,0000
  0,187510 = 0,148
  0,187510 = 0,316
  

• 16 слайд

  Алгоритм перевода смешанных чисел:
  
  Основание новой с.с. выразить в 10 с.с.
  
  Перевести в новую с.с. целую часть числа.
  
  Перевести в новую с.с. дробную часть числа.
  
  В итоговой записи числа в новой с.с. сначала записывается целая часть, затем дробная.
  В качестве разделителя используется запятая.
  Перевод из 10 с.с. в другие с.с.
  

• 17 слайд

  Пример:
  Перевести число 25,5310 в 2 с.с., оставив три знака после запятой.
  Перевод из 10 с.с. в другие с.с.
  0,53
  2
  ×
  1,06
  2
  ×
  0,12
  2
  ×
  0,24
  25
  2
  12
  24
  1
  2
  6
  12
  0
  2
  3
  6
  0
  2
  1
  2
  1
  2
  0
  0
  1
  25,5310 = 11001,1002
  

• 18 слайд

  Знать:
  правила перевода чисел.
  Читать § 10, стр. 91.
  Задачи № 3—8, 14, 17, 28, 29.
  Подготовиться к проверочной работе.
  Домашнее задание
  
  
  

• 19 слайд

  Системы счисления
  с основанием q = 2n
  

• 20 слайд

  Системы счисления с основанием 2n
  

• 21 слайд

  Алгоритм перевода числа из 2 с.с. в систему счисления с основанием q = 2n:
  Целую часть числа разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.
  
  Дробную часть числа разбить слева направо
  на группы по n цифр в каждой.
  
  Недостающие разряды заполнить нулями.
  
  Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n.
  Перевод чисел в системах счисления с основанием 2n
  

• 22 слайд

  Пример:
  
  1011101,101112 → A8, A16
  
  001 Ι 011 Ι 101, Ι 101 Ι 110 = 135,568
  0101 Ι 1101, Ι 1011 Ι 1000 = 5D,B816
  
  Перевод чисел в системах счисления с основанием 2n
  00
  0
  0
  000
  135,568
  5D,B816
  

• 23 слайд

  Алгоритм перевода числа, из системы счисления с основанием q = 2n в 2 с.с.:
  Каждую цифру числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в 2 с.с.
  
  Пример:
  
  Перевод чисел в системах счисления с основанием 2n
  76,0258 → A2 →
  
  AF,3416 → A2 →
  111 Ι 110, Ι 000 Ι 010 Ι 1012
  1010 Ι 1111, Ι 0011 Ι 01002
  

• 24 слайд

  Для перевода из 8 с.с. в 16 с.с. и обратно рекомендуется использовать промежуточный перевод
  в 2 с.с.
  
  
  
  
  Пример:
  Перевод чисел в системах счисления с основанием 2n
  16
  10
  8
  2
  AB,C16 = 1010 I 1011, I 11002 = 010 I 101 I 011, I 110 I 0002 =
  = 253,68
  7,128 = 111, I 001 I 0102 = 0111, I 0010 I 10002 =7,2816
  

• 25 слайд

  !
  

• 26 слайд

  Знать:
  правила перевода чисел.
  Читать § 11, стр. 102.
  Задачи № 1—8.
  Подготовиться к проверочной работе.
  
  
  
  Домашнее задание
  
  
  

• 27 слайд

  Арифметические операции
  в позиционных с.с.
  Сложение, вычитание, умножение и деление
  Арифметические операции в 2, 8 и 16 системах счисления
  

• 28 слайд

  Арифметические операции
  в 10 системе счисления
  Выполните арифметические операции:
  
  999910
  + 11110
  1011010
  •
  •
  •
  •
  
  1000010
  — 110
  999910
  •
  •
  •
  •
  

• 29 слайд

  Сложение и вычитание в 2 с.с.
  0 + 0 = 0
  0 + 1 = 1
  1 + 0 = 1
  1 + 1 = 10
  0 – 0 = 0
  10 – 1 = 1
  1 – 0 = 1
  1 – 1 = 0
  Перенос
  Заем
  
  1102
  + 112
  10012
  •
  •
  
  101012
  + 1012
  110102
  •
  •
  
  1102
  — 112
  112
  •
  •
  
  110002
  — 1112
  100012
  •
  102
  1
  1
  

• 30 слайд

  
  101012 1112
  — 1112 112
  1112
  1112
  0
  Умножение и деление в 2 с.с.
  0 × 0 = 0
  0 × 1 = 0
  1 × 0 = 0
  1 × 1 = 1
  0  0 = ×
  0  1 = 0
  1  0 = ×
  1  1 = 1
  
  101012
  × 1012
  101012
  + 000002
  101012
  11010012
  

• 31 слайд

  Сложение и вычитание в 8 с.с.
  •
  •
  +
  1568
  6628
  4
  0
  8
  0
  1
  Сложение:
  6 + 2 = 8 = 8 + 0
  5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
  1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
  
  •
  •
  –
  4568
  2778
  5
  7
  8
  1
  Вычитание:
  (6 + 8) – 7 = 7
  (5 – 1 + 8) – 7 = 5
  (4 – 1) – 2 = 1
  
  •
  Перенос 1
  Перенос 1
  Перенос 1
  Заем
  Заем
  

• 32 слайд

  A 5 B16
  + C 7 E16
  
  
  1 6 D 916
  10 5 11
  + 12 7 14
  
  11 + 14 = 25 = 16 + 9
  5 + 7 + 1 = 13 = D16
  10 + 12 = 22 = 16 + 6
  
  
  13
  9
  6
  1
  Сложение в 16 с.с.
  Перенос 1
  Перенос 1
  

• 33 слайд

  С 5 B16
  – A 7 E16
  
  
  1 D D16
  12 5 11
  – 10 7 14
  
  
  (11 + 16) – 14 = 13 = D16
  (5 – 1) + 16 – 7 = 13 = D16
  (12 – 1) – 10 = 1
  
  13
  1
  13
  Вычитание в 16 с.с.
  Заем
  Заем
  

• 34 слайд

  Знать:
  правила арифметических операций.
  Читать § 12—14.
  Задания в конце §.
  
  
  
  Домашнее задание