Конспект урока "Абсолютная величина"

Занятия 1

              Тема: Абсолютная величина действительного числа а.

Цель: 1. повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть свойства модуля; закрепить навык в  упрощении выражений, содержащих модуль.

2. Развивать логическое мышление, память учащихся.

3. Воспитывать интерес к математике, ответственное отношение к учебному труду.

Оборудование: ТСО

Ход занятия

I. Лекция:

Свойства модуля: |аb|=|а||b|, |а|0 |а2| = |а| 2 = а2    (b0)

1. Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательное, и число противоположное а, если а отрицательное.

    

Пример:      так как  

2. Рассмотреть  основные свойства модуля       

Пример:   Упростить выражение

         Решение: Дробь определена для любых значений а.

При

 При а<0  

Возможно другое решение:  Учитывая свойство  |а²| = |а|² = а²,  имеем:                 Ответ: а–2 при а≥0, –(а+2) при а<0.

Пример:  Упростить выражение

Решение: Дробь определена при . Выражения, стоящие под знаком
модуля обращаются в нуль в точках 0;1. Данные точки делят числовую ось (рис.12) на интервалы .

знак

 

Упростим дробь на каждом из интервалов:

а<0:          0≤а<1:  

а >1:     

Ответ:       при  а<0;   1-а   при  0≤а<1;   а-1         при а >1.

3. Геометрическая интерпретация модуля.

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа.

         Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета или длина соответствующего отрезка, величина которого  всегда  неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа а будет рассматриваться как расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число (рис. 13).

Пример: Решить уравнение .

Решение: Поскольку является расстоянием между неизвестной точкой   М(х) и точкой М(4), то для решения данного уравнения нужно найти все точки М(х), которые удалены на расстояние, равное 3 от точки   М(4). Таких
точек две: М(7) и  М(1), т.е. решением уравнения являются

Ответ: 1 и 7.

II.  Решение упражнений с комментариями.

Задания:

1. Упростить выражение              

       Ответ:   при ;      – при .

2. Доказать, что данное выражение      – целое число.

.

III. Самостоятельное решение со взаимопроверкой:

Задания: 11(4); 13(2); 18(а); (Здесь и далее смотри Приложение 1).

Указание: проверить  работу на текущем занятии, провести анализ работы учащихся.

Занятие 2

Тема: Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Цель: 1.Рассмотреть последовательность построения графиков  функций, содержащих выражения под знаком абсолютной  величины.

2. Развитие пространственного воображения.

3. Развитие навыков аккуратности при построении графиков.

Оборудование: мультимедийный графопроектор.

I.Оргмомент:

II. Новый материал.

Для построения всех типов графиков, необходимо хорошо понимать определение модуля, и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе. Построение графиков следует осуществлять двумя способами:

1.     На  основании определения модуля;

2.     На основании правил (алгоритмов) геометрического преобразования графиков функции.

   Покажем на примерах некоторые приемы построения графиков уравнений с модулями.

Пример: Построить график функции .    Сначала построим
 параболу  (рис. 18, а).

      Чтобы получить из нее график функции , нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же
абсциссой, но с противоположной
(положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (рис. 18, б).

III. Решение  тренировочных упражненийупражнений.

Пример 1: Построить график функции .

Воспользуемся определением модуля числа:  если , то ;

Если <0, то .

1)    Построим параболу  и выделим ту ее часть, которая соответствует неотрицательным значениям х. 

2)    В той же координатной плоскости построим параболу  и
выделим ту ее часть, которая соответствует отрицательным значениям х. 

           Выделенные  части парабол (рис.19) вместе образуют график функции .

Пример 2: Построить график функции .    

1) построим «основной» график, т.е. график функции  (рис. 20, а);

2)    подвинем построенный график на 2 единицы вниз; получится график функции   (рис. 20, б);

3) часть графика, расположенную ниже оси х, заменим ее «зеркальным отражением», т.е. заменим ее линией, симметричной относительно оси Ох; получится график функции  (рис. 20, в);

4) сдвинем построенный в п. 3 график на 2 единицы вниз; получится график функции  (рис. 20, г);

5)  часть графика, расположенную ниже оси Ох, отобразим симметрично относительно этой оси; получим график функции  (рис. 20, д).

