Ученическая работа на НПК по алгебре

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Комитет по образованию г. Улан -Удэ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №47 г. Улан – Удэ»

     «Частные случаи симметрии в алгебре»

Выполнила:  

Таханова Анна Владимировна

                                                               ученица 9 «А» класса

                                                                                     Руководитель:  

Бунаева Ольга Валерьевна                                               

2023

Содержание

№ п/п		Стр.
1.	Актуальность темы, введение	2
2.	Симметрические простые    числа	4
3.	Симметрия в алгебре
3.1	Симметрия на прямой	6
3.2	Симметрия на плоскости	6
	I. График функций	6
	II. График функций	7
	III. График	7
	IV. График	7
	V. График	7
3.3	Разложение многочлена на линейные множители	8
3.4	Симметрические уравнения	10
3.5	Симметрические системы	10
4.	Заключение	11
5.	Литература	11

«Симметрия является той идеей,

               посредством которой человек

пытается постичь и создать порядок,

         красоту и совершенство».

                                                                                   (Г.Вейль)

Актуальность темы

            Углубленное изучение математики в школе предусматривает, помимо получения  расширенного объема знаний и техники владения предметом, формирование устойчивого интереса к предмету. Реализация этих задач по-новому делает актуальной проблему самообразования. В последние годы признано, что включение в программу различных разделов высшей математики не всегда целесообразно. Это объясняется как отсутствием достаточного времени для рассмотрения этих разделов в необходимом объеме, так и недостижимостью должной логической строгости изложения в силу объективных трудностей в формировании  мышления, в контексте возрастных и гендерных  особенностей.   Алгебра и начала анализа изучаются отдельно от геометрии, тем более изолированно изучаются числовые функции и геометрические преобразования, которые имеют одну основу - понятие отображения, поэтому была взята конкретная, интересующая меня тема доклада «Симметрия в алгебре», которая поможет исключить фрагментарность в понимании алгебры.

Введение

Все мы имеем какое-то представление о симметрии, поскольку это одно из самых распространенных явлений в природе и обществе. Однако обычно под симметрией понимается либо зеркальная симметрия, когда одна половина предмета зеркально-симметрична другой, либо центральная. Такая симметрия означает, что есть преобразование (поворот), которое переводит предмет сам в себя.

В ряде случаев симметрия является достаточно очевидным фактом. Например, любой школьник, рассматривая квадрат, может показать, почему эта фигура симметрична, и для подтверждения своей мысли может предложить несколько преобразований, в результате которых квадрат не изменит своего вида. В действительности понятие симметрии гораздо шире, и под ней понимается неизменность при какой-либо операции не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений и т.д.

Дать точное определение симметрии в общем случае не представляется возможным, поскольку она принимает свою конкретную форму в каждой области человеческой деятельности. Например, в искусстве симметрия проявляется в соразмерности и взаимосвязанности отдельных частей, образующих произведение. В классической механике она выражается в виде принципа относительности. Математики же издавна стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии.

В работе пойдет речь о симметрии в алгебре.

            Цель исследования состоит в  изучении симметрии и в её применении в курсе алгебры и начал анализа.

Объектом  исследования явилось содержание для  углубленного изучения курса алгебры и начала анализа.
Предметом изучения явилось расширение содержания для  углубленного изучения курса алгебры и начала анализа.

  В своём исследовании исходим из гипотезы, что  целенаправленно собираются и группируются задания, связанные единой темой «Симметрия в алгебре», влияющих зонтично на характер обучения:

    а) направленных на закрепление  материала,  используемых  при  обучении умениям и навыкам;

    б) направленных на формирование представлений и понятий;

    в) формирования математического мышления.

    Достижение цели исследования и проверка сформулированной гипотезы предполагает решение ряда конкретных задач:
1. Исследовать целесообразность и возможность изучения симметрии графиков функций и методов их применения при решении уравнений.
2. На основе геометрических преобразований определить симметрии графиков функций. Исследовать симметрии графикой основных элементарных функций.

3. Рассмотреть решение симметрических уравнений и систем уравнений.
      На первом этапе были изучены содержание и структура раздела «Симметрии и их применения», на втором  рассмотрены графики функций, приемы решения уравнений на основе свойств симметрии, изучены системы уравнений.
    Практическая  значимость  исследования  обусловлена  тем,  что   результаты могут быть использованы в практической  деятельности  школьника.

      Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что  проблема изучения симметрии и ее применения решена в контексте единства понятий функции и геометрического преобразования, а развитие функциональных приемов решения уравнений - во взаимосвязи функциональной линии и линии уравнений.
Выделены классы уравнений, при решении которых используются стандартные (алгебраические) и нестандартные (основанные на свойстве симметрии) методы.
         Теоретическая значимость результатов исследования заключается в выделении специальных классов уравнений и их решения на основе симметрии графиков функций,  в изучении системы задач.
     На защиту выносятся следующие положения:
1. Расширение содержания курса алгебры для углублённого изучения разделом «Симметрии и их применения», как способа  целостного понимания алгебры.
2. Изучения решений уравнений нестандартными методами основанного на приемах, учитывающих симметрию графика функции f (x) и вид данного уравнения.
3. Специальные классы уравнений и других задач, позволяющих осуществить переход от традиционных способов решения к функциональным (на основе свойства симметрии). 

