Задания по математике "Профиль ЕГЭ"

Задание 17. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы мог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение.

Обозначим через  сумму кредита (долга), через  размер процентной годовой ставки, через  ежегодные выплаты банку в 2 равных платежа, через  выплаты банку в 3 равных платежа.

Рассмотрим случай, когда Савелий выплачивал банку кредит тремя равными платежами. В конце первого года сумма кредита сначала была увеличена на p процентов годовых

,

где , а затем, уменьшена на величину выплаты

.

Во втором годе были выполнены аналогичные операции, т.е.

,

и аналогично в третий год

.

Через три года кредит был погашен, следовательно,

или, выражая величину , имеем

.

Подставляя числовые значения, получим:

,

.

Теперь рассчитаем сумму платежа, который Савелий платил бы двумя равными платежами. В первый год сумма долга равнялась бы

,

во второй год

.

И так как весь долг выплачивается в 2 года, то получаем уравнение

Подставляя числовые значения, получаем

.

Теперь рассчитаем насколько меньше отдал бы банку Савелий, если бы выплачивал двумя равными платежами:

,

то есть на 506250 рублей.

Ответ: 506250.

Задание 17. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 7000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение.

Обозначим через  га площадь посева картофеля и рассчитаем кривую доходности с первого поля в зависимости от объема посева картофеля, имеем (здесь 5000=5 тыс. руб и 7000=7 тыс. руб):

Это выражение показывает линейную функцию с угловым коэффициентом 100, т.е. функция возрастающая, следовательно, ее максимальное значение соответствует  га, т.е. все первое поле следует засевать картофелем.

Для второго поля имеем:

Угловой коэффициент у линейной функции равен -1100, следовательно, ее максимальное значение будет соответствовать точке , т.е. второе поле целиком следует засевать свеклой.

В результате, получаем максимальный возможный доход для фермера будет равен

То есть 36000 тыс. рублей или 36 000 000 рублей.

Ответ: 36 000 000.

Задание 17. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Чтобы выплавлять максимальный объем сплава, необходимо на завод доставлять алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Необходимо рассчитать число рабочих, добывающих алюминий совместно в обеих шахтах. Обозначим через  число рабочих на добыче алюминия в первой шахте, а через  - число рабочих на добыче алюминия во второй шахте. Учитывая соотношение в добыче 2:1, можем записать его в виде

или, сокращая на 5, имеем

.

Из последнего выражения получаем линейную зависимость  от :

Учитывая линейный характер между  и , максимальный объем выработки материала будет достигаться либо при , либо при , имеем

- при :

объем выплавки сплава равен

 кг;

- при :

объем выплавки сплава равен

 кг.

Ответ: 4500.

Задание 17. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Чтобы выплавлять максимальный объем сплава, необходимо на завод доставлять алюминия в 2 раза больше, чем никеля. В первой шахте работает всего 20 рабочих и они больше добывают никеля, чем алюминия. Поэтому все 20 рабочих следует направить на добычу никеля, получим:

 кг никеля.

На второй шахте 100 рабочих следует распределить так, чтобы получилось соотношение 2:1. Обозначим через  число рабочих, направляемых на добычу алюминия, получим уравнение:

То есть на добычу алюминия следует направить 70 рабочих, имеем:

 кг алюминия

и

 кг никеля.

Таким образом, на завод ежедневно будет поступать 700 кг алюминия и 350 кг никеля, из которых будет изготовлено 1050 кг сплава.

Ответ: 1050.

Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 7 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на четвёртый месяц кредитования нужно выплатить 54 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение.

Пусть  сумма, взятая в кредит в банке. По условию задачи, начальный кредит сначала увеличивается на 2%, т.е. становится равный , а затем, выплачивается платеж так, чтобы сумма долга равномерно уменьшалась каждый месяц, т.е. в первый месяц нужно выплатить , получим:

.

В следующий месяц долг  также увеличивается на 2%, а платеж составляет :

.

На 4-й месяц объем выплат будет равен

 тыс. рублей.

Отсюда находим

То есть размер кредита равен 350 тыс. рублей. За все 7 месяцев будет выплачено

То есть 378 тыс. рублей.

Ответ: 378000.

Задание 17. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение.

Вычислим размер выплат при трех равных платежах. Начальная сумма кредита  увеличивается сначала на 20%, становится равной , а затем, выплачивается платеж . Долг становится равный

.