Пример 3: Построить график функции   у =.

Заменим уравнение равносильной ему системой

IV. Итог урока.

Занятия   3

Тема: Уравнения, содержащие абсолютные величины.

Цель: 1.Закрепить изученный материал; познакомить учащихся с решением
некоторых типов уравнений, содержащих модуль; закрепить изученный
материал в ходе решения упражнений.

2. Развивать логическое мышление, память учащихся.

3. Воспитывать интерес к математике, ответственное отношение к учебному труду.

Оборудование: мультимедийный графопроектор.

Ход урока.

I.                  Фронтальный опрос.

1. Дайте определение модуля числа.

2. Дайте геометрическое истолкование модуля.

3. Может ли быть отрицательным значение суммы 2+?

4. Может ли равняться нулю значение разности ?

5. Как сравниваются два отрицательных числа?

II.   Проверка домашнего задания.

III.   Устная работа (полезные упражнения).

Раскрыть модуль:

1)           ;                                             5) ;

2)           ;                                                                               

3)           ;                                        

4)           ;                                         

IV. Объяснение нового материала.

Лекция: Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины.

         1. Уравнения вида        

Указание: Обратить внимание учащихся на то, что при а<0 уравнение корней не имеет.

Пример:  . 

По определению модуля:        Откуда х=13,  х=3.

Указание: Можно решить данное  уравнения с помощью геометрических соображений: - это расстояние между а и b.

Задание: Решить  уравнение    

Решение:

2-ой способ.

На расстоянии 4 от точки 3 лежат две точки -1 и 7, а 2х есть одна из них.
Следовательно,    2х= –1,      или      2х=7,

                             х= – 0,5.                 х=3,5.    Ответ: – 0,5;  3,5.

2. Уравнение вида   

Пример: Решить уравнение .

Данное уравнение равносильно совокупности  двух систем:

1)              2)

Решим первую систему уравнений:

Решим вторую систему уравнений:       Ответ: –3;  3.

Указание: Если учащиеся знакомы с понятием четной или нечетной функции, можно предложить следующее решение.

          Функция  четна, поэтому решим уравнение  при х≥0.

          Тогда  и уравнение имеет вид однако условию  х≥0 удовлетворяет лишь х=3. Согласно определению четной функции имеем еще один корень х= –3.                    Ответ: –3;  3.  

Пример: Решить уравнение .

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

                        Ответ: 3;  4.

Пример: Решить уравнение .

Решение: . Воспользуемся следующим фактором: , если . Тогда данное уравнение равносильно неравенству                              Ответ:

Задание: Решить уравнение . 

4. Уравнение вида  

Пример: Решить уравнение

Решение: Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

            и               

2х = 5                                                    –2 =  –3 - неверно

х = 2,5                                                   уравнение не имеет решений.

Ответ: 2,5.

Методические рекомендации. Можно решить данное уравнение, учитывая что   а² = b²

                           Ответ: 2,5.

          Но проще других решение на числовой прямой (рис. 14), учитывая, что расстояния равны.

                       

Задание:  Решить уравнение

5. Решение уравнений вида

          Методические рекомендации.

Можно предложить учащимся записать следующий алгоритм.

1.     Решают каждое из уравнений =0, =0,…, =0.

2.     Вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков.

3.     На каждом промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильное исходному уравнению на этом промежутке.

4.     На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается.

5.     Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.

6.     Все корни уравнения получают, объединяя, все корни, найденные на всех промежутках.

Пример: Решить уравнение .

Решение: Для освобождения от знака модуля разобьем числовую прямую на три промежутка (рис.15).

Решение данного уравнения сводится к решению трех систем:

1.

2.

3.    Ø.              Ответ: –15;  –1,8.

IV.                Закрепление.

Задание: Решить     Ответ: .

Занятие 4

Тема: Уравнения , содержащие модуль в модуле.

          Цель: продолжить решение задач по изучаемой теме; рассмотреть
решение более сложных упражнений; проверить усвоение учащимися
изученного материала.

