Статья "Решение геометрических задач повышенной сложности алгебраическим методом"

                                                                                                           Попова О.В.

МБОУ СОШ №95

                                                                                                               Воронеж

                                                                                      [e-mail]

Решение геометрических задач повышенной сложности с помощью алгебраического метода

Умение решать задачи всегда являлось одним из основных показателей уровня математического развития учащихся. Вооружение школьников методами и способами решения задач, обучение их самостоятельному поиску решения - одна из важных проблем предпрофильной подготовки учащихся 9 классов.

В исследованиях психологов, дидактов и методистов в последние годы убедительно показано, что умение школьников решать задачи не находится в прямой зависимости от числа решенных задач. Ученик может перерешать достаточно большое количество отдельных задач, но, если у него не сформирован общий деятельностный подход к поиску плана решения, самостоятельно решать задачи он не научится.

Не существует методов, гарантирующих решение любой задачи. Однако существуют такие приемы, которые в значительной степени облегчают сам поиск решения. Эти приемы не зависят от того, к какому типу, разделу или даже предмету относится та или иная задача, в силу чего данные приемы получили название общих или единых приемов самостоятельного, целенаправленного поиска решения любых задач. Это эвристические приемы.

В данной статье предполагается рассмотрение одного из таких приемов -алгебраического метода решения задач.

При решении планиметрических задач на вычисление неоценимую услугу оказывает алгебраический метод-составление уравнений для отыскания неизвестного. Но как и где искать уравнение?

Полезно знать заранее, как будет выглядеть отдельный фрагмент чертежа, где можно было бы «ожидать  уравнение». Основными «поставщиками» уравнений служат треугольники и окружности ( с хордами, касательными, секущими).Вспомогательным элементом может быть и четырехугольник (параллелограмм, ромб, прямоугольник ,квадрат).

 Треугольник ,как известно, определяется тремя своими элементами. Если три элемента полностью определяют треугольник, то через них можно выразить все остальные элементы, для чего полезно знать основные соотношения треугольника. Если треугольника нет, то его необходимо построить.

При попытке составить уравнение в несложной задаче учащиеся способны уверенно применять, например, знаменитую теорему Пифагора, определение косинуса или синуса острого угла прямоугольного треугольника. Однако  опыт работы показывает, что при решении нестандартных и достаточно сложных планиметрических задач ученики испытывают  значительные затруднения, если им явно не хватает более значимых для решения  теоретических знаний (знания теоремы косинусов, теоремы синусов, свойства биссектрисы треугольника, свойства пропорциональности отрезков двух пересекающихся хорд, свойства пропорциональности отрезков секущих окружности и т.п.).

Если, решая задачу, учащийся не видит, как выразить искомую величину через данные величины, то к их числу целесообразно  бывает присоединить так называемое вспомогательное неизвестное. Иногда в ходе решения уравнений (или систем) вспомогательные неизвестные удается исключить. В таких случаях они выступают в роли опорных элементов. Следует иметь в виду, что число уравнений должно быть достаточным для того, чтобы после исключения из них вспомогательных неизвестных можно было бы найти искомую величину.

Рассмотрим, например, следующую задачу: «Зная длины а, b, с и d последовательных сторон вписанного в окружность четырехугольника ABCD,в котором AB=a,BC=b,CD=c,DA=d, вычислить длины его диагоналей.»

Нетрудно понять, что при решении в роли  вспомогательного неизвестного будет выступать косинус угла В, а уверенное знание учащимися теоремы косинусов и свойства выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность (сумма его противоположных  углов равна 180 градусам) позволит им уверенно  решить данную задачу.

Основной целью учителя на уроках геометрии является ознакомление учащихся с  различными эвристическими приемами решения нестандартных задач, развитие умения ученика самостоятельно распознавать тот или иной путь решения задачи.

Следует также отметить, что, обучая учащихся решению именно геометрических задач, учитель может развить способности школьника по решению любых практических и теоретических задач, которые встретятся ему в повседневной  жизни, в будущей практической деятельности.  А также у учащихся будет сформирована прочная база знаний, умений и навыков для успешного обучения курсу стереометрии в старших классах.