1.1. Лекция Числовые множества. Натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Комплексные числа.

1.1. Лекция Числовые множества. Натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Комплексные числа.

Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

В нее входят такие разделы, как арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, аналитическая геометрия, линейная алгебра, векторная алгебра, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления, комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика и др.

Как и всякая другая наука, математика использует различные понятия, т.е. имеет свой ЯЗЫК (определенный круг понятий, названий которые позволяют ее изложить и в ней работать) и свой АЛФАВИТ, с помощью которого все это записывают.

Рассмотрим основные, можно сказать даже базовые понятия математики  числовые множества.

1.1. Что же такое множество? 

Множество это одно из базовых понятий математики, т. е. таких, которые лежат в основе логической системы и уже не определяются через другие понятия. Интуитивно мы понимаем, что множество — это набор или совокупность каких либо объектов или элементов, объединенных на каком либо основании или по какому либо признаку. Например «множество стульев», «множество идей» и т.д. Числа так же могут рассматриваться как объекты, а значит, из них тоже можно строить множества, которые назовем «Числовые множества».

Числовые множества обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, но могут и записываться перечислением элементов в фигурных скобках. А={2, 4, 6, 8,……}

Графически множества изображаются в виде специальных схем, называемых «диаграммы Эйлера-Венна»

 На этой диаграмме показано, что множества А  и  В имеют общие элементы

Множества бывают

*  конечные – можно сосчитать количество элементов, их еще называют счетные.

*  бесконечные – количество элементов не возможно определить.

Те числовые множества о которых мы сегодня будем говорить являются бесконечными.

Вопрос 1 (множественный выбор)

Как изображаются множества?

Ответы:

1.      Блок схемы Паскаля

2.      Диаграммы Эйлера-Венна

3.      Графики Декарта

4.      Линии Крамера

1.2. Натуральные числа

Первые числа, которыми люди начали пользоваться в доисторические ещё времена — это НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, то есть целые и положительные: один, два, три, …

Натуральные числа — это числа, применяемые для счёта предметов.

Натуральные числа можно использовать в качестве номеров.

Наименьшее натуральное число — единица. Числа двадцать один, двести сорок пять, три миллиона пятнадцать  являются натуральными. Все вместе они составляют множество натуральных чисел, обозначаемое буквой N.

Запись натуральных чисел имеет длинную историю, и она связана с системой счисления.  Современное общество пользуется десятичной системой, в которой используются 10 цифр:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  и 0.

Система записи при этом является позиционной, т.е. одна и та же цифра, записанная на разных позициях (местах) обозначает разное количество.

Число, следующее за числом 9, записывается двумя цифрами 10, поэтому называется двузначным и содержит единицы и десятки. Например: 

После 99 начинаются числа с сотнями, записываем их уже тремя цифрами 100, 101, … 127, …, и т.д.

1.3. Целые числа

С появлением товарных отношений натуральных чисел стало недостаточно и числовое множество расширили, добавив в него ноль и отрицательные числа. Получилось новое множество – ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.

Целые числа  обозначаются Z и включают в себя натуральные числа (N) их еще называют «целые положительные», отрицательные целые (Z ^–) и ноль.

Ноль – не является ни положительным числом ни отрицательным.

Если хотят сказать что необходимы натуральные и ноль, то говорят «неотрицательные целые» числа и записывают {N; 0}  или если нужны отрицательные целые и ноль, то говорят «неположительные целые».

1.4. Рациональные числа

Развитие товарно-денежных отношений привело к возникновению рациональных чисел как способа отразить такое понятие как доля или часть. Их еще называют «дробные», потому что для их записи использую дроби.

Рациональные числа обозначаются Q и включают в себя все числа которые можно получить как частное двух целых чисел.

Например: три четверти это три разделить на четыре, половина это один разделить на два и т.д.

Записывают обыкновенные дроби с помощью дробной черты, которая заменяет знак деления:

Число которое делят называется числитель, число, на которое делят, называется знаменатель.

Если в обыкновенной дроби числитель больше знаменателя, то ее называют «неправильной». При делении числителя на знаменатель в таких дробях мы получаем целую часть и еще долю.

Например: 

Числа, в которых есть и целая часть и дробная, называются «смешанные числа», а процесс преобразования неправильной дроби в смешанное число называется «выделение целой части»

Существуют еще десятичные дроби. Это дроби, которые записывают, как и целые числа (позиционно), но с помощью запятой, которая отделяет дробную часть. Так записывают дроби, у которых знаменатель это степень десятки, т.е.  и т.д.

Причем первая цифра после запятой это десятые, вторая сотые и т.д.

При переходе от десятичных дробей к обыкновенным проблем обычно не бывает. Например число 0,127 записывается как  , после запятой три знака, значит в знаменателе три нуля.

Переход от обыкновенной дроби к десятичной выполняется через деление и вот здесь начинаются проблемы. Так при делении на простые числа чаще всего получаются бесконечные дроби. Например,  такая дробь называется периодической, т.е. дробная часть этой дроби содержит повторяющийся набор цифр. В данном случае это шестерка. При записи десятичных периодических дробей период берут в скобки и пишут .

