Трапеция. Ключевые задачи.(математика подготовка к ОГЭ)

Муниципальное  общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №2

муниципального района город Нея и Нейский район

 Костромской области

Методическая разработка образовательного модуля         по теме

 «Трапеция.           Ключевые задачи».

Подготовили  учителя математики

г Неи

Ковнерёва Ольга Анатольевна

НЕЯ

2016

№	Оглавление	Стр.
1.	Аннотация	3
2.	Пояснительная записка.	3
3.	Рекомендуемый план работы на уроках	6
4.	Список определений, используемых при решении задач                                      Список теорем и аксиом, используемых при решении задач	6
5.	Свойства трапеции	7
6.	Свойства и признаки равнобедренной трапеции	8
7.	Ключевые задачи	9
8.	Устные задачи	11
9.	Подборка задач для устной  работы  по теме «Трапеция»	12
10.	Задачи	14
11.	Самостоятельная работа.	19
12.	Домашняя работа по теме «Трапеция».	23
13.	Итоговая  контрольная работа.	24
14.	Литература.	27

Аннотация.

 Данный курс предназначен для учащихся 9-11  классов. 

Цель данного курса и его программы не дублирование содержания уроков математики, а подготовка учащихся к  успешной сдаче основного государственного экзамена  по математике через актуализацию знаний по основным темам курса.

 Программа содержит сведения о формах контроля. Её реализация поможет развивать и совершенствовать метапредметные  умения и навыки.

Пояснительная записка.

     В последние годы меняется содержание выпускных экзаменов за курс основной школы по математике. Связано это в первую очередь с тем, что наряду с традиционными заданиями по алгебре включены и задания по планиметрии. Геометрия – сложный предмет для многих учащихся, поэтому очень важно организовать эффективное повторение курса, причём за довольно короткий промежуток времени. Лучше всего организовать такое повторение через образовательные модули. Предлагаю образовательный модуль «Трапеция».

Теоретическая часть школьного курса геометрии содержит, в основном такие теоремы, которые направлены на развитие теории. Но геометрия, которая преподается в школе, это не только аксиомы и теоремы. Задача может служить не только целью, но средством обучения. Особое внимание уделяется решением задач по геометрии с помощью опорных, или, как их еще называют, ключевых или базисных. В древности обучение решению задач по стереометрии было именно таким. А оно основывается не только на добротной теоретической базе, знании формул, необходимых для вычислений, но и на владении арсеналом фактов, приемов и методов. Поэтому полезно выделять какое-то количество, так называемых, опорных задач, которые фиксируют факт, достаточно часто встречающийся при решении задач по геометрии, или же иллюстрируют метод решения задач по геометрии. К опорным задачам относятся также задачи, результатом решения которых является формула, не входящая в теоретический курс, но применяемая при решении задач по геометрии определенного типа.

Опорные задачи в математике и, в частности, в геометрии можно условно разделить на два типа: задача-факт и задача-метод. В качестве примера задачи-факта можно привести задачу следующего содержания. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, исходящими из той же вершины. Задачу, в результате решения которой можно получить формулу нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, зная его стороны, тоже можно отнести к опорным задачам.

Задача-метод иллюстрирует часто встречающийся метод решения задач в математике. Примером такой опорной задачи может быть решение задачи методом дополнительного построения. Удачное построение дополнительных элементов, которое упростит решение задачи, можно назвать «гроссмейстерским ходом». Такой способ решения задачи – показатель высокой математической культуры. Задача нахождения медианы треугольника по его сторонам – классический пример решения задач на построение. К тому же,- это задача, результатом которой есть формула; ею можно пользоваться, не проделывая в каждом, конкретном случае все действия и процедуры, которые были выполнены в общем виде. Решение опорных задач, особенно задач-методов, развивает логическое мышление, творческую направленность учеников, а самое главное, интуитивное понимание направления движения мысли. Интуиция вырастает из тандема правильно подобранных учителем задач, знания учеником теоретического материала и, естественно, любви к математике.

