Скачивание материала началось

Предлагаем Вам установить расширение «Инфоурок» для удобного поиска материалов:

ПЕРЕЙТИ К УСТАНОВКЕ

Новый курс повышения квалификации!

Цифровая грамотность педагога. Дистанционные технологии обучения

Разработан летом 2020 специально для учителей

Успеть записаться

-50% До конца лета

Каждую неделю мы делим 100 000 ₽ среди активных педагогов. Добавьте свои разработки в библиотеку “Инфоурок”
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Геометрия Научные работыТеоретический материал и практические задания по теме "Развитие математической речи учащихся в курсе геометрии 7 класса"

Теоретический материал и практические задания по теме "Развитие математической речи учащихся в курсе геометрии 7 класса"

библиотека
материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное образовательное учреждение

высшего образования

«Курганский государственный университет»

(КГУ)

Кафедра «Фундаментальной математики и методики преподавания математики»



Допускаю к защите

Заведующий кафедрой,

к.ф-м.н., доцент_________ /Гаврильчик М.В./




Развитие математической речи учащихся при обучении геометрии в 7 классе


ДИПЛОМНАЯ РАБОТА



Разработал студент гр. М-40213 _______________________/Татаринцева А.В./


Направление 44.03.01. Педагогическое образование (профиль «Математическое образование»)


Руководитель: к.п.н., доцент _________________________ /Зверева А.Т./


Курган, 2017


Содержание







ВВЕДЕНИЕ


Новый стандарт основного общего школьного образования рассматривает речь как необходимый компонент личностных, метапредметных и предметных результатов обучения. В частности, отмечается необходимость усвоения школьниками математического языка и математической речи, выделяется знание языка алгебры, геометрии, а также умение точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи как необходимый компонент предметных результатов обучения.

Проблеме развития математической речи школьников уделялось значительное внимание в теории и методике обучения математике (В.В. Репьёв [21], И.А. Гибш [4], Б.В. Гнеденко [5], А.Я. Хинчин [28] и др.). В этих работах речь шла, во-первых, о важности развития речи школьников; во-вторых, давалась характеристика грамотной математической речи; в-третьих, основным условием развития математической речи школьников считалась безупречная математическая речь учителя математики, которая служила бы образцом речи учеников.

Современные педагоги-математики (Т.А. Иванова [12], А.С. Горчаков [6, 7, 8], В.А. Далингер [9, 10], Г.И. Саранцев [22, 23, 24], Д.В. Шармин [30], Г.М. Серегин [25] и др.) культуру речи, в том числе и математической, рассматривают как базовый элемент коммуникативной культуры человека.

Критериями языковой культуры речи, в том числе и математической, являются точность, логичность, ясность, доступность, чистота, выразительность, богатство, уместность.

Наибольший интерес для нас представляет статья Т.А. Ивановой и А.С. Горчакова «Развитие математической речи школьников в процессе изучения определений, понятий, теорем, правил» [14], в которой рассматривается целостный процесс обучения математике, направленный на развитие у учащихся важного аспекта математической деятельности – математической речи. В работе рассмотрены основные условия развития математической речи, такие как деятельностный и личностно-ориентированный подходы к обучению; развитие речи учащихся в единстве с развитием его мышления; понимание смысла предметного содержания как связующего звена между мышлением, речью и языком; рефлексия учеником собственной деятельности; владение математическим языком и математической символикой; владение логической составляющей математической деятельности.

В имеющихся диссертационных исследованиях, математическая речь рассматривается как показатель уровня понимания учащимися 5-6 классов геометрического материала (М. К. Аминова [1]); как важная составляющая процесса обучения алгебре в 10-11 классах средней школы (Д. В. Шармин [30]); как содержательное, логичное, точное средство повышения качества математической подготовки учащихся (А.С. Горчаков [6]).

Но не смотря на значительный вклад указанных авторов в решение проблемы развития математической речи школьников, анализ имеющихся работ показал, что:

в настоящий момент в теории и методике обучения математике нет системного взгляда на решение этой проблемы. В литературе содержатся лишь частные рекомендации по развитию математической речи, к тому же большая их часть относится к речи устной, а также к речи учителя как эталона правильной математической речи для ученика;

нет достаточной опоры на психологические исследования речи и на современные теоретико-методические концепции обучения математике;

недостаточно анализируется учебная математическая деятельность самого ученика, которая обуславливает развитие всех его психических процессов, в том числе, и речи;

не обнаружили мы также систематизированных методических рекомендаций для целенаправленной работы учителя по формированию и развитию математической речи в рамках одного учебного курса, в том числе для курса геометрии 7 класса, где закладываются основы геометрического языка.

Вместе с тем авторы отмечают, что без достаточно развитой математической речи школьники не смогут стать активными участниками процесса обучения, поскольку математическая речь позволяет обеспечить: деятельностную составляющую процесса обучения, развивать мышление учащихся, диагностировать степень понимания учащимися материала, улучшить общение между учителем и учениками, и т.д.

Таким образом, важность работы по развитию математической речи для достижения целей, сформулированных в ФГОС, и отсутствие систематизированных методических рекомендаций для курса геометрии 7 класса послужили причиной выбора темы исследования.

Цель работы: разработать подборку заданий для целенаправленной работы учителя по формированию и развитию математической речи в курсе геометрии 7 класса, а также методику использования этих заданий в процессе обучения.

Задачи:

  1. Изучить и проанализировать теоретические источники по проблеме исследования.

  2. Изучить опыт работы учителей.

  3. Разработать подборку заданий для целенаправленной работы учителя по формированию и развитию математической речи в курсе геометрии 7 класса.

  4. Сформулировать методические рекомендации учителю для использования этих упражнений в учебном процессе.

Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников и приложений.



Глава 1. РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕЧИ КАК ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА


    1. Требования ФГОС к развитию математической речи учащихся


ФГОС [5] нового поколения много внимания уделяет развитию математической речи учащихся.

В пункте 11.3 «Математика и информатика» прописаны цели изучения данной предметной области и предметные результаты её изучения.

Из 14 предметных результатов подпункта «Математика. Алгебра. Геометрия. Информатика» первые 7 пунктов посвящены математике. В 5 из них уделяется особое внимание математической речи (1, 2, 4, 5, 6, 7).

К предметным результатам по развитию математической речи предметной области «Математика» относится:

  • точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической символики;

  • овладение символьным языком алгебры;

  • умение моделировать реальные ситуации на языке алгебры;

  • умение интерпретировать полученный результат;

  • развитие умения использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;

  • овладение геометрическим языком;

  • развитие умения использовать его для описания предметов окружающего мира;

  • развитие умений моделирования реальных ситуаций на языке геометрии;

  • исследование построенной модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры.

Федеральный государственный образовательный стандарт нового поколения предполагает создание новой дидактической системы образования, в которой основная роль отводится системно-деятельностному подходу.

Основной целью обучения, согласно ФГОС, является развитие личностных, регулятивных, коммуникативных и познавательных универсальных учебных действий (УУД) при изучении всех учебных дисциплин, в том числе, и математики. Овладение учениками системой этих действий позволит школьникам самостоятельно усваивать новые знания, умения и компетентности, что приведёт к умению самостоятельно осуществлять деятельность учения, «научиться учиться».

А.С. Горчаков [7] необходимым условием формирования УУД при обучении математике определяет развитие математической речи учащихся: новый стандарт основного общего школьного образования выделяет речь как необходимый компонент личностных, метапредметных и предметных результатов обучения. В частности, отмечается необходимость усвоения школьниками математического языка и математической речи, выделяя знание языка алгебры, геометрии, а также умение точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи как необходимый компонент предметных результатов обучения.

Развитие культуры речи является важным компонентом стратегических целей собственно математического образования. В стандарте стратегические цели представлены в форме трёх направлений: личностного развития, мета- предметного и предметного. В направлении личностного развития предполагается развитие мышления, культуры речи, интереса к математике и математическому творчеству.

В разработанной в соответствии со стандартом примерной образовательной программе образовательных учреждений по основной школе отмечается необходимость усвоения школьниками математического языка и математической речи, выделяется знание языка алгебры, геометрии, а также умение точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи.

Таким образом, современный образовательный стандарт нацеливает учителя на целенаправленную работу по формированию и развитию математической речи, но не раскрывает пути решения этой проблемы.

Для выработки стратегии решения поставленной задачи проанализируем понятие математической речи, структуру и критерии ее сформированности.


    1. Понятие математической речи, структура и критерии сформированности


Достаточное овладение любым учебным материалом предполагает, в первую очередь, обязательное наличие таких компонентов как понимание материала, умение изложить этот материал устно и письменно. Следовательно, проблема развития речи тесно связана с процессом познания, обучения в целом, поэтому ей должно быть уделено соответствующее внимание.

И. П. Подласый [20] определяет обучение как «упорядоченное взаимодействие педагога с учащимися, направленное на достижение поставленной цели». То есть процесс обучения предполагает целенаправленную передачу информации от учителя к ученику, целенаправленное общение ученика с учителем. На современном этапе считается «сущностью обучения является общение».

А так как любое общение предполагает активное использование различных видов речи всеми участниками процесса, то на уроках математики оно должно осуществляться с использованием математической речи.

Развитие математической речи школьников как одна из целей математического образования ставилось всегда.

Одним из первых, кто указал на необходимость развития математической речи школьников, был В. В. Репьёв [21]. Он отмечал, что обучение математике является весьма сложным психологическим процессом, т.к. опирается на многие функции сознания, в том числе и на речь. Речь непосредственно связана со второй сигнальной системой, поэтому её роль весьма существенна. Он писал, ссылаясь на исследования И. П. Павлова: «В преподавании математики весьма широко применяются словесные сигналы (например, ромб, логарифм, косинус) и символические сигналы (например, πr2, y=f(x), tg x). Успех обучения зависит от своевременного обогащения второй сигнальной системы учащихся». Символы и термины должны стать «сигналами второй сигнальной системы», т.е. безотказно восприниматься учениками на уроке, нести именно тот смысл, который подразумевает учитель (а это то же самое, что и их математическое значение), поэтому ученик должен знать, как смысл каждого рассматриваемого на уроке термина, так и смысл изучаемых символов. Истинный смысл символов и терминов невозможно раскрыть, если не использовать их в речи.

Обучение каждому школьному предмету оказывает помощь в изучении родного языка. В процессе обучения математике учащиеся должны точно и кратко формулировать аксиомы, определения, правила и теоремы, конструировать новые формулировки, последовательно, сжато, но с достаточной полнотой излагать доказательства и решения; исключать пустословие и многословие, сомнительные суждения. Кроме этого, учащимся приходится излагать доказательства теорем и решения задач письменно, поэтому в целом преподавание математики является хорошей школой для развития устной и письменной речи. «При правильном преподавании каждый урок математики является хорошим уроком краткой и полной, связной и последовательной речи» [21].

По мнению А. А. Столяра [26], без развитой математической речи не возможна полноценная математическая деятельность. Он выделяет три основных аспекта математической деятельности:

1) деятельность по математизации эмпирического материала (МЭМ);

2) логическая организация математического материала (ЛОММ);

3) применение математической теории (ПМТ) [26].

В каждом из них математическая речь рассматривается им в качестве одного из важнейших компонентов осуществления этих аспектов. Так, для МЭМ ученику необходимо уметь переводить имеющиеся ситуации на язык математики или с одного языка математики на другой (например, с графического на функциональный), т.е. формулировать фразы на математическом языке, причём, на разных его видах; ЛОММ требует от ученика владение различными умениями, например, уметь формулировать гипотезы, определения, записывать условия и заключения теорем, текст доказательства и т.д.; ПМТ предполагает умение осуществлять обратный перевод с математического языка на язык рассматриваемой предметной области, интерпретировать полученные результаты. Также большое значение имеет применение математических методов в физике, что невозможно без грамотной математической речи.

Кроме того, А. А. Столяр отмечал, что овладение математической речью в должной мере способствует решению такой важной, выделяемой и другими методистами, проблемы изучения математики как формализм изучаемых знаний.