На следующий год выполняются аналогичные действия:

и в третий раз:

.

Отсюда находим объем выплат

И общий объем выплат в три платежа равен

 рублей.

Найдем объем выплат при двух платежах. Рассуждая аналогично, имеем:

- первая выплата:

,

- вторая выплата:

,

отсюда имеем:

Тогда при двух платежах имеем сумму выплат:

и разница в платежах составляет

 рублей.

Ответ: 806400.

Задание 17. Олег хочет взять в кредит 1,2 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Олег взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 280 тысяч рублей?

Решение.

Олег взял кредит в 1,2 млн. рублей под 10% годовых и каждый год готов выплачивать по 0,28 млн. рублей (взята максимальная сумма, чтобы определить минимальное число лет). В конце года, кредит увеличивается на 10% и гасится на 0,28 млн. рублей, имеем:

.

- во второй год:

- через n лет:

.

Перепишем последнее выражение в виде

.

или

Нам необходимо выполнение неравенства, которое означает полное погашение взятого кредита, т.е.

Прологарифмируем обе части неравенства, получим:

Так как степень должна быть целым числом (кредит берется на целое число лет), то получаем ближайшее целое .

Ответ: 6.

Задание 17. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение.

Для выплавки наибольшего объема сплава, необходимо вырабатывать в обеих областях равное количество алюминия и никеля, чтобы не было переизбытка материала. Для этого во второй области, очевидно, нужно разбить 160 рабочих на две равные группы по 80 человек, которые, работая по 5 часов в сутки, будут добывать

 кг алюминия

и

 кг никеля.

В первой области из 160 рабочих нужно на добычу никеля всех рабочих, т.к. интенсивность выработки никеля максимальна, получим:

 кг никеля.

Таким образом, на завод в сутки, можно направлять 20 кг алюминия и 260 кг никеля, что в сумме составляет 280 кг.

Ответ: 280.

Задание 17. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение.

Обозначим через  га площадь посева картофеля и рассчитаем кривую доходности с первого поля в зависимости от объема посева картофеля, имеем (здесь 10000=10 тыс. руб и 11000=11 тыс. руб):

Это выражение показывает линейную функцию с угловым коэффициентом 700, т.е. функция возрастающая, следовательно, ее максимальное значение соответствует  га, т.е. все первое поле следует засевать картофелем.

Для второго поля имеем:

Угловой коэффициент у линейной функции равен -1400, следовательно, ее максимальное значение будет соответствовать точке , т.е. второе поле целиком следует засевать свеклой.

В результате, получаем максимальный возможный доход для фермера будет равен

То есть 84000 тыс. рублей или 84 000 000 рублей.

Ответ: 84 000 000.

Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 822 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года кредитования?

Решение.

Пусть  размер кредита, взятого в банке. После первого месяца начисляются 2%, что составляет  и нужно сократить долг так, чтобы он уменьшался пропорциональными частями каждый месяц, т.е. нужно выплатить в первый месяц , получим сумму долга на второй месяц

.

Аналогично для второй выплаты, сумма выплачиваемого долга должна составлять  и тогда сумма долга будет равна

.

В результате, сумма выплат за первый год составят:

или в виде

По условию задачи сумма выплаченного долга за первый год составила 822 тыс. рублей, получаем уравнение

То есть сумма кредита составляет 1200 тыс. рублей. Вычислим сумму долга, возвращаемую во второй год кредитования, имеем:

перепишем выражение в виде

Подставим вместо  сумму кредита, получим:

 тыс. рублей.

Ответ: 678000.

Задание 17. Матвей хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Матвей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тысяч рублей?

Решение.

По условию задачи имеем. Матвей взял кредит в 1,4 млн. рублей под 10% годовых и каждый год готов выплачивать по 0,32 млн. рублей (взята максимальная сумма, чтобы определить минимальное число лет). В конце года, кредит увеличивается на 10% и гасится на 0,32 млн. рублей, имеем:

.

- во второй год:

- через n лет:

.

Перепишем последнее выражение в виде

.

или

Нам необходимо выполнение неравенства, которое означает полное погашение взятого кредита, т.е.

Прологарифмируем обе части неравенства, получим:

Так как степень должна быть целым числом (кредит берется на целое число лет), то получаем ближайшее целое .

Ответ: 7.

