Урок 1 "Медианы треугольника"

Тема: «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Учебная задача: в совместной деятельности с учителем ввести понятия: перпендикуляра к прямой, медианы, биссектрисы и высоты треугольника, доказать  теорему  о  перпендикуляре, научить  строить  медианы, биссектрисы и высоты треугольника, рассмотреть их основные свойства.

Диагностируемые цели:

В результате урока учащиеся знают понятия перпендикуляра к прямой, медианы, биссектрисы и высоты треугольника, понимают различия между ними и умеют использовать при решении задач; знают о том, что медианы, биссектрисы и высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Методы обучения:

·         Репродуктивный

·         Частично-поисковый

·         Эвристическая беседа

·         Метод УДЕ

Форма обучения: фронтальная.

Средства обучения: традиционные, презентация.

Структура урока:

·         Мотивационно-ориентировочная часть (5 мин)

·         Содержательная часть (35 мин)

·         Рефлексивная часть (5 мин)

Ход урока

В начале урока провести проверку готовности рабочего места учащихся.

Здравствуйте дети. Откроем тетради, запишем число, классная работа. Оставьте пожалуйста одну строку, в конце урока мы вместе попробуем сформулировать тему сегодняшнего урока и запишем ее.

Мотивационно - ориентировочная часть.

Начнем наш урок с того, что вспомним какую тему мы изучали на прошлом уроке? (первый признак равенства треугольников).

Сформулируйте этот признак? (спросить ученика) (если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).

На каком рисунке изображены равные треугольники. (на рисунке №3) (в презентации)

Какие прямые называются перпендикулярными? (две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными если они образуют 4 прямых угла).

А какие углы называются прямыми? (90 градусов).

Какие углы называются смежными? (два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой).

Какие свойства смежных углов мы знаем? (в сумме дают 180).

Найдите на рисунке смежные углы. ( в презентации) (Задание в презентации)

Какие фигуры называются равными? (которые можно совместить наложением).

Теперь вспомним, как располагаются две прямые, перпендикулярные к третьей? ( не пересекаются).

Что такое биссектриса угла? (луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам).

(Вызвать ученика к доске, остальные делают в тетради)

Содержательная часть

Начертите прямую а и отметьте точку А так, чтобы она не лежала на прямой а. Через точку  А проведите прямую, перпендикулярную прямой a с помощью треугольника.(обратить внимание на правильность прикладывания треугольника).

 Точку пересечения этих двух прямых обозначьте буквой Н.

Давайте выделим,  получившийся у нас отрезок АН другим цветом. У такого отрезка в геометрии есть специальное название. Отрезок АН называется перпендикуляром к прямой а из точки А, в этом случае точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чтобы не писать длинное слово перпендикуляр, для него придумали специальное обозначение: . (записать обозначение в тетрадь).

Давайте проведем еще один перпендикуляр из точки А к прямой а. (учащиеся пытаются провести еще перпендикуляры и делают вывод, что это невозможно).

У нас не получается провести еще один перпендикуляр. Какой  мы сможем делать из этого вывод? (из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой)

Верно. Но чтобы мы могли использовать получившееся у нас утверждение, его нужно сначала доказать. Попробуем это сделать.

Док-во: (проводит учитель) Что нам дано? (прямая и точка, не лежащая на этой прямой)

А что нам нужно доказать? (что из этой точки можно провести перпендикуляр к данной прямой)

А что еще? (что этот перпендикуляр единственный)

Давайте начнем с существования перпендикуляра. Обозначим данную нам прямую - ВС, а точку буквой А.

Построим угол ВАС. От точки В отложим угол МВС, равный углу АВС. В начале урока мы вспоминали какие фигуры называются равными. Какие же? (которые можно совместить наложением). А раз наши углы равны, что мы можем с ними сделать? (наложить один на другой). Давайте мысленно перегнем наш рисунок по прямой ВС. На какие тогда лучи наложатся ВА и ВС? (На ВМ и ВС). Хорошо. А с какой точкой совместиться точка А? (ее на рисунке нет). Этой точки нет, но мы же можем сказать на какой прямой она находится? (на прямой ВМ). Отметим эту точку и обозначим ее .

Пересечем прямые А и ВС получим некоторую точку Н.

При указанном наложении луч НА совместится с лучом Н, а значит с каким углом совместится  ( с ВНА1). А раз эти углы совместятся, что из этого следует? (эти углы равны). Как называются эти углы (смежные). А сколько градусов в сумме дают смежные углы? (180). Значит чему будет равен каждый из углов?(90 градусов). Тогда как располагается отрезок АН по отношению к ВС? (перпендикулярен) Значит АН и есть искомый перпендикуляр. (записать в тетрадь из презентации)

Мы доказали, что перпендикуляр к прямой из точки, не лежащей на этой прямой, существует. А что еще нам нужно было доказать? (что это перпендикуляр единственный).

Давайте предположим, что существует еще один перпендикуляр к прямой ВС, назовем его А. Пересекаются ли прямые АН и АН1? (да в точке А) Но в начале урока мы вспоминали как располагаются две прямые, перпендикулярные к третьей. Напомните как? (не пересекаются). Значит мы получили противоречие. Такой метод доказательства называется методом от противного.

Скажите с чем именно у нас получилось противоречие? (У нас прямые АН и  А пересекаются, а это невозможно).  Можно ли тогда провести еще один перпендикуляр к прямой ВС из точки А? (нет). Правильно. Значит перпендикуляр к прямой из точки, не лежащей на этой прямой единственный.

