ҰБТ-ға дайындық (11 сынып)

ҰБТ –ке дайындық

( стреометрия курсының есептерінің шығару жолдары)

І бөлім  Жазықтықтардың қасиеттері

2003ж 

№1(4 нұсқа №28)

А нүктесі жазықтықтан 18 см қашықтықта жатыр. Осы нүктеде өтетін және жазықтықпен 60⁰ бұрыш жасайтын көлбеудің ұзындығын табыңыз.

AD=18, <AKD=60⁰

AK-?

 AK=18
2004 ж

№2. (12 нұсқа №28)

АВС үшбұрышы a жазықтығындағы MNK үшбұрышының проекциясы, D нүктесі АВ кесіндісінде жатыр. А,В,С және D нүктелері сәйкеc M, N, K, P нүктелерінің прокциялары.

Егер АD =4, DB=6, MK= 6 болса, онда MN кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

 АD =4,

 DB=6,

MK= 6

  PN=9,

 MN=6+9=15
№3 (21 нұсқа №28)

АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель а жазықтығы оны АС және ВС түзулерінде жататын К және Р нүктелерінде қиып өтеді.Егер AC= 15, AB= 20, KP=4 болса, КС –ны табыңыз.

 

  KC=3
№4 (26 нұсқа №28)

Ұзындығы 10 см тең кесінді жазықтықты қиып өтеді.Оның ұштары жазықтықтан 3 см және 2 см қашықтықта жатыр.Берілген кесінді мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз

 

АВ=10см

АР=2см

ВD=3см

<BOD-?

BC=BD+DC=2см+3см=5см

<BAC=<BOD=

=sin 

 Sin=

=30⁰
 <BOD=30⁰

2006 ж

   №5 (14 нұсқа №24)

 Ұзындығы 2,4 см-ге тең ВК кесіндісі катеттері 6 см және 8 см болатын АВС тік бұрышты (<B=90⁰)    үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр. К нүктесінен АС түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

AB=6, BC=8, BK=2,4

KN-?

AN=x

NC=10-x

BN²=AB²-AN²

BN²=BC²-NC²

36-x²=64-(10-х)²

20х=7,2

Х=3,6

BN²=36-3,6²

BN=4*8
 KN²=BK²+BN²

 KN²=5,76+23,04=28,8

 KN=2,4

 №6

 Бір нүктеден өтетін екі көлбеудің ұзындықтары 10 см және 17 см. Берілген нүкте жазықтықтан 8 см  қашықтықта болса, көлбеулердің проекцияларын табыңыз.

 AB=10, AC=17, AH=8

BH, HC-?

BH²=AB²-AH²

BH²=100-64=36

BH=6

HC²=AC²-AH²

HC²=289-64=225

HC=15

 2009ж

 №7(22 нұсқа №19)

 АВ кесіндісі а жазықтығын қияды.С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы. А,В және С нүктелері арқылы    жазықтығын М,К және Р нүктелерінде қиятын параллель түзулер жүргізілген.

Егер АM=, BP =дм болса, СK кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

BN= BP+PN

BN=+дм=4дм

АВN үшбұрышының орта сызығы- CD

СD=BN:2=2

CK=CD-KD=2-=
№8 (1 нұсқа №19)

А(3; -2;-4) нүктесінен ОУ осіне дейінгі және А нүктесінен XOZ жазықтығына дейінгі қашықтықтар қосындысын табыңыз.

     A(3;-2;-4)

ОУ осіндегі А₁(0;-2;0)

 XOZ жазықтығындағы А₂(3;0;-4)

АА₁=

АА₂=

АА₁+ АА₂=5+2=7

№9 (7 нұсқа №24)

АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал <D=135⁰, AE  ABCD  және ВС түзуінен  8қашықтықта жатыр. В,С және Е нүктелері арқылы өтетін жазықтық пен ромб жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.

 

AB=8, EK=8

S_ромб=a²sin135⁰

S=32

S=ah

h=S:a=4

 cos  

 =60²

№10 (19 нұсқа №19)

АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал <А=45⁰ Ромб жазықтығына ВЕ перпендикуляры тұрғызылған.Е нүктесі АD түзуінен 4қашықтықта. Е нүктесінен АВС жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

AB=8, EK=4

<A=45⁰

<ABK=45⁰

AK²+KB²=AB²

2KB²=64

KB²=32

BE²=EK²- KB²

BE²=96-32=64

BE=8

ІІ бөлім. Пирамида

Пирамида деп бір жағы кез келген көпбұрыш, ал қалған п жағы төбелері ортақ үшбұрыштардан тұратын көпжақты атайды.

SA-бүйір қыры,  SO-биіктігі, SM-бүйір жағының биіктігі( апофемасы)

V- көлемі

S_т.б-толық бетінің ауданы

S_таб-табанының ауданы

S_б.б-бүйір бетінің ауданы

Кез келген пирамида үшін: V=S_таб H

    S_т.б= S_б.б+ S_таб

Дұрыс пирамида үшін: S_б.б=PA

P-пирамида табанындағы көпбұрыштың периметрі

А-апофемасы       

Қиық пирамида деп пирамиданың табаны мен табан жазықтығына параллель  қима жазықтық арасындағы бөлігі аталады.

 Р₁, Р₂-табандарының периметрі

 S_1, S₂-табандарының аудандары

 V=H(S₁+S₂+)

 S _б.б=(P₁+P₂) A

 2003 ж тест жинағы

 №1 (1 нұсқа №12)

  Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін 3 см, ал үшбұрыш қабырғасы 2см тең болса,   берілген нүктеден дұрыс үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

  SH=3 см

  AB= 2см

  SO=?

Шешуі: OH – дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

  r=  ; 

  OH=

   SO²=SH²-OH²

  SO==2

  Жауабы:2см

  №2. (1 нұсқа №21)

 Пирамиданың табанына параллель жазықтық пирамида биіктігін 3:2 қатынасқа бөледі. Жазықтық пирамиданың көлемін қандай бөлікке бөледі?