Анализ различной методической, математической и педагогической литературы показал, что единого определения «ключевой (опорной или базисной) задачи» нет. Также как нет и точного сравнения опорной, ключевой и базисной задачи, но рассматривая различные высказывания, мы делаем вывод, что эти слова являются синонимами.

Поговорим о некоторых приемах активизации познавательной деятельности учащихся на уроках математики с целью повышения эффективности и реального результата урока.

Постоянный рост содержания учебного материала по всем школьным предметам, а также появление новых предметов, необходимость переработать, усвоить, запомнить огромное количество сведений, фактов, дат, формул, научиться действенно,  применять - всё это приводит к ухудшению здоровья учащихся, переутомлению, стрессам, снижению работоспособности. Возникает перегрузка, в результате чего эффективность обучения остаётся низкой.

Однако, без хорошей базы знаний, заложенной на уроках, невозможно говорить о практической применимости полученных знаний, а тем более о развитии творческих способностей.

Как снизить перегрузки учащихся? Как наиболее эффективно организовать учебный процесс? Как добиться активной работы каждого, даже самого слабого ученика на уроке? Ведь если учащийся не запомнил, не выучил необходимую информацию, то он фактически будет исключён из процесса дальнейшего обучения. В лучшем случае он лишь механически перепишет готовые решения с доски. Ни о каком понимании не может быть и речи.

Использование системы ключевых задач позволяет с одной стороны, включить в работу каждого ученика, а с другой развивает системное, логическое мышление учащихся. Для мотивированных детей появляется возможность проанализировать и оценить материал в полном объёме, сравнить разные методы решения, определить границы применимости для дальнейшего использования полученных знаний при решении более сложных задач

Основные элементы метода использования ключевых задач можно сформулировать следующим образом:

По каждой основной теме курса можно выделить несколько ключевых задач, таким образом, что почти все остальные задачи нетрудно свести к одной из них или к комбинации нескольких.

Все задачи разбираются и записываются на уроке в виде конспекта или в виде опорных схем.

На первом этапе, когда дети только знакомятся с понятием “ключевая задача”, учитель сам выделяет систему ключевых задач по разбираемой теме. При этом в зависимости от подготовленности учащихся, все задачи могут быть разобраны и записаны на одном уроке, а могут записываться постепенно на нескольких уроках.

Система задач, предложенная учителем, может дополняться самими учащимися.

Наборы ключевых задач записываются детьми в отдельную тетрадь, которая будет являться своеобразным справочником по методам решения. К такому справочнику удобно обращаться при подготовке к контрольным работам, зачётам, а также при повторении.

Работа по отбору ключевых задач ведется непрерывно, система дополняется новыми задачами, выделенными при решении более сложных задач. При составлении схем желательно использовать различные цвета. Учащимся разрешается на уроке при выполнении заданий пользоваться схемами и таблицами до тех пор, пока необходимость их использования не отпадёт. При этом хорошо реализуется принцип дифференцированного подхода в обучении, так как у слабых учащихся всегда под руками имеется “руководство к действию” в виде схем и алгоритмов, отражённых в опорном конспекте. А сильные ученики, проанализировав и обобщив весь материал конспекта в целом, получают возможность оценить весь “арсенал” различных методов решения. Что позволяет им перейти к самостоятельному решению комбинированных и творческих задач.

После разбора всех ключевых задач, необходимо организовать деятельность учащихся так, чтобы они научились распознавать и решать как непосредственно сами ключевые задачи, так и задачи комбинированные, при решении которых используется уже несколько таких задач. Т.е. обязателен тренинг по распознаванию, применению, а, следовательно, и заучиванию системы “ключей”.

Для организации тренинга учитель заранее готовит набор упражнений. Количество тренировочных работ (обучающего, а не контролирующего плана) зависит от подготовки класса в целом и каждого учащегося в отдельности.

Целесообразно завершить использование полученных знаний зачётом или контрольной работой.

Итак, выделение системы ключевых задач, тренинг по распознаванию и применению, применение в незнакомых ситуациях, зачёт.

