Авторская разработка элективного курса по математике

Требования к уровню подготовки учащихся  

 учащийся должен знать/уметь:

• уметь решать задания, по типу приближенных к заданиям ЕГЭ;
• уметь самостоятельно работать с таблицами и справочной литературой;
• уметь составлять алгоритмы решения типичных задач;
• знать методы исследования элементарных функций
• знать, как используются математические формулы, примеры их применения для решения математических и практических задач;
• знать, как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
• уметь использовать математические знания в повседневной жизни, а также как прикладного инструмента в будущей профессиональной деятельности,

• усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений повышенной сложности;
• овладеть исследовательской деятельностью.
• повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;
• освоить основные приемы решения задач;
• овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;
• познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
• повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
• познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Знать /понимать:

·       существо понятия математического доказательства; приводить примеры  

·       доказательств;

·       существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритма;

·        каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них , важных для практики;

·        смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.

многочлены

уметь:

·        записать многочлен любой степени, выполнять основные действия с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

·        находить наибольший общий делитель двух многочленов, уметь разделить многочлен на многочлен, находить разложение наибольшего общего делителя по двум заданным;

·       находить корни многочлена, используя теорему Безу и схему Горнера;

·       уметь раскладывать многочлен на неприводимые множители;

·       находить рациональные корни многочлена. В частности - целые;

·       знать и уметь пользоваться обобщенными формулами Виета для многочленов не только второй степени, но и высших степеней.

Содержание учебного материала

Название раздела	Краткое содержание	Кол-во часов
Тема 1. Логика алгебраических задач	-         Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными. -         Множество решений задач. Следование и равносильность (эквивалентность) задач. -         Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств. -         Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупность задач. -         Алгебраические задачи с параметрами. -         Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность. -    Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.	4
Тема 2. Многочлены и полиноминальные алгебраические уравнения	-         Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом  Z. Степень многочлена. Кольца многочленов. -         Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления  с остатком. -         Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни. -         Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета. -         Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена. -         Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение. -         Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано. -         Графический анализ кубического уравнения х³ + ах -b. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел. -         Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены. -         Линейная замена, основанная на симметрии. -         Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари. -         Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами. -         Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.	6
Тема 3 Замечательные неравенства	- Числовые неравенства и их свойства. - Основные методы установления истинности числовых неравенств. - Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. - Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение. - Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. - Неравенство Коши для произвольного числа переменных. - Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач.	3
Тема 4. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства	-         Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения. -         Дробно- рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. -         Метод замены при решении дробно- рациональных уравнений. -         Дробно- рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. -         Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. -         Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. -         Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств. -         Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.	4
Тема 5. Рациональные алгебраические системы	-         Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными. -         Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем. -         Однородные системы уравнений с двумя переменными. -         Замена переменных в системах уравнений. -         Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга- Гаусса о представлении симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных). -         Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными. -         Метод разложения при решении систем уравнений. -         Методы оценок и интераций при решении систем уравнений. -         Оценка значений переменных. -         Сведение уравнений к системам. -         Системы с тремя переменными. Основные методы. -         Системы Виета с тремя переменными.	8
Тема 6. Иррациональные алгебраические задачи	-         Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения. -         Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. -         Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. -         Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами. -         Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. -         Освобождение от кубических радикалов. -         Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности. -         Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложных уравнений. -         Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные  схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). -         «Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем. -         Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знаков постоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. -         Замена при решении иррациональных неравенств. -         Использование монотонности и оценок при решении неравенств. -         Уравнения с модулями. Раскрытие модулей- стандартные схемы. Метод  интервалов при раскрытии модулей. -          Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. -         Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»). -         Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. -         Смешанные системы с двумя переменными.	10