        ИО=3x, ОН=2x 

 S_КМР=S₁; S_ABC= S₂

    S₁=9y; S₂= 25y 

V_ИКМР=ИО* S₁=*3x*9у=9 ху

V_{қиық пир}=ОИ (S₁+S₂+)=*2x (9y+25y+)= *98 xy

 ==

   №3 (2 нұсқа №10)

 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 2 см –ге тең, ал табанының қабырғасы 4 см. Бүйір қырының ұзындығын тап.

SH=2, AB= 4. SA= ?

АC=

AH=2 

SA==

Жауабы: см.

№4 (2 нұсқа №21)

 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 9 см-ге тең, ал бүйір қыры 12 см болса, көлемі неге тең?

SH=9 см , SA= 12 см , V=?

НС==3

AC=6

AB²+BC²=252

S=AB²= 126

V=S H

V=*126 *9=378см³Жауабы:378см³

№5 (4 нұсқа № 21)

 Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 80 см, табан қабырғасы 120 см. Табанының центірінен өтетін бүйір жағына параллель қимасының ауданын табыңыз.

 

   SH=80 cм,

    AB=120 cм

   S_KFNM-?

   AC=

   AH=60

   SA==20

   КМ=SA:2=20:2=10

  MN=BC=120

  MO=(MN-KF):2=(120-60):2=30

  KO==50

  S_KFNM=4500cм²

  №6 ( 5 нұсқа № 10)

 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы 20 см, бүйір қырының екі жақты бұрышы 120⁰.   Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

  

<AFC=120⁰

AC²=AB²+BC²

1) ABC 

 AC==20

2) AFC

FC=(20.):=20

 3) FBC

   BF==

  SC²=SF²+FC²

   SC=x,

  SF= x-

   X²=( x-)²+(20)²

  X²=X²-2X+()²+

  X=

  X=10   

  SC=10

 SK²=SC²-KC²=(10)²-10²=200

 SK=10

  S_б.б=P_ABCDSK= *80* 10= 400

    №7 (5 нұсқа № 21)

   Үшбұрыш пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4 см, 5см, 6 см тең. Көлемі неге тең?

 

SB-биіктік, 

AB=4 cм , BC= 5 cм,  SB=6 cм

S_ABC=AB*BC= *4*5=10

V= S_ABC.SB=*10*6=20 cм³

  № 8 (7 нұсқа № 21)

    Пирамиданың табаны – бүйір қабырғасы 10 см, табаны 12 см болатын тең бүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен 60⁰-қа тең екі жақты бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тең бүйірлі,AC=CB=10 cм, AB=12 cм.

<SKO=60⁰, SO-? 

S=r p

KO=r=S:p

p=(10+10+12):2=16

S==48

=tg60⁰              

    r=КО=48:16=3

   SO=3cм
  

№9 (8 нұсқа №30)

 Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз.

AH= r-ABC-ға сыртай сызылған шеңбердің радиусы

AO=R -пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы.

SH-пирамиданың биіктігі.

R=

AS===

AS=L

L²=2RH    

R==6,35

№10 (10 нұсқа №21)

 Пирамиданың табаны –ромб, оның сүйір бұрышы 60⁰,қабырғасы 14 см. Пирамида табанындағы екі жақты бұрыштары 45⁰-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

 ABCD-ромб, <A=60⁰ <SKO=45⁰, V-?

S_ромб=a²sin 60⁰=14² *=98

AHD

DH = sin60⁰

AD

DH=14 * =7

OK=DH:2=

SO=OK

SOK, <O=90⁰.

<K=<S=45⁰

V= S_ромб SO=*98*=343 cм ²

№11 (11 нұсқа №10)

 Бүйір қыры 3см-ге, ал табанының қабырғасы 4 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың көлемін табыңыз.

SA=3 cм, AB=4 cм, V-?

AC==4

HC=AC:2=4:2=2

SH==1

V=AB² SH=*16*1=5cм³

№12 (13 нұсқа №10)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір қыры 5 см, ал биіктігі 4 см. Пирамиданың көлемі неге тең?

SA=5 cм, SH=4 cм.

V-?

HC==3

AC=2HC=6

AB²+BC²=AC²

AB²=6:2=3

V=AB²SH=*3*4=4 cм³

№13 ( 14 нұсқа №12)

Берілген нүктеден шаршының барлық төбелеріне дейінгі қашықтық 4 см-ге тең. Ал шаршының  қабырғасы 2 см-ге тең болса, берілген нүктеден шаршының жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

  SA=SB=SC=SD=4 cм,

AB=2, SH-?

AB²+BC²=AC²

AC==2

HC=

SH==cм.

№14  (17 нұсқа №21)

 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы 2см-ге,

табанының қабырғасы 2 см-ге тең.   Пирамиданың көлемі неге тең?

  S_б.б=2cм,

  AB=2cм.

  V-?

S_б.б=P_ABCD.SM,

SM- бүйір жағының апофемасы

SM=2S_ABCD:P=4:8=

SH=

V= *4*=2 cм³

    №15 (23 нұсқа №19)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрыш , диогональдық   қимасының ауданы S. Пирамиданың көлемі неге тең?

<SAH=

 S_ASC=S, V-?

=ctg

SH=h

AH=hctg

AC=2hctg

AB²+BC²=AC²

2AB²=(2hctg)²

 AB²=2h²ctg²

  S_ASC=AC* SH=*2hctg*h=h²ctg

    h=

   AB=

   S_ABCD=()²=2Sctg       V=2Sctg=

№16 (29 нұсқа №21)

 Пирамиданың табаны квадрат. Биіктігі табанының бір төбесі арқылы өтеді. Егер табанының қабырғасы 20 дм, биіктігі 21 дм болса, онда пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, АB=20 дм,SD=21 дм. S_б.б-?