Всё выше перечисленное не является догмой. Процесс обучения должен быть личностно ориентированным. Так, например сильным учащимся не нужны задания по распознаванию и репродуктивному воспроизведению материала. Они могут, пользуюсь дополнительной литературой, выяснить, является ли предложенная система ключевых задач полной или необходимо её дополнить, могут привести примеры сложных комбинированных задач, иллюстрирующие применение данной системы.

Рассмотрим конкретные примеры.

При итоговом повторении курса планиметрии в 9-ом классе рассматривается тема

ТРАПЕЦИЯ

Цели:

1.      Образовательные:

1.      Обобщение знаний учащихся по теме «трапеция».

2.      Формирование умения применять знания по теме «трапеция» при решении простейших задач (I уровня).

3.      Формирование умения применять ключевые задачи при решении комбинированных задач.

2.      Развивающие: 

1.      Развитие наблюдательности, умений сравнивать, обобщать, классифицировать объекты по какому-либо признаку.

2.      Развитие речи (расширение математического словаря).

3.      Соотнесение вербального значения с математическими символами.

4.      Развитие вычислительных  навыков, логического мышления, сообразительности, навыки работы в группах, парах.

3.      Воспитательные: 

1.      Воспитание навыков контроля и самоконтроля при работе в парах.

2.      Воспитание правильной самооценки.

3.      Воспитание чувства товарищества, ответственности.

Рекомендуемый план

1.      Трапеция, ее признаки и свойства.

2.      Виды трапеций.

3.      Основные теоремы.

4.      Ключевые задачи на трапецию.

5.      Устные задачи.

6.      Задачи.

7.      Самостоятельная работа.

8.      Домашняя работа по теме «Трапеция».

9.      Итоговая  контрольная работа.

ТРАПЕЦИЯ

Трапеция, ее признаки и свойства.

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие —боковыми сторонами.

Высота трапеции — расстояние между прямыми, на которых лежат основания трапеции, любой общий перпендикуляр этих прямых.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. 

Параллельные стороны не могут быть равными, т.к. в противном случае мы имели бы параллелограмм. Поэтому одну из них мы назовем большим, вторую - малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой перпендикуляр, проведенный  из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной.

Основные теоремы

Теорема. Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, прилежащие к боковым сторонам, равновелики (фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD). 

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту, т.е.   S = ·h.

Следствие. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:                     S= m h, где m–средняя линия трапеции, h – высота.

Свойства трапеции

1.      Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

2.      Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и                  равна их полусумме.

3.      Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны.

4.      Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон: , а средняя линия — полусумме боковых сторон: .

Виды трапеций. АВСD  прямоугольная, равнобедренная.

Равнобедренная (равнобокая, равнобочная)  трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны АD=BC. Тогда равны диагонали  и углы при основании .

В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания, до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание равно средней линии.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции. 

1.      Свойство.

Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Признак.

Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы трапеция является равнобедренной.

2.      Свойство.

Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Признак.

Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной

3.      Свойство.

Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований.

4.      Свойство.

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание,  равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.

Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как окружность можно описать около четырехугольника, тогда и только тогда, если сумма противоположных углов равна 180⁰

Прямоугольная трапеция -трапеция, у которой один из углов при основании равен90⁰.

Ключевые задачи.

