Урок "Определенный интеграл, его свойства"

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ,

его СВОЙСТВА

1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке  определена непрерывная и неотрицательная функция .

Определение. Криволинейной трапецией называется часть плоскости, ограниченная графиком функции , осью Ох () и отрезками прямых , .

Пусть требуется найти площадь криволинейной трапеции.

Для этого разобьём отрезок  точками  на n частичных отрезков и положим , . Наибольшую из этих разностей обозначим через : . На каждом частичном отрезке  выберем произвольную точку : . Произведение  даст площадь прямоугольника с основанием  и высотой , тогда приближённо площадь  криволинейной трапеции  равна сумме:

, .

Эта сумма называется интегральной суммой.

Если увеличить количество частичных отрезков так, что длина любого из них будет стремиться к нулю, то данная интегральная сумма будет стремиться к площади  криволинейной трапеции:

                                                               , .                                                        (1)

2. Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл

Определение. Если предел (1) интегральной суммы существует, не зависит от способа разбиения отрезка  на части и от выбора точек   в них, то этот предел называется определённым интегралом от функции  на отрезке  и обозначается .

Таким образом,

.

При этом функция  называется подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением, числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), x - переменной интегрирования.

Определение. Функция , для которой на отрезке  существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла: если функция  непрерывна и неотрицательна на отрезке , то  геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – отрезком  оси , с боков – отрезками прямых , .

3. Свойства определённого интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию  интегрируемой на отрезке .

1. При перестановке пределов интегрирования знак определённого интеграла изменяется:

.

2. Определённый интеграл от функции с равными пределами интегрирования равен нулю:

.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:

, .

4. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций:

.

5. Определённый интеграл по отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям:

, где .

6. Если функция   - чётная  на отрезке , то выполняется равенство

.

7. Если функция  - нечётная на отрезке , то выполняется равенство

.

4. Вычисление определенного интеграла

Теорема. Если функция  интегрируема на отрезке  и  – первообразная функции  на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница:

.

Эта формула позволяет вычислить определённый интеграл, зная какую-либо первообразную для интегрируемой функции. Первообразную для функции  можно найти, вычисляя неопределённый интеграл от этой функции.

Замечание.

Для краткости записи употребляется обозначение .

ПРИМЕРЫ.

1) .

2) .