Однако следует отметить, что в основном А. А. Столяр пишет не о математической речи, а о математическом языке. Математическая речь же в его понимании видится как употребление математического языка.

Ю.М. Колягин в работе «Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика» [16] выделяет цель научить школьников устной и письменной математической речи со всеми присущими ей качествами (простота, ясность, полнота, лаконичность и т.д.) как одну из общеобразовательных целей преподавания математики.

Рассматривая мышление в целом, он также опирается на определение, связывающее мышление человека с речью, т.е. изначально исходит в рассуждениях из того, что эти два понятия неразрывно связаны. Речи отводится столь важное место ещё и потому, что она является весьма важным фактором развития любого типа мышления, в том числе и математического; развитие мышления невозможно без развития речи.

Например, среди компонентов математического мышления Ю. М. Колягин выделяет, в том числе, мышление интуитивное. Для его формирования рекомендуется давать ученику возможность говорить на уроке: высказывать догадки, формулировать гипотезы. В целом развитая речь оказывает благотворное влияние на формирование всех качеств мышления.

Однако Ю. М. Колягин хотя и ставит общеобразовательной целью развитие математической речи у школьников, рассматривает не саму речь, а изучение математического языка, не проводя чёткой границы между этими понятиями и не выделяя различий между ними.

Не маловажным также является тот факт, что одним из качеств мышления, образующих математический стиль мышления, Ю. М. Колягин выделяет критичность и самокритичность мышления, что непосредственно связано с рефлексией учеником собственной деятельности. Более подробно связь этих качеств мышления и рефлексии будет рассмотрена ниже.

О большом потенциале развития речи школьников при обучении математике говорил Р.С. Черкасов в работе «Методика преподавания математики в средней школе» [29]. Он пишет, что грамотное преподавание математики уделяет большое внимание развитию речи школьников. Речь школьника рассматривается им как способ выражения мысли. В процессе усвоения математических знаний развиваются, в том числе, и такие навыки и качества выражения мысли, как порядок, точность, ясность, краткость, обоснованность, т.е. качества, присущие математическому стилю мышления, и, как следствие, математической речи.

Неоднозначным, по его мнению, является вопрос о том, когда и на каком материале следует начинать развивать у учеников математическую речь. Ответ на этот вопрос требует учёта многих факторов: на каком материале, в каком объёме следует её изучать. Р. С. Черкасов, как и А. А. Столяр, отмечает, что очень важно при этом избегать формализма в изучении того или иного вопроса. Формализм в получаемых знаниях возникает и тогда, когда ученик просто заучивает материал без понимания, и тогда, когда возникает словесное отставание, т.е. ученик неправильно выражает свои мысли, формулирует математические предложения. «Конкретно в обучении математике формализм в знаниях особенно часто проявляется в том, что учащиеся безошибочно дают формулировку определения того или иного понятия, но не могут им воспользоваться при решении задач, доказательстве теорем» [29].

Г. И. Саранцев среди общеобразовательных целей обучения математике выделяет овладение системой математических знаний, умений и навыков, дающей представление, в том числе, о языке математики и её символике [23].

Говоря о развивающей функции обучения математике, Г. И. Саранцев отмечает специфику математического языка как один из аспектов, определяющих духовное и интеллектуальное становление и развитие личности [24].

О широких возможностях развития речи на уроках математики говорит А. Г. Мордкович: «Уроки математики (при правильной постановке) способствуют развитию речи обучаемого не в меньшей степени, чем уроки родного языка и литературы. Если на уроках родного языка и литературы учеников обучают собственно речи, то на уроках математики – организации речи, тому, как используя минимум слов, выдать максимум содержания» [18]. То есть, по мнению А. Г. Мордковича, развитая математическая речь в том числе обеспечивает информативность речи учащихся в целом, является средством, формирующим точность и краткость речи человека.

Аналогичную точку зрения высказывает В. А. Тестов: «Математика – это язык, математическое образование может и должно стать средством языкового развития учащихся, научить их коротко, грамотно и точно формулировать свои мысли» [27].

Интересный взгляд на изучение математики имеет академик РАО, доктор педагогических наук В. А. Болотов: «Математику нужно учить для того, чтобы понимать существующие тексты любого рода, кроме чисто художественных» [2].

Таким образом, можно сделать вывод о том, что многие методисты-математики среди целей обучения математике ставят развитие математической речи у школьников, связывая этот процесс с развитием мышления в целом, математического мышления в частности и невозможностью развития отдельных аспектов математического мышления без развитой математической речи. Владение математической речью во многом опирается на знание математического языка.

В большинстве работ, посвящённых развитию математической речи школьников, именно собственной речи учителя отводится ведущая роль. Однако важно не только то, как говорит сам учитель (без его грамотной речи и знания им математического языка невозможно развивать это у учеников), и то, как организуется работа по развитию математической речи. Эта работа должна осуществляться целенаправленно и систематически в соответствии с некоторой методикой.

Все эти условия имеют системный характер. Они органично взаимосвязаны, взаимообусловлены, взаимнопредопределены, взаимодополняемы. Их единство создаёт условия для развития и саморазвития мышления и речи обучаемого. Формирование каждого компонента не должно происходить изолировано. В реальном учебном процессе все эти направления обуславливают эффективность друг друга и должны осуществляться в комплексе, целенаправленно и постоянно.

Для того чтобы учитель в процессе обучения мог анализировать и диагностировать уровень развития математической речи школьников, необходимо выделить, какими качествами должна обладать математическая речь, а также выявить критерии её развития.

Учитывая рассмотренные выше условия формирования математической речи школьников и требования, предъявляемые к речи психологами, методистами, учителями, в нашей разработке мы берем критерий сформированности математической речи, сформулированный А.С. Горчаковым [7], по которому можно выделить следующие качества математической речи.

1. Содержательность.

Поскольку основным назначением речи является передача информации, то одним из важнейших качеств математической речи является именно её информативность. Речь любая, а особенно математическая, должна быть содержательна и предметна. Именно это качество обуславливает все остальные, из него необходимо вытекают последующие.

2. Понимание сказанного.

Понимание смысла предметного содержания является связующим звеном между мышлением, математической речью и математическим языком, без него невозможно обучение и продуктивное общение учителя и ученика на уроке. Непонимание того, о чем говорит учитель, приводит к отсутствию интереса к математике, к нежеланию (а иногда и отвращению) заниматься ею.

3. Владение математическим языком и математической символикой.

Это качество предполагает знание терминов и символов изучаемых математических объектов, и отношений между ними, понимание значения каждого используемого в математической речи термина и символа. Это позволяет ученику говорить «на одном языке» с учителем и обеспечивает самый первый уровень коммуникации, когда ученик понимает каждое произносимое на уроке слово, без чего невозможно понять смысл произносимой учителем речи в целом.

4. Владение способами построения математических высказываний.

Здесь предполагается умение оперировать терминами и символами математических понятий и отношений в речевой деятельности, осознание законов построения и структуры выражений математического языка, применение правил конструирования математических предложений в собственной речевой деятельности.

Это качество обеспечивает возможность ученика составлять грамотные математические высказывания, а также верно и однозначно понимать смысл услышанных или прочитанных математических предложений.

5. Владение логической составляющей математической деятельности.

В зависимости от рассматриваемой основной дидактической единицы, необходимо учитывать различные логические составляющие:

а) для определения понятия: понимать логическую структуру определения понятия (род, видовые отличия, их конъюнктивную или дизъюнктивную связь, наличие и смысл кванторов, уметь формулировать отрицание понятия); уметь подводить под понятие, выводить следствие, уметь сравнивать объекты по указанному признаку, выделять существенные основания для их сравнения, а также уметь проводить классификацию понятий по заданному и самостоятельно найденному основанию;

б) для теоремы: понимать логическую структуру теоремы, уметь формулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждения и понимать логическую связь между этими четырьмя предложениями, понимать сущность доказательства, полноценности аргументации; владеть дедуктивными методами доказательств и опровержений: синтетическим, аналитическим, от противного, методом исчерпывающих проб, полной индукции, контрапозиции, методом математической индукции;

в) для правила (алгоритма): преобразование условия задачи таким образом, чтобы можно было установить связи между характеристическими свойствами данных и искомых объектов, моделирование и формулирование правила, построение алгоритма, применение в простейших ситуациях.

Проверка наличия вышеназванных качеств речи у ученика подразумевает выделение ряда критериев развитой математической речи.

Учитывая рассмотренные качества математической речи, в качестве основных критериев можно принять следующие.

1. Содержательность.

Математическая речь необходимо должна передавать информацию, поэтому она должна быть содержательна и предметна.

2. Осознанность, осмысленность речи.

Учащийся должен не просто воспроизводить по памяти определения, правила и т.д., но и понимать смысл произносимых им высказываний, значение каждого используемого слова, осознавать их необходимость и связь с другими.

3. Доказательность, логичность высказываний.

Учащийся должен не просто перечислять некоторые факты и сведения, но и уметь объяснять связь между ними, логично обосновывать полученные выводы.

4. Владение математическим языком: его алфавитом, синтаксисом и семантикой.

Учащийся должен знать смысл каждого понимаемого термина и символа, уметь использовать их там, где необходимо в устной и письменной речи.

В развёрнутом виде эти критерии можно сформулировать в терминах «учащийся знает», «умеет», например:

знает род и видовые отличия математических понятий;

умеет отличать определение понятия и его признак;

умеет «переводить» словесно заданные связи между величинами на алгебраический, графический языки;

умеет словесно выражать связи между величинами, заданными графически, аналитически;

знает законы построения и структуру выражений математического языка;

умеет формулировать определения математических понятий;

умеет выделять условия и заключения теорем (в том числе и теорем, где больше одного условия или заключения), умеет формулировать обратную, противоположную и обратную противоположной теоремы;

умеет записывать (проговаривать) порядок выполнения действий при использовании некоторого алгоритма;

умеет сравнивать объекты по указанному или выбранному самостоятельно признаку, выделять существенные основания для сравнения;

умеет проводить классификацию понятий по заданному или выбранному самостоятельно признаку;

владеет чёткостью и ясностью высказываний, построением высказываний в соответствии с правилами родного языка; в речи отсутствуют слова «паразиты», а также слова, не несущих смысловой нагрузки.

Выделенные условия развития математической речи школьников и критерии развитой математической речи определяют пути и средства формирования математической речи.


    1. Пути и средства формирования математической речи


В предыдущем параграфе было отмечено, что развитие математической речи школьников – целенаправленный, систематический, непрерывный процесс, который должен происходить на всех этапах обучения. Этот процесс должен присутствовать на каждом уроке, не зависимо от его типа. Развитие математической речи должно быть естественным образом вплетено в учебный процесс, являться целью каждого урока. В данном параграфе изложены общие положения развития математической речи школьников.

А.С. Горчаков выделяет следующие основные положения, на которых должна базироваться целостная методика развития математической речи школьников [8].

1. Методика развития математической речи должна быть адекватна выделенным условиям: деятельностный подход к организации обучения математике; неразрывность процессов развития математической речи, математического языка и мышления; понимание смысла предметного содержания; осознание, рефлексия учеником своей деятельности на всём протяжении процесса обучения; владение математическим языком и математической символикой; владение логической составляющей математической деятельности; образец речи учителя.

Ключевое из них – субьектность деятельности ученика, которая проявляется: в осознании им смысла предстоящей на уроке деятельности, решения учебной задачи; в личном участии в решения поставленных проблем, учебных задач. Личное участие в учебной деятельности необходимо сопровождается речью: внешней, внутренней или письменной.

2. В развитии математической речи школьников можно выделить три основных этапа.

Первый этап процесс обучения новым знаниям. Он важен потому, что, во-первых, на уроках изучения нового происходит первое знакомство с предметным содержанием, которое составляет предметную основу математической речи школьников. В речи ученик оперирует математическими понятиями, теоремами, правилами, способами решения задач, новыми математическими терминами, символами, составляющими ее основу. От того, на каком уровне усвоены основные дидактические единицы и соответствующий математический язык, зависит содержательность, логичность и аргументированность математической речи ученика.