1.	AD//BC;  AD и BC – основания; E- середина AB; F-середина CD EF= l - средняя линия BH- высота	EF= l = ( AD+BC) S=(AD+BC)BH S= l BH
2.	В равнобокой трапеции: §  углы при основании равны          (1=2) §  диагонали равны (d1=d2) §  ∆AOD – равнобедренный §  если BL  AD, CM  AD, то ∆ABL = ∆DCM, AL = MD = §  если BL AD, CM  AD, то  AM = LD = l ( l – средняя линия)	AM= l   d1= d2
3.	Если окружность вписана в трапецию, то: §  суммы противоположных  сторон трапеции равны         AB + CD = AD + BC §  центр окружности – точка пересечения биссектрис, проведенных из углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции                   (AO; BO – биссектрисы) §  BOA = 90° §  Высота трапеции равна удвоенному радиусу вписанной окружности  h=2r	B   0   h   r   r   A   C   D
4	Если в равнобокую трапецию вписана окружность, то AD+BC=AB+CD;  ее боковая сторона равна средней линии трапеции. AB = CD =	A   B   D   C                                                                         l=AB
5	§  Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность. §  Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая. §  Радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABD, (или около треугольника, вершинами которого являются любые три вершины трапеции) R=abc/4S
6	В трапеции ABCD  AOD подобен СOВ, k=a/b (коэффициент подобия равен отношению оснований трапеции) S1 = S2 (SABO = SDOC)

Устные задачи.

Задача 1. Найти радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию с основаниями  8 см и 2 см.

Вместе с учащимися после обсуждения и записи условия выделяются следующие ключевые задачи, которые используются при решении.

Ключевая задача:

1)      Если в равнобокую трапецию вписана окружность, то ее боковая сторона равна средней линии трапеции.

2)      AL = (AD – BC)/2

3)      Если окружность вписана в трапецию, то   h_тр = 2r

Решение:

1)AB = CD = l

l= (AD + BC)/2 = (8 + 2)/2 = 5 (см)

AB = CD = 5 см

2) Проведем BL AD

ABL – прямоугольный.

AL = (8 - 2)/2 = 3

По теореме Пифагора AB² = AL² + BL²

BL = = 4 (см)

3) h = BL =4 см

 h = 2r

r  = 2 см

Задача 2. В трапецию, периметр которой 10 см, вписана окружность.                              Найти длину боковой стороны окружности.

Дано:

ABCD – трапеция, окружность вписана P_ABCD = 10 см.

Найти : AB

Ключевая задача:

если окружность вписана в трапецию, то суммы противоположных сторон трапеции равны, т. е. AD + BC = AB + CD

Но т. к. трапеция равнобокая, то AB = CD и AD + BC = 2AB

Решение:

P трапеции: P = AD + BC + AB + CD = 2AB + 2AB = 4AB,

4AB = 10,

 AB = 2,5 см.

Задача 3. В равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, высота                             равна 7 см. Найти среднюю линию трапеции.

При решении данной задачи учащимися выделяются ключевые задачи.

Решение:

AOD – равнобедренный, AOD = 90° (по усл.). Следовательно, 1 = 2 = 45°.

Проведем BL AD, BLD – прямоугольный, 2 = 45°, значит 3 = 45°,

 т.е. BLD - равнобедренный, BL = LD, h = l = 7 см.

                                                                              L

№	Текст задачи	Чертёж
1	Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобокой трапеции, делит его на части, имеющие длины 4 и 10. Найдите величину средней линии.
2	Боковые стороны трапеции, описанной около окружности,  равны 3 и 5. Найдите среднюю линию.	C
3	Найдите среднюю линию равнобокой трапеции, если её высота 6, а диагональ 10.
4	Основания равнобокой трапеции равны     15 и 9, один из углов 45۫. Найдите высоту трапеции.
4	Найдите площадь равнобокой трапеции, диагональ которой 3и составляет с основанием угол 45۫.
5	Основания равнобокой трапеции 7 и 13,     а её боковая сторона равна 5. Найдите площадь трапеции.

Задачи.

Задача №1

Диагонали BD и AC трапеции ABCD пересекаются в точке O. Длина диагонали           BD равна 40 см. Найдите величину отрезка ОD, если основания трапеции BC и AD относятся как 3 к 7.
Решение.

В трапеции ABCD AOD подобен СOВ,  k=a/b
по двум углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением двух параллельных прямых и секущей.