Симметрические простые числа                                                    

     Рассматривая таблицу простых чисел, можно заметить, что есть интересные пары: 13 и 31, 17 и 71, 37 и 73, и т.д.,  а также такие простые числа, которые при чтении слева направо и справа налево дают одно и то же число. Например, 131 или 757.  Такие числа называются симметрическими.

Назовем симметрическим число, запись которого слева направо и справа налево одна и та же.

Задача: выяснить, как часто встречаются симметрические числа среди простых чисел.

Для чисел меньших 1000 это легко выяснить по таблице простых чисел. Среди простых двузначных чисел существует единственное симметрическое число — 11. Далее нашлись: 101, 131, 151, 181, 191 и т.п.

Среди четырехзначных чисел простых симметрических чисел нет. Докажем это. Четырехзначное симметрическое число имеет вид авва. По признаку делимости на 11 разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах, и  суммы чисел, стоящих на нечетных местах: (а+в)-(в+а)=0. Это означает, что все четырехзначные симметрические числа делятся на 11, т. е. составные. Аналогично можно доказать, что простых чисел не будет среди всех 2n – значных симметрических чисел.

Среди пятизначных симметрических чисел простые отбираем по методу решета Эратосфена.  Итак: из выписанных чисел вычеркиваем те, которые делятся на 3, например, фиолетовой чертой. ^­Делимость на 7 можно проверить на калькуляторе, вычеркнули их зеленым цветом. Голубым цветом вычеркиваем числа делящиеся на 101. Синим цветом вычеркнули числа, делящиеся на 11. Делимость на другие простые числа проверяется  на калькуляторе, вычеркиваем коричневой чертой. Проверка делимости на простые числа является очень трудной и долгой работой

См. приложение 1

Симметрия в алгебре

Где бы мы ни находились, нас поражает и восхищает красота и совершенство живой и неживой природы, основой которой является симметрия: симметрия растений, симметрия геометрических фигур, многих технических сооружений (здания, фермы мостов, машины), симметрия кристаллов, солей горных пород, снежинок. Симметрией обладают листья, цветы, плоды растений, картины художников или фрагменты этих картин.

Описать многообразие симметрий, встречающихся в природе, довольно сложно. Видов симметрии много: осевая, зеркальная, центральная, поворотная, переносная, криволинейная и симметрия подобия.

В своей работе я остановлюсь только на определении  симметрии осевой и центральной.  В основе дальнейших рассуждений лежат определения осевой и центральной симметрий.

Определение 1.                                 Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна нему.

Каждая точка Р прямой а считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

            Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Определение 2.                                 Две точки  А и А₁ называется симметричными относительно точки О, если О – середина АА_1.

Точка считается симметричной самой себе.   Фигура называется симметричной относительно точки О, если для     каждой точки фигуры, симметричная ей точка относительно точки О, также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Симметрия на прямой

Впервые с понятием симметрия в школьном курсе математики мы встретились, изучая противоположные числа.

Два противоположных числа расположены на числовой прямой по разные стороны от начала отсчета, точки О, и одинаково удалены от неё. Например, числа -1 и 1; -7 и 7;  и  и др. Здесь мы имеем пример центральной симметрии.

Всякая прямая обладает центральной симметрией.

Симметрия на плоскости

Координатная плоскость тоже обладает центральной симметрией. Всякой точке (x;y) на плоскости в соответствие может быть поставлена точка (-x;-y), симметричная первой относительно начала координат.

Графики функций y=kx; y=x³ центрально симметричны относительно начала координат.

Всякой точке (x;y) на плоскости в соответствие может быть поставлена точка (-x;-y), симметричная первой точке относительно оси ординат. График функции y=x² симметричен относительно оси ординат.

Всякой точке (x;y) на координатной плоскости может быть поставлена в соответствие точка (x;-y), симметричная первой относительно оси абсцисс. Это множество точек, удовлетворяющих уравнению y²=x для всех .

Рассмотрим некоторые множества точек, обладающих симметрией.

I. График функций .

Так как , то , т.е. графику принадлежат точки (x;y) и (x;-y), а это означает, что график функции  симметричен относительно оси ординат. Для построения графика этой функции достаточно:

1.      построить график функции  для всех x>0,

2.      достроить левую часть графика, симметричную правой;

3.      при х=0, у=0.

(См Приложение 2,   пример 1)

II. График функций .

Так как при любых значениях  , то план построения графика следующий:

1.      Строим график , что соответствует условию

2.      На тех промежутках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е. где  строим линии , т.е. линии симметричные тем, которые расположены в нижнеей полуплоскости, относительно оси абсцисс.

