Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок алгебры и начал анализа в СПО. Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок алгебры и начал анализа в СПО. Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

библиотека
материалов

hello_html_m5adb7fac.png


Подготовлено преподавателем ГБОУ СПО "Колледж связи №54" Балакший Т.В.



Урок алгебры и начал анализа в СПО.

Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»


Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цель урока: сформировать навыки решения тригонометрических уравнений различного типа.


Задачи урока.

1. Образовательные:

- закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

- создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

- установление межпредметных связей.

2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.


Формы организации работы учащихся на уроке:

- индивидуальная, фронтальная, парная.


Методы обучения:

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, самопроверка, взаимопроверка.


Оборудование и источники информации: таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема

на партах учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, листы учета знаний, лист бумаги для проведения теста и копирка.


1. Организационный момент.

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

2. Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель: «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, повторим основные формулы».

3. Выполнение теста.

Работа выполняется на заранее приготовленных карточках, затем проводим самопроверку.


Вариант 1 ответы

1) Каково будет решение уравнения hello_html_m13650253.gif ?

a) hello_html_13b2dd13.gif

2) При каком значении a уравнение sin x=aимеет корни?

b) hello_html_7d56412a.gif

3) Какому промежутку принадлежат значения hello_html_m7eea8336.gif?

c). hello_html_m671bfc9d.gif

4) Каким будет решение уравнения hello_html_m7e066036.gif?

d). hello_html_m4846fb0b.gif

5) Решите уравнение hello_html_mf8ce4da.gif

e). hello_html_m5fffdeb5.gif

6)hello_html_m484de90d.gif

f). hello_html_5ef5f2db.gif

7) Решите уравнение hello_html_23e95186.gif

k). hello_html_m281c8c68.gif


l) hello_html_2f0e9ca8.gif


Вариант 2 ответы

1) Каково будет решение уравнения hello_html_51988318.gif?

a). hello_html_m4846fb0b.gif

2) При каком значении a уравнение hello_html_m79515f17.gif имеет корни?

b). hello_html_m5c32d3ac.gif

3) Какому промежутку принадлежат значения hello_html_188e315d.gif?

c). hello_html_560688c3.gif

4) Какой формулой выражается решение уравнения hello_html_m3b459b25.gif ?

d). hello_html_17ce1759.gif

5) hello_html_1734d3b0.gif

e). hello_html_m3e78ad6e.gif

6) Решите уравнение hello_html_m2722fb1f.gif

f). hello_html_c5592ae.gif

7) hello_html_m24ceb271.gif

k). hello_html_m299d7e3a.gif


l) hello_html_22ba24c3.gif


Учащиеся меняются карточками. Преподаватель диктует ответы. Учащиеся проверяют ответы ставят оценку.

Выполняется работа над ошибками.


4. Устная работа.

Учитель: «Исправьте ошибки на доске и подумайте об их причинах».


Уравнение

Ответ с ошибкой

Правильный ответ

hello_html_m5a6bde1c.gif

hello_html_40ad10a3.gif

hello_html_6a65b129.gif

hello_html_293279b1.gif

hello_html_m67c655c.gif

hello_html_631beeaf.gif

hello_html_mf1e6e81.gif

hello_html_664101c2.gif

hello_html_169c1492.gif

hello_html_m43777f0e.gif

hello_html_m44be5d7b.gif

Нет корней

hello_html_4acd06ea.gif

hello_html_7491607e.gif

hello_html_ea8338c.gif



6. Историческая справка о развития тригонометрии, решении тригоно- метрических уравнений

Выступление ученика.


7. Новый материал

Рассмотрим тригонометрические уравнения сводящиеся к простейшим. Разделим их на три типа:

I тип уравнения сводящиеся к квадратным.

II тип однородные уравнения первой степени

III тип однородные уравнения первой степени


I тип. Рассматриваю вмести с учащимися .

Это уравнения, которые после введения нового неизвестного hello_html_2638df22.gif, где hello_html_278687bc.gif- одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные .

Пример 1. Решим уравнение

hello_html_3347bcf6.gif

Введем новое неизвестное hello_html_m15b85b39.gif, тогда данное уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t:

hello_html_m5390371b.gif

Уравнение имеет два корня hello_html_3217cc6b.gif и hello_html_m49bfe84a.gif. Следовательно, множество всех решений данного уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений hello_html_m62ea3dac.gif и hello_html_1c72ffc7.gif. Решая каждое из этих уравнений, находим, что множество решений :

hello_html_5948fa9.gif, hello_html_4ac4ba7.gif, hello_html_m4edaaaa1.gif.


Пример 2. Решим уравнение

hello_html_52647ed4.gif

Имеющее новое неизвестное hello_html_1dd6d97a.gif. Данное уравнение превращается в рациональное уравнение с неизвестным t:

hello_html_m6fcd3949.gif,

Имеющее два решения hello_html_7b2c35de.gif,hello_html_6bdc19fa.gif.

Значит, множество решений данного уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений:

hello_html_758c948f.gif, hello_html_m7de643c0.gif.

Решая каждое из этих простейших тригонометрических уравнений, находим, что множество решения состоит из двух серий решений.

hello_html_m695238f3.gif

hello_html_m45c359ef.gif.

В следующем примере рассмотрим тригонометрическое уравнение при решении которого используются некоторые тождественные преобразования.