S_ASD=AD SD=*20*21=210

S_ABS=AB AS=*20*29=290

     S_б.б=2 (S_ASD+ S_ABS)=(210+290)*2=1000 дм²=10м²

 №17 (34 нұсқа №8)

       Жазықтықта тік бұрышты үшбұрыш берілген. Гипотенузасы 12 см. Кеңістікте берілген бір нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтық 10 см-ден. Үшбұрыш жазықтығынан кеңістіктегі нүктеге дейінгі қашықтықты табыңыз.

ABC-тік бұрышты үшбұрыш, АВ=12 cм,

SA=10cм

SH-?

AH=R-ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R=6

SH=

     №18 (34 нұсқа №19)

 Пирамиданың  табаны диогональдары 4 см және 2см арасындағы бұрышы 30⁰-қа тең параллелограмм. Пирамиданың биіктігі табанының кіші қабырғасына тең болса, онда көлемі неге тең?

ABCD-параллелограмм, AC=4cм, BD=2cм, <BHC=30⁰

SH=AB, V-?

S=AC* BD *sin30⁰=*4*2*=2 cм²

  AB=

  V=*2*1=cм³

  2004 жыл  №19 (4 нұсқа №26)

  ABCD тік төртбұрышының D төбесі арқылы тік төртбұрыш жазықтығына перпендикуляр    DS түзуі жүргізілген. S нүктесінен тік төртбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтықтар 

 12 м, 14 м , 18 м.   DS кесіндісінің ұзындығы неге тең?

SA=12 м, SB=14 м, SC=18м

SD=?

AB=x, BC=y, SD=z

X²+z²=144

  Y²+z²=196

  X²+y²+z²=324

  144-z²+196-z²+z²=324

  Z²=16

  Z=4м

 Жауабы: SD=4м

   №20

  Үшбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығы см-ге тең. Бүйір қыры табан жазықтығымен 60⁰ бұрыш жасаса, онда пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусын табыңыз.

SA= см

<SAH=60⁰

AO=R- пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы

 =cos60⁰

 AH=.

 SH==

 SA²=2R*SH

  R= = см

  2005 ж

  №21 (4 нұсқа №30)

   Дұрыс тетраэдрдің биіктігі h-қа тең. Толық бетінің ауданын табыңыз.

AB=x

SH=h

R-ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R=

AS²=SH²+AH²

X²=()²+h²

X²-=h²

     X²=h²       S_ABC=

    S_т.б=4

   №22 (5 нұсқа №21)

   Көлемі 4 см³, ал табанының қабырғасы 2 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығын табыңыз.

     V=4cм³

     AB=2 см

S_ABCD=2²=4см² 

V= S_ABCD*SH

SH=3V: S_ABCD

SH=12:4=3

АС=2,  HC=

SC=

     №23.(15 нұсқа №16)

     Пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең шаршы. Іргелес екі бүйір жағы табынына перпендикуляр, ал басқа екі бүйір жағы табанымен 60⁰ бұрыш жасайды. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.

 

    ABCB-шаршы, AB=a

      <SAD=<SCD=60⁰

    S_т.б=S_таб+2(S_ASD+S_SAB)

      S_таб=a²

SD= tg60⁰

AD

SA=a

S_ASB=AS*AB=*a*2a=a²

S_SAD= AD*SA=*a* a=a²

S_т.б=a²+2(a²+a²)²=a²(3+)

2006 ж

 №24.(14 нұсқа №30)

 Пирамиданың табанына  параллель жазықтық қимасы биіктікті 1:1 қатынасындай бөледі. Қима ауданы 2 м² болса, табан ауданы неге тең?

SH₁=2SH   S₁=2 м²

       

            =()²

           

          S₁=8 м²

№25 (17 нұсқа №13)

 MABCD дұрыс төртбұрышты пирамиданың МО биіктігі 7 см-ге тең, ал бүйір қыры 14 см-   ге тең болса, онда  скаляр көбейтіндісін табыңыз.

    

      MO=7, MA=14.

      AO²= MA²-MO²

      AO=

      M(0;0;7), O(0;0;0), C(-7;0;0)

      MO(0;0;7)

      MC(-7;0;7)

   =0+0+49=49
2007 ж

№26 (6 нұсқа №24)

 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең, бүйір қырындағы екі жақты бұрыштары 120⁰-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

S_таб=

ABC:

 CB²=CE² +EB²-2CE *CB cos120⁰

CE=x

a²=3x²

x=

SAC:

AE²=AC²-CE²

AE==a

  AS=CS=y

   ES²+EC²=SC²

   ES=AS-ES
   (y- a)²+=y²

  y²-2ax+2+= y²

  y=

  AS=

  SAH: AH=

  SH²=AS²-AH²

 SH=

  V= S_таб SH=**=

  2009 ж

   №27 (1 нұсқа №18)                                                

   Пирамиданың табаны тік бұрышты үшбұрыш, 30⁰  төбесіне қарсы жатқан катеті 30 см. Бүйір қырлары табан жазықтығына 60⁰бұрыш жасаса, пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тік бұрышты үшбұрыш

<A=30⁰, BC=30, <SAH=60⁰

SH=?

AB=60

AC=

  R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

  R=AH

  R==30

   tg60⁰

    SH=30

  №28 (2 нұсқа № 19)

  SABC пирамидасының SB қыры биіктігі болады. BС=18 см, AB= 12 см ,

 SB=5 см <CBA=90⁰болса, пирамиданың төбесінен табанының медианаларының қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтықты  табыңыз.

BС=18 см, AB= 12 см ,SB=5 см <CBA=90⁰  SO-?

AC=

m-ABC-ның АС-ға жүргізілген медианасы

m=

BO-АВС-ның медианаларының қиылысу нүктесі

BO==4

SO²=SB²+BO²

SO=

№29 (3 нұсқа №25)

Пирамиданың табаны-параллелограмм, оның қабырғасы 3 см және 7 см, ал диогональдарының бірі 6 см. Пирамиданың биіктігі диогональдарының қиылысу нүктесінен өтеді, ол 4 см-ге тең. Бүйір қырын табыңыз.

