Пробный экзаменационный вариант «ЕГЭ математика профиль пробник 150 вариант» (2022)

150 вариант

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий: – часть 1 содержит 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби; – часть 2 содержит 7 заданий (задания 12–18) с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий)

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Задание с кратким ответом (1–11) считается выполненным, если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Задания 12–18 с развёрнутым ответом, в числе которых 5 заданий повышенного уровня и 2 задания высокого уровня сложности, предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов..

 Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ sin 𝛽

 

Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1

1. Найдите корень уравнения 

2. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме "Кислоты". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Кислоты".

3. В треугольнике   высота  равна 4, угол  равен  Найдите 

4. Найдите значение выражения  при 

5. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

6.

На рисунке изображён график y = f '(x) — производной функции f (x), определённой на интервале (−5; 10). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

7. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому   где P — мощность излучения звезды (в ваттах),  — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а  — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности не-которой звезды равна  м², а мощность её излучения равна  Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

8. Расстояние между пристанями A и B равно 165 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

9. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения .

10. Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?

11. Найдите точку минимума функции 

12. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

13. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS₁, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S₁LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

14. Решите неравенство 

15. В июле планируется взять кредит на сумму 800 800 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

16. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.

б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных решения.

18. Бесконечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, ..., a_n, ... состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа делятся на 100?

б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₉ ровно 11 чисел делятся на 100?

в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n больше кратных 100, чем среди чисел a_{2n + 1}, a_{2n + 2}, ..., a_5n?

№ п/п	Ответ
1	4
2	0,8
3	8
4	36
5	9
6	3
7	6000
8	16
9	20
10	0,2
11	8
12	a)  б)
13	5,75.
14
15	92 160 рублей.
16	б)
17
18	а) Да, например, прогрессия 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, ...; б) нет; в) 66.