Наше утверждение доказано и оно называется теоремой. Теперь мы модем ее использовать.

А сейчас давайте поговорим про треугольники. Сегодня мы познакомимся с некоторыми отрезками треугольников, обладающих полезными свойствами. Но для начала решим такую задачу: нужно доказать, что треугольники АВД и ВДС, изображенные на рисунках равны. (в презентации)

Решение:

1.  АВ=ВС, АД=ДС  тогда треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

2.  АВ=ВС, ВД – общая сторона, тогда треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

3. АД=ДС, ВД – общая сторона,  (ВД – перпендикуляр) тогда треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Давайте посмотрим на первый рисунок и на отрезок ВД. Чем является точка В? (вершиной угла треугольника). А точка Д? (серединой стороны АС). А чем является сторона АС по отношению к углу В? (противоположной стороной).  Т.е. отрезок ВД соединяет вершину угла треугольника и… (середину противоположной стороны)

Верно. В геометрии есть название для такого отрезка. Это название медиана треугольника. Может ли кто-то сформулировать определение целиком? Медиана треугольника – это (отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с серединой противоположной стороны). (пометить определение в учебнике) ). Рисунок из презентации перерисовать в тетрадь. Подписать название.

Медина в переводе с латинского означает «средняя». Поэтому и такое название.

Теперь посмотрим на второй рисунок. Чем является отрезок ВД для угла В? (биссектрисой угла). Для треугольника АВС ВД так же называется биссектрисой, только в треугольнике это уже не весь луч, а его часть - отрезок.  Что соединяет этот отрезок? (вершину угла и точку на противоположной стороне). Попробуем сформулировать определение. Биссектриса треугольника – это (отрезок биссектрисы угла), который соединяет (вершину угла и точку на противоположной стороне) (пометить определение в учебнике). Биссектриса в переводе с латинского означает «двойное разрезание». Отсюда и такое название. Рисунок из презентации перерисовать в тетрадь. Подписать название.

И нам осталось поговорить про третий рисунок. Чем является точка В? (вершина угла треугольника).  А точка Д? (точка противоположной стороны).

Давайте продолжим отрезок ВД после точки Д и отрезок АС в обе стороны.

 

Что можно сказать про прямые ВД и АС? (они перпендикулярны). Тогда чем является отрезок ВД относительно прямой АС. (он является перпендикуляром к прямой АС).

Итак, мы получили, что ВД – это перпендикуляр, опущенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащий противоположную сторону. В геометрии такой отрезок называется высотой треугольника. (пометить определение в учебнике) Рисунок из презентации перерисовать в тетрадь. Подписать название.

Возникает вопрос, а почему именно такое определение высоты. Почему нельзя сказать, что это перпендикуляр, опущенный к противоположной стороне треугольника? Почему говорят «к прямой, содержащей противоположную сторону»? Попробуем в этом разобраться. (к доске вызывается ученик, остальные делают в тетрадях)

Нарисуйте тупоугольный треугольник. Тупой угол обозначьте буквой А.

Каким является угол В? (острым). Проведите высоту угла В (у учеников  не получается провести высоту к стороне). Тогда давайте продолжим сторону АС. Теперь мы можем провести высоту из точки В к прямой АС? (да). Проведите эту высоту. Где находится основание высоты?(вне отрезка АС). А принадлежит ли оно прямой АС? (да).  Поэтому и говорят, что высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины угла к прямой, содержащей противоположную сторону.

Сколько медиан, биссектрис и высот у одного треугольника? (3)

Далее нарисовать несколько треугольников и в каждом провести все медианы, все биссектрисы и все высоты. (3 человека вызываются к доске)

Сколько точек пересечения получилось у медиан наших треугольников? (1) а у биссектрис и высот? (1)

Существует свойство: все медианы треугольника пересекаются в одной точке, все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, все высоты треугольника также пересекаются в одной точке. Только запомните: точки пересечения у медиан, биссектрис и высот разные. Мы пока не можем доказать данное свойство, потому что у нас не хватает знаний, но в 9 классе мы его обязательно докажем.

Как вы думаете надо ли проводить все медианы в треугольнике деля каждую сторону пополам? (нет)

А сколько достаточно провести? (2)

А как тогда найти третью? (провести отрезок из вершины через точку пересечения двух других медиан) (тоже самое для биссектрис и высот)

Рефлексивно-ориентировочная часть.

1.      Дайте название отрезкам, изображенным на рисунке. (в презентации)

 

 

 

2.      (к доске вызывается ученик (для каждого рисунка))

Нарисуйте остроугольный треугольник АВС. Проведите в нем все высоты.  Где находится точка пересечения высот? (внутри треугольника)

Нарисуйте тупоугольный треугольник MNP. Проведите в нем все высоты.  Где находится точка пересечения высот? (вне треугольника)

Нарисуйте прямоугольный треугольник TSQ и проведите в нем все высоты. Где находится точка пересечения высот? (совпадает с вершиной прямого угла)

Наш урок подходит к концу. Давайте вспомним все, что сегодня изучили. (вспоминают) Попробуем сформулировать тему занятия. Кто может сказать тему? (перпендикуляр к прямой. Медиана, биссектриса и высота треугольника). Правильно. Перелистните тетрадь на начало урока и впишите тему на пропущенное место.

Не забудьте записать домашнее задание.

Дз. Определения и свойство медианы, биссектрисы и высоты треугольника,  определение перпендикуляра к прямой и теорема. №100-104

Всем спасибо за урок. До свидания.