Пример 3. Решим уравнение

hello_html_32138ffe.gif

Применяя основное тригонометрическое тождество hello_html_m1130bc09.gif , перепишем уравнение в виде

hello_html_m4573a6b0.gif

Введем новое неизвестное hello_html_3592100d.gif , тогда уравнение превращается в квадратное с неизвестной t:

hello_html_5dcd502f.gif

Уравнение имеет два корня hello_html_3a5df4b3.gif,hello_html_m49ba1768.gif. Поэтому множество решений уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений hello_html_26656796.gif и hello_html_m40712a24.gif. Решение первого состоит из двух этих серий. Второе уравнение не имеет решений , следовательно, решение уравнений состоит из двух серий:

hello_html_m3c9189c9.gif, hello_html_5816a627.gif.

II тип: однородные уравнения первой степени.

Это уравнения вида:

hello_html_m3854e634.gif,

где A,B и Cданные числа и hello_html_34cf0c0c.gif.

Рассмотрим первый случай: hello_html_m47aeb28d.gif

Так как hello_html_m42d267c2.gif, то, разделив обе части уравнения на число hello_html_m1c653335.gif, перепишем уравнение в виде

hello_html_m733c5d13.gif

где hello_html_m9f27896.gifhello_html_m64b66593.gifhello_html_me5c5426.gif


Так как hello_html_m565d14fe.gif, то можно подобрать такой угол hello_html_2e28ff68.gif, что hello_html_5e366992.gifи hello_html_m611fe72f.gif. Тогда изначальное уравнение можно записать в виде hello_html_m75c5e776.gif, или в виде

hello_html_4360a5d1.gif.

Если подобрать такой угол hello_html_m154a5599.gif, что hello_html_m37485a13.gif и hello_html_f4caf28.gif, то изначальное уравнение можно записать в виде

hello_html_2df75bd0.gif.

Таким образом, решения уравнения (изначального) сводиться к решению простейшего уравнения.

Пример 4. Решим уравнение

hello_html_m47d21d27.gif.

Разделив обе части уравнения на число hello_html_m5006332b.gif, перепишем его в виде

hello_html_984f147.gif

Так как hello_html_m65cded54.gif и hello_html_1ee6a986.gif, то уравнение изначальное можно записать в виде


hello_html_m35357537.gif

Все решения этого уравнения, а значит, и уравнения изначального, задаются формулами hello_html_m2a8d339e.gif, откуда получаем, что уравнение имеет одну серию решений hello_html_m2df7fd0e.gif.

Рассмотрим второй случай: hello_html_m27ae163f.gif.

hello_html_m5cbdd1d0.gif,

где A,Bданные числа и hello_html_34cf0c0c.gif.

В этом случае уравнение сводится к однородному. Решается методом деления на hello_html_65fe17f2.gifили hello_html_262ddf16.gif. Далее сводим к уравнению относительно hello_html_m49976e4f.gif или hello_html_5e75a240.gif.


Пример 5. Решим уравнение

hello_html_m9b1e675.gif.

Разделим на hello_html_262ddf16.gif, получим

hello_html_54729801.gif,


hello_html_2a8fd42e.gif.

Это простейшее тригонометрическое уравнение . Все решения этого уравнения, а значит, и уравнения изначального, задаются формулами hello_html_8e7c76d.gif, откуда получаем, что уравнение имеет одну серию решений .

Данное уравнение ,это уравнение III типа, рассмотрим следующее уравнение относящиеся к этому типу.


Пример 6. Решим уравнение


hello_html_m831d693.gif

Основной метод решения таких уравнений это деление на hello_html_m62bf7f31.gif или hello_html_m53ad98e6.gif. Далее уравнение сводится к квадратному относительно hello_html_m49976e4f.gif или hello_html_3631f1b3.gif. Однако не всегда возможно пользоваться общим методом решения.

hello_html_m61e17969.gif

Тогда получаем

hello_html_31e0aa4d.gif

hello_html_m6957fe7.gif

hello_html_76b47f10.gif

В данном уравнение необходимо вынести за скобку hello_html_262ddf16.gif, тогда не происходит потеря решений.

Следовательно, множество всех решений данного уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений hello_html_241e8e3a.gif и hello_html_408fcb84.gif.

Решая каждое из этих уравнений, находим, что множество решений :

hello_html_123e6e4d.gif, hello_html_m7fccb004.gif.


8. Задания на усвоения новых знаний.

Делаются по образцу, и помощью учителя.

Студенту раздаются следующие карточки.

Карточка 1


1. hello_html_m3c0ba9e8.gif



Карточка 2


1. hello_html_18c34845.gif



Карточка 3


1. hello_html_42f29141.gif



Карточка 4


1. hello_html_m53e3431d.gif



Карточка 5


1. hello_html_751ee276.gif



Карточка 6


1. hello_html_6613e7f3.gif



Карточка 6


1. hello_html_47394028.gif



Карточка 7


1. hello_html_m19468287.gif



9. Подведение итогов урока.

Учитель: «Сегодня на уроке мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений, решали уравнения различными методами,».

в журнал.


Приложение № 1. Опорный конспект - системно-обобщающая схема по решению тригонометрических уравнений.

hello_html_2f70694e.png

10


Автор
Дата добавления 06.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров200
Номер материала ДA-031443
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх