Статья "Практическое применение интеграла"

Практическое применение интеграла

            Символ интеграла введен в 1675 году. Вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 года. В изучение интегралов большой вклад внесли ученые-математики и физики. Непосредственно, ни одна формула физики не обходится без интегрального и дифференциального исчисления.

            Объект исследование: область математики – интегрирование.

            Цели данной работы: расширить область математических знаний; развить логическое мышление; показать, что интеграл непосредственно применяется в различных сферах жизнедеятельности.

            Гипотеза: интеграл непосредственно помогает успешно решать математические задачи и задачи практического характера в разных областях науки, техники. Изучение данной темы способствует осознанному качественному усвоению  материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных областях.

            Задачи исследования: собрать и систематизировать теоретический материал  об интеграле; рассмотреть использование интеграла в различных сферах жизнедеятельности.

            За все время становления интегрального исчисления непосредственно менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 - 1727) использовал, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 - 1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы "длинная s" (от первой буквы слова Summa - сумма). Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 - 1830) в 1819-20 годах. Сам термин "интеграл" придумал швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 - 1705) в 1690 году.

            Основной задачей дифференциального исчисления является определение заданной функции  по ее производной  или дифференциалу. Обратная задача, которая состоит в определении  по известным значениям производной, называется интегрированием.

Совокупность всех первообразных для функции  называется неопределенным интегралом от данной функции и обозначается [1].

Если функция  интегрируема на отрезке , а функция  является первообразной для функции  на этом отрезке, то справедлива формула . Данная формула называется формулой Ньтона-Лейбница. Она позволяет вычислять определенные интегралы без интегральных сумм и предельного перехода в тех случаях, когда известна хотя бы одна первообразная подынтегральной функции. Формула Ньютона-Лейбница дает возможность вычислить определенный интеграл при помощи неопределенного [2].

            Рассмотрим перемещение материальной точки. Пусть точка движется по ост абсцисс и известна скорость движения этой точки. Скорость меняется и задан закон  на некотором отрезке . Тогда перемещение будет находиться по формуле .

            Задача. Материальная точка движется со скоростью . Вычислить ее перемещение за промежуток времени  секунд.

            Решение. Искомое решение находим по  интегралу .

            Зависимость между работой и силой при перемещении материальной точки определяется соотношением .

            Задача. Какую работу надо произвести, при перемещении материальной точки от 0 до 2 метров под действием силы .

            Решение. Искомая работа равна .

            Работа за промежуток времени , если задан закон мощности находится по формуле .

            Задача. Вычислить работу за промежуток времени от 1 до 4 секунд, если мощность находится по формуле .

            Решение. Искомая работа равна .

            Электрический заряд за промежуток времени  при известной силе тока вычисляется по формуле .

            Задача. Вычислить количество электричества, протекающего по проводнику за промежуток времени от 3 до 4 секунд, если сила тока вычисляется по формуле .

            Решение. Искомый заряд равен .

            Количество теплоты, если задана теплоемкость, непосредственно, вычисляется по следующей формуле .

            Задача. Найти количество теплоты за время от 0 до 2 секунд, если теплоемкость задана формулой .

            Решение. Количество теплоты равно .

            Математическая зависимость между магнитным потоком и электродвижущей силой задается формулой .

            Задача. При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, которая, непосредственно, меняется по закону . Время изменяется от 0 до 60 секунд. Найти значение магнитного потока.

            Решение. Электромагнитный потом находится следующим образом .

            Определенный интеграл применяется для нахождения площади криволинейной трапеции. Пусть  - площадь криволинейной трапеции. Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком функции , непрерывной положительной на интервале , осью абсцисс и вертикальными прямыми  и  (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле .

Рис. 1

            Задача. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , осью абсцисс.

            Решение. Данная криволинейная трапеция представлена на рисунке 2.

.

            Пусть криволинейная трапеция вращается вокруг оси абсцисс. Полученная фигура называется телом вращения. Объем фигуры вычисляется по формуле .

            Задача. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , .

            Решение. Объем указанного тела вращения (рис. 3), находим по формуле

Рис. 3

            Применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению  материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных науках, формированию мировоззрения,  таких специальных качеств, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи.

Библиографический список

1. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике. Часть 2. Комплексные числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Электронный ресурс]: учебное пособие / Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. — Электрон. текстовые данные. — М.: Вышэйшая школа, 2014. — 397 c.  —  Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/35481.html. — ЭБС «IPRbooks»

2. Полькина, Е.А. Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ) [Электронный ресурс]: учебно-методическое пособие / Е.А. Полькина, Н.С. Стакун. — Электрон. текстовые данные. — М.: Прометей, 2013. — 199 с. — Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=240475.html. — ЭБС «Biblioclub»