Поскольку треугольники подобны, то все линейные элементы относятся между собой, как 3 к 7. Таким образом:

BO / OD = 3 / 7

По условию задачи, BO + OD = 40, соответственно

OD = 40 - BO

Таким образом,

BO / ( 40 - BO ) = 3 / 7
7BO = 3 ( 40 - BO )
7BO = 120 - 3BO
10BO = 120
BO = 12см

Соответственно, OD = 40 - 12 = 28(см)
Ответ: 28 см 

Задача №2

Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя линия 10 см.                         Найдите основания трапеции.

Решение.
Обозначим большее основание АD=a, а меньшее BC= b.

Учтем при этом следующее:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме

Значит: a - b = 4
(a + b) / 2 = 10

Откуда a = b + 4, тогда

(b + 4 + b) / 2 = 10
2b + 4 = 20
b = 8
Следовательно a = b + 4 = 12
Ответ: Основания трапеции равны 8 и 12 см

Задача №3

Четырёхугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и разбит на четыре одинаковые фигуры. В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к меньшему. 
Решение.

Пусть x — длина меньшего отрезка. В верхней стороне четырёхугольника, имеющей длину 1, укладывается 3 маленьких отрезка и один большой. Значит, длина большого отрезка равна 1 - 3x. В нижней стороне четырёхугольника, имеющей длину 2, укладывается 3 больших отрезка и один маленький. Получаем уравнение:

3^. (1 - 3x) + x = 2.

Отсюда 3 - 9x + x = 2.

Следовательно, х = 1/8

Итак, длина меньшего отрезка равна 1/8.                                                                          Поэтому длина большего равна 1 - 3 . 1/8 = 1 - 3/8 = 5/8.                                                                   Значит, больший отрезок в пять раз длиннее меньшего.                         

 Ответ: 5

Задача №4

Средняя линия трапеции равна 6, а разность оснований равна 4. Найдите основания. 

Решение.

Пусть основания трапеции равны a и b ( a>b ).

 По теореме о средней линии трапеции ЕF = 6;

Из системы находим, что a=8 , b=4 .

Ответ: основания трапеции равны 8 и 4.

Задача№5. 
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см. 
Решение. 

(Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам). 
Треугольники AOD и BOC являются подобными по двум  углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением двух параллельных прямых и секущей. 
Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть 
AO / OC = AD / BC 
9 / 6 = 24 / BC 
BC = 24 * 6 / 9 = 16 
Ответ: 16 см 
Задача№6. 
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17.

Найдите площадь трапеции. 

Решение. 
 

Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину  KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник. 
Значит: 
AD = AM+BC+KD 
a + 8 + b = 24 
a = 16 - b 
Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора 
h² + (24 - a)² = (5√17)²  и 
h² + (24 - b)² = 13² 
Учтем, что a = 16 - b , тогда в первом уравнении 
h² + (24 - 16 + b)² = 425 
h²  = 425 - (8 + b)² 
Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим: 
425 - (8 + b)² + (24 - b)²  = 169 
-(64 + 16b + b)² + (24 - b)² = -256 
-64 - 16b - b² + 576 - 48b + b²  = -256 
-64b = -768 
b = 12 
Таким образом, KD = 12

Откуда 
h²  = 425 - (8 + b)² = 425 - (8 + 12)² = 25 
h = 5 
Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований 
S = ·h, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции 
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 (см²) 
Ответ: площадь трапеции равна 80 см².

Задача№7.

У трапеции ABCD угол ABC равен углу ACD. При этом величина основания                        AD равна 18 см, а диагональ AC равна 12 см.  Найти величину основания BC.

Решение. 
Поскольку ABCD - трапеция, то углы CAD и BCA равны, так как образованы пересечением двух параллельных прямых и секущей. Углы ABC и ACD равны по условию, следует, что треугольники ABC и ACD подобны по двум углам.

Поскольку треугольники ABC и ACD подобны, то соотношения всех их сторон равны одному и тому же числу.

Откуда: 
AC/AD = BC/AC 
(AC - сторона, противолежащая углу B треугольника ABC, AD - сторона, противолежащая соответствующему углу треугольника ACD, аналогично и правой стороной равенства) 

таким образом: 
12/18 = BC/12 
BC = 8 

Ответ: BC = 8 см

Задачи по теме «Трапеция»

№	Текст задачи	Чертёж
1.	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
2.	Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
3.	Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.
4.	Основания трапеции равны 8 и 34, площадь равна 168. Найдите ее высоту.
5.	Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.
6.	Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.
7.	Средняя линия трапеции равна 12, площадь равна 96. Найдите высоту трапеции.
8.	Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.
9.	Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
10.	Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45.
11.	Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
12.	Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
13.	Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
14.	Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150. Найдите площадь трапеции.
15.	Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Для оценки учебных достижений обучающихся используется:

·         текущий контроль в виде самостоятельных работ, математических диктантов и тестов;

·         тематический контроль в виде  контрольных работ.

            Задания для самостоятельной работы.

1.      Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен 45⁰. Найдите площадь трапеции.

2.       Основания трапеции равны 18 и 10, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен 120⁰. Найдите площадь трапеции.

3.      Основания трапеции равны 8 и 29, площадь трапеции 333. Найдите ее высоту.

4.      Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

5.      Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

6.      Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140⁰ .Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

7.      Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220⁰. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

8.      Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся           как 1:2. Ответ дайте в градусах.

9.      Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся        как 17:73. Ответ дайте в градусах.

10.  Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

  11.Найти площадь трапеции, где СЕ=12,СВ=13,DC=7,ЕВ=5, АЕ=9    

Задачи по теме «Трапеция»

№	Текст задачи	Чертёж
1.	На клетчатой бумаге с клетками размером               1 см  х 1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах
2.	Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
3.	Средняя линия и высота трапеции равны соответственно  15 и 2. Найдите площадь трапеции.
4.	Основания трапеции равны   23 и 3, площадь          равна 39. Найдите ее высоту.
5.	Основание трапеции равно 3, высота равна 18,        а площадь равна 180. Найдите второе основание трапеции.
6.	Средняя линия трапеции  равна 8,   площадь    равна 48. Найдите высоту трапеции.
7.	Высота трапеции равна 4, площадь равна 24.      Найдите среднюю линию трапеции.
8.	Основания равнобедренной трапеции               равны 14 и 20, а ее периметр равен 44.              Найдите площадь трапеции.
9.	Основания равнобедренной трапеции                 равны 12 и 18,  а ее площадь равна 60.               Найдите периметр трапеции.
10.	Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 1 и 7, большая боковая сторона составляет с основанием угол .
11.	Основания прямоугольной трапеции равны 14 и 18. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
12.	Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17,    а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
13.	Основания равнобедренной трапеции               равны 13 и 25,  а ее площадь равна 152.          Найдите боковую сторону трапеции.
14.	Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.
15.	Основания трапеции равны 5 и 11, боковая сторона равна 9. Площадь трапеции равна 36. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

После записи решения можно попросить учащихся сформулировать, какие ключевые задачи используются в данном конкретном случае.

Таким образом, обучение решению геометрических задач становится более результативным.

Пути поиска решения, разделение решения на этапы, логически связанные друг с другом, наглядно демонстрируются с помощью уже выделенных задач.

Домашняя работа по теме «Трапеция»

№	Текст задачи	Чертёж
1.	На клетчатой бумаге с клетками размером               1см х 1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах
2.	Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6)
3.	Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 43 и 2. Найдите площадь трапеции.
4.	Основания трапеции равны 21 и 1,                  площадь равна 99. Найдите ее высоту.
5.	Основание трапеции равно 7, высота равна 5,            а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.
6.	Высота трапеции равна 6, площадь равна 18. Найдите среднюю линию трапеции.
7.	Средняя линия трапеции равна 4, площадь равна 52. Найдите высоту трапеции.
8.	Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 24, а ее периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.
9.	Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 24, а ее площадь равна 228. Найдите периметр трапеции.

Контрольная работа.

I вариант.

1)       (1 бал).Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140⁰. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

2)      (1 бал).Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 178⁰. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

3)       (1 бал).Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220⁰. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

4)      Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 34,   а ее боковые стороны равны 20. Найдите площадь трапеции.