AB=3, BC=7, AC=6, SH=4

SA-?

AC²+BD²=2(AB²+BC²)

BD²=2(9+49)-36

 BD²=80

 BD=4

 BH=BD:2=2

 SB²=SH²+BH²

 SB²=16+20=36 

SB=6

 SA²=9+16=25

 SA=5

№30 (7 нұсқа №25)

 М нүктесі тең түйірлі ABCD трапеция жазықтығынан тысқары жатыр және трапеция төбелерінен бірдей 7 см қашықтықта орналасқан. Егер AB= 12 см , DC= 8 см, AD=6см болса, М нүктесінен трапеция жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

  R_ABCD=R_ABD

   

AK=(AB-DC):2=(12-8):2=2

  DK²=AD²-AK²

DK²=36-4=32

DK=4

DB²=DK²+KB²
KB=AB-AK=12-2=10          

DB²=32+100=132

DB=2

P_ABD=(12+2+6):2=9+

S_ABD=

R_ABD=

MO=

  №31 (13 нұсқа №25)

 Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанының диогоналі 4см, бүйір жақтары табан жазықтығымен 60⁰ жасайды. Пирамидаға іштей сызылған сфераның бетінің ауданын табыңыз.

AC=4

<SHO=60⁰

r_cфера-?

AB²+BC²=AC²

2 AB²=96

AB²=48

AB=4

OH=2

<OSH=30⁰

r_cфера=r tg30⁰=2*=2
        S=4 r_cфера²=4*2²=16

    №32( 15 нұсқа №24)

    Үшбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі мен бүйір  жағының арасындағы  бұрыш 30⁰-қа тең.   Пирамидаға іштей сызылған шардың радиусы 1 см-ге тең болса, табан қабырғасының ұзындығын табыңыз.

<OSK=30⁰

r_ABC=

SK=2OK=2=

SO=

    r_cфера=

   a=6  

  AB=3

      №33 (16 нұсқа №24)

   Пирамиданың табанында катеттері 6 см және 8 см болып келетін тік бұрышты үшбұрыш жатады. Пирамиданың табанындағы барлық екі жақты бұрыштар 60⁰-қа тең. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

AC=6, BC=8, AC=10

OK=(6+8-10)/2=2

<OSK=30⁰

SK=2OK=4

SO²=SK²-OK²

SO²=16-4=12  

  SO=2

№34 (25 нұсқа №25)

 Үшбұрышты пирамиданың екі бүйір жағы өзара перпендикуляр және олардың аудандары P мен Q –ға тең, ал ортақ қырының ұзындығы а-ға тең. Пирамиданың көлемі неге тең?

S_ASB=P, S_BSC=Q, SB=a V-?

AB=x, BC=y

S_ASB=AB SB

x=2P:a

S_BSC=BC* SB

 y=2Q:a

 S_ABC=AB* BC=        

V=

 2010 ж

№35 (9 нұсқа №24)

  МАВС пирамидасының барлық қырлары 6 см-ге тең, ВМ кесіндісінің ортасы К және А нүктелері арқылы және ВС қырына параллель өтетін қиманың периметрін табыңыз.

AK²=AB²-BK²

AK²=36-9=27

AK=3

KN=3

AN=3

P=3+3+3=3(2+1)
№36(15 нұсқа №24)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың диогональдық қимасы табанымен тең шамалы. Егер бүйір қыры 5 см-ге тең болса, пирамиданың табанының ауданын табыңыз.  

S_ASC=S_таб

AS=5 , S_таб-?

SH=h

AB=x

AH²=AS²-SH²=25-h²

AC=

AC²=2AB²

AB²=2 (25-h²)

S_ASC=AC *SH   S_таб= AB²

h=2 (25-h²)

h=

h²=4(25-h²)

5h²=100

h²=20

h=2

AB²=2(25-20)=10

S_таб=10

№37 (5 нұсқа №29)

Табанының қабырғалары 3 м және 2 м болатын, ал бүйір бетінің ауданы табандарының қосындысымен тең шамалы болатын дұрыс қиық пирамиданың көлемін табыңыз.

AB=AC=BC=3

MN=NK=MK=2

  S_б.б= S_ABC+ S_MNK

  V-?

  R_ABC=

   S_таб=

  S_ABC=
  S_MNK=

  S_б.б=(P_ABC+P_MNK) m, m-бүйір жағының апофемасы

  S_б.б=

  

  m=

   R_ABC-R_MNK=

   H_пир=

   V=

  №38 (16 нұсқа №29)

   Табандарының ауданы 16 см² және 4см², ал биіктігі 3 см-гетең қиық пирамиданың көлемін табыңыз.

   S_ABC=16 см²

   S_MNK=4см²

  H=3 см

   V-?

V=3 (16+4+)=28 см³

№39 (17 нұсқа №24)

 Үшбұрышты қиық пирамиданың биіктігі 10 м-ге тең, ал табандарының қабырғалары 27 м, 29 м, 52 м-ге тең және екінші табанының периметрі 72 м-ге тең.Пирамиданың көлемін табыңыз.

H=10 м, AC=27, BC=29, AB=52

P_MNK=72, V-?

P_ABC=24+29+52=108

S_ABC=

S_MNK=120

 V=*10 *(270+120+)=1900м²

ІІІ бөлім Параллелепипед.

Параллелепипед –барлық жақтары параллелограммдар болатын призма.

   Тік параллелепипед- бүйір қырлары табанына перпендикуляр параллелепипед.

 а,в,с- қабырғалары, d-диогональ

  

Тік параллелепипедтің  барлық жақтары –тік төртбұрыштар.

  V=abc; 

 S_б.б =2c(a+b)

 S_т.б=2(ab+bc+ac)

 d²=a²+b²+c²

 2003 ж

  №1 (3 нұсқа №21)

Жақтарының аудандары 6 см², 2см² және 3см² тең тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз.

