Урок алгебры и начал анализа в СПО. Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Подготовлено преподавателем ГБОУ СПО "Колледж связи №54" Балакший Т.В.

Урок алгебры и начал анализа в СПО.

Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цель урока: сформировать навыки решения тригонометрических уравнений различного типа.

Задачи урока.

1. Образовательные:

         - закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

         - создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

         - установление межпредметных связей.

2. Воспитательные:

         - воспитание навыков делового общения, активности;

         -формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

         - формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

         - развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке:

         - индивидуальная, фронтальная, парная.

Методы обучения:

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации: таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема

 на партах учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, листы учета знаний, лист бумаги для проведения теста и копирка.

1. Организационный момент.

         Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

 2. Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

 2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

 3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

 Учитель: «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, повторим основные формулы».

3. Выполнение теста.

         Работа выполняется на заранее приготовленных карточках, затем проводим самопроверку.

Вариант 1                                                                 ответы

1) Каково будет решение уравнения  ?	a)
2) При каком значении a уравнение sin x=a имеет корни?	b)
3) Какому промежутку принадлежат значения ?	c).
4) Каким будет решение уравнения ?	d).
5) Решите уравнение	e).
6)	f).
7) Решите уравнение	k).
	l)

Вариант 2                                                               ответы

1) Каково будет решение уравнения ?	a).
2) При каком значении a уравнение  имеет корни?	b).
3) Какому промежутку принадлежат значения ?	c).
4) Какой формулой выражается решение уравнения  ?	d).
5)	e).
6) Решите уравнение	f).
7)	k).
	l)

          Учащиеся меняются карточками. Преподаватель диктует ответы. Учащиеся проверяют ответы ставят оценку.

         Выполняется работа над ошибками.

 4. Устная работа.

 Учитель: «Исправьте ошибки на доске и подумайте об их причинах».

Уравнение	Ответ с ошибкой	Правильный ответ
		Нет корней

 6. Историческая справка о развития тригонометрии, решении тригоно- метрических уравнений

 Выступление ученика.

7. Новый материал

Рассмотрим тригонометрические уравнения сводящиеся к простейшим. Разделим их на три типа:

I тип уравнения сводящиеся к квадратным.

II тип однородные уравнения первой степени

III тип однородные уравнения первой степени

I тип. Рассматриваю вмести с учащимися .

Это уравнения, которые после введения нового неизвестного , где - одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные .

Пример 1. Решим уравнение

Введем новое неизвестное , тогда данное уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t:

Уравнение имеет два корня  и . Следовательно, множество всех решений данного уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений  и . Решая каждое из этих уравнений, находим, что множество решений :

, , .

Пример 2. Решим уравнение

Имеющее новое неизвестное . Данное уравнение превращается в рациональное уравнение с неизвестным t:

,

Имеющее два решения ,.

Значит, множество решений данного уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений:

, .

Решая каждое из этих простейших тригонометрических уравнений, находим, что множество решения состоит из двух серий решений.

.

В следующем примере рассмотрим тригонометрическое уравнение при решении которого используются некоторые тождественные преобразования.

Пример 3. Решим уравнение

Применяя основное тригонометрическое тождество  , перепишем уравнение в виде

Введем новое неизвестное  , тогда уравнение превращается в квадратное с неизвестной t:

Уравнение имеет два корня ,. Поэтому множество решений уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений  и . Решение первого состоит из двух этих серий. Второе уравнение не имеет решений , следовательно, решение уравнений состоит из двух серий:

, .

II тип: однородные уравнения первой степени.

Это уравнения вида:

,

где A,B и C – данные числа и .

Рассмотрим первый случай:

         Так как , то, разделив обе части уравнения на число , перепишем уравнение в виде

где   

         Так как , то можно подобрать такой угол , что и . Тогда изначальное уравнение можно записать в виде , или в виде

.

         Если подобрать такой угол , что  и , то изначальное уравнение можно записать в виде

.

         Таким образом, решения уравнения (изначального) сводиться к решению простейшего уравнения.

 Пример 4. Решим уравнение

.

         Разделив обе части уравнения на число , перепишем его в виде

         Так как  и , то уравнение изначальное можно записать в виде

         Все решения этого уравнения, а значит, и уравнения изначального, задаются формулами , откуда получаем, что уравнение имеет одну серию решений .

         Рассмотрим второй случай: .

,

где A,B – данные числа и .

         В этом случае уравнение сводится к однородному. Решается методом деления на или . Далее сводим к уравнению относительно  или .

Пример 5. Решим уравнение

.

Разделим на , получим

,

.

         Это простейшее тригонометрическое уравнение . Все решения этого уравнения, а значит, и уравнения изначального, задаются формулами , откуда получаем, что уравнение имеет одну серию решений .

         Данное уравнение ,это уравнение III типа, рассмотрим следующее уравнение относящиеся к этому типу.

Пример 6. Решим уравнение

         Основной метод решения таких уравнений это деление на  или . Далее уравнение сводится к квадратному относительно  или . Однако не всегда возможно пользоваться общим методом решения.

Тогда получаем

         В данном уравнение необходимо вынести за скобку , тогда не происходит потеря решений.

Следовательно, множество всех решений данного уравнения есть объединение множеств решений двух уравнений  и .

Решая каждое из этих уравнений, находим, что множество решений :

, .

8. Задания на усвоения новых знаний.

Делаются по образцу, и помощью учителя.

Студенту раздаются следующие карточки.

Карточка 1
1.

Карточка 2
1.

Карточка 3
1.

Карточка 4
1.

Карточка 5
1.

Карточка 6
1.

Карточка 6
1.

Карточка 7
1.

9. Подведение итогов урока.

Учитель: «Сегодня на уроке мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений, решали уравнения различными методами,».

в журнал.

 Приложение № 1. Опорный конспект - системно-обобщающая схема по решению тригонометрических уравнений.