5)      (1 бал). Средняя линия трапеции АВСD разбивает её на две трапеции, средние линии которых равны 11см и 15 см. Найдите основания трапеции АВСD.

6)      (1 бал). Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен 135⁰. Найдите площадь трапеции.

7)      (1 бал).Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

8)      (1 бал). Найти площадь трапеции АВСD с основанием ВС и АD, если АD=20, ВС=13, высота ВН=12.

9)        (4 балла). Диагонали АС и BD    трапеции ABCD пересекаются в точке О.Площади треугольников АОD и ВОС равны соответственно равны 16 см² и 9 см^2.  Найдите площадь трапеции.

Ответ: 49см²

Диагонали АС и BD    трапеции ABCD пересекаются в точке О.Площади треугольников АОD и ВОС равны соответственно равны 25 см² и 16 см^2.  Найдите площадь трапеции.

Ответ: 81см²

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.	4
Ход решения верный, все шаги выполнены правильно, но допущена одна вычислительная ошибка.	3
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. 0	0
Максимальный балл	4

«5» – 8-12баллов; «4» – 7 баллов; «3» – 6-5 баллов.

II вариант.

1)      (1 бал). Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 102⁰. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

2)      (1 бал). Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 50⁰. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

3)      (1 бал). Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 270⁰. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

4)      (1 бал). Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

5)      (1 бал). Найти площадь трапеции АВСD с основанием ВС и АD, если АD=20, ВС=13, высота ВН=12.

6)      (1 бал). Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 51,  а ее боковые стороны равны 30. Найдите площадь трапеции.

7)      (1 бал). Средняя линия трапеции АВСD разбивает её на две трапеции, средние линии которых равны 12см и 14 см. Найдите основания трапеции АВСD.

8)      (1 бал). В трапеции АВСD: АВ = СD, диагональ АС является биссектрисой острого угла А, а биссектриса угла В отсекает от данной трапеции параллелограмм. Найдите углы и стороны трапеции АВСD, если её периметр равен 50 см.

9)      (4 балла).  Диагонали АС и BD    трапеции ABCD пересекаются в точке О.Площади треугольников АОD и ВОС равны соответственно равны 16 см² и 9 см^2.  Найдите площадь трапеции.

Ответ: 49см²

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все шаги выполнены правильно, получен верный ответ.	4
Ход решения верный, все шаги выполнены правильно, но допущена одна вычислительная ошибка.	3
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. 0	0
Максимальный балл	4

«5» – 8-12баллов; «4» – 7 баллов; «3» – 6-5 баллов.

      Эта методическая разработка образовательного модуля по теме «Трапеция. Ключевые задачи» была мною апробирована. Следует отметить, что отбор материала к таким урокам требует больших затрат времени, но результат применения вышеописанных методов на практике стоит гораздо больше. Когда ты видишь, как появляется интерес, а иногда и восторг в глазах учащихся, уже отчаявшихся в безуспешных попытках решить задачу, получаешь такой импульс, что никакого затраченного времени не жалко.

Даже слабые ученики, выучив ключевые задачи или хотя бы пользуясь готовыми чертежами и записями (от урока к уроку все лучше и лучше ориентируясь в конспекте), начинают разбираться в решении, активно участвуют в обсуждении уже решенных задач. Активизация познавательной деятельности учащихся на таких уроках обеспечена тем, что выполнение предложенных заданий по силам любому ученику. Пусть не каждый может сразу самостоятельно решить задачу, но разбор решения, анализ и воспроизведение его этапов становится доступным практически каждому учащемуся.

В дальнейшем, когда дети уже понимают, как и для чего составляется система ключевых задач, учитель может поручить учащимся самостоятельно, выделить ключевые задачи по новой теме. Для выполнения этого задания одного только учебника не достаточно, необходимо изучить дополнительную литературу, познакомиться с энциклопедическими и справочными пособиями. Таким образом, учащиеся включаются в поисково-творческую деятельность.