S₁=ab

ab=6      b=6:a

S₂=ac

ac=2       c=2:a

S₃=bc

bc= 3

a²=4
a=2

b=6:2=3

c=2:2=1

V=abc=6cм³

№2(8 нұсқа №19)

Биіктігі 4 см-ге тең диагоналі табан жазықтығымен 45⁰ бұрыш жасайтын тік бұрышты    табаны шаршы параллелепипед берілген. Параллелепипедтің көлемін табыңыз.

 

с=4см

d=4cм

а²+в²=d²

2a²=16

a²=8

S_таб= a²

S_таб=8

V=8*4=32cм²
№3 (9 нұсқа №19)

Тік бұрышты параллелепипедтің табан қабырғалары 7 дм және 24 дм, биіктігі 8 дм. Диогональдық  қимасының ауданын табыңыз.

a=7 дм

b=24дм

c=8 дм

d²=a²+b²

d²=49+576=625

d=25

S_қима=25*8=200дм²= 2м²
  №4.( 15 нұсқа №21)

  Тік бұрышты параллелепипедтің бір төбеден шығатын үш жағының диогональдарының ұзындығы   2см, 2см және 10 см. Параллелепипедтің диогоналін табыңыз.

 

   d₁=2см, d₂=2см, d₃=10 см. d=?

   а²+в²=(2)²

   a²+c²=(2)²

   в²+с²=10²

   в²=40-а²

  с²=68-a²

  40-а²+68-a²=100

   2a²=8     a²=4

  в²=40-4=36

  с²=68-4=64

  d²=4+36+64=104

  d=

  №5 (20 нұсқа №19)

  Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері 15м, 50м,36м. Оған тең шамалас кубтың   қырын табыңыз.

  a=15м, b=50м, c= 36м

   V=15*50*36=27000м²

   V_k=a³

   a³=27000

    a=30м

  №6(22 нұсқа №19)

  Тік параллелепипедтің табанының қабырғалары 2 см және 4 см, ал арасындағы бұрыштың синусы -ке   тең. Егер кіші диогоналінің ұзындығы 4 см-ге тең болса, параллепипедтің  кіші диогоналі мен    табанының арасындағы бұрышты табыңыз.

  a=2cм, b=4cм

  sinA=

   d=4

   <BDB₁-?

cosA=

d²=a²+b²-2abcosA

d²=4+16-2*2*4*=20-12=8  ,  d=2
=cos<BDB₁

  cos<BDB₁=,

<BDB₁=60⁰

   №7 (30 нұсқа №30)

Тік параллелепипедтің бүйір қыры 1м, табан қабырғасы 23 дм, 11дм, ал диогоналінің қатынасы 2:3. Диогональдік қимасының ауданын табыңыз.

c=1м=10дм, a=23дм, в=11дм

d₁:d₂=2:3

d₁=

d₂²+d₂²=2(23²+11²)

d₂²=1300=900
d₂=30

d₁==20

S₁=20дм* 10дм=200дм²=2м²

S₂=30 дм* 10дм=300дм²=3м²

№8

Тік параллелепипедтің табаны ауданы 3 см² тең ромб, ал диогональдық қималарының аудандары 3см² және 2см². Параллепипедтің көлемін табыңыз.

S_ромб=3 см²

S₁=3см²

S₂=2см²   V-?

S_ромб=d₁d₂

S₁=d₁h

S₂=d₂h

d₁=3:h

d₂=2:h

=3

h=1cм

V=3*1=3cм²

2005ж№9 ( 2 нұсқа №20)

Тік параллелепипедтің табанның бұрыштарының бірі 30⁰ болатын параллелограмм. Табан ауданы 4дм², ал бүйір  жақтарының аудандары 6дм² және 12дм².

Параллепипедтің көлемін табыңыз.

S_таб=4дм²

S₁=6дм²

S₂=12дм².

<A=30⁰

V-?

S_таб=ab sin30⁰

ab= 8

bc=6

  ac=12

  a=8:b

   c=6:b

        

    b²=4 ,  b=2, a=4, c=3

 V= S_таб h=4*3=12дм³

 №10(18 нұсқа №28)

 Тік параллепипедтің табаны-бір бұрышы а-ға тең ромб. Параллепипедтің S_б.б=S болса, параллепипедке іштей сызылған цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

 S_б.б=Ph,   P=4a

 4ah=S

 h=S:(4a)

 S_ромб=a²sin a

 S_ромб=ah=2ra

 a²sin a=2ra

 r=a sin a       S_б.б.цил=2rh =2 a =

 2007 ж

  №11 (10 нұсқа №24)

  Табан қабырғаларының 2 дм жәнедм, арасындығы бұрышы 30⁰-қа тең көлбеу  параллепипедтің кіші диогональдық қимасы ромб болады және ол табанына  перпендикуляр. Бүйір қыры табан жазықтығымен 60⁰ жасаса, Параллепипедтің көлемін  табыңыз.

AB=2, BC=, <A=30⁰

BDNP –ABCD-ға перпендикуляр

<MAC=60⁰

V-?

BD²=2²+²-2*2**cos30⁰=7-6=1

BD=1

S_BDNP= BD²sin60⁰=

S_BDNP=ah

h=:1=
S_таб=2*sin30⁰=    V= S_табh=*=1,5

  2009ж

№12 (8 нұсқа №18)

Тік бұрышты параллелепипедтің биіктігі 8 см, табан қабырғасы 5см және 6 см. Төменгі табанының кіші қабырғасы және оған қарама-қарсы жатқан жоғары табанының қабырғасы арқылы өтетін қиманың ауданын табыңыз.

a=6 , b=5, h=8

 S_қима-?

d²=64+36=100

d=10, 

   S=10*5=50 cм
 №13 (14 нұсқа №24)

 Диогональнің ұзындығы L-ге тең және ол диогональ бір жағымен 30⁰, екінші жағымен 45⁰  бұрыш жасайтын тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз.

