АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ПРАВОСЛАВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ШКОЛА-ПАНСИОН
“ПЛЕСКОВО”
Методическая разработка
урока-лекции по теме:
«Квадратные уравнения»
учителя математики Анисимовой Светланы Вениаминовны
Конспект лекционного урока в 8
классе
на тему «Квадратные уравнения» методом
интенсивного обучения
Урок – лекция
реализует технологию укрупнения дидактических единиц.
Цели: достижение целостности математических знаний
как главное условие развития и саморазвития интеллекта учащихся. Обучение на
определенном уровне трудностей, высокий темп обучения, а не топтания на месте,
непрерывное повторение, ведущая роль теоретических знаний, воспитание
познавательного интереса.
Этапы урока
1.
Организационный момент.
Объявление темы урока, плана, целей и задач, раздача индивидуальных конспектов.
(5 мин.)
2.
Вступление. Из истории
решения квадратных уравнений. (8 мин.)
3.
Новый материал.
Закрепление нового материала. (45 мин.)
4.
Закрепление теории –
решение кроссворда (7 мин.)
5.
Дидактическая игра (10
мин)
6.
Подведение итогов, домашнее
задание (5 мин.)
Ход урока
1.
Вступление (из истории уравнений).
Необходимость решать уравнения 2
степени возникла еще в глубокой древности при нахождении площадей земельных
участков, в связи с земляными работами военного характера, а также с развитием
астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет
до н.э. вавилоняне. В клинописях встречаются такие квадратные уравнения:
х2 + х =, х2 – х = 14 .
А в древней Индии были распространены публичные
соревнования по решению трудных задач. Вот одна из таких задач индийского
математика 12 века Бхаскары:
«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что
он знал о двузначности корней квадратного уравнения, т.к. решает он так:
() 2 + 12 = Х ,
Х2 – 64Х =
– 768, затем дополняет левую часть до полного квадрата, прибавляя к обеим
частям 322, получает:
Х2 –64Х +
322 = –768 + 1024,
(Х–32)2 =
256,
Х – 32 = ± 16,
Х1=16, Х2=
48.
ЛЕКЦИЯ
Перед объяснением
нового материала учащимся раздаются краткие конспекты лекции (приложение 1).
Части лекции проектируются
на экран интерактивной доски.
К каждой части
лекции на доске решаются примеры.
Лекция начинается с
объяснения 1 части, затем к ней разбираются примеры. Затем объясняется 2 часть
лекции и показывается ее применение на примерах, записанных на доске и т.д.
Первичное объяснение идет в быстром темпе при активном участии ребят.
Записи на доске
к каждой части лекции.
1 часть лекции
Задание 1.
Под какими цифрами квадратные
уравнения? Выпиши их в тетрадь.
1.
5х2 – 24х – 6 =
0,
2.
4х –28 = 0,
3.
х 4 –64 =0,
4.
х2 = 0,
5.
х2 –56 =0,
6.
25х +9 =0,
7.
х2 – 3х + 5 =
0,
8.
х2 +10=0,
9.
х4 + 4х2 –12 =0
Задание 2.
Выпишите коэффициенты
каждого квадратного уравнения.
а) 3х2 – 2х + 1 = 0,
б) х2 + 5х = 4,
в) – х2 – х + = 0,
г) – 4х2 – 2 = 0,
д) х2 + х = 0.
Отметьте приведенные
квадратные уравнения.
2 часть лекции
Решите уравнения:
а) 2х2 – 8 = 0; б) 5х2
+ 10 = 0;
х2 =4;
х2 = –2.
х1=2; х2= –2.
Ответ: корней нет
Ответ: 2; –2.
в) 3х2 – х = 0;
г) – 6х2 = 0;
х∙(3х – 1) = 0;
х=0.
х1=0; х2=. Ответ: 0.
Ответ: 0; .
3 часть лекции
Вычислите дискриминант и сделайте вывод о числе корней квадратного
уравнения:
1) 2 х2 –9х + 10 = 0;
D= b2 – 4ас= (−9)2 −4∙2∙10=1 >0 - 2 корня.