Календарно-тематическое планирование элективного курса

№п/п	Название разделов	Тема занятий	Кол-во часов	Основные виды учебной деятельности учащихся	Дата проведения
					План 10м	факт
1	1. Логика алгебраических задач  4 ч	Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными. Множество решений задач. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.    Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.	1	Практикум по решению упражнений Составление плана исследования уравнения (неравенства) в зависимости от значения параметра	3.09
2		Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупность задач. Алгебраические задачи с параметрами.	1		10.09
3		Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.	1		17.09
4		Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.	1		24.09
5	2.Многочлены и алгебраические уравнения.  6ч.	Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом  Z. Степень многочлена. Кольца многочленов                        Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления  с остатком.	1	Приводить примеры многочленов и алгебраических уравнений Выполнять разложение многочленов на множители. Находить производные при решении задач. Использовать метод интервалов и схему знаков квадратного трехчлена; метод неопределенных коэффициентов Изучить теорему Безу и следствие из теоремы Безу, теорему Виета, формулу Кардано, формулы куба суммы\разности. Применять схему разложения Феррари. Решать: - полиномиальные уравнения высших степеней - укороченное кубическое уравнение	1.10
6		Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета. Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена	1		8.10
7		Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение                      Куб суммы (разности). Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано	1		15.10
8		Графический анализ кубического уравнения х3 + ах – b. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел                Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены	1		22.10
9		Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение.                                Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари                     Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением.	1		29.10
10		Теоремы о рац-ных корнях многочленов с целыми коэффициентами                     Приемы установления иррациональности и рациональности чисел	1		12.11
11	3.Замечательные неравенства. 3 ч	Числовые неравенства и их свойства.                              Основные методы установления истинности числовых неравенств. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.			19.11
				Приводить примеры замечательных неравенств.  Выявлять неэквивалентные преобразования Использовать метод математической индукции Решать: неравенства
12		Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств.			26.11
13		Неравенство Коши для произвольного числа переменных.     Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач.			3.12
14	4.Рациональные алгебраические уравнения и неравенства. 4 ч	Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения. Дробно- рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.	1	Приводить примеры иррациональных алгебраических функций, иррациональных алгебраических выражений, иррациональных алгебраических уравнений, иррациональных алгебраических неравенств, дробно-иррациональных неравенств. Выявлять неэквивалентные преобразования Использовать метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами, метод замены переменных. Решать: -иррациональные, алгебраические уравнения; -уравнения с квадратными радикалами, замена переменной; - иррациональные алгебраические неравенства;  -дробно-иррациональные неравенства; - рациональные задачи с параметрами	10.12.
15		Метод замены при решении дробно- рациональных уравнений       Дробно- рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем                 Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств	1		17.12
16		Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.       Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.	1		24.12
17		Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.	1		14.01
18	5.Рациональные алгебраические системы. 8 ч	Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными	1	Приводить примеры рациональных алгебраических систем Выполнять разложение многочленов на множители. Находить производные при решении задач. Использовать метод интервалов при решении неравенств с параметрами, метод координат в задачах с параметрами Изучить теорему Варинга- Гаусса , теорему Виета. Применять теорему Варинга- Гаусса , теорему Виета при решении рациональных алгебраических систем. Решать: Рациональные алгебраические системы	21.01
19		Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.	1		28.01
20		Однородные системы уравнений с двумя переменными                  Замена переменных в системах уравнений                           Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга- Гаусса о представлении симметрических многочленов через элементарные.	1		4.02
21		Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).                  Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными	1		11.02
22		Метод разложения при решении систем уравнений	1		18.02
23		Методы оценок и итераций при решении систем уравнений	1		25.02
24		Оценка значений переменных. Сведение уравнений к системам.	1		4.03
25		Системы с тремя переменными. Основные методы.  Системы Виета с тремя переменными.	1		11.03
26	6.Иррациональ ные алгебраические задачи. 10 ч	Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки	1	Приводить примеры иррациональных алгебраических функций, иррациональных алгебраических выражений, иррациональных алгебраических уравнений, иррациональных алгебраических неравенств, дробно-иррациональных неравенств. Выявлять неэквивалентные преобразования Использовать метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами, метод замены переменных. Решать: -иррациональные, алгебраические уравнения; -уравнения с квадратными радикалами, замена переменной; - иррациональные алгебраические неравенства;  -дробно-иррациональные неравенства;	18.03
27		Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами. Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов.	1		1.04
28		Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности. Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений	1		8.04
29		Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные  схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем	1		15.04
30		Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знаков постоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.	1		22.04
31		Замена при решении иррациональных неравенств Использование монотонности и оценок при решении неравенств.	1		29.04
32		Уравнения с модулями. Раскрытие модулей- стандартные схемы Метод  интервалов при раскрытии модулей.	1		6.05
33		Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).	1		13.05
34		Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы	1		20.05
35		Смешанные системы с двумя переменными.	1		27.05

Лист корректировки

Класс	Название раздела, темы	Дата проведения по плану	Причина корректировки	Корректирующие мероприятия	Дата проведения по факту

Краткое описание документа:

Авторская разработка элективного курса предназначена для ведение элективов учащихся в общеобразовательных школах. Программа содержит календарно тематическое планирование, содержание по темам, лист коррекции. Уникально составленная программа позволяет работать в старших классах и вести элективные курсы в среднем звене