 

  AC₁=L

 <B₁AC₁=30⁰

 <CAC₁=45⁰

 V-?

 AC₁²=AC²+CC₁²

AC=CC₁=x,

2x²= L²

AC=

AB₁C₁

 B₁C₁=L:2,

AC²=AB²+BC²

 BC²=()²-

 BC=L:2

 S_таб=АВ²==    V=*=

 2010 ж

 №14 (5 нұсқа №24)

 Тік параллелепипедтің табан қабырғасы 3 және 5 см-ға, табанының бір диоганалі 4 см. Кіші диогоналі табан жазықтығымен 60⁰ бұрыш жасаса, параллепипедтің үлкен диогональін табыңыз.

 

 а=3cм, b=5cм, D₁=4cм,

 <BDB₁=60⁰, AC₁-?

D₁²+D₂²=2(3²+5²)

D₂²=68-16=48

D₂=

=tg60⁰

BB₁=4

AC₁==10

№15 (7 нұсқа №25)

  Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері а, в,с. Сырттай сызылған сфераның ауданын табыңыз.

            S_сфера=4R²

                    R=D:2 

          D²=a²+b²+c²

               R²=( a²+b²+c²)

          S_сфера=4( a²+b²+c²)= ( a²+b²+c²)

  №16 (13 нұсқа №9)

   M( 2;0;0) H( 0;0;0) P( 0;4;0) H₁(0;0;4) MHPKM₁H₁P₁K₁ тік бұрышты параллелепипедтің төбелері болса, М₁нүктесінің координатасын табыңыз.

M₁(2;0;4)
  

 ІҮ бөлім Куб

Куб- барлық жақтары квадрат болатын тік параллелепипед.

a=b=c

V=a³

S_б.б=4a²

S_т.б=6a²

d=a
  2003 ж № 1 (6 нұсқа №10)

 Қыры 4 см –ге тең куб берілген. АВ қыры және СС₁ қырының ортасы арқылы қима    жазықтығы жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.

 CE=2 cм

ET=4 cм

BE²=BC²+CE²

BE²=16+4=20

BE=2

S_ABET=4*2=8

№ 2 (6 нұсқа №28)

    Кубқа сырттай цилиндр сызылған. Кубтың бетінің ауданы S-ке тең болса, онда цилиндрдің толық бетінің ауданын табыңыз.

    S_{куб т.б}=S

    S_{куб т.б}=6a²

    a=

   R=AC:2

  AC²=()²+()²

  AC=

  R=

    H=

     S_{цил т.б}= 2R (H+R)=2(+)=

 № 3 (27 нұсқа №21)

  Кубтың диогоналі 12 см-ге тең. Көлемін табыңыз.

 D²=3a²

 a²=D²:3

 a=

 V=

№ 4 (30 нұсқа №19)

Кубтың толық бетінің ауданы 96см² Кубтың көлемін табыңыз.

S_{куб т.б}=6a²

 6a²=96

 a²=16

 a=4

 V=4*16=64cм³

2004ж

№5 (3 нұсқа №29)

Кубтың А және С₁төбелері арқылы және ДД₁ қырының ортасы арқылы қима жүргізілген. Қима ауданы 50тең болса, кубтың қырын табыңыз.

S_AMCN=50

AC=a

AC=a

S_ABCD= S_AMCN cos <CAC

cos <CAC=

a²=50=100

   a=10

2004 ж

№6

Қыры 2  см –ге тең кубтың ВС және А₁Д₁ қырлары арқылы жазықтық жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.

A₁B=4

   S_қима=4*2=8cм²

   2005 ж

  №7 (20 нұсқа №29)

  Кубтың қыры а-ға тең. Іштей сызылған шардың радиусын табыңыз.

  r=a:2

     №8 (34 нұсқа №26)

    Кубтың қыры а-ға тең. Диогоналі табан жазықтығына қандай бұрышпен көлбеген?

   AC=a

   AC₁=a

  Sin<C₁AC=

  <C₁AC=arcsin

   2010 ж

   №9 (8 нұсқа №24)

   Кубтың АС₁ түзуі мен табан жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.

  AC=a

  AC=a

   cos <CAC=

  <CAC=arccos

   №10  (21 нұсқа №25)

   Кубтың диогоналі –а. Осы кубқа сырттай сызылған цилиндрдің көлемін табыңыз.

  AB=x

  AC₁=a

  a²=3x²

  x=

  R=AC:2

 AC²=AB²+BC²

 AC=

 R=

 S_цил=R²=()²=

  V= S_цилH==

  №11 (23 нұсқа №25)

  Қыры 2-ге тең куб берілген. М-ВСВ₁ С₁ жағының центрі.МД және ВВ₁ қырларының       арасындағы бұрыш неге тең?

M(0;1;1), В(0;0;0)

D(2;2;0), В₁(0;0;2)

MD(2;1;-1) ВВ₁(0;0;-2)

Cos a=

a=arccos

№12 (24 нұсқа №25)

Қыры 1-ге тең куб берілген. АД₁мен АС₁ векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыз.

A(1;0;0)    С₁(0;1;1)

Д₁(1;1;1)

АД₁(0;1;1)

АС₁(-1;1;1)

АД₁*АС₁=-1*0+1*1+1*1=2

№13 (25 нұсқа №25)

Қыры 2-ге тең куб берілген. АВ₁ және ВС₁ кесінділерінің орталарының арақашықтығы неге тең?А(2;0;0) В(0;0;0)

В₁(0;0;2)      С₁(0;2;2)

М(1;0;1)      N(0;1;1)

MN²=(0-1)²+(1-0)²+(1-1)²       MN=
Ү бөлім Призма.

   Екі жағы параллель жазықтықтарда жататын өзара тең көпбұрыштар, ал қалған жақтары   осы көпбұрыштармен ортақ қабырғаларыбар параллелограмдар болып келген көпжақты  призма деп атайды.