2) х2 –10х + 25 = 0;
= () 2 – ас = 25–25=0 – 1 корень.
3) х2 –3х + 7 =0;
D= b2 – 4ас= 9−28 < 0 – нет корней
4 часть лекции
По формуле корней квадратного уравнения найдите корни
уравнения:
а) 5 х2 –х – 4 =0;
D=1+80=81 >0;
х1,2 = ;
х1 = =1; х2 = = – 4/5.
Ответ: 1; - 0,8.
б) 4 х2 –12х +9 =0;
= 36–36=0;
х=1,5.
Ответ: 1,5.
5 часть лекции
Задание 1.
По теореме, обратной теореме Виета, не вычисляя, найдите сумму и
произведение корней уравнения. Попробуйте найти корни уравнения подбором.
х2 + 8х + 7 =0;
D >0;
х1 ∙ х2 =7, х1+ х2 = –8.
Þ х1= – 1; х2= – 7.
Ответ: –7;
–1.
Задание 2.
Составьте
квадратное уравнение, если его корни равны –3 и 5.
х1∙ х2 = –15= с,
х1+ х2 = 2 = –b, b= –2.
Ответ: х2 – 2х –15 =0.
Все записи учащиеся делают в классной тетради - это образцы решений.
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
11
|
|
12
|
|
|
|
|
|
6
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.
Закрепление теории
– решение кроссворда.
1. Какое
число является решением неполного квадратного уравнения при b=0 и
с=0?
2. Решение квадратного уравнения.
3. Имя Виета.
4. Сколько
корней имеет квадратное уравнение, если его D>0?
5. Какой национальности Виет?
6. Как с латыни переводится D?
7. Какой коэффициент при х2 в приведенном квадратном
уравнении?
8. Что исследуется в квадратном уравнении для нахождения числа корней уравнения?
9. Как
называется теорема Виета, помогающая подбором находить корни приведенного
квадратного уравнения?
10.Каким
должен быть коэффициент в квадратном уравнении, чтобы его корни можно было
искать, используя ?
11.
Какой знак сравнения должен стоять между D и 0, чтобы квадратное уравнение не имело
корней?
12. Фамилия
французского математика, который разработал основы элементарной алгебры, ввел
буквы и развил теорию квадратных уравнений.
Ответы на кроссворд
(приложение 2)
4. Дидактическая игра
Класс делится на 2 команды- 1 и 2 варианты. Ответы на вопросы могут
быть трех видов: да, нет, прочерк (не знаю).
1. Уравнение х2 – 2х + 1 =0 имеет один корень.
Да.
2. Уравнение 2 х2 -6х + 5 =0 имеет два корня.
Нет
3. Уравнение -8 х + х2 − 3 =0
приведенное. Да
4. В уравнении х2 + х − 6 =0, х1= 2; х2=
−3. Да
5. Уравнение х2 +9 =0 имеет два
корня. Нет
6. В уравнении х2 –6х +9=0 один корень.
Да
7.
В уравнении 7х2
–6х=0 один корень равен нулю. Да
8. Уравнение 2х (1-х ) =6 не квадратное. Нет
Учащиеся отвечают на вопросы, записывая ответы в колонку. Затем
обмениваются тетрадями по вариантам. Заполняется таблица правильных ответов.
№ вопросов
|
1вариант
|
2вариант
|
Дополнительные очки
|
1
|
|
|
|
2
|
|
|
|
3
|
|
|
|
4
|
|
|
|
5
|
|
|
|
6
|
|
|
|
7
|
|
|
|
8
|
|
|
|
всего
|
|
|
|
Начинается обсуждение решений. За правильное объяснение команде
присуждается дополнительное очко (за различные способы решения тоже 1 очко).
При объяснении учащиеся еще раз повторяют теорию, применяя ее к решению
конкретных задач.
5. Итог урока.
Учащиеся получают контрольные вопросы и еще раз, отвечая на
них, повторяют материал лекции.
1. Какие уравнения называются квадратными? Что
такое a , b, c ?
2. Какое квадратное уравнение называется
приведенным? Как из неприведенного уравнения сделать приведенное?