2. Развивать логическое и аналитическое мышление, память учащихся.

3. Воспитывать интерес к математике, трудолюбие

Оборудование: мультимедийный графопроектор.

Ход урока.

I.                  Оргмомент

II.               Решение упражнений.

Пример 1.: Решить уравнение .

Решение: По определению абсолютной величины, имеем:

Решим первое уравнение:    

     

      .

Решим второе уравнение:

 Тогда  . Откуда  или  и  
откуда  .                   Ответ:

Пример 2.: Решить уравнение .

Метод введения новой переменной

Пример: Решить уравнение

Решение: Пусть  тогда 

Выполним обратную замену:

   решений нет                     Ответ: -6; 4.

Решение систем, содержащих модуль

Пример: Решить систему

Решение:  Сложив уравнения получим

При х = –1, имеем   2 +  

При х = 3, имеем    2 +

Ответ: (–1;1); (–1;3); (3;1); (3;3).

III. Самостоятельная работа: 18(е); 21(в); 28(б).

IV.  Итог урока.

Занятия  5

Тема: Неравенства, содержащие абсолютные величины.

          Цель: 1.Познакомить учащихся с решением некоторых типов неравенств, содержащих модуль; закрепить изученный материал в ходе решения упражнений.

2.Развитие умений сравнивать, анализировать, обобщать.

3. Воспитание интереса  к математике, трудолюбия.

Оборудование: мультимедийный графопроектор.

Ход урока

I.      Объяснение нового материала (лекция).

     1. Решение неравенств вида  и .

         Напомним, что если а>b, а>0, b>0, то a²>b² верно и обратное утверждение, если   a²>b², а>0, b>0, то а>b. Из этих свойств следует, что неравенства  при а≥0  (при а<0 решений нет),  - можно заменить
равносильными им неравенствами  и .

Аналогичные рассуждения верны и для неравенств  где а≥0, и .

Заметим, что неравенство , где а<0, выполняется при любом х из области определения функции f.

Пример: Решить неравенство

Решение: Данное неравенство равносильно неравенству .                  Ответ: .

2. Решение неравенства вида  и .

       и  или

Аналогичные рассуждения верны и для неравенства .

Неравенство  выполняется для всех х из области определения функции f, при которых g(x)<0. Если же g(x)≥0, то .

         Итак, при решении неравенства  необходимо рассматривать два условия.

Пример: Решить неравенство

Решением неравенства (1) является  . С учетом решения
неравенства (2)  получаем ответ.     Ответ: .

Задание:  Решить неравенство  .

   или                          Ответ: .

         Указание: Если под знаком модуля стоит более сложная функция, чем квадратный трехчлен, и так называемое «раскрытие» модуля сопряжено с техническими трудностями, тогда удобно пользоваться равносильными неравенствами.

         Пусть на некотором множестве Х определены функции f(х) и g(x). Тогда на этом множестве справедливы следующие соотношения.

.

  .

.

Пример: Решить неравенство

Решение:    

 решением первого является отрезок     ,

 решением второго:   .

Находим пересечение множеств.           Ответ: .

II. Решение неравенств.

1.     Решить неравенство  №26 (а,в,д)

2.     Решите самостоятельно №26 (б,г).     

3.     III. Итог урока.

Занятие 7

Тема:  Примеры заданий,  при решении которых используется понятие абсолютной величины.

Цель: 1.Обощение и закрепление изученного материала в ходе выполнения упражнений.

2.Развитие индивидуальных особенностей учащихся.

3.

Воспитание чувства коллективизма, умения выслушивать других.

Оборудование: мультимедийный графопроектор.

Ход урока.

I.                  Оргмомент.

II.               Объяснение нового материала

3. Решение неравенств, содержащих несколько модулей.

 и    

         Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно
использовать метод интервалов. 

Пример: Решить неравенство .

Решение: Выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль в
точках –1;4 и делят числовую ось (рис. 16) на три промежутка .  

 

Получаем: 

    Ответ: .

Задание: Решить неравенство .

.

Ответ: .

III. Решение неравенств.

IV. Решить неравенство .

Решение: Рассмотрим функцию .