Во- вторых, в процессе изучения нового материала ученик овладевает основами математической речи. Слушая грамотную математическую речь учителя (содержательную, логичную, обоснованную, осознанную, осмысленную, с грамотным употреблением математического языка и символики) он и сам приобщается к такой речи, получает первый опыт рассуждений, высказывает свои мысли в сотрудничестве с учителем и другими учениками.

К урокам изучения нового можно отнести и первые уроки по применению полученных знаний – уроки решения ключевых задач. На них ученики учатся применять теорию к решению задач, обучаются новым способам, приемам и методам решения.

Второй этап – это уроки решения более сложных задач. На них ученик использует опыт «говорения», полученный на предшествующих уроках и развивает его. На таких уроках его внутренняя, внешняя, письменная речь более самостоятельна

Третий этап состоит в том, что дальнейшее развитие математическая речь ученика получает в самостоятельной деятельности. ФГОС последнего поколения большое значение придают включению ученика в учебно-исследовательскую и проектную деятельность.

3. Основным средством развития математической речи и в целом речевого мышления, включения ученика в речевую деятельность являются специальным образом сформулированные учителем задания и вопросы, т.е. упражнения. Роль и функции упражнений в обучении математике наиболее полно и всесторонне исследовал Г. И. Саранцев «Упражнения в обучении математике» [23]. Он доказал, что целесообразно подобранная система упражнений является основным средством формирования знаний, умений и навыков развития ученика, а, следовательно, и его речи.

В свете сказанного, основным средством развития математической речи школьников на уроках изучения нового являются упражнения. Их, в силу специфики поставленной проблемы, будем называть вопросы и задания. Но они должны отвечать определенным требованиям. Часто вопросы, задаваемые учителем, не предполагают осмысленной речи ученика. Обычно это вопросы, проверяющие память, и поэтому не требуют от учеников размышления вслух. Например, учитель предлагает сформулировать определение понятия, теорему иногда в ходе повторения, а иногда после того, как ребенок уже решил какое-либо задание. Ученик точно, чётко, уверенно воспроизводит формулировки, но не рассуждает по ходу решения: не анализирует ситуацию в начале и не поясняет, почему здесь можно применить тот или иной математический факт или определение. Поэтому для развития математической речи школьников важно давать такие задания и вопросы, при ответе на которые ученик должен опираться не только (и не столько) на память. Ответ должен предполагать предварительную мыслительную работу, определённое интеллектуальное напряжение. Главное, чтобы при ответе на вопрос ученик не только давал односложные ответы или формулировал выученные им фразы, предложения, но анализировал ситуацию и делал вывод, какое теоретическое знание надо применить, преобразовывал известные ему формулировки в соответствии с вопросом. В этом случае одновременно актуализируется речевая и мыслительная деятельность ученика (речевое мышление), что формирует качество осмысленности, доказательности и логичности математической речи.

В свою очередь, важно, чтобы учитель, с одной стороны, давал образец развернутого рассуждения и этого же требовал от учеников. Поскольку особое место в развитии математической речи школьников имеет обучение в 5-8 классах, где закладываются все основы математической речи, её особенности, требования к ней, акцент будем делать на учеников этого возраста.

В учебниках по математике вопросы, упражнения и задачи формулируются с помощью глаголов «вычислить», «упростить», «найти», «доказать», «построить» и т.д. В учебных пособиях по методике обучения математике, хотя и говорится о важности упражнений на каждом этапе усвоения знания, их явно недостаточно. Поэтому ниже приведен список возможных заданий-вопросов, приведенных Г.И.Саранцевым, которые непосредственно направлены на развитие математической речи, актуализируют речевое мышление учеников [23].

1. Вспомните поставленную учебную задачу (цель), которую нам предстояло решить (достигнуть). Расскажите, какой результат мы получили? Решили ли мы поставленную задачу?

2. Сформулируйте полученное определение (теорему).

3. Определите, корректно ли определение (учитель модифицирует формулировку, добавляя или опуская некоторые слова: а) изменяющие смысл данного определения; б) не изменяющие).

4. Приведите примеры введенного понятия, постройте (в геометрии) адекватную ему фигуру (фактически происходит доказательство существования понятия).

5. Создайте символическую (графическую) запись введенного понятия, теоремы.

6. Выясните, подходят ли изображенные на рисунке фигуры (записанные алгебраические выражения) под данное понятие.

7. Известно, что мы имеем … (проговаривается термин введенного понятия). Расскажите, какие выводы отсюда можно сделать и почему (формируется логическое действие выведения следствий).

8. Как вы думаете, какие задачи можно решать на основе введенного определения? Попытайтесь сами составить такие задачи.

9. Попытайтесь рассказать общий способ решения таких задач (формулируются частные эвристики).

10. Вспомните, какие еще способы решения указанных задач вы знаете? В чём состоит их суть?

11. Расскажите, как вы выявили свойства понятия, входящие в его определение.

12. Как бы вы оценили свою деятельность по выявлению свойств изучаемого понятия?

13. Вы узнали определение нового понятия, как вы думаете, что нам следует изучать дальше (этим вопросом учащиеся подводятся к необходимости изучения его новых свойств и признаков)?

14. Сформулируйте доказанную теорему. Выделите её условие, заключение.

15. Верно ли предложение … (учитель модифицирует формулировку теоремы, добавляя или опуская некоторые слова, которые: а) изменяют смысл доказанной теоремы; б) не изменяют)?

16. Создайте другой рисунок и введите новые обозначения к доказанной теореме (моделирование теоремы).

17. Проведите доказательство теоремы:

а) с теми же обозначениями, но при новом расположении чертежа;

б) при том же расположении чертежа, но в новых обозначениях.

18. Сформулируйте обратное (противоположное) утверждение.

19. Расскажите основную идею (прием) доказательства.

20. Приведите примеры доказательства теорем или решенных задач, где бы использовался этот прием.

21. Составьте план доказательства теоремы (выделите основные этапы доказательства).

22. Выделите базис доказательства (опорные теоремы, аксиомы, определения).

23. Найдите другой способ доказательства (возможны указания со стороны учителя).

24. Учитель дает цикл дидактических задач на прямое применение теоремы, определения. Среди задач есть такие, в которых или недостающие данные, или избыточные, ученику эти данные следует подкорректировать. Проанализируйте каждое задание и выясните, можем ли мы применить полученное определение (теорему, формулу) для его решения. Как его следует подкорректировать, чтобы это можно было сделать?

25. Попытайтесь сами рассказать, для решения каких задач можно использовать доказанную теорему, полученное правило (прогнозирование, составление частных эвристик)? Например: доказательство равенства углов, отрезков, параллельность прямых, нахождение корней квадратного уравнения и т. д.

26. Вспомните, с помощью каких теорем, правил можно решать указанные типы задач (перечисляются в этом случае все известные ранее способы)?

27. Составьте сами задачи на применение полученного определения, теоремы, правила.

28. Опишите, как вы рассуждали, когда отыскивали:

а) закономерность, отраженную в формулировке теоремы;

б) ее доказательство.

29. Воспроизведите еще раз полученное правило.

30. Расскажите правило своими словами.

31. Вставьте пропущенные слова в формулировке правила.

32. Предлагается набор (непоследовательный, возможно, избыточный) действий. Восстановите из предложенных действий новое правило.

33. Выделите умения, которыми нужно было владеть для получения нового правила.

34. Среди предложенных упражнений выберите те, которые решаются с помощью такого-то знания (учитель называет конкретное определение, теорему, правило, формулу, способ решения).

35. Найдите ошибку в решении. Расскажите, в чем она заключается и как ее исправить.

36. Спрогнозируйте, какие ошибки вы можете допустить, применяя полученную теорему, правило, формулу?

37. Расскажите соседу по парте доказательство теоремы, решение задачи и т. д. (практически это можно делать при ответе на любой вопрос).

38. Проанализируйте и оцените предложенное учеником доказательство, решение и т.д.

39. Напишите сочинение на тему (например: «Что я знаю об углах», «Что я знаю об уравнениях», «Какие задания я научился выполнять в первой четверти» и т. д.).

40. Дано уравнение (модель к сюжетной задаче). Составьте задачу.

41. Расскажите способ решения текстовой задачи с помощью уравнения.

Кроме заданий, приложенных Г.И.Саранцевым, мы считаем целесообразным включить также следующие виды заданий: перевод с одного вида математического языка на другой, написание сказок о геометрических знаках, описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению, озвучивание опорного сигнала, решение и составление задач по готовым чертежам.

Список таких задач можно продолжать и далее. Главное, чтобы учитель давал школьникам аналогичные упражнения на каждом уроке, систематически и целенаправленно. Для этого не нужно дополнительного времени. Приведенные задания органично вписываются в учебный процесс обучения математике на каждом из его этапов.

Д.В. Дмитриченко [12] выделяет такие пути образования и становления математической речи учащихся, как: математические диктанты, словарная работа, задания по переходу от словесной записи к символической и обратно, упражнения, направленные на формирование грамотной математической речи, написание эссе, комментирование, запись правил в виде схем, организация диалога, защита проектов, поток вопросов.

Подробно рассмотрим каждый вид работы, направленный на формирование математической речи.

  1. Математические диктанты — хорошо известная форма контроля знаний. Учитель сам или с помощью звукозаписи задает вопросы, учащиеся записывают под номерами краткие ответы на них. Как правило, ребятам трудно воспринимать задания на слух. Но если диктанты проводить часто, то школьники овладевают этим навыком. А ценность такого умения неоспорима. Иногда слуховому восприятию нужно помочь. Для этого одновременно с чтением задания делаю запись или чертеж на доске. В зависимости от подготовленности учащихся число заданий увеличивают или уменьшают. Время проведения математического диктанта обычно 10–15 минут.

  2. Словарная работа — эффективный вид работы на уроке, направленный на формирование математической речи. На протяжении учебного года можно с учениками завести тетрадь-словарь, куда нужно грамотно записывать математические термины. Например, биссектриса угла, свойства углов треугольника, прямоугольный параллелепипед и т.д.

А также необходимо применять следующий ряд упражнений:

  • упражнения на объяснение значений математических терминов;

  • упражнения на правильное написание терминов;

  • упражнения на составление правильных связных высказываний;

  • упражнения на устранение грамматических и математических ошибок.

  1. Написание эссе в форме сказки наиболее интересный вид сочинений на уроках математики. Сказки не только кладезь народной мудрости, но и средство для развития учащихся: их творческих способностей, речи, воображения, фантазии, критического мышления, интереса к математике. Написание математических сказок требует глубокого анализа смысла математических понятий. Ведь по ходу сказки героев (геометрические фигуры, числа, цифры и др.) нужно описать, т.е. назвать их существенные свойства, подумать, как они могут в дальнейшем трансформироваться. Например, треугольник может изменить форму, название, пройти приключения, связанные с процессом нахождения значений его величин (площади, периметра и т.п.). А с числами могут производиться какие-то сказочные арифметические действия, изменение “внешнего вида” (цифрового обозначения). Более того, данный вид работы формирует такие виды УУД, как личностные, коммуникативные, регулятивные и знаково-символические.

  2. Эффективным методом также является метод комментирования: ученик с места комментирует решение, учитель под его диктовку записывает на доске. Учащиеся смотрят, слушают и записывают в тетради. Таким образом, на уроке включаются все виды памяти: зрительная, слуховая и моторная. Более того, увеличивается доля разговорной речи на уроках математики.

Благодаря таким видам работ, у учащихся повышается мотивация к предмету, развивается не только математическая речь, но и мышление. Однако, данные методы окажутся эффективными тогда и только тогда, когда учитель будет систематически суммировать принципиальные ошибки, допускаемые в устной и письменной работах, и корректировать их на уроке.

  1. Важнейшей составляющей методики развития математической речи наряду с использованием комплекса разработанных дидактических упражнений, является систематическое включение в структуру урока диалоговых форм взаимодействия. Это позволяет стимулировать не только речевую, но и познавательную активность учащихся.

Хотелось бы отметить, что диалог предполагает внимательное и уважительное отношение со стороны учителя ко всем вопросам учащихся, а также поощрение учащихся к дискуссии по поводу рассматриваемой математической проблемы, причем к дискуссии не только с учителем, но и друг с другом.