3. Формулы дискриминанта при четном и нечетном b.
4. Как определить число корней по D?
5. Формула корней при D >0,
формула корня при D=0?
6. Формула корней при >0, формула корня при =0?
7. Определение неполного квадратного уравнения при b=0.
Исследование числа корней.
8.
Определение неполного
квадратного уравнения при с=0. Исследование числа корней.
9. Определение неполного квадратного
уравнения при b=0, с=0. Исследование числа корней.
10. Теорема Виета (прямая и обратная).
Применение теоремы Виета.
Еще раз учащиеся повторяют теорию, отгадывая кроссворд наоборот.
Приложение 1.
Лекция «Квадратные уравнения» (конспект для учащихся)
3 часть
Формула I: 1) Если D=b2-4ас >0, то 2) Если D=0, то х= -.
х1,2
= ;
Формула II: Если = () 2 - ас >0, то 2)
Если =0, то
– ± х=
Х1,2 = ----------------- ;
а
4 часть
а) b=0 б) с=0
в) b=0, с=0
ах2 +с=0 (а≠0, с≠0);
ах2+bх =0 (а≠0, b≠0);
ах2=0 (а≠0)
ах2 = - с ;
х(ах+b)=0 х=0
х2 = ;
х=0 или ах+b=0
х1,2=± ,
2 корня,если >0 х=
1 корень, если <0
5 часть
Франсуа Виет.
ах2+bх+с=0
(а≠1)
х2 +х +=0
х2+p х +qа =0
х1+х2=-p
х1 ∙ х2=q
Проверка корней!
Приложение
2
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О
|
10
|
11
|
|
12
|
|
|
|
|
|
6
|
7
|
|
Б
|
Ч
|
М
|
|
В
|
|
|
|
|
|
Р
|
Е
|
|
Р
|
Е
|
Е
|
|
И
|
|
|
|
|
|
А
|
Д
|
|
А
|
Т
|
Н
|
|
Е
|
|
|
|
|
|
З
|
И
|
8
|
Т
|
Н
|
Ь
|
|
Т
|
|
|
|
|
|
Л
|
Н
|
Д
|
Н
|
Ы
|
Ш
|
|
|
|
|
|
|
5
|
И
|
И
|
И
|
А
|
М
|
Е
|
|
|
|
2
|
3
|
|
Ф
|
Ч
|
Ц
|
С
|
Я
|
|
|
|
|
1
|
К
|
Ф
|
4
|
Р
|
И
|
А
|
К
|
|
|
|
|
|
Н
|
О
|
Р
|
Д
|
А
|
Т
|
|
Р
|
|
|
|
|
|
У
|
Р
|
А
|
В
|
Н
|
Е
|
|
И
|
|
|
|
|
|
Л
|
Е
|
Н
|
А
|
Ц
|
Л
|
|
М
|
|
|
|
|
|
Ь
|
Н
|
С
|
|
У
|
Ь
|
|
И
|
|
|
|
|
|
|
Ь
|
У
|
|
З
|
|
|
Н
|
|
|
|
|
|
|
|
А
|
|
|
|
|
А
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы кроссворда
1. Какое
число является решением неполного квадратного уравнения при b=0 и
с=0?
2. Решение квадратного уравнения.
3. Имя Виета.
4. Сколько
корней имеет квадратное уравнение, если его D>0?
5. Какой национальности Виет?
6. Как с латыни переводится D?
7. Какой коэффициент при х2 в приведенном квадратном
уравнении?
8. Что исследуется в квадратном уравнении для нахождения числа корней уравнения?
9. Как
называется теорема Виета, помогающая подбором находить корни приведенного
квадратного уравнения?
10.Каким
должен быть коэффициент в квадратном уравнении, чтобы его корни можно было
искать, используя ?
11.
Какой знак сравнения должен стоять между D и 0, чтобы квадратное уравнение не имело
корней?
12. Фамилия
французского математика , который разработал основы элементарной алгебры, ввел
буквы и развил теорию квадратных уравнений.
Отгадай получившиеся
слова!
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.