Задание 17. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Во второй области нужно распределить рабочих так, чтобы они добывали целое количество килограмм алюминия и никеля в день. Учитывая, что имеется 100 рабочих, которые работают по 10 часов в день, можем их разбить на группы в 10 и 90 рабочих, так, чтобы из чисел 100 и 900 извлекался квадратный корень, получим:

 кг алюминия

и

 кг никеля

В первой области рабочих нужно распределить так, чтобы суммарное количество алюминия и никеля было равно, получим

,

где  - число рабочих на добыче алюминия. Решаем уравнение, имеем

Следовательно, первая область должна добывать

 кг алюминия

и

 кг никеля

Таким образом, на завод ежедневно будет поступать 100 кг алюминия и 100 кг никеля, из которых можно будет изготовить 200 кг сплава.

Ответ: 200.

Задание 17. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в стуки, а номер «люкс» – 5000 рублей в стуки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в стуки на своем отеле предприниматель?

Решение.

Предположим, что в отеле  стандартных номеров и  номеров типа «люкс». В сумме по площади они должны покрывать пространство в 940 кв. м. Это можно записать в виде уравнения

Очевидно, что максимальная прибыль будет получена, если вся площадь будет использована под номера без остатка. Это условие можно записать в виде

и

.

Неравенство должно выполняться, иначе значение  будет дробным и не вся площадь будет использована под номера.

Из последнего неравенства имеем

Так как  это число номеров, то оно может принимать значения 1,2,...,22. При этом, если , то , а если , то . Для определения наибольшего дохода достаточно рассмотреть эти два крайних варианта. В первом случае размер дохода составит

,

а во втором

.

Ответ: 125000.

Задание 17. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

В первой шахте 60 рабочих, работающих по 5 часов каждый и добывающих или 2 кг алюминия, или 1 кг никеля. Во второй шахте 100 рабочих, работающих 5 часов и добывающие 1 кг алюминия и 2 кг никеля в час. Чтобы обеспечить максимальный объем выплавки сплава, необходимо добиться соотношения 2:1 в добычи алюминия к никелю. Обозначим через  рабочих, добывающих алюминий в первой шахте, а через  число рабочих, добывающих алюминий во второй шахте, получим

или в виде

.

Отсюда получаем уравнение

Получили линейную зависимость между числом рабочих в первой и второй шахтах. Следовательно, максимальная выплавка сплава будет получена, если взять  или :

- для :

объем выплавки составит:

 кг;

- для :

объем выплавки составит:

 кг.

Ответ: 1320.

Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение.

Пусть  рублей размер кредита, взятого в банке. Каждые 11 месяцев кредит сначала увеличивается на 3%, а затем, из него вычитается часть возвращенного долга таким образом, чтобы сумма кредита уменьшалась каждый месяц на равные доли. Для этого погашать кредит нужно в размере  в первый раз. Долг становится равный

.

Во второй раз долг увеличивается также на 3% и погашается в размере :

и так далее все 11 раз. В результате имеем следующую сумму выплат банку за весь срок кредитования:

.

Перепишем это выражение в более удобной форме:

Из последнего выражения видно, что первоначальная сумма кредита  увеличилась в 1,18 раз, то есть на 118%.

Ответ: 118.

Задание 17. 31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит очередной транш. Антон выплатит кредит за два транша, переведя первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Антону?

Решение.

Антон взял в банке кредит  тыс. рублей (один миллион рублей). Обозначим через  процентную ставку (годовых), под которую Антон взял этот кредит. Первую выплату обозначим как  тыс. рублей, вторую – как  тыс. рублей. Тогда, в первый год сумма долга составит

,

где . И после выплаты первого транша Антоном, станет равной

.

Во второй год сумма долга будет равна

и после второй выплаты будет равна

.

По условию задачи Антон выплатил весь кредит за 2 года, следовательно

После подстановки числовых значений, получаем квадратное уравнение

Решаем квадратное уравнение относительно m, получаем корни

и так как ставка не должна быть отрицательной, имеем

Подставляем вместо m выражение , находим процентную ставку

то есть Антон взял кредит под 10% годовых.

Ответ: 10.

Краткое описание документа:

В данном материале представлены решения задания №17 ( алгебра) из профильного уровня ЕГЭ по математике.Документ содержит не только условия задач, но также и их решения.Также прилагаются чертежи.

Эти задачи могут служить вспомогательным материалом как для учителей , так и учеников.Проверить и закрепить практические навыки при систематическом изучении курса стереометрии. Данный материал можно использовать как дополнительный.