  1. Еще одним эффективным методом является запись правил в виде схем. Схема позволяет точно определить форму вывода, что очень удобно для построения рассуждений и их анализа. Важно рациональное сочетание устных и письменных видов работ как при изучении теории, так и при решении задач. Сама речь учащегося при правильном его формировании должна быть научной математической речью, в которой сочетаются как естественный, так и математические языки. Примером записи является оформление краткой записи к решению текстовой задачи.

  2. Защита проектов — это такой способ обучения, при котором учащийся самым непосредственным образом включен в активный познавательный процесс; он самостоятельно формулирует учебную проблему, осуществляет сбор необходимой информации, планирует варианты решения проблемы, делает выводы, анализирует свою деятельность, формируя “по кирпичикам” новое знание и приобретая новый учебный и жизненный опыт.

Данный вид работы опирается на стройную систему философских и психолого-педагогических взглядов и обоснований, отвечает требованию системности, т. е. представляет собой целостную последовательность дидактических приемов и операций. Для реализации данного метода необходимо: разделить детей на группы, дать четкий план действий. Учащиеся с помощью ИКТ готовят защиту своего проекта.

  1. Как и Г.И. Саранцев, Д.В. Дмитриченко выделяет такой вид работы как поток вопросов. Смысл данного вида заключается в том, что, когда ученик решает задачу у доски, остальные учащиеся задают ему вопросы по теме урока или непосредственно задачи.

Таким образом, виды работы, направленные на формирование математической речи, одновременно позволяют развивать такие характеристики математической речи как правильность, точность, логичность — в большей мере, а ясность и уместность — в меньшей.

Анализ содержания курса геометрии 7 класса и опыта учителей по развитию математической речи позволили нам сделать вывод, что для данного этапа обучения наиболее целесообразны следующие виды заданий: математический диктант, ведение словаря доказательств, метод комментирования, словарная работа, диалоговые формы взаимодействия, защита проектов, поток вопросов, перевод с одного вида математического языка на другой, написание сказок о геометрических знаках, описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению, озвучивание опорного сигнала, решение и составление задач по готовым чертежам, заполнение пропусков в решении задач на доказательство, получение следствий.

Виды заданий сформулированы в общем виде. Для практического использования нужно их конкретное наполнение на материале соответствующего курса.

Для разработки соответствующей подборки нам потребуется анализ системы упражнений курса геометрии 7 класса, который и будет представлен в следующем параграфе.




Глава 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕЧИ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА


    1. Исследование системы упражнений учебника и дидактических материалов


Для целенаправленного составления заданий, направленных на формирование и развитие математической речи в курсе геометрии 7 класса, проанализируем систему заданий учебника на наличие перечисленных в параграфе 1.3 видов упражнений. Результаты анализа каждой главы представлены ниже в виде таблиц (Таблицы 1, 2, 3, 4, 5).

В качестве исследуемого учебника взят учебник для общеобразовательных учреждений Л.С.Атанасяна [3].

Таблица 1

1 глава «Начальные геометрические сведения»

п/п

Вид задания

Количество упражнений

1

Диалоговые формы взаимодействия

13+вопросы для повторения

2

Защита проектов

0

3

Поток вопросов

0

4

Задания на перевод

0

5

Решение задач по готовым чертежам

13

6

Составление задач по готовым чертежам

0

7

Написание сказок о геометрических знаках

0

8

Описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению

0

9

Озвучивание опорного сигнала

0

10

Ведение словаря доказательств

0

11

Заполнение пропусков в решении задач на доказательство

0

12

Получение следствий

0


Таблица 2

2 глава «Треугольники»

п/п

Вид задания

Количество упражнений

1

Диалоговые формы взаимодействия

4+вопросы для повторения

2

Защита проектов

0

3

Поток вопросов

0

4

Задания на перевод

0

5

Решение задач по готовым чертежам

20

6

Составление задач по готовым чертежам

0

7

Написание сказок о геометрических знаках

0

8

Описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению

0

9

Озвучивание опорного сигнала

0

10

Ведение словаря доказательств

0

11

Заполнение пропусков в решении задач на доказательство

0

12

Получение следствий

0


Таблица 3

3 глава «Параллельные прямые»

п/п

Вид задания

Количество упражнений

1

Диалоговые формы взаимодействия

6+вопросы для повторения

2

Защита проектов

0

3

Поток вопросов

0

4

Задания на перевод

0

5

Решение задач по готовым чертежам

12

6

Составление задач по готовым чертежам

0

7

Написание сказок о геометрических знаках

0

8

Описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению

0

9

Озвучивание опорного сигнала

0

10

Ведение словаря доказательств

0

11

Заполнение пропусков в решении задач на доказательство

0

12

Получение следствий

0


Таблица 4

4 глава «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

п/п

Вид задания

Количество упражнений

1

Диалоговые формы взаимодействия

7+вопросы для повторения

2

Защита проектов

0

3

Поток вопросов

0

4

Задания на перевод

0

5

Решение задач по готовым чертежам

7

6

Составление задач по готовым чертежам

0

7

Написание сказок о геометрических знаках

0

8

Описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению

0

9

Озвучивание опорного сигнала

0

10

Ведение словаря доказательств

0

11

Заполнение пропусков в решении задач на доказательство

0

12

Получение следствий

0


Таблица 5

Раздел «Задачи повышенной трудности»

п/п

Вид задания

Количество упражнений

1

Диалоговые формы взаимодействия

9+вопросы для повторения

2

Защита проектов

0

3

Поток вопросов

0

4

Задания на перевод

0

5

Решение задач по готовым чертежам

3

6

Составление задач по готовым чертежам

0

7

Написание сказок о геометрических знаках

0

8

Описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению

0

9

Озвучивание опорного сигнала

0

10

Ведение словаря доказательств

0

11

Заполнение пропусков в решении задач на доказательство

0

12

Получение следствий

0


Также в учебнике косвенно представлены задания на развитие устной математической речи (назовите по чертежу, рисунку – 5; укажите – 2; объясните – 5; сформулируйте – 1).

В ходе анализа были найдены задания двух видов из двенадцати выделенных в предыдущем параграфе (диалоговые формы взаимодействия и решение задач по готовому чертежу). Они представлены в учебнике в достаточном количестве (39 и 55), поэтому данные виды заданий не будут включены в разработку упражнений для формирования и развития математической речи.

Анализ дидактических материалов показал аналогичные результаты.

Таким образом, анализ системы упражнений учебника геометрии 7 класса и дидактических материалов еще раз показал, что заданий для целенаправленной работы по формированию и развитию математической речи в курсе геометрии 7 класса недостаточно. Поэтому учитель нуждается в разработке материалов такого типа. Они будут представлены в двух следующих параграфах.


    1. Задания для развития устной математической речи. Методика их использования



Для разработки заданий по формированию и развитию математической речи разобьем выделенные и проанализированные в прошлых параграфах виды заданий на задания по развитию устной и задания по развитию письменной математической речи.

К заданиям для развития устной математической речи отнесем те задания, результатом которых являются устные высказывания учеников. К ним относятся: метод комментирования, защита проектов, поток вопросов, перевод с символьного и графического языков на словесный, , описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению, озвучивание опорного сигнала, получения следствий, написание сказок о геометрических знаках озвучивание опорного сигнала.

К заданиям на развитие письменной математической речи относятся: математические диктанты, перевод со словесного языка на символьный и графический, словарная работа, ведение словаря доказательств, заполнение пропусков в решении задачи на доказательство.

Составление задач по готовым чертежам можно отнести как к заданиям для развития устной, так и к заданиям для развития письменной математической речи.

Данное разделение видов заданий для формирования и развития математической речи на группы не является четкой классификацией.

В данном параграфе содержится разработка заданий на развитие устной математической речи по всем главам учебника [3].

Примеры выполнения приведенных заданий содержатся в приложении.


  1. Метод комментирования

Задание: Прокомментируйте решение задачи с места.

  1. тема «Длина отрезка»: Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если, АВ=7 см, ВС=4,5 см.

Выполнение: т.к. точка В делит отрезок АС на два отрезка, то сумма отрезков АВ и ВС составляет отрезок АС. Тогда, чтобы найти АС, нужно 7 см прибавить 4,5 см. получим 11,5 см. Ответ: АС=11,5 см.

  1. тема «Смежные и вертикальные углы»: На рисунке 1 изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Найдите сумму углов: 1+2+3.

hello_html_23041518.png

Рис. 1

  1. тема «Второй признак равенства треугольников»: По данным рисунка 2 докажите, что ОР=ОТ, P=T.

hello_html_6b36de57.png

Рис. 2

  1. тема «Свойства равнобедренного треугольника»: В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

  2. тема «Признаки параллельных прямых»: Прямые a и b параллельные, 7=1430. Найдите 1.

hello_html_5ba2d292.png

Рис. 3

  1. тема «Аксиома параллельных прямых»: При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма накрест лежащих углов равна 2100. Найдите эти углы.

  2. тема «Сумма углов треугольника»: В треугольнике АВС А:В:С = 2:3:4. Найдите углы треугольника.

  3. тема «Соотношения между сторонами и углами треугольника»: На рисунке АВ=АС, AP=PQ=QR=RB=BC. Найдите угол А.

hello_html_28b86502.png

Рис. 4

Данный вид упражнений используется на этапе вторичного закрепления знаний на уроке.

Задачи 1,4 выдаются в печатном виде на каждый стол. Задачи 2,3 (с чертежом) выводятся на слайд.


  1. Защита проектов

  1. Проектное задание: подготовить проект по теме «Угол. Виды углов»

Защита проекта: рассказ ученика по плану:

  1. Определение угла как геометрической фигуры.

  2. Развернутый угол.

  3. Прямой угол.

  4. Острый угол.

  5. Тупой угол.

По каждому пункту дается определение, иллюстративный рисунок, приводятся примеры моделей углов из окружающей жизни. Рассказ сопровождается слайдами.

  1. Проектное задание: подготовить проект «Задачи на построение»

Защита проекта: показ учеником способа построения:

  • Угла, равного данному

  • Биссектрисы угла

  • Перпендикулярных прямых

  • Середины отрезка

По каждому пункту дается план построения, чертеж. Построение выполняется на доске.

  1. Проектное задание: подготовить проект по теме «Практические способы построения параллельных прямых».

Защита проекта: показ учеником способа построения параллельных прямых с помощью:

  • двусторонней линейки

  • чертежного угольника и линейки

  • прямого угла

  • рейсшины;

  • построение прямого угла на местности

По каждому пункту дается план построения, чертеж. Построение выполняется на доске.

  1. Проектное задание: подготовить проект по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников», который включает в себя формулировку признака, чертеж, доказательство, примеры задач на применение каждого из признаков.

Защита проекта: устное выступление по заданию проекта с демонстрацией слайдов.

Данный вид упражнений используется на повторительно-обобщающих уроках, на этапе актуализации знаний (создание ориентировочной основы для решения задач).


  1. Поток вопросов

  1. тема «Длина отрезка»

hello_html_1c94165.png

Рис.5

  • Как найти длину отрезка? (измерить его)

  • Чему равна длина отрезка, если некоторая точка делит его на два отрезка? (сумме длин этих отрезков)

  • Как найти длину отрезка АВ (рис.5)? (из длины АС вычесть длину ВС)

  • Как найти длину отрезка ВС (рис.5)? (из длины АС вычесть длина АВ)

  • В каком случае отрезки АВ и ВС равны (рис.5)? (если точка В является серединой АС)

  1. тема «Смежные и вертикальные углы»

hello_html_23041518.png

Рис. 6

  • Какие углы называются смежными?

  • Пары каких углов образовываются при пересечении двух прямых?

  • Какими углами являются углы 1, 2 и 3 (рис.6)?

  • Как найти угол 3, если будут известны углы 1 и 2 (рис.6)?



  1. тема «Второй признак равенства треугольников»

hello_html_6b36de57.png

Рис. 7

  • Как доказать равенство элементов треугольников?

