Свойства медианы и соотношения в произволном треугольнике

1.MNPQ  - квадрат со стороной 6 см, точки А и В –две точки средней линии.  Ломаные MAP  и MBP делят квадрат на три части одинаковой площади. Чему равна длина отрезка АВ?

1.      медианы АА1,ВВ1,СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2,В2, и С2 середины отрезков МА,МВ,МС.

а).Докажите, что площадь шестиугольника А1В2С1А 2В1С2  вдвое меньше площади треугольника АВС.

б). найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ=4, ВС=8, АС=10.

2.      В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и СQ  на стороны ВС и АВ. Докажите, что треугольники ВРQ и ВАС подобны.

Дополнительные задачи:

1.     В треугольнике АВС угол С равен 90 градусам.  cos α = 4/5.  Надите sin α, sin β

2.     В треугольнике ABC угол С - прямой. Перпендикуляр CD равен 6 см. AD на 2 см. больше BD. Площадь треугольника ABC равна 180 см в кв. Найти чему равны AC и BС.  

3.     Один из катетов прямоугольного треугольника на 1 см меньше другого катета и меньше гипотенузы на 2 см. Найти площадь треугольника.

4.       В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны √ 52 и √ 73. Найти площадь прямоугольного треугольника.

План занятия с учащимися 8-10 классов на профильной математической смене

Цель: познакомить учащихся с малоизвестными свойствами  медианы и соотношениями в произвольном треугольнике

Задача: показать применение этих свойств на примере решения задачи типа № 16 из КИМ ЕГЭ.

Ход занятия

1.     Приветствие учащихся

2.     Теоретическая часть. Доказательство некоторых свойств медианы  треугольника(пособие для учащихся ,свойства 1-4)

3.     Практическая часть.

Решение задачи №1:

Медианы АА1,ВВ1,СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2,В2, и С2 середины отрезков МА,МВ,МС.

а).Докажите, что площадь шестиугольника А1В2С1А 2В1С2  вдвое меньше площади треугольника АВС.

б). найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ=4, ВС=8, АС=10

При наличии времени предложить учащимся решить задачи

1.В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и СQ  на стороны ВС и АВ. Докажите, что треугольники ВРQ и ВАС подобны.

2.MNPQ  - квадрат со стороной 6 см, точки А и В –две точки средней линии.  Ломаные MAP  и MBP делят квадрат на три части одинаковой площади. Чему равна длина отрезка АВ?

3.В треугольнике АВС угол С равен 90 градусам.  cos α = 4/5.  Надите sin α, sin β

4.Один из катетов прямоугольного треугольника на 1 см меньше другого катета и меньше гипотенузы на 2 см. Найти площадь треугольника.

5.В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны √ 52 и √ 73. Найти площадь прямоугольного треугольника.

4. Подведение итогов занятия

Подготовка к ОГЭ (ГИА): планиметрия

1.     Медиана  разбивает треугольник на два треугольника равной площади.

   S_BNA=S_NCA

2.     Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 ,считая от вершины.

    AO:ON=BO:OK=CO:OM=2:1

3.     Медианы треугольника  делят весь треугольник на шесть равновеликих треугольников.

 

4.     а). Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, этот треугольник - прямоугольный.

 б) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

 CD =  AB

Задачи

1.     медианы АА₁,ВВ_1,СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А_2,В_2, и С₂ середины отрезков МА,МВ,МС.

а).Докажите, что площадь шестиугольника А₁В₂С₁А ₂В₁С₂  вдвое меньше площади треугольника АВС.

б). найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ=4, ВС=8, АС=10.

2.     В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и СQ  на стороны ВС и АВ. Докажите, что треугольники ВРQ и ВАС подобны.

3.     MNPQ  - квадрат со стороной 6 см, точки А и В –две точки средней линии.  Ломаные MAP  и MBP делят квадрат на три части одинаковой площади. Чему равна длина отрезка АВ?

Дополнительные задачи

1.                 В треугольнике АВС угол С равен 90 градусам.  cos α = 4/5.  Надите sin α, sin β

2.                 Один из катетов прямоугольного треугольника на 1 см меньше другого катета и меньше гипотенузы на 2 см. Найти площадь треугольника.

3.         В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны √ 52 и √ 73. Найти площадь прямоугольного треугольника.

Краткое описание документа:

Данный материал использовался работе Профильной математической смены для учащихся 8-11 классов.Целью этого занятия было познакомить учащихся с малоизвестными свойствами медианы и соотношениями в произвольном треугольнике, показать применение этих свойств на примере решения задачи типа № 16 из КИМ ЕГЭ.