Ученическая работа на НПК по алгебре

• 1 слайд

  г. Улан-Удэ
  2023
  
  Частные случаи симметрии в алгебре
  Выполнила:
  Таханова Анна Владимировна,
  ученица 9 «А» класса, МАОУ СОШ №47
  Руководитель:
  Бунаева Ольга Валерьевна, учитель математики МАОУ СОШ №47
  

• 2 слайд

  Цель, объект и предмет исследования
  Цель исследования состоит в изучении симметрии и применение в алгебре
  
  Объектом исследования явилось содержание для углубленного изучения курса алгебры
  
  Предметом изучения явилось расширение содержания для углубленного изучения курса алгебры и начала анализа
  
  

• 3 слайд

  Научная новизна:
  Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что проблема изучения симметрии и ее применения решена в контексте единства понятий функции и геометрического преобразования, а развитие функциональных приемов решения уравнений - во взаимосвязи функциональной линии и линии уравнений.
  

• 4 слайд

  Положения рассмотренные в процессе исследования:
  1.Расширение содержания курса алгебры
  разделом «Симметрии и их применения».
  
  2.Введение и изучение специальных классов уравнений и их решения нестандартными методами.
  

• 5 слайд

  Симметрия в алгебре:
  Симметрия на прямой;
  Симметрия на плоскости;
  Разложение многочлена на линейные множители;
  Симметрические уравнения;
  Симметрические системы;
  

• 6 слайд

  Симметрия на прямой
  
  Впервые с понятием симметрия в школьном курсе математики мы встретились, изучая противоположные числа.
  Всякая прямая обладает центральной симметрией.
  Симметрия на плоскости
  Координатная плоскость также обладает центральной симметрией
  Графики функций y=kx; y=x³ центрально симметричны относительно начала координат.
  График функции y=x² симметричен относительно оси ординат.
  
  

• 7 слайд

  График функции y=f(|x|)
  Построить график функции Строим график функции
  для
  х 0 1 4 9
  y 0 1 2 3
  Левую часть графика достраиваем симметрично правой относительно ОУ
  

• 8 слайд

  График функций y=|f(x)|
  Построить график
  
  Строим график функции
  
  а) (0,75;-3,125)-вершина параболы;
  б)
  
  -нули функции
  в) y(0)=-2
  Нижнюю часть графика
  
  отражаем симметрично относительно оси абсцисс.
  

• 9 слайд

  График y=|f(|x|)|
  Построить график
  
  Строим график функции
  
  x 0 2/3
  y 2 0
  Ту часть графика которая
  окажется в нижней полуплоскости , отображаем относительно оси ОХ
  

• 10 слайд

  График |y|=f(x)
  Построить график
  уравнения
  
  1)
  
  2) строим график функции
  для
  а) (x0;y0)=(0;3)
  б) нули функции:
  3)часть параболы ;
  соответствующую
  отражаем симметрично
  относительно оси OX.
  

• 11 слайд

  График |y|=|f(x)|
  Построить график уравнения
  
  1)строим
  
  -нули функции
  
  
  
  Совокупность линий верхней
  полуплоскости график
  2)строим это
  совокупность линий в нижней
  полуплоскости. Итак, совокупность
  двух парабол множество точек,
  удовлетворяющих равенству:
  

• 12 слайд

  Симметрические многочлены от двух переменных
  
  Если выполняется равенство P(x;y)=P(y;x), то многочлен P(x;y) называют симметрическим.
  
  
  
  Симметрические многочлены от трех переменных
  Назовем P(x;y;z) симметрическим, если он не меняется при всех перестановках переменных, т.е. если P(x;y;z)=P(x;z;y)=P(y;x;z)=P(y;z;x)=P(z;x;y)=P(z;y;x).
  

• 13 слайд

  Разложение многочлена на линейные множители:
  P(x)=aoxn+a1xn-1+..+an-1x+an = ao (x-x1)(x-x2)…(x-xn).
  Напомним, что x1, …, xn – корни многочлена P(x).
  Например, выражение 2х3+7х2+7х+2 сначала можно разложить на множители (х+1)(2х2+5х+2),т.к. х= -1 является корнем, а затем 2х2+5х+2 решим как кв. ур-ие. Таким образом, 2х3+7х2+7х+2=(х+1)(х+2)(х+0,5).
  Симметрические многочлены применяются для решения разнообразных задач школьной математики.
  

• 14 слайд

  Возвратные уравнения
  
  
  
  
  
  
  
   
  Симметрические многочлены можно успешно использовать при решении некоторых уравнений и систем. Уравнения вида axn + bxn-1 + …+ bx + a = 0, а
  0,
  (1), называются симметрическими уравнениями n-ой степени.
  Рассмотрим уравнение третьей степени: поскольку ax3 + bx2 + bx + a =
  a(x3 + 1) + bx(x +1) =
  a(x +1 )(x2 - x + 1)+ bx(x +1)=
  (x + 1)(ax2 + (b - a )x + a), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений
  x + 1 = 0 и ax2 + (b -a)x + a = 0, решить которую не представляет труда.
  
  

• 15 слайд

  Возвратные уравнения
  
  
  
  Пример 1:
   
  Решение: такое уравнение можно решить простым подбором х =3
  Пример 2:
   
  Ответ: x = 3
  Ответ:X = -1
   
  

• 16 слайд

  Симметрические системы уравнений
  Система вида
  
  
  Такая система называется симметрической системой.
  -симметрические многочлены
  

• 17 слайд

   
  Решим систему
  решение
  Сложим почленно уравнения системы: .xy+yz+xz=11(*)
  Вычитая из уравнения (*) почленно каждое уравнение системы, получим:
   
  Далее почленно перемножим уравнения последней системы:
   
  Если xyz=6, то
   
  Если xyz=-6, то
  
   
  Ответ:(1;2;3); (-1;-2;-3).
  

• 18 слайд

  Заключение
  Расширили арсенал решений уравнений;
  Познакомились с понятиями «возвратные уравнения», «симметрические уравнения» и методами их решения,
  Рассмотрели основные теории, связанные с симметрическими системами уравнений;
  Постарались исключить фрагментарность в понимании школьной программы по алгебре;
  

• 19 слайд

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