  • Каким способом можно доказать, что треугольники равны?

  • Каким признаком воспользовались для доказательства данных в задаче треугольников? Сформулируйте его.

  • Что должно быть известно по рисунку 7, чтобы доказать равенство треугольников по первому признаку?



  1. тема «Свойства равнобедренного треугольника»:

  • Какой треугольник называется равнобедренным?

  • Какие отрезки, проведённые в равнобедренном треугольнике, совпадают и равны по свойству?

  • В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. Каким способом можно решить данную задачу?

  • Если найдем основание, как найти боковую сторону треугольника в данной выше задаче?



  1. тема «Параллельные прямые»

hello_html_5ba2d292.png

Рис. 8

  • Какие прямые называются параллельными?

  • Как называются отрезки, лежащие на параллельных прямых?

  • Какой вывод можно сделать, если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равно 1800?

  • Какими свойствами обладают углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей?

  • Как называются углы 4 и5; 3 и 6; 4 и 8?

  • Можем ли мы найти 6, зная 2?


  1. тема «Аксиома параллельных прямых»

  • Что называется аксиомой?

  • Приведите пример аксиомы.

  • О чем говорит аксиома параллельных прямых?

  • Какой вывод можно сделать о прямой, пересекающей одну из двух параллельных прямых?

  • Как располагаются две прямые, параллельные третьей прямой?


  1. тема «Сумма углов треугольника»

  • Дан внешний угол треугольника. Что из этого следует?

  • Каким не может быть угол при основании равнобедренного треугольника? Ответ поясните.

  • Один из углов равнобедренного треугольника равен 300. Чему равны остальные углы?

  • В треугольнике известны два угла – 450 и 800. Чему равен третий угол?


  1. тема «Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника»

  • Что можно сказать о расположении бо́льшего угла в треугольнике?

  • Против какого угла в треугольнике лежит бо́льшая сторона?

  • Какой вывод можно сделать о соотношении гипотенузы и катетов в прямоугольном треугольнике? Докажите это.

  • Существует ли треугольник со сторонами 3, 7, 11? Ответ поясните.

  • Две стороны равнобедренного треугольника равны 7 см и 3 см. Чему равна третья сторона?

Данный вид упражнений целесообразно использовать на этапе актуализации знаний, а также при подведении итогов урока (рефлексия).

Вопросы задаются не только учителем, но и учениками, которые сами их составляют.


  1. Перевод с символьного и графического языков на словесный

  1. тема «Прямая и отрезок»

Задание: Опишите фигуры, изображенные на чертеже.

Чертеж

Ожидаемый ответ


  • прямая а, лучи ВА и АВ

  • отрезок ВА (АВ)

  • точки А и В принадлежат прямой а

  • точки С и D не принадлежат прямой а

  1. тема «Окружность»

    Чертеж

    Ожидаемый ответ


    • окружность w

    • диаметр DC

    • радиусы OD, OC

    • хорды EF, AB

    • дуги EF, EC, EB, EA, ED, FC, FB, FA, FD, CB, CA, CD, AD, AD

  2. тема «Параллельные прямые»

    Чертеж

    Ожидаемый ответ


    • 1=2, а так как они накрест лежащие при прямых а и b и секущей d, следовательно, прямые a и b параллельны

    • 3=∠2, а так как они накрест лежащие при прямых с и d и секущей a, следовательно, прямые с и d параллельны

  3. тема «Прямоугольные треугольники»

    Чертеж

    Ожидаемый ответ


    Прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и АС и гипотенузой ВС.

    Так как один из острых углов равен 300, то катет АС равен половине гипотенузы ВС.


  4. тема «Перпендикулярные прямые»

Задание: Прочитайте словами предложения, записанные с помощью символов.

Символьная запись

Расшифровка

ab

ab


Aϵa, Bb


АО┴ОВ


AО<ОВ

  • Прямая а перпендикулярна прямой b

  • Прямая а пересекает прямую b в точке О

  • Точка А принадлежит прямой а, точка В не принадлежит прямой b

  • Отрезок АО перпендикулярен отрезку ОВ

  • Отрезок АО меньше отрезка ОВ

  1. тема «Свойства равнобедренного треугольника»

Задание: Дайте словесную формулировку задачи, условие которой записано слева. Выполните чертеж к задаче.

Краткая запись

Ожидаемый ответ

Дано: ΔАВС, АВ=ВС

Н ϵ АС, ВН ┴АС

АВ=5см, АС=4см

Найти: ВН

Дан равнобедренный треугольник АВС с боковыми сторонами АВ и ВС и основанием АС. Найти высоту ВН этого треугольника, если известно, что АВ=5 см, АС=4 см.


  1. тема: «Параллельные прямые»

    Чертеж

    Ожидаемый ответ

    Дано: АВ, СD, а – прямые

    АВ || СD, а – секущая

    а ∩ АВ = Е

    а ∩ СD = F

    АЕF = 680

    Найти: СFB


    Прямые АВ и СD – параллельны, а – секущая, которая пересекает АВ в точке Е, СD - в точке F. Угол АЕF равен 680. Найти односторонний к нему угол СFB.


  2. тема «Сумма углов треугольника»

Чертеж

Ожидаемый ответ

Дано: АВС, АВ=ВС

АD – биссектриса

АDВ = 1100

Найти: А, ∠В, ∠С.


В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD, АDВ = 110°. Найти углы этого треугольника.


Данный вид упражнений можно использовать на этапах актуализации знаний, первичном закреплении, подведении итогов урока (рефлексии), а также на повторительно-обобщающем уроке.

Чертежи и содержание заданий выводятся на слайдах.



  1. Описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению

Задание: Опишите чертеж.

  1. тема «Прямая и отрезок»

hello_html_7c02eace.png

Рис. 9

  1. тема «Смежные и вертикальные углы»

hello_html_3057f237.png

Рис. 10

  1. тема «Свойства равнобедренного треугольника»

hello_html_6ac70582.png

Рис. 11

  1. тема «Третий признак равенства треугольников»

hello_html_6cd3463b.png

Рис. 12

  1. тема: «Параллельные прямые»

hello_html_7188de01.png

Рис. 13

  1. тема: «Аксиома параллельных прямых»

hello_html_7a05d48b.png

Рис. 14

  1. тема: «Прямоугольные треугольники»

hello_html_m226144a4.png

Рис. 15

  1. тема: «Сумма углов треугольника»

hello_html_m41073780.png

Рис. 16

Данный вид упражнений целесообразно использовать при вторичном закреплении материала и на этапе рефлексии.

Чертежи выводятся на слайдах.


  1. Озвучивание опорного сигнала

Задание: Озвучьте опорный сигнал

  1. тема «Точки, прямые, отрезки», «Лучи угол»

hello_html_m4ec72b2a.png

AB = … + … MLK = … + … AN … NB

N - … R - … LS - …

Рис.17


  1. тема «Признаки равенства треугольников»

Признаки равенства треугольников






hello_html_1ca5a83a.png

Рис. 18


  1. тема «Параллельные прямые»

Признаки параллельности двух прямых




Рис. 19


  1. тема «Аксиома параллельных прямых»

Следствия из аксиомы параллельных прямых


a … b

c … a, c … b

hello_html_m3cd72d32.png

a … b

c … a, c … b

Рис. 20


  1. тема «Сумма углов треугольника»


Виды треугольников



Сумма углов треугольника равна …



Большей стороной является …



Катет, лежащий …


Признаки равенства:

1.

2.

3.

4.

Рис. 21

Данный вид работы целесообразно использовать на повторительно-обобщающем уроке по изученному тематическому блоку.

Опорные сигналы выводятся на слайды.


  1. Получение следствий

Задание: Назовите следствие.

  1. тема: «Параллельные прямые»

Дано

Что из этого следует

Параллельные прямые пересечены третьей




Ожидаемый ответ:

Дано

Что из этого следует

Параллельные прямые пересечены третьей

Накрест лежащие углы равны

Соответственные углы равны

Сумма односторонних углов равна 1800

  1. тема: «Прямоугольные треугольники»

Дано

Что из этого следует





Ожидаемый ответ:

Дано

Что из этого следует



Катеты – стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – третья сторона, лежащая против прямого угла.

Сумма острых углов равна 900.

Гипотенуза меньше суммы двух катетов, это бо́льшая сторона треугольника.

Данный вид упражнений целесообразно использовать при закреплении материала, на повторительно-обобщающих уроках, рефлексии, а также при решении задач по теме.

Задание может быть выведено на слайд, может быть сказано учителем устно. По итогу обсуждения ответ заносится в словарь терминов, доказательств и следствий.



  1. Составление задач по готовым чертежам

Задание: Составить задачу по данному чертежу

  1. тема «Длина отрезка»

hello_html_m589da278.png

Рис. 22

Пример задачи: Точки К и Е принадлежат отрезка АВ, длина которого 16,5 см. АК=5 см, ЕВ=2,6. Найти отрезок КЕ.

  1. тема «Смежные углы»

hello_html_78da9c42.png

Рис. 23

  1. тема «Свойства равнобедренного треугольника»

hello_html_m769f9504.png

Рис. 24

  1. тема «Равнобедренный треугольник», «Смежные и вертикальные углы»

hello_html_e8e1fcd.png

Рис. 25

  1. тема «Параллельные прямые»

hello_html_mcd2633e.png

Рис. 26

  1. тема «Аксиома параллельных прямых»

hello_html_3db2506c.png

Рис. 27

  1. тема «Сумма углов треугольника»

hello_html_358fe430.png

Рис. 28

  1. тема «Прямоугольные треугольники»

hello_html_m49e36f2d.png

Рис. 29

Данный вид упражнений целесообразно использовать на этапе актуализации знаний, а также на этапе закрепления и рефлексии.

Чертежи для составления задач выводятся на слайдах, либо изображаются на доске.


  1. Написание сказок о геометрических знаках (фигурах)

  1. Написать четверостишие о середине отрезка.

  2. Написать сказку о медиане, высоте и биссектрисе треугольника.

  3. Написать сказку о двух параллельных прямых.

  4. Написать стихотворение о прямоугольном треугольнике и его элементах.

Данный вид работы целесообразно использовать на повторитель-обобщающем уроке, предварительно дав задание на дом. Частота использования – не более 2 раз в полугодие. Проводить после изучения целой главы.


    1. Задания для развития письменной математической речи. Методика их использования.


Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, к заданиям на развитие письменной математической речи относятся: математические диктанты, словарная работа, перевод со словесного языка на символьный и графический, составление задач по готовым чертежам, ведение словаря доказательств, заполнение пропусков в решении задачи на доказательство.

Приведем разработку данных заданий по всем главам учебника [3].


  1. Математический диктант

  1. тема «Длина отрезка»:

Задание

Ожидаемый ответ

1

Начертите отрезок АС, длиной меньше 10 см.



2

Отметьте на нем точку В.


3

Опишите произведенные вами действия с помощью математических символов

АС – отрезок

В ϵ АС

4

Запишите, как найти длину отрезка АС, АВ, ВС.

АС=АВ+ВС

АВ=АС-ВС

ВС=АС-АВ

5

а) АВ=6 см, ВС=5.7 см

Запишите, чему равен АС.

б) АС=28,5 см, ВС=51 мм

Запишите, чему равен АВ.

в) АС=400 мм, АВ=23,7 см

Запишите, чему равен ВС.

а) АС=6 см+5,7 см=11,7 см


б) АВ=28,5 см - 51 мм=28,5 см - 5,1 см=23,4 см

в) ВС=400 мм - 23,4 см=40 см - 23,7 см= 16,3 см


  1. тема «Угол. Виды углов»

Задание

Ожидаемый ответ

1

Начертите угол, используя транспортир:

  • 600

  • 1300

  • 900

  • 1800

Обозначьте углы и подпишите виды углов внизу чертежа.


острый

тупой


прямой


развернутый

2

Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Напишите, чему равен угол АОС.

АОВ=АОС+СОВ

3

Карточка:


АОС=1450

Найдите угол ВОС.