Найдем нули функции: , откуда  .

Далее находим точки разрыва: .

Нанесем на числовую прямую точки разрыва и нули функции (рис. 17), которые разобьют ее на семь промежутков, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.

           

Ответ: .

V.               Решите самостоятельно .      Ответ:

VI.             

Построение графиков вида .

Учитывая, что в формуле , , и на основании определения модуля

Перепишем формулу  в виде , где .

Таким образом, для построения графиков вида  достаточно построить график функции  для тех х из области определения, при которых , и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси  абсцисс.

Тогда, график зависимости  состоит из графиков двух функций:  и.

Пример: Построить график уравнения

Решение: (рис. 21)              

  

Построение графиков вида .

Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполняем построение сначала графика , а затем множество точек, координаты которых удовлетворяют условию  .

Порядок построения.

1.     Строим график функции .

2.     Часть графика , симметрично отображаем относительно оси абсцисс.

3.         Полученный график симметрично отображаем относительно оси абсцисс.

Пример: Построить график уравнения   .

Решение: (рис.22)    1-й способ.            

2-й способ.

1. Строим график функции .

2. График  получаем из графика , симметрично отобразив ту часть, лежащую под осью Ох, относительно оси Ох.

3. График  получаем из графика  , отобразив последний симметрично оси Ох.

VI.Самостоятельная работа: 23(2,6); 24(3).

VII.  Итог урока.

Занятие 8

Тема: Итоговая проверочная работа.

Цель: выяснить степень усвоения учащимися программы курсов.

2. Развивать логическое мышление, память учащихся.

3. Воспитывать интерес к математике, ответственное отношение к учебному труду.

Оборудование: ТСО.

Ход урока:

1.Оргмомент.

2. Итоговая проверочная работа.

1.     Постройте график функции .

2.     Решите уравнение:

а) ;

б) ;

в) .

3. Решите неравенства:

а) ;

б) ;

в) .

Указание: Для сильных учащихся предложить тест (см. Приложение 2).

 Критерии оценок:  

Оценка «пять» –         9 – 10 правильных ответов.

Оценка «четыре» –    7 – 8 правильных ответов.

Оценка «три» –          5 – 6 правильных ответов.

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	3	2	3	5	3	2	1	3	4

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Тест

На выполнение теста дается 60 минут. В каждом задании выберите только один правильный ответ.

1.     Сумма корней уравнения  равна

1) 4                         2) 5                  3) –4                   4) 2                5) 2

2.     Сумма корней уравнения  равна

           1) 4                         2) –5                  3) –4                 4) 5               5) 3

3.      Произведение  корней уравнения  равно

           1)                   2)                3)                 4)               5) –6

4.      Сумма корней уравнения  равна

           1)                   2)                   3)              4) –2              5) 4

5.    Число целых решений неравенства  равно

           1) 5                       2) 3                   3) 2                    4) 1                5) 4

6.    Число целых решений неравенства  равно

           1) 0                         2) 3                  3) 1                 4) 4                5) 2

7.    Наибольшее целое решение неравенства  |3х – 2|<2х + 1равно

           1) 0                         2) 2                  3) 3                 4) 4               5) 1

8.    Наименьшее целое решение неравенства  равно

           1) 0                        2) 1                  3) 2                 4) -1               5) 3

9.    Сумма всех целых решений неравенства >х² – 7х + 12 равна

           1) 10                       2)8                  3) 9                 4) 15              5) 14

10. Сумма всех целых решений неравенства <1 равна

           1) –4                      2) –3                3) 2                  4) –2              5) 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Дидактический материал для учащихся

1. Запишите равенство:  модуль числа с равен 4;

                                          модуль числа b равен 9.

2. Найти модули следующих чисел (ответы запиши в виде равенства):

-5; 8; - 0,7; 0; ; ; 3,9; - 1 000; - 1; - 0,01; ; - 1; - 10.

3. Какие числа имеют модуль равный 5; 6; 57; 0; ; ; - 1; - 10?

4. Модуль числа х равен 2,1. Чему равен модуль числа, противоположного        числу х?

