Урок по теме "Решение неравенств методом интервалов"

Тема урока: «Решение неравенств Методом интервалов»

(Тип урока: комбинированный урок)

Цели урока:

1.  Актуализировать знания учащихся о неравенствах и организовать работу по выявлению теоретической обоснованности Метода интервалов для решения неравенств.

2.  Воспитывать активную жизненную позицию.

3.  Развивать алгоритмическое мышление, культуру речи, навыки самостоятельной и групповой работы.

Оборудование: мультимедийный компьютер, проектор, презентация к уроку, бланки-таблицы для самостоятельной работы, учебники алгебра 9 класс Макарычев.

План урока:

1.     Оргмомент (1-2мин)

2.     Устный счет (10мин)

3.     Введение нового материала (15-20мин) + сопутствующий контроль (5мин)

4.     Сопутствующее закрепление (групповая работа) (10 мин)

5.     Проверка и анализ результатов групповой работы (15мин)

6.     Домашнее задание (3мин)

7.     Подведение итогов(5мин)

Использование доски:

         Закрыта                                           Открыта

 

1.     ; 5.; 6. – Записаны задания для устного счета

3. – № урока, тема урока, план работы, Д/з

4.; 2. – Запись 1. и 2. линейных неравенств.

Ход урока:

1.     Оргмомент Здравствуйте. Приготовьтесь к уроку.

Учитель: Ребята, что на уроках математики вам чаще всего приходится делать? (считать, вычислять, …).

Учитель: Правильно. Какую бы тему мы не изучали, всегда в конечном итоге все сводится к вычислениям и расчетам. Сейчас мы проверим, какой ряд лучше настроился на работу. Готовы?

2.     Устный счет На доске записаны 3 варианта примеров (для 3-х рядов). Опрос в хаотичном порядке. Будьте внимательны!

I ряд	II ряд	III ряд
-10+13=	-15-6=	23-71=
2,5+2,05=	2,5-2,05=	-2,5+2,05=
-7×(-8)=	-7×9=	7×(-6)=
0,5×100=	5×0,01=	-0,3×0,2=
1/3+1/3=	-2/3+1/3=	1-1/3=
36:100=	40:0,1=	5,3:0,01=
-54:20=	360:200=	44:0,2=
536-98=	429+44=	268+198=
49:0,49=	0,83:83=	35:0,7=

Подведение итогов. Лучше всех настроился на работу ____ ряд. Все остальные ребята, по крайней мере, проснулись. Идем дальше.

Звучит песня  «Есть только миг» из к/ф «Земля Санникова»  (на компьютере подготовлен звуковой файл для воспроизведения)

Учитель: А что такое миг? (очень короткий промежуток или интервал времени). Название песни перекликается с темой сегодняшнего урока.

(Учитель открывает часть доски, где записана тема урока) В тетрадях запишите тему урока «Решение неравенств Методом интервалов».

Время, отведенное на урок математики, вам покажется 1 мигом, но не пролетит бесследно, если вы будете активно работать, смело и грамотно рассуждать и мы вместе найдем ответы на все поставленные вопросы.

(Нацелить учащихся на работу) Сегодня мы должны вспомнить всё, что нам известно о неравенствах, изучить Метод интервалов, составить алгоритм решения и научиться использовать его для быстрого и верного поиска решения.

3.     Введение нового материала (частично-поисковый метод)

Вы умеете решать неравенства Методом равносильных преобразований. Давайте вспомним свойства неравенств и способ решения.

2 человека работают у доски, решая линейные неравенства.1-й комментирует решение.

1)

6-3х≤24;

-3х≤24-6;

(перенесли слагаемое из одной части неравенства в другую с противоположным знаком)

-3х≤18;

(разделим обе части на число -3, т. к. делитель - отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный)

х≥-6

(изобразим множество решений на числовой оси)

 

Множеством решений является промежуток [-6;+¥]

Ответ: [-6;+¥]

2)

15(х+3)<0;

х+3<0;

х

-3

х<-3

хÎ(-¥;-3)

Ответ: (-¥;-3)

Замечание: Вспомнить и проговорить геометрическое изображение и обозначение различных промежутков (интервалов, отрезков, полуинтервалов, лучей)

Сопутствующий контроль: (самостоятельная работа)

Заполнить бланки-таблицы (у каждого учащегося на парте имеется заготовка)

Тип неравенства	Знак неравенства	Вид точки	Включение точки в промежуток	Обозначение промежутка (вид скобки)
Строгое
Нестрогое

Учитель: Сдать работы. Проверка и обобщение проходит с использованием компьютера, с помощью которого проецируется образец результата.

Тип неравенства	Знак неравенства	Вид точки	Включение точки в промежуток	Обозначение промежутка (вид скобки)
Строгое	<;>		исключается	(;) круглые
Нестрогое	≤;≥		включается	[;] квадратные

Учитель: Т.о. мы вспомнили способы записи промежутков и Метод равносильных преобразований для решения линейных неравенств. Метод интервалов считается более удобным для решения квадратичных, дробно рациональных неравенств, хотя этим методом можно решать и линейные неравенства тоже.

Теоретической базой Метода интервалов

является факт из курса Математического анализа,

что если на интервале функция непрерывна

и не обращается в нуль, то она на этом интервале

 сохраняет постоянный знак.