ВОС=АОС-АОВ=1450-700=750

4

Карточка:


Найти угол АОD

АОD=АОВ+ВОС+ СОD

=670+400+250= 1320


  1. тема «Свойства равнобедренного треугольника»

Задание

Ожидаемый ответ

1

Закончите предложение:

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется …


медианой треугольника

2

Начертите любой треугольник АВС. Проведите высоту ВН.



На полученном чертеже обозначьте, что треугольник АВС – равнобедренный.

или

4

Закончите предложение:

В равнобедренном треугольнике АВС ВН является не только высотой, но и …


биссектрисой, медианой

5

Подпишите на чертеже: АН=6, ВН=8, АВ=10. Найдите стороны треугольника ВНС.


ВН-высота, ΔАВС-равнобедр-й => ВН-медиана

АН=НС=6

ВН=8

ВС=10


  1. тема «Окружность»

Задание

Ожидаемый ответ

1

Закончите предложение:

Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называется …


окружностью

2

Начертите окружность, радиус которой равен 2 см.

Обозначьте центр точкой О. проведите радиус ОС, диаметр АВ. Запишите, чему равен диаметр.


АВ=2·2 см=4 см

3

По чертежу запишите получившиеся дуги.

АС, АВ, СВ

4

Проведите отрезки АС и СВ. Запишите, как называются эти отрезки.


АС, СВ – хорды

5

Карточка:


Найдите периметр треугольника МОВ.

РΔМОВ=МО+ОВ+МВ

МО=ОВ=АВ:2=16:2=8 см (как радиусы)

РΔМОВ=8+8+13=29 см




  1. тема «Параллельные прямые»

Задание

Ожидаемый ответ

1

Начертите прямую а.


2

Начертите прямую b, параллельную прямой а.


3

Опишите произведенные вами действия с помощью математических знаков.

а, b – прямые

а  b

4

Проведите секущую с для параллельных прямых а и b.


5

Обозначьте получившиеся углы цифрами от 1 до 8.


6

Запишите пары:

  1. накрест лежащих углов

  2. соответственных углов

  3. односторонних углов


  1. 4 и 5, 3 и 8

  2. 1 и 8, 4 и 7, 2 и 5, 3 и 6

  3. 4 и 8, 3 и 5

7

  1. Угол 3 равен 750.

Запишите, чему равны углы 5 и 8.

  1. Угол 7 равен 1120.

Запишите, чему равны углы 1 и 4.

  1. 5=1800-3=1800-750=1050

8=3=750

  1. 1=8=1800-7=1800-1120

4=7=1120


  1. тема «Сумма углов треугольника. Прямоугольные треугольники»

Задание

Ожидаемый ответ

1

Начертите произвольный треугольник АВС.

Для этого треугольника выполните следующие задания.


2

Угол А равен 480, угол С равен 710. Запишите, чему равен угол В.

В=1800 – (∠А + ∠С)= 1800 – (480+ 710)= 18001190=610

3

Внешний угол при вершине В равен 1460. Запишите, чему равна сумма углов А и С.

А + С=1460

4

Проведите биссектрису АМ.

Угол А равен 700, угол В равен 360. Запишите, чему равны углы треугольника АВМ.


АВМ=∠В=360.

ВАМ=∠А=  700=350

АМВ=1800 – (∠АВМ + ∠ВАМ)= 1800 – (360+ 350)= 1800710=1090

5

Постройте прямоугольный треугольник КМР, где угол М – прямой.

Запишите, чему равна сумма углов К и Р.


К+∠Р=900

6

Запишите катеты и гипотенузу данного треугольника.

КМ, МР – катеты

КР – гипотенуза

7

  1. Угол К равен 750.

Запишите, чему равен угол Р.

  1. Угол Р равен половине угла М.

Запишите, чему равен угол К.

  1. Р=900-∠К=900-750=150

  2. Р=∠М=  900=450

К=900-∠Р=900-450=450

8

В треугольнике КМР КР=18, КМ=9. Запишите углы треугольника.

М=900

КМ=КР => ∠Р=300

К=900-∠Р=900-300=600

Данный вид заданий целесообразно использовать на этапе актуализации знаний и на вторичном закреплении как вид самостоятельной работы в начале урока.

Учитель читает вопросы вслух, ученики отвечают на них письменно в тетрадях.


  1. Перевод со словесного языка на символьный и графический

Задание: Запишите с помощью математических символов и обозначений.

  1. тема «Длина отрезка»

Высказывание

Ожидаемая запись

Длина отрезка АВ – 12 см.

АВ=12 см

Точки А и Р принадлежат отрезку СВ.

А ϵ СВ, Р ϵ СВ,

Точка М не принадлежит отрезку КТ.

М  КТ

Длина отрезка АК равна сумме длин отрезков АТ и ТК.

АК=АТ+ТК



  1. тема «Смежные и вертикальные углы»

Высказывание

Ожидаемый чертеж

Угол СОВ смежный с углом ВОА


Угол MNK вертикальный с углом SNT


Перпендикулярные прямые а и b



  1. тема «Признаки равенства треугольников»

Высказывание

Ожидаемая запись

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.



АВ=А1В1

ВС=В1С1 ΔАВС=ΔА1В1С1

СА=С1А1 



  1. тема «Свойства равнобедренного треугольника»

Высказывание

Ожидаемый чертеж

Медиана AD равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.



  1. тема «Параллельные прямые»

Высказывание

Ожидаемая запись/чертеж

Прямые а и b параллельны.

а  b

с –секущая.

а  b

c ∩ a, c ∩ b

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.


Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.



Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.


Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

hello_html_7a05d48b.png

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

hello_html_m3cd72d32.png


  1. тема «Сумма углов треугольника. Неравенство треугольника.»

Задание

Ожидаемая запись/чертеж

Сумма углов треугольника АВС равна 1800.

А +∠В+ ∠С=1800

Каждая сторона треугольника МТС меньше суммы двух других сторон.

МТ

TC

MC

В треугольнике ОМР угол О равен 900.


В треугольнике АВС АВ и АС – катеты, ВС – гипотенуза.


Данный вид упражнений можно использовать на этапе первичного закрепления материала и рефлексии.

Учитель читает данные высказывания вслух, ученики выполняют записи и чертежи в тетрадях.


  1. Составление задач по готовым чертежам

Задание: Составить задачу по данному чертежу.

  1. тема «Длина отрезка»

hello_html_2de22bff.pnghello_html_3accedb0.png

Рис. 30

  1. тема «Смежные углы»

hello_html_m2a0b2b9b.pnghello_html_3accedb0.png

Рис. 31

  1. тема «Свойства равнобедренного треугольника»

hello_html_f98360c.pnghello_html_3accedb0.png

Рис. 32

  1. тема «Признаки равенства треугольников»

hello_html_6b36de57.pnghello_html_m2998c86a.png

Рис. 33

  1. тема «Параллельные прямые»

hello_html_580e2b16.png

Рис. 34

  1. тема «Аксиома параллельных прямых»

hello_html_m74939c44.png

Рис. 35

  1. тема «Сумма углов треугольника»

hello_html_m73d5106b.png

Рис. 36

  1. тема «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

hello_html_m42354fca.png

Рис. 37

Данный вид упражнений целесообразно использовать на этапе вторичного закрепления знаний, на повторительно-обобщающем уроке по теме.

Учитель выводит задание и чертеж на слайд, ученики записывают краткую запись в тетрадь.


  1. Словарная работа

Задание: Используя приведенные слова и словосочетания сформулируйте определение (признак, свойство).


  1. тема «Смежные углы»

«Продолжениями одна другой, у которых, называются смежными, являются, два угла, одна сторона общая, а две другие»


  1. тема «Вертикальные углы»

«Называются вертикальными, продолжением, два угла, сторон друг друга, являются, если стороны одного»


  1. тема «Признаки равенства треугольников»

Задание: Соотнесите чертежи признаков равенства треугольников с признаками.

1

hello_html_1ca5a83a.png






  1. Первый признак равенства треугольников

  2. Второй признак равенства треугольников

  3. Третий признак равенства треугольников


2

hello_html_1a91c2d4.png

3

Задание: Соотнесите названия с их определениями.

  1. тема «Свойства равнобедренного треугольника»

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Отрезок прямой, делящей угол пополам, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.



  1. биссектриса

  2. высота

  3. медиана



  1. тема «Параллельные прямые»

Задание: Используя приведенные слова и словосочетания, сформулируйте определение (признак, свойство).

«Параллельны, односторонних, при пересечении, углов, то прямые, равна 1800, двух прямых, если, секущей, сумма»


  1. тема: «Параллельные прямые»

Задание: Соотнесите признаки параллельности двух прямых с чертежами.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.


  1. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.


  1. тема «Сумма углов треугольника»

Задание: Используя приведенные слова и словосочетания, сформулируйте определение (признак, свойство).

«Треугольника, углом, с, называется, каким-нибудь, внешним, этого, угол, углом, смежный, треугольника»


  1. тема «Сумма углов треугольника»

Задание: Соотнесите указанные виды углов с треугольниками, им соответствующими.

Все углы острые




  1. Два угла острые



  1. Один тупой угол



  1. Один прямой угол

Данный вид работы целесообразно использовать на этапах актуализации знаний и рефлексии, на повторительно-обобщающем уроке.

Учитель выводит задание на слайд, ученики записывают ответы в словарь терминов.


  1. Ведение словаря доказательств

Задание: С помощью словаря терминов и доказательств заполните правую часть карточки.

  1. тема «Равные углы»

Что нужно доказать

Как доказать

Углы равны





Ожидаемый ответ:

Что нужно доказать

Как доказать

Углы равны

Совпадают при наложении

Градусные меры равны

Равны одному и тому же углу

Вертикальные


  1. тема «Равные треугольники»

Что нужно доказать

Как доказать

Треугольники равны





Ожидаемый ответ:

Что нужно доказать

Как доказать

Треугольники равны

Совпадают при наложении

По двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства)

По стороне и прилежащим к ней углам (второй признак равенства)

По трем сторонам (третий признак равенства)


  1. тема: «Параллельные прямые»

Что нужно доказать

Как доказать

Прямые параллельны






Ожидаемый ответ:

Что нужно доказать

Как доказать

Прямые параллельны

Накрест лежащие углы равны

Соответственные углы равны

Сумма односторонних углов равно 1800

Прямые параллельны третьей прямой

Прямые перпендикулярны третьей прямой


  1. тема: «Признаки равенства прямоугольных треугольников»

Что нужно доказать

Как доказать

Прямоугольные треугольники равны





Ожидаемый ответ:

Что нужно доказать

Как доказать

Прямоугольные треугольники равны

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого


Данный вид работы ведется по ходу изучения всего курса геометрии. Используется при доказательстве теорем, свойств, задач.

Целесообразно заполнять при изучении нового материала и использовать при решении задач.


  1. Заполнение пропусков в решении задачи на доказательство

Задание: Заполните пропуски в доказательстве.

  1. тема: «Параллельные прямые»


Дано: АВ=ВC

ВАС=САD

Доказать: ВС АD


Утверждение

Обоснование

АВС – равнобедренный



По свойству углов при основании в равнобедренном треугольнике

ВСА=САD


ВС АD



Ожидаемый ответ:

Утверждение

Обоснование

АВС – равнобедренный

По определению равнобедренного треугольника

ВАС=ВСА


По свойству углов при основании в равнобедренном треугольнике

ВСА=САD

Как равные одному и тому же углу

ВС АD

По признаку параллельности прямых


  1. тема: «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

Дано: АВС

ВО, СО - биссектрисы

ОЕ АВ

ОD АС

Доказать: РЕОD =ВС


Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1 = ∠3

_________

__________________________________
По определению биссектрисы

=> 2 = ∠3 => ВОЕ - _____________________________ => __=__

____________


5 = ∠4

Как накрест лежащие углы при параллельных прямых АС и ОD.

__________________________________

=> ∠__ = ∠__ => COD – равнобедренный => __=__

РЕОD=ОЕ+ЕD+OD


ВС=__+__+__

Длина отрезка равна сумме длин его частей

ВЕ=OE

CD=OD


=> РЕОD=ВС - ч.т.д.