Табандары-тең көпбұрыштар,

Бүйір жақтары-параллелограмдар,

Бүйір қырлары -өзара параллель.

V=SH

S_б.б=PL, L-бүйір қыры

S_т.б= S_б.б+2S_таб

 Тік призма деп бүйір қырлары табандарына перпендикуляр призмаларды атайды.

                                         L=H,   V=SH,     S_б.б=PH

  2003 ж

   №1 (2 нұсқа №29)

   Төртбұрышты дұрыс призма шарға іштей сызылған. Шардың радиусы 5 см, ал призманың табанының қабырғасы 6 см болса, онда призманың биіктігін табыңыз.

 

AB=6 cм, AO=5 cм, H_призма-?

AC=6

R_шар=(+Rтаб²

R_таб=AC:2=3

625=(+(3)²

       H²=28

      H=2

№2 (11 нұсқа №21)

 Тік призманың табаны-ромб, ал призманың диогоналдары 8см және 5 см. Призма биіктігі 2 см. Табан қабырғасын табыңыз.

AP=8, BN=5, CP=2

AB-?

AC²=AP²-CP²

AC²=64-4=60

AC=4

BD²=BN²-BD²

BD²=25-4=21

BD=

AB=
  №3 (12 нұсқа №21)

   Үшбұрышты тік призманың барлық қырлары өзара тең. Оның    бүйір бетінің ауданы

48 см². Биіктігін табыңыз.

                        

    S_б.б=48 см².

   S_б.б=PH

   3a*a=48

       a²= 16

       a=4

      H=4cм

  №4 (13 нұсқа №21)

Тік үшбұрышты призманың табанының қабырғалары 10см, 17см, 21 см, ал призма биіктігі 18 см. Призманың бүйір қыры мен табаының кіші биіктігінен өтетін қиманың ауданын табыңыз.

p=

S=

S=AB*CH

CH=2S:AB

CH= 168:21=8cм
  №5 (18 нұқса №21)

  Үшбұрышты дұрыс призманың табанының ауданы 12 тең. Егер призманың биіктігі                         табанының қабырғасынан 2 есе үлкен болса, онда призманың көлемін табыңыз

 

S_таб=12

MA=2AB

S_таб=

=12
  a²=48     a=4

 MA=2*4=8

  V=12*8=288 cм³

 2004 ж

  №6

         Дұрыс төртбұрышты призманың бүйір бетінің ауданы 32м²,     ал толық бетінің ауданы    40м². Биіктігін табыңыз.

S_б.б=32м², S_т.б=40м²

S_т.б= S_б.б+2 S_таб

S_таб==4

S_таб=a²

a²=4, a=2

      S_б.б=PH
     P=4*2=8cм

     H= S_б.б:P    

     H=32:8=4cм

  2006 ж

   №7 (21 нұсқа №24)

   Тік призманың  табанында төбесіндегі бұрышы  болып келетін тең бүйірлі үшбұрыш  жатады. Осы бұрышқа қарсы жатқан жағының диогоналі L ге тең және табан жазықтығымен  бұрышын жасайды. Призманың көлемін табыңыз

  <ABC=,  EC=L,  <ECA=

Үшбұрыш AEC:

, AE=L sin, AC=Lcos

Үшбұрыш ABC:

AH=AC= Lcos

=ctg

BH= Lcos ctg

S_ABC=AC* BH= Lcos* Lcos ctg

S=L² cos² ctg     

              V=L² cos² ctg* L sin =L³ sin2cos ctg

    №8 (27 нұсқа №13)

    Көлбеу үшбұрышты призманың бүйір қырларының ара қашықтығы 10см, 17 см, 21см, ал   бүйір қыры 18 см. Призманың көлемін табыңыз

 

   AB=10, BC=17, AC=21, 

     L-бүйір қыры, L=18

p=

S=

V=S_ABC*L, L-бүйір қыры

V=84*18=1512cм³
  2007 ж №9 (5 нұсқа №24)

 Дұрыс төртбұрышты призманың диогоналі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш 30⁰, ал табанының қабырғасы а-ға тең. Призманың көлемін табыңыз.                 

<TAM=30⁰, AB=a V-?

TM=a, MA=2a

MA²=a²+a²+h²

h²=4a²-2a²=2a²

h=a

S_ABC=a²

  V= S_ABC*h=a²*a=a³

№10 (11 нұсқа №14)

   Төртбұрышты дұрыс призманың диогоналі бүйір жағымен 30⁰ бұрыш жасап көлбейді. Диогоналінің табан жазықтығымен жасайтын бұрышын табыңыз.

    <TAM=30⁰, AB=a V-?

   TM=a, AM=2a

  AC=a

 

  cos=   =45⁰

  №11 (15 нұсқа №24)

   Үшбұрышты дұрыс призманың табан қабырғасы мен оған қарсы жатқан қырының ортасы  арқылы өтетін жазықтық табан жазықтығымен 45⁰ бұрыш жасайды.Табан қабырғасы а-ға тең болса, призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

AB=a, <KOC=45⁰

S_б.б-?

OC²=BC²-OB²

OC=

=tg45⁰

 KC=
  H=2*=a 

  P=3a     

  S_б.б=PH=3a* a=3a³

     2009ж  №12 (2 нұсқа №18)

    Тік призманың табанында жатқан үшбұрыштың бір қабырғасы 2м, ал қалғандары 3м-ге тең. Призманың бүйір қыры 4м. Осы призмамен көлемдері бірдей кубтың қырын табыңыз.

 AB=2м, AC=BC=3м, AM=4м,

V_призма=V_куб

P=

S=

V_призма=SH=2*4=8
   V_куб=a³    a³=8    a=2

  2010 ж

   №13 (11 нұсқа №9)

    А(2;0;0), В(0;0;0), С(0;2;0) В₁(0;0;2) АВСА₁В₁С₁ призманың төбелері болса, С₁ нүктесінің координатасын табыңыз.C₁(0;2;2)
 

 №14 (11 нұсқа №25)

   Дұрыс төртбұрышты призманың табанының диогоналі 4см, бүйір жағының диогоналі

 5 см. Осы призмаға іштей сызылған цилиндрдің  бүйір бетінің ауданын табыңыз.