При использовании ключевых задач происходит наглядное моделирование мыслительного процесса. Таким образом, реализуется возможность перехода от “школы памяти” к “школе мышления”. Пусть далеко не все ученики могут решить сложнейшую задачу, но понять предлагаемое решение и воспроизвести его этапы могут все. Учащиеся из пассивных слушателей превращаются в деятельных, активных участников образовательного процесса.

Систематически работая над выделением и применением ключевых задач, я убедилась в том, что дети с большим интересом воспринимают такую форму работы, принимая активное участие в составлении ключевых задач, в поиске их решения, разработке алгоритмических предписаний, схем опор и справочных таблиц. Навыки и умения, полученные детьми при выделении и решении непосредственно ключевых, а также комбинированных задач, создают прочную базу для дальнейшего изучения предмета на более углублённом уровне. Переход к нестандартным, творческим задачам становится более актуальным, т.к. на первый план выступает практическое применение полученных знаний.

С данной методической разработкой образовательного модуля  по теме «Трапеция. Ключевые задачи» я поделилась опытом на профессиональном объединении, учителям математики понравились  разработка и подбор заданий.

Дополнительная литература:

1.      Алгебра: сб. заданий для подготовки к гос. итоговой аттестации в 9 кл. /[Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.].- 5-е изд. — М. : Просвещение, 2013.

2.      Алгебра: сб. заданий для подготовки к гос. итоговой аттестации в 9 кл. /[Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.].- 6-е изд. — М. : Просвещение, 2014.

3.      ГИА-2014 : Экзамен в новой форме : математика:9-й класс: Тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме / авт.-сост. Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, Л.О.Рослова и др. — М.: ACT: Астрель, 2014. — 78,[2] с. -(Федеральный институт педагогических измерений). ISBN 978-5-17-080712-3

4.      ГИА-2014 Новая версия экзамена Л.О.Рослова, Л.В.Кузнецова, С.А.Шестаков ФИПИ

5.      Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Колесникова Т. В., Рослова Л. О. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2013/ ФИПИ.

6.      И. В. Ященко, А. В. Семенов, П. И. Захаров Подготовка к экзамену по математике ГИА 9 (новая форма). - Методические рекомендации. - М., МЦНМО, 2013. - 240 с.

7.      Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. —Ростов-на-Дону: Легион-М., 2013. — 256 с. (Итоговая аттестация)

8.      Глазков, Ю.А. ГИА. Алгебра. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Тематические тестовые задания / Ю.А. Глазков, М.Я. Гаиашвили. — М.: Издательство «Экзамен», 2013. —126, [2] с. (Серия «ГИА. 9 класс. Тематические тестовые задания»)
ISBN 978-5-377-03376-9

9.      Минаева, С.С., Колесникова Т.В. ГИА 2014. Математика. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Типовые тестовые задания / Минаева С.С., Колесникова Т.В. — М.: Издательство «Экзамен», 2010. — 62. [2] с. (Серия «ГИА. 9 кл. Типовые тестовые задания»). – ISBN 978-5-377-02963-2

10.  Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика ГИА. 9 класс. Методическое пособие для подготовки./ М.: Издательство « Экзамен», 2011.

11.  Геометрия: учеб. для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2012.

12.  Дидактические материалы по геометрии для 8 класса / Гусев В.А., Медяник А.И. – М.: Просвещение, 2010.

13.  Дудницын Ю.П.  Рабочие тетради / Ю.П.Дудницын. — М., 2009.

14.  Жохов В. И., КарташоваТ.Г., Крайнева Л.Б. Геометрия. Поурочные разработки. 7 – 9 классы. Книга    для учителя  — М., 2010.

Интернет-ресурсы:

1.      ЕГЭ-2016. Открытый банк задач по математике http://mathege.ru

2.      ГИА. Открытый банк задач по математике. http://mathgia.ru

3.      Портал знаний  http://giaege.com

4.      ФИПИ. Федеральный институт педагогических измерений  http://www.fipi.ru/

5.      ЕГЭ и ГИА.по математике 2016 http://alexlarin.net

6.      Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам http://live.mephist.ru