1)    Посмотрите на график функции и укажите

 нули функции (точки, где f(x)=0 )

2)    Точки разбивают область определения на

интервалы (укажите и назовите  их количество)

3)    На каждом интервале определить знак функции. Закрасить красным мелом интервал, где f(x)>0; синим – интервал, где f(x)<0

Учитель: Что происходит со знаком функции, при переходе через точку, в которой f(x)=0?

( Функция меняет свой знак на противоположный).

Это не всегда так. Иллюстрация случая: функция обращается

в ноль в точке х=1, но не меняет свой знак!

4) Цель решения неравенства – выбрать все промежутки,

на которых выполняется требуемое условие.

Учитель:  Таким образом, мы пришли к алгоритму, который можно использовать при решении неравенств Методом интервалов. (С помощью проектора высвечивается алгоритм, учащиеся ещё раз вслух его читают )

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1.     Найти нули функции y=f(x) (числитель приравнять к нулю и решить уравнение) и значения, в которых функция не существует (знаменатель приравнять к нулю и решить уравнение)

2.     Отметить на числовой оси найденные точки, исследовать знак функции на каждом из полученных интервалов.

3.     Выбрать промежутки, удовлетворяющие заданному условию и записать ответ.

Замечание 1. Если в разложении все множители различны, то знаки на промежутках чередуются.

Замечание 2. Если в разложении есть несколько одинаковых множителей, то

в случае их четного количества, знак промежутков, прилегающих к точке, обращающей в нуль этот множитель, не изменяется;

в случае их нечетного количества, знаки промежутков чередуются.

Замечание 3. Если все коэффициенты перед переменной х положительны, то знак крайнего правого промежутка «+»

Если есть отрицательные коэффициенты, то в случае их четного количества, знак крайнего правого промежутка«+» ; в противном случае « - »

Рассмотрим примеры ( работают у доски «сильные» учащиеся)

Пример 1.  

Рассмотрим функцию  

1.  Найдем нули функции: (х+1)(х-5)=0;

   х=-1; х=5

2. Найдем ОДЗ: х(х-1)≠0; х≠0; х≠1

+          –        +          –            +

3. Отметим на числовой оси найденные точки и определим знаки функции на каждом из полученных промежутков:

-1         0          1          5          х

4. f(x)<0 при хÎ(-1;0)È(1;5)

Ответ: (-1;0)È(1;5)

Пример 2.  

Рассмотрим функцию

1. Нули функции: х=0; х=1; х=-1.

2. ОДЗ:  х≠2; х≠3

+          –        –       +    –         +

-1         0        1      2       3       х

3. Отметим на числовой оси точки и определим знаки функции на промежутках: (при переходе через х=0 знак не меняется!)

4. хÎ(-¥;-1] È[1;2) È (3;+ ¥)

Ответ: (-¥;-1] È[1;2) È (3;+ ¥)

Пример 3.

1.     Нули функции: х=-2; х=0,6. Функция не существует в точке х=-0,5

2.    

+          –          +          –

-2       -0,5        0,6      х

Отметим на числовой оси точки и определим знаки

3.     Ответ: [-2;-0,5) È [0,6; +¥)

Подвести итоги.

4. Сопутствующее закрепление. (групповая и индивидуальная работа)

Группы по 4 человека. На партах лежат карточки. Каждый учащийся должен решить 1 неравенство в карточке. Группа сама распределяет кому какое неравенство решать, те учащиеся, которые быстро справляются с заданием, проверяют и помогают тем, кто испытывает затруднение в решении неравенства)

Варианты заданий в Приложении 1.

Учитель: Мы начали изучение раздела «Применения производной», в котором узнаем и научимся использовать физический и геометрический смысл производной. Научимся исследовать функции и строить их графики. Но при нахождении промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов вам каждый раз пройдется решать неравенства. Проверим, готовы ли вы к такой работе.

5. Проверка и анализ групповой работы.

Поочередно группа каждого варианта готовит решение у доски (4 чел одновременно работают). Сидящие на месте задают вопросы (см дополнительные вопросы в Приложении 1)

6. Домашнее задание.  Учебник «Алгебра 10-11» стр.125 –выучить, №244

Творческое задание (по желанию ). Ставится дополнительная оценка.

Учитель: Кто-нибудь из ребят занимается туризмом, может-быть ходил в горы? Вы знаете, что есть маршрут перехода из г. Майкопа через горы с выходом к морю. Задание: Составьте схему этого маршрута. Укажите участки кривой маршрута с отметкой «выше уровня моря», «ниже уровня моря». Укажите высоту в местах привалов.

7. Подведение итогов.  

Учитель: Чему  вы научились на этом уроке? Вам понятен Метод интервалов? Осталось оттачивать технику, чем мы с вами будем регулярно заниматься, т.к. этот метод используется при решении многих задач.

Мне очень понравилось ваша работа на уроке. Спасибо, ребята, за урок!

Хотелось бы узнать ваши эмоции.

На экране с помощью проектора отображаются смайлики.

 

Доволен           Устал, окосел     Недоволен           Безразличен

Учитель У вас на столах листы бумаги. Изобразите подходящий смайлик и прикрепите к доске. Проанализировать эмоциональный фон.

         Урок окончен, до свидания.

Краткое описание документа:

Метод интервалов считается более удобным для решения квадратичных, дробно рациональных неравенств, хотя этим методом можно решать и линейные неравенства тоже.

Теоретической базой Метода интервалов

является факт из курса Математического анализа,

что если на интервале функция непрерывна

и не обращается в нуль, то она на этом интервале

сохраняет постоянный знак.