AC=4см

AT=5 см

Sб.б-цилиндр-?

Sб.б=2RH

AC²=AB²+BC²

2AB²=32

AB²=16

AB=4

  AP²=AT²-PT²=25-16=9

   AP=3 см
  R=AC:2=4:2=2

   Sб.б=2RH=2*2*3=12 см²

ҮІ бөлім Шар

Жарты дөңгелек өзін шектейтін диаметрден айналғанда шығатын фигураны шар деп атайды.

V=R³

S=4 R²

     2003ж

  №1 ( 1 нұсқа №27)

    Шардың радиусы 8 см-ге, ал қиманың радиусы  см-ге тең. Шардың центрінен қима жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

 R=OB=8 см

AB= см

AO-?

AO²=OB²-AB²

AO²=64-15=49

AO=7см
  №2(15 нұсқа №11)

   Радиусы 41 см шар центрінен 9 см қашықтықты жазықтықпен қиылған. Қиманың ауданын табыңыз.

R=OB=41 см

AO=9 см

AB²=OB²-AO²

AB²=1681-81=1600

S=R²

S=1600

№3 (17 нұсқа №27)

 Шар бетінің ауданы 36. Шардың көлемін табыңыз.

  S=4 R²

  36=4 R²

  R=3

   V=R³= *3³=36

  №4 (29 нұсқа №11)

    Үш шардың радиустары 3см, 4см, 5 см. Көлемі осы шарлардың көлемдерінің арифметикалық ортасына тең болатын шардың радиусы неге тең?

  R₁=3см, V₁=R₁³=*3³=36

  R₂=4см, V₂=R₂³=*4³=

 R₃=5 см, V₃=R₃³=*5³=

  V=(V₁+V₂+V₃)= (36++)=*288=96

  V=R³

  R³=

  R=

   2004ж

   №5( 15 нұсқа №30)

    Радиусы 17 см болып келетін шар оның центрінен 15см қашықтықта жазықтықпен қиылысады. Қима ауданын табыңыз.

R=OB=17 см

AO=15 см

AB²=OB²-AO²

AB²=289-225=64

S=R²

 S=64

 №6(20 нұсқа №30)

   Шар секторының табанындағы шеңбердің радиусы см-ге, ал шардың радиусы 3 см-ге   тең. Шар секторының көлемін табыңыз.

R=OA= 3см

AB= см

BO²=OA²-AB²

BO²=9-5=4

BO=d=2cм

H=R-d=3-2=1cм

V=R²H=*9*1=6
  №7 (22 нұсқа №30)

  Шар бетінің ауданы 100 . Шардың көлемін табыңыз.

  S=4 R²

  100=4 R²    R=5 

  V=R³= *5³=

   №8 (32 нұсқа №30)

  Шар бетіне тиісті C, D және Е нүктелері берілген және CD=7 cм, DE=8cм, CE=9 cм. Шардың центрінен CDE үшбұрыш жазықтығының центріне дейінгі қашықтық 1 см-ге тең болса, шар бетінің ауданын табыңыз.

AO=1cм,

P=(7+8+9)=12

S=

R_CDE=
  OE²=AO²+AE²

  OE=

  S=4 R²S=4*=92,2

     2005 ж

№9 (9нұсқа №28)

 Бір шар бетінің ауданы 18см²-қа тең. Көлемі берілген шар көлемінен 8 есе үлкен екінші шар бетінің ауданын табыңыз.

S₁=18 см²  

4 R²=18

 R²=   

  R=

V₁=R³=*()³=    

V=V₁*8=*8=   

     =R³

 R= 

          S=4R²          

  S=4*=72cм²

 №10(28 нұсқа№30)

V=cм³тең болатын шар конусқа іштей сызылған.Конустың биіктігі 3 см болса, көлемін табыңыз.

V=R³

 R³=

R_шар=1

SO=H

L-жасаушысы
   L²=H²+R²           

     L=

  R_шар=                

      =1

3R=R+

=2R

4R²=9+R²

R²=3

S_конус= R²

S_конус=3

V= S_конусH=*3*3=3

№11 (29 нұсқа №30)

 Шарлардың радиустары 25 дм, 29 дм, ал олардың центрлерінің ара қашықтығы

36 дм.Шарлардың беттерінің қиылысу сызығының ұзындығын табыңыз.

AB=25 дм, BC=29 дм, AC=36 дм

AD=x , DC=36-x

BD²=AB²-AD²

BD²=BC²-DC²

25²-x²=29²-(36-x)²

625- x²=841-1296+72x- x²

72x=1080

   x=15
   BD²=AB²-AD²

   BD²=625-225=400

  BD=20

  C=2R=2*20=40дм=4м

 2006 ж  №12(26 нұсқа №14)

   Шардың көлемінің және оның беттерінің аудандарының сан мәндері тең. Шардың радиусын табыңыз.

  V_шар= S_б.б

  R³=4 R²

  R=3 cм

   2007ж

  №13( 2 нұсқа №30)

 Сыртқы диаметрі 10,7 см, ал ішкі диаметрі 8,6 см-ге тең іші қуыс шойын шардың массасын есептеп шығарыңдар. Шойын тығыздығы 7,3г/см³

   AB=10,7 см

  CD=8,6 см

  =7,3 г/см³

    m=V

   R₁=AB/2=10,7:2=5,35

V₁=R₁³=*5,35³=204,17

R₂=CD/2=8,6:2=4,3

V₂=R₂³=*4,3³=106,009

V=V₁-V₂=204,17-106,009=98,161

m=V

   m=7,3*98,161=716,6

  №14(6 нұсқа №14)

   Шардың көлемі 288см³. Шар бетінің ауданын табу керек.

  V