Ожидаемый ответ:

Утверждение

Обоснование

1 = ∠3


1 = ∠2

Как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВА и ЕО

По определению биссектрисы

=> 2 = ∠3 => ВОЕравнобедренный => ВЕ=ЕО

4 = ∠6


4 = ∠5

Как накрест лежащие углы при параллельных прямых АС и ОD

По определению биссектрисы

=> ∠5 = ∠6 => COD – равнобедренный => ОD = DС

РЕОD=ОЕ+ЕD+OD

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон

ВС=ВЕ+ЕD+DС

Длина отрезка равна сумме длин его частей

ВЕ=OE, CD=OD

По определению равнобедренного треугольника

=> РЕОD=ВС - ч.т.д.

Данный вид упражнений следует использовать при закреплении материала как первичном, так и итоговом. Можно использовать непосредственно при решении задач по теме.

Задание выдается на карточках с пропусками, которые учащиеся будут заполнять на самих карточках.



    1. Результаты экспертной оценки работы



Используя ресурсы Интернет [17, 19], нами отобраны следующие критерии для оценки качества методических разработок и дипломной работы.

Критерии оценивания методических материалов.

  1. Актуальность (направленность на достижение современных целей обучения).

  2. Новизна (что нового дает для практики обучения).

  3. Инструментальность (насколько технологичны предлагаемые материалы).

  4. Понятность (доступность изложения).

  5. Результативность (направленность на повышение качества обучения).

  6. Научность (базируется на современных научных концепциях и подходах, нормативных документах).

Критерии оцениваются по трехбалльной шкале:

3б – соответствует критерию в полной мере.

2б – в целом соответствует.

1б – соответствие прослеживается слабо.

0б – не соответствует.

Данная работа оценивается по 6 критериям. Таким образом, эксперт может оценить нашу работу максимум на 18 баллов. Каждый эксперт заполняет таблицу (Таблица 6).

В результате оценки получены следующие данные, которые представлены в таблице.

Таблица 6

Лист эксперта

ФИО эксперта

Критерии Баллы

0

1

2

3

1

Актуальность (направленность на достижение современных целей обучения).





2

Новизна (что нового дает для практики обучения).





3

Инструментальность (насколько технологичны предлагаемые материалы).





4

Понятность (доступность изложения).





5

Результативность (направленность на повышение качества обучения).





6

Научность (базируется на современных научных концепциях и подходах, нормативных документах).






ИТОГО Количество баллов из 18:





Подпись эксперта


Всего в экспертной оценке приняли участие 8 учителей: 7 учителей математики и учитель русского языка.

  1. Ионина Зоя Геннадьевна – учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ СОШ №38 г. Кургана, заслуженный учитель РФ

  2. Котович Лариса Леонидовна – учитель математики МКОУ «Сычевская основная общеобразовательная школа имени заслуженного учителя РСФСР Притчиной Г.Г.»

  3. Аборина Наталья Михайловна – учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ СОШ №34 г. Кургана

  4. Васильева Наталья Витальевна – учитель математики первой квалификационной категории МБОУ СОШ №38 г. Кургана

  5. Алексеева Алёна Александровна – учитель математики МБОУ СОШ №38 г. Кургана

  6. Полянская Елена Андреевна – учитель математики МБОУ СОШ №38 г. Кургана

  7. Галкина Алёна Сергеевна – учитель математики МБОУ СОШ №38 г. Кургана

  8. Амелина Вероника Евгеньевна – учитель русского языка и литературы первой квалификационной категории МБОУ СОШ №38 г. Кургана



Общие результаты приведены в сводной таблице (Таблица 7).

Таблица 7

Сводная таблица результатов экспертной оценки

Эксперты Критерии

1

2

3

4

5

6

7

8

Средний балл

1

Актуальность (направленность на достижение современных целей обучения).

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

Новизна (что нового дает для практики обучения).

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Инструментальность (насколько технологичны предлагаемые материалы).

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

Понятность (доступность изложения).

3

3

3

3

3

3

3

3

3

5

Результативность (направленность на повышение качества обучения).

3

3

3

3

3

3

3

3

3

6

Научность (базируется на современных научных концепциях и подходах, нормативных документах).

3

3

3

3

3

3

3

3

3

ИТОГО

3

Таким образом, в целом все эксперты оценили высоко разработанную нами подборку заданий для формирования и развития математической речи учащихся при обучении геометрии в 7 классе.

В выводах к экспертным листам учителя отметили метапредметность составленных заданий, а учитель русского языка написала интересное замечание, что выполнение данных заданий может способствовать умению грамотно строить доказательно-аргументационную часть сочинения ЕГЭ по русскому языку.

Заключение

В ходе выполнения дипломной работы мы изучили и проанализировали теоретические источники по проблеме исследования. Всего изучено 30 источников.

В процессе изучения выявили требования ФГОС к развитию математической речи учеников, понятие математической речи, структуру и критерии сформированности, пути и средства формирования, а также обобщенные виды заданий, направленные на формирование математической речи. Известные из источников виды задания мы дополнили 9 видами, а именно в список мы предложили следующие задания: перевод с одного вида математического языка на другой, написание сказок о геометрических знаках, описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению, озвучивание опорного сигнала, решение и составление задач по готовым чертежам, заполнение пропусков в решении задач на доказательство, получение следствий, ведение словаря доказательств.

Проанализировав содержание курса геометрии 7 класса, мы определили, что на этом этапе наиболее целесообразны следующие задания: математический диктант, ведение словаря доказательств, метод комментирования, словарная работа, диалоговые формы взаимодействия, защита проектов, поток вопросов, перевод с одного вида математического языка на другой, написание сказок о геометрических знаках, описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению, озвучивание опорного сигнала, решение и составление задач по готовым чертежам, заполнение пропусков в решении задач на доказательство, получение следствий.

Исследовали систему упражнений учебника и дидактических материалов курса геометрии 7 класса. Выявили наличие двух выделенных видов заданий на развитие математической речи – диалоговые формы взаимодействия и решение задач по готовому чертежу. Остальные 13 видов выделенных заданий отсутствуют.

Нами была разработана подборка заданий для целенаправленной работы учителя по формированию и развитию математической речи: 55 заданий на развитие устной и 36 заданий на развитие письменной математической речи по всему курсу геометрии 7 класса. Сформулировали методические рекомендации учителю для использования этих упражнений в учебном процессе.

Разработанные материалы были подвергнуты экспертной оценке. Все эксперты высоко оценили представленные материалы. Кроме того, результаты работы доложены на научной конференции студентов, были удостоены 1 места, а тезисы выступления представлены к публикации. Также для сборника научной конференции Курганского государственного университета подготовлена статья.

Дальнейшая работа над проблемой заключается в составлении подборки заданий по курсу геометрии 8 и 9 классов.



Список использованных источников

  1. Аминова, М. К. Развитие устной и письменной математической речи учащихся 4-5 классов при изучении геометрического материала: дис. ... канд. пед. наук / Аминова М. К.. – Ашхабад, 1982, - 176 c.

  2. Болотов, В. А. Математика – наш второй язык, который нельзя не учить! (интервью) / В. А. Болотов // Математика в школе. – 2012. - №8. – С. 3-7.

  3. Геометрия. 7—9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 384 с.: ил.

  4. Гибш, И. А. Развитие речи в процессе изучения школьного курса математики / И. А. Гибш// Математика в школе. – 1995. - №6. – С. 27-33.

  5. Глоссарий ФГОС [Электронный ресурс] http://standart/edu.ru/cataiog.aspx?Cataloglg=313

  6. Гнеденко, Б. В. Развитие мышления и речи при изучении математики / Б. В. Гнеденко // Математика в школе. – 1991. - №4. – С. 3-9.

  7. Горчаков, А. С. Критерии и качества математической речи школьников / А.С. Горчаков // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Выпуск 14: Периодический межвузовский сборник научно-методических работ. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2012. – С. 376-384.

  8. Горчаков, А. С. Критерии развития математической речи школьников / А.С. Горчаков // Педагогические технологии математического творчества: сборник статей-участников международной научно-практической конференции. - Арзамас: АГПИ, 2011 – С. 74-79.

  9. Горчаков, А.С. Развитие математической речи школьников в контексте деятельностного подхода: диссертация ... кандидата педагогических наук: 13.00.02 / Горчаков Александр Сергеевич; [Место защиты: Мордовсий государственный педагогический институт им. М.Е. Евсевьева] - Саранск, 2014.- 228 с.

  10. Далингер, В.А. Развитие математической речи учащихся при обучении математике [Электронный ресурс]// Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 6. – С. 83-85; Режим доступа: https://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=34682

  11. Далингер, В.А. Формирование математического языка у учащихся и раскрытие его гуманитарного потенциала // Гуманитарные традиции математического образования в России: сборник статей участников Всероссийской научной конференции с международным участием, Арзамас, 11-12 декабря 2012 г / Под общ. ред. М.И. Зайкина. – Арзамас: Изд-во АГПИ, 2012. – С. 87-93.

  12. Дмитриченко, Д. В. Виды работ, направленные на формирование математической речи/ Д.В.Дмитриченко // Современные проблемы науки и образования, 2015 – 201. – № 2.

  13. Иванова, Т. А. Современный урок математики: теория, технология, практика: Книга для учителя / Т. А. Иванова. – Н. Новгород, 2010. – 288 с.

  14. Иванова, Т. А., Горчаков, А. С. Дидактические условия развития математической речи школьников / Т. А. Иванова, А. С. Горчаков // Ярославский педагогический вестник – 2010 - №4 – Том II (Психолого-педагогические науки). – С. 55 – 59.

  15. Иванова, Т.А., Горчаков А.С. Развитие математической речи школьников в процессе изучения определения понятий, теорем, правил [Электронный ресурс]// Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 6.;
    URL: https://www.science-education.ru/ru/article/view?id=10814

  16. Колягин, Ю. М. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1975. – 462 с.

  17. Критерии оценки дипломной работы, письменной экзаменационной работы [Электронный ресурс]: критерии оценки, методические указания. - 2016. URL: http://diplomka.net/publ/2-1-0-2

  18. Мордкович, А. Г. О некоторых проблемах школьного математического образования / А. Г. Мордкович //Математика в школе. - №10. - 2012, С. 35-43.

  19. Оценка дипломной работы [Электронный ресурс]: дипл.работа, критерии оценки. URL: http://www.пишем-диплом-сами.рф/kriterii-otcenki-diplomnoi-raboty

  20. Подласый, И. П. Педагогика: учебник / И. П. Подласый. – 2-е изд., доп. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. – 574 с.

  21. Репьёв, В. В. Общая методика преподавания математики / В. В. Репьёв. – М.: Учпедгиз, - 1958. – 223 с.

  22. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе. М., 2002. – 224 с.

  23. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г. И. Саранцев. - М.: Просвещение, 1995. - 240с.

  24. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике: методология и теория: учеб.пособие для студентов бакалавриата высших учебных заведений по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математика»)/ Г. И. Саранцев. – Казань: Центр инновационных технологий, 2012. – 292 с.

  25. Серегин, Г.М. Диагностика и прогнозирование необходимого уровня понимания учащимися математического материала: монография. – Новосибирск: Изд-во НГПУ, 2008. – 220 с.

  26. Столяр, А.А. Логические проблемы преподавания математики. – Минск: Высшая школа, 1965. – 254 с.

  27. Тестов, В. А. Обновление содержания обучения математике: исторические и методологические аспекты: монография / В. А. Тестов; Министерство образования и науки РФ, Волог. гос. пед. ун-т. – Вологда: ВГПУ, 2012. – 176 с.

  28. Хинчин, А. Я. Педагогические статьи. Изд. АПИ РСФСР / А. Я. Хинчин. – М., 1963. – 204 с.

  29. Черкасов, Р. С., Столяр, А. А. Методика преподавания математики в средней школе / Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М.: Просвещение, - 1985. – 336 с.

  30. Шармин, Д. В. Формирование культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа: дис. ... канд. пед. наук / Д. В. Шармин. - Омск, 2005. - 209 с.



ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1


Примеры выполнения заданий на развитие устной математической речи (параграф 2.2)


  1. Метод комментирования

2) Обозначим цифрой 4 угол, вертикальный с углом 3. Эти углы равны. Угол 4 образует развернутый угол с углами 1 и 2. Значит, сумма этих углов равна 1800.

3) Рассмотрим треугольники СТО и ОВР, докажем, что они равны, тогда будут равны соответствующие элементы треугольников, следовательно, ОР=ОТ, P=T. По чертежу дано, что СО=ОВ, углы С и В – прямые, соответственно, они равны. Углы СТО и ВОР равны как вертикальные, следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим к ней углам) треугольники СТО и ОВР равны, соответственно ОР=ОТ, P=T.

4) Обозначим основание треугольника за х. Тогда боковая сторона равна 2х. Периметр – это сумма всех сторон. Составим уравнение: х+2х+2х=50. Получаем 5х=50, откуда х=10. То есть, основание равно 10 см, а боковые стороны по 2·10=20 см.

5) 7 =4=1430 как соответственные при пересечении параллельных прямых третьей. 1 и 4 – смежные, 1=1800-4=1800-1430=370

6) Накрест лежащие углы равны, соответственно, каждый угол равен 2100:2=1050

7) Обозначим за х часть угла. Соответственно А=2х, В=3х, С=4х. сумма углов треугольника равна 1800. Составим уравнение: 2х+3х+4х=180, х=20. Получаем: А=400, В=600, С=800


  1. Поток вопросов

2) - два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой

- пары вертикальных и смежных углов

- углы образуют развернутый угол

- из 1800 вычесть сумму углов 1 и 2

3) - нужно доказать равенство самих треугольников

- наложив их друг на друга или с помощью признаков равенства треугольников

- второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

- добавить равенство сторон СТ и ВР, тогда бы доказывали по двум сторонам и углу между ними – прямому углу

4) - треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны

- биссектриса, медиана и высота

- данную задачу можно решить, составив уравнение

- умножив длину основания на 2

5) - которые не пересекаются

- параллельные отрезки

- прямые параллельны

- накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, сумма односторонних углов равна 1800

- 4 и 5 – накрест лежащие, 3 и 6 – соответственные, 4 и 8 – внутренние односторонние

- да, 2=5 как соответственные, 6=1800-5 как смежные

6) - утверждение, не требующее доказательства

- через 2 точки можно провести единственную прямую

- через точку, не лежащую на прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну

- что эта прямая пересечет и вторую параллельную прямую

- они параллельны между собой

7) - сумма оставшихся двух внутренних углов равна внешнему углу

- тупым, т.к. в треугольнике может быть только один тупой угол, а углы при основании равнобедренного треугольника равны

- если это угол при основании, то второй угол также равен 300, а третий угол 1800-2300=1200; если это угол, лежащий против основания, то остальные 2 угла равны (1800-300):2=750

8) - он лежит против большей стороны

- против большего угла

- гипотенуза меньше суммы катетов, т.к. любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

- да, т.к. любая его сторона меньше суммы двух других сторон

- если 7 см – боковая сторона, то и другая сторона тоже 7см; если основание 7 см, то боковые стороны по 3 см.


  1. Описание фигуры или геометрической ситуации по ее изображению

  1. Изображен отрезок AD. Точки В и С принадлежат отрезку AD и делят его на три отрезка: АВ, ВС и СD, из которых АВ=СD.

  2. Прямые АС и BD пересекаются в точке О. При этом образуются смежные углы: DОА и АОВ, ВОС и DОС; и вертикальные углы: DОА и ВОС, АОВ и DОС.

  3. В треугольнике АВС отрезок АD является высотой, биссектрисой и медианой, следовательно, треугольник АВС – равнобедренный.

  4. В треугольниках АВС и А1В1С1 стороны АС=А1С1, СВ=С1В1, АВ=А1В1, следовательно, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

  5. Прямые a и b пересечены третьей прямой с. Эти прямые параллельны, с – секущая. Углы 2 и 3 равны как накрест лежащие, 4 и 1 односторонние, их сумма 1800, 1 и 2 – равны как соответственные.

  6. Прямая с пересекает одну из параллельных прямых a в точке М. значит, она пересечет и вторую параллельную прямую b в некоторой точке.

  7. Равнобедренный треугольник DBC, ВА – медиана, значит, и биссектриса, и высота.

  8. Градусная мера угла 4 равна сумме градусных мер углов 1 и 2 (как внешний угол при вершине треугольника).


  1. Озвучивание опорного сигнала

  1. К основным геометрическим фигурам относятся: точка, прямая, отрезок, луч и угол.

Отрезок АВ равен сумме отрезков AN и NB.

Угол MLK равен сумме углов MLS и SLK.

Отрезок AN равен отрезку NB.

N – середина отрезка АВ.

R – начало луча.

LS – луч, исходящий и вершины L угла MLK и делящий его на два угла MLS и SLK.

  1. Существует три признака равенства треугольников.

Первый признак – по двум сторонам и углу между ними: если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак – по стороне и двум углам: если сторона и прилежащие к ней два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак – по трем сторонам: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  1. Существует три признака параллельности прямых

Первый признак – накрест лежащие углы равны.

Второй признак – соответственные углы равны.

Третий признак – сумма односторонних углов равна 1800.

  1. Следствия из аксиомы параллельных прямых:

  1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую: a || b, ca, cb

  2. Если 2 прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой: a || b, c || a, c || b

  1. Виды треугольников:

Остроугольный: сумма углов равна 1800.

Тупоугольный: большей стороной является АС (лежит против большего угла).

Прямоугольный: катет, лежащий против угла 300, равен половине гипотенузы; признаки равенства: 1) если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, 2) если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, 3) если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, 4) если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого.


  1. Составление задач по готовым чертежам

  1. Углы АОС и СОВ – смежные. Луч ОD является биссектрисой угла СОВ, а угол АОС равен 380. Найти угол СОD.

  2. В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса ВН, равная 4 см. Основание АС равно 6 см. найти периметр треугольника ВНС.

  3. В равнобедренном треугольнике АВС внешний угол при вершине С равен 1300. Найти угол, вертикальный углу А.

  4. В равнобедренном треугольнике АВС угол С при основании равен 700. Проведена средняя линия DЕ, равная половине боковой стороны треугольника. Угол ЕАС равен 350. Найдите угол ADE.

  5. Найдите все углы, градусные меры которых не даны на чертеже.

  6. Дан равнобедренный треугольник ADC с основанием DC. Угол D равен 380. Найдите остальные углы треугольника.

  7. В прямоугольном треугольнике АВС известна гипотенуза ВС – 8 см и угол В – 300. Найти катет АС и угол С.


  1. Написание сказок о геометрических знаках (фигурах)

  1. На отрезке точка скачет,

Отмеряет половину.

Как на место она встанет –

Назовется серединой.

  1. Математическая сказка «Как Биссектриса и Высота с Медианой поссорились»

Жили три подруги Высота, Биссектриса и Медиана. Жили они дружно, но вдруг поссорились, так из-за пустяка.

Высота говорит Медиане: «Смотри, какая я гордая. Всё под прямым углом хожу. Не то, что ты».

Биссектриса говорит: «А я делю углы пополам. А кроме того, я еще и стороны делю, но не так, как ты пополам, а на отрезки, пропорциональные сторонам треугольника».

А потом еще и вместе добавили: «А ты только умеешь делить противоположную сторону пополам. Не будем мы с тобой дружить, потому что ты не Биссектриса и не Высота».

Приуныла Медиана, оставшись одна, без подруг.
Но тут мимо проходил Треугольник равнобедренный . Узнав, почему она расстроена, сказал: «Я сейчас мигом помогу твоему горю. Ну-ка, Медиана, стань Медианой к основанию. А вы, Угольник и Транспортир, меряйте углы!»
Угольник и Транспортир занялись делом . Вдруг послышалось: «Да это же не Медиана, а Высота. И это не Медиана, а Биссектриса».

«Вот так, сказал треугольник, в равнобедренном треугольнике Медиана, проведенная к основанию, является Биссектрисой и Высотой».

Теперь Медиана ожила. Неподалеку проходил равносторонний Треугольник. Он добавил: «А у меня Медиана, проведенная к каждой стороне, является Биссектрисой и Высотой».

Узнав об этом, Высота и Биссектриса попросили извинения у Медианы. Она, конечно, их простила, и они снова начали дружить.

  1. Математическая сказка «Семья параллельных прямых»

Жили-были прямые a и b. Решили они стать параллельными – пожениться. Закатили свадьбу на весь математический мир и стали жить в любви и радости.

«Но какая же семья без детей?» подумали прямые и решили срочно исправить ситуацию.

И вот через некоторое время у них появились на свет первые их детки-близнецы – накрест лежащие углы. Прямые любили их одинаково, поэтому эти углы были равны.

Когда накрест лежащие уголки подросли, прямые еще задумались о детках. Так на свет появились еще одни близнецы – соответственные углы. Их родители также любили одинаково, и эти уголки также стали равными.

«Мне кажется, что нашим детям скучно живется одним, нужно им еще братьев и сестричек добавить», сказала как-то прямая a прямой b. И вот уже на свет появились новые уголки – односторонние. Но они уже были просто двойняшками, поэтому родители наградили их особым свойством – в сумме они, как одно целое, дают 1800.

Вот так в любви, счастье и радости стала жить семья параллельных прямых a и b со своими детками-уголками.

  1. Посмотрите – этот кот в треугольнике живёт. 
    Кот учёный, он расскажет,
     что он видит, и покажет: 
    «Катет – это сторона
     вроде карапуза, 
    Та, которая длинна,
     та – гипотенуза. 
    Между катетами – угол,
     он прямой, чтоб я мяукал: 
    «Мяу! Мяу! Угол прям. Никому его не дам:
     
    Хорошо в углу сидеть
     и на катеты глядеть. 
    А гипотенуза
     мне, коту, – обуза: 
    Смотрит прямо мне в глаза
     и бодает, как коза».


Приложение 2


Примеры выполнения заданий на развитие письменной математической речи (параграф 2.3)


  1. Составление задач по готовым чертежам

  1. Дано: АВ – отрезок

С ϵ АВ, D ϵ АВ

СD=DВ

AC=14 см, DВ=3 см

Найти: АВ

  1. Дано: АОВ=1800

СОD=DОВ=780

Найти: АОC

  1. Дано: ΔАВС – равнобедренный

ВК – высота

АК=4 см, АВ=10 см

Найти: Р ΔАВС

  1. Дано: ΔТСО, ΔВОР – прямоуг, О ϵ ТР

С=∠В=900

СО=ОВ

Доказать: ΔТСО = ΔВОР

  1. Дано: ABCD – трапеция, АВ=ВС

АС – биссектриса, D=870

Найти: ВСА

  1. Дано: a || b, c, d – секущие

3=650, 5=1210

Найти: 1

  1. Дано: ΔАВС, АМ, ВМ – биссектрисы

ВАМ=290, АВМ=480

Найти: С

  1. Дано: ΔАВС – равнобедренный, Р=74 см

АС – основание, АС=16 см

1=2 – внешние при А и С

Найти: АВ, ВС


  1. Словарная работа

  1. Два угла, у которых ода сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

  2. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

  3. 1 в, 2 а, 3 б

  4. 1 б, 2 а, 3 в

  5. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны.

  6. 1 в, 2 а, 3 б

  7. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

  8. 1 б, 2 а, б, в, 3 а, 4в




Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики и информатики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

В дипломной работе представлен анализ педагогической литературы по формированию и развитию математической речи учащихся, дано определение, структура и виды, а также разработаны задания для развития устной и письменной математической речи учащихся при изучении геометрии в 7 классе. Приведен полный список используемых источников.

Проверен экспертом
Общая информация
К учебнику: «Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Номер материала: ДБ-639869

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Основы местного самоуправления и муниципальной службы»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС педагогических направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Разработка эффективной стратегии развития современного ВУЗа»
Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Организация процесса страхования (перестрахования)»
Курс повышения квалификации «Информационная этика и право»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.