5. Вычислить:  

      1);                                                        5) ;

      2) ;                                                      6) ;

      3) ;                                                        7) ;

           4) ;                                                            8)  –0,15–.

6. Определите расстояние от начала отсчета до точек A, B, C и D.

                        А                       С                            В             Д         

                       -4       -3       -2       -1         0        1        2         3        4  

7. Определите расстояние от начала отсчета до точек М(– 5,5), N(6,9), Р(–15), R(100) на числовой оси.  

8. Числа а и b – отрицательные и |а|>|b| . Какое из неравенств верно: а>b или а<b?

9. Числа а и b – отрицательные и а< b. Сравните модули чисел а и b.

10. На каком из рисунков изображены числа а и b, если известно что:

   а) числа а и b положительные и |а|>|b|;

   б) числа а и b отрицательные и |а|>|b|;

   в) число а – отрицательное, число b – положительное и |а|<|b|;

   г) число а – отрицательное, число b – положительное и |а|>|b|  

1)                3)   

                    а             b          0                                              а                   0   b

2)               4) 

                     0           b           a                                              a    0                   b            

11. Найти значение выражения:

1.          

2.       ;   

3.       ; 

4.       ;

5.      >3;  

6.      <6;

7.      ;                                                

8.     ;

9.      ;                                              

10.  ;

11.  ;                                             

12. .                                                   

12. Найти все значения переменных, при которых верно равенство:

1.                          

2.                    

3.     .

4.      ;                    

5.     ;                    

6.     ;

7.   ;                    

8.     ;

9.    

13. Упростить выражение:

          1) ;                                       4)  ;                                     

          2) ;                               5)  .

          3) ;

14. Упростить выражение:

а) А=                  г) А=

б) В=                               д) В=

в) М=                  е) М=

15. Упростить выражение:        .

 16. Докажите, что:      1) ;             2) .

17. Решить уравнения    геометрически:

     а)            б) ;              в) ;             г) .

18.  Решить уравнения:

                       а)                е)

                       б)                ж)

                       в)            з) ;                   
                      г)                 и)                       

                       д)            к) ;       

19. Найти все значения переменной, для которых справедливо неравенство:

1) ;                            4) ;

2) ;                            5) ;

3) ;

20. Решить неравенство, используя геометрический смысл модуля:

                а)                                    в)

                б)                                    г)

21. Решить неравенства:

                а)                                д)

                б) 3                        е)

                в)                             ж)

                 г)                                з)

22.Решить:

1)

2)  

3)  

4)

5)  

6)

7)   

8)

9)   

10)  

Ответ: 1) 1,6; 2,4.    2) –3,7;  -2,3.    3) [2; 3].    4) (3; 17).    5)

     6)     7) 0.   8) 0,4.        9)      10)  

23. Постройте график функции:

1)                       6)  

2)                        7)    

3)                 8)  

4)                              9)

5)                       10)

24. Постройте график уравнения:

1)                  3)

2)              4) .

Указание: Рассмотрите уравнение отдельно для каждой координатной четверти.

25. Решить уравнения:

         а)                                е)

    б)                       ж)

    в)                               з)

    г)                         и)

    д)

Ответ: а) 6;     б)         в)     г) -1;      д) –1; 7;
   е)       ж)   з) 3;         и) 6; 2.     

26. Решить неравенства:

          а)                                    е)     

    б)                                     ж)                                   

     в)                                 з)    

    г)                                     и)                             

   д)                                      к)

 Ответ: а)             б)           в)        

              г)           д)             е)           ж)

              з)          и)          к)

27. Решить:

          а)                           е)

    б)                                   ж)                         

     в)                            з)

     г)                            и)

     д)                              

Ответ: а)         б)         в)         г)     

             д)         е)              ж)      

             з)     и)

28. Решить:

          а)                                 е)

          б)                            ж)                                   

    в)                  з)

    г)                  и)                                    

    д)           к)

Ответ: а)           б)          в)

             г)         д) 3;       е)           ж)

             з)       и)          к)

29. Решить систему:

1.    

2.    

3.

4.

30. Построить график функции:

1.    

2.    

3.    

4.