Лекция № 5
Тема « Ранг матрицы. Обратная матрица.»
1. Определение ранга матрицы.
2. Элементарные преобразования матрицы.
3. Обратная матрица.
1.
Определение ранга матрицы.
Рассмотрим прямоугольную матрицу mxn. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k
столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов,
образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором
k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого
порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров
матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет
наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля,
называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это
означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но
всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А
обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение
0 £ r(A) £ min (m, n).
Ранг матрицы находится либо методом окаймления
миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы
первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более
высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от
нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D,
т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы
равен k.
2. Элементарные
преобразования матрицы.
Элементарными называются
следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля
число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой
строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
Две матрицы называются эквивалентными, если
одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных
преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря,
равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это
записывается так: A ~ B.
Канонической матрицей
называется матрица, у которой в начале
главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых
может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,
например, .
При помощи элементарных преобразований строк и
столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы
равен числу единиц на ее главной диагонали.
Пример 1. Найти методом
окаймления миноров ранг матрицы .
Решение. Начинаем с
миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор
(элемент) М1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце.
Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M2 =
, отличный от нуля. Переходим теперь к
минорам 3-го порядка, окаймляющим М2. Их всего два (можно
добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: = 0. Таким образом, все
окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А
равен двум.
Пример 2. Найти ранг
матрицы А= и привести ее к каноническому виду.
Решение. Из второй строки
вычтем первую и переставим эти строки: .Теперь
из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: ; из третьей строки вычтем вторую; получим
матрицу В = , которая эквивалентна матрице
А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных
преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и
r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец,
умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все
элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не
изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из
всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и
получим каноническую матрицу: .
3. Обратная матрица
Рассмотрим квадратную матрицу
A = .
Обозначим D =det A.
Квадратная матрица А называется невырожденной,
или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной,
или особенной, если D = 0.
Квадратная матрица В называется обратной для
квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е
- единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы
ее определитель был отличен от нуля.
Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1. Обратная матрица вычисляется по формуле
А-1 = 1/D , (1)
где А i j -
алгебраические дополнения элементов a i j.
Вычисление обратной матрицы по формуле (1) для матриц
высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить
обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую
неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно
привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же
порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная
матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе
матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического
вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями
строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований
следует использовать только строки или только столбцы.
Пример 3. Для матрицы А = найти обратную.
Решение. Находим сначала
детерминант матрицы А
D = det А
= = 27 ¹ 0, значит, обратная матрица
существует и мы ее можем найти по формуле: А-1 =
1/D , где Аi j (i,j=1,2,3) -
алгебраические дополнения элементов аi j исходной матрицы. Имеем:
откуда
А-1 = .
Пример 4. Методом
элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .
Решение. Приписываем к
исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных
преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая
одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~. К третьему столбцу прибавим первый, а ко
второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца
вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму:
. Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты
квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,
А-1 = .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.