(См Приложение 2 , Пример 2)

                   III.      График            

Учитывая вышесказанное о построении графиков  и , составим план построения графика :

1.      строим график функции  для

2.      строим график функции  для , т. е строим линию графика, симметричную построенной относительно оси OY.

3.      ту часть графика, которая окажется расположенной в нижней полуплоскости, отображаем относительно оси OX.

См. приложение 2, пример 3

                   IV.      График      

Так как , то . Из этого следует, что .

Для построения множества точек, удовлетворяющих равенству , нужно:

1)      Построить график y=f(x)  для .

2)      Построить линии, симметричные уже построенным относительно оси OX.

Приложение 2,  пример 4

                            V.      График

По определению модуля имеем .

Поэтому:

1)      сначала строим график ,

2)      затем строим график функции , т.е. строим линию, симметричную  относительно оси OX.

 Приложение 2,  пример 5

Разложение многочлена на линейные множители

P(x)=a_oxⁿ+a₁x^n-1+..+a_n-1x+a_n = =a_o (x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n).

         Напомним, что  x₁, …,  x_n – корни многочлена P(x); они могут быть как действительными, так и комплексными. Если раскрыть скобки в правой части этого разложения и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, то получим:

                                                                   

   . . . . . . . . . . . . . .

       Эти соотношения для n ≤5 вывел Виет (к сожалению, сама работа была утеряна). Поэтому равенства называют формулами Виета. При n=2 они принимают вид , , хорошо знакомый читателям.

       Из формул Виета вытекает, что основную теорему о симметрических многочленах можно сформулировать следующим образом: любой симметрический многочлен от корней  x_{1, …,}  x_n  приведённого алгебраического уравнения       является многочленом от коэффициентов этого уравнения.

         Симметрические многочлены применяются для решения разнообразных задач школьной математики. См. приложение 3. 

Симметрические уравнения

Симметрические многочлены можно успешно использовать при решении некоторых уравнений и систем.

Уравнения вида  

                  axⁿ + bx^n-1 + …+ bx + a = 0 , а  0,     (1),  

называются симметрическими уравнениями n-ой степени.

Рассмотрим уравнение третьей степени: поскольку    ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x +1) = a(x +1 )(x² - x + 1)+ bx(x +1)= (x + 1)(ax² + (b - a )x + a), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений         x + 1 = 0    и      ax² + (b -a)x + a = 0,     решить которую не представляет труда.     

 См. приложение 4

Симметрические системы

Система вида  - симметрические многочлены, называется симметрической системой.

Для решения этих систем применяют как частные приемы, так и общие, когда для решения их применяется введение новых переменных, чаще всего  и  обозначают по-новому ( и др).

См.  приложение 5

         В работе лишь частично рассматриваются некоторые вопросы алгебры, связанные с симметрией.

        Так, например, существует ещё симметрия выражений (как видимая, так и такая, которую можно заметить лишь после преобразований), т.е. алгебраическое выражение не меняет своего вида при какой-либо циклической замене переменных местами, изменения их знаков и др.

 См. приложение 6

Заключение.

         В работе рассматриваются некоторые вопросы алгебры, связанные с симметрией.

          В процессе исследования я:

• Познакомилась с разными видами систем алгебраических уравнений, обобщила научные сведения  по теме  «Системы уравнений»;
• Разобралась и научилась решать способом  введения новых         переменных;
• Рассмотрела основные теории, связанные с симметрическими системами уравнений;
• Научилась решать симметрические системы уравнений;
• Овладела  приемами самоорганизации и, в конечном счете, самообразования и самоанализа

Список литературы.

1)                 Аксенова М. Д. Энциклопедия для детей Аванта +. Т.11. Математика, стр.124

2)                 Виленкин Н. Я. Алгебра: Для 8 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики

3)                 Никольский С.М. «Математика – школьная энциклопедия» М.: Большая российская энциклопедия, 1996, с 78

4)                 Яковлева Г.Н. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1982.

5)                 Крамор В.С.  Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение, 1990. – 416  с.

6)                 Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. «Алгебра» - 8 кл.,  М.: «Просвещение»,

7)                 К.С.Барыбин, А.К.Исаков «Сборник задач по математике», М. «Просвещение», 1955г.,

8)                 В.Г.Болтянский, Н.Я.Виленкин «Симметрия в алгебре», М., «Наука»,1967г.,

9)                 Н.Я.Виленкин, О.С.Иванов-Мусатов, С.И.Шварцбург «Алгебра и математический анализ», М., «Просвещение», 1990г.,

10)             В.М.Иванов, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын, С.И.Шварцбург «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа», М., «Просвещение», 1990г.,

11)             С.В.Кравцев, Ю.Н.Макаров и др. «Методы решения задач по алгебре», М., «Эзамен», 2001г.,

12)             О.Оре, «Приглашение в теорию чисел», М., «Наука», 1980 г., с.32