Как уже было сказано, рациональные числа - это числа, получающиеся от деления целого числа на целое. Это определение позволяет отнести к рациональным числам и все целые числа, т.к. любое целое число можно получить как результат деления этого числа на 1 или деления удвоенного числа на 2 и т.д. ( 25 это 50 : 2 или 75 : 3 или 100 : 4 …….. )

Вопрос 2 на соответствие

Установите соответствие между описанием числового множества и его названием 

1.                  Числа, с помощью которых можно пронумеровать предметы	– натуральные числа
2.                  Такие же числа, как натуральные, но со знаком минус	– отрицательные целые числа
3.                  Все натуральные числа и ноль	– неотрицательные целые числа
4.                  Числа, получающиеся в результате деления целого числа на целое	– рациональные числа

1.5. Действительные числа.

В процессе развития математики оказалось, что рациональных чисел для описания нашей действительности недостаточно. Так при выполнении различных вычислений стали появляться результаты, которые не получалось записать обыкновенной дробью. Например, оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне не выражается отношением целых чисел! Другими словами, если мы нарисуем квадрат со стороной 1, его диагональ не выражается никакой дробью вида  с целыми .

Такие числа назвали «иррациональными» (в переводе с древнегреческого неразумными), и стали множество иррациональных чисел обозначать латинской буквой  I.

К ним относятся:

- все неизвлекаемые корни (…)

- специальные константы:

*число  — отношение длины окружности к её диаметру;

*число e, названное в честь Эйлера (об этом числе мы ещё расскажем);

*задающее золотое сечение число φ — удивительное число Фибоначчи, вокруг которого построен весь детективный сюжет фильма «Код да Винчи»;

- числа вида 

- необозримое количество других чисел.

Если объединить множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел то получим множество «действительных чисел» (их раньше называли «реальные числа»), которое  обозначим латинской буквой R.

Этих чисел долгое время было достаточно для описания нашего мира, пока не возникла необходимость решения квадратного уравнения.

Вопрос 4 множественный выбор

Какие из данных чисел являются иррациональными?

1.      Число

2.      Число е

3.      Число 3,14

4.      Число

5.      Число 12

Ответ: 124

Число	Да
Число
Число 3,14
Число	Да
Число 12
Число	Да
Число	Да

1.6. Комплексные числа.

Когда вы в школе решали квадратное уравнение и получали отрицательный дискриминант, вы сразу говорили что «корней нет». И  вы были правы на тот момент,  нет такого действительного числа, чтобы возведя его в квадрат мы получили отрицательное число, но нет в множестве действительных чисел, это не значит, что оно вообще не существует. Таким числом стала так называемая «мнимая единица».

Но возникновение «мнимой» единицы было обусловлено вовсе не решением квадратных уравнений, а ввел его в использование в середине XVI века итальянский математик Рафаэль Бомбелли, который при решении кубических уравнений использовал формулу Кардано:
    где   .

Формула замечательная, без преувеличения великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли: .
Внезапно, , и, соответственно, .
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. Притом, что решение у уравнения, безусловно, есть.
Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число, например z. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.
Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что   
и    .

Давайте проверим:

.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.
В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость. С записью числа z = a+bi

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных чисел название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение  для мнимой единицы) знаменитой формулы   открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. В частности комплексные числа служат естественным языком описания многих физических явлений. Те из вас, кто учатся на техническую специальность (в особенности связанную с распространением волн, электротехникой и радиофизикой), непременно встретятся с ними. В отличие от действительных  чисел, применяемых для описания материального, плотного мира «вещей», комплексные числа оказываются удобным инструментом для построения математических моделей волн и колебаний всевозможной природы.

Физики знают, что элементарные частицы живут и взаимодействуют по законам именно комплексных чисел. Наукой, описывающей комплексный микромир, является квантовая физика.

Множество комплексных чисел стали обозначать латинской буквой С, а комплексные числа буквой z  и стали записывать как два слагаемых: первое действительная часть, второе мнимая часть.

В алгебраической форме z=a+bi

Есть еще тригонометрическая форма комплексного числа

 

 и показательная форма

 

Все эти формы связаны между собой тригонометрической плоскостью и соотношениями выведенными геометрически.

Мы описали числовые множества, на которых построены все вычисления в математике, как вы уже поняли, все они связаны взаимопроникновением и в целом на диаграммах Эйлера-Венна вся система выглядит так:

Вопрос 5. Множественный выбор

Найдите среди данных чисел комплексные и выпишите их номера в порядке возрастания без пробелов и запятых.

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

Ответ: 134

Краткое описание документа:

Лекция 1.1 для 1 курса СПО для выкладки в Moodle при работе по технологии перевернутого класса. В лекции использованы материалы из интернета и учебника, каждая страница текста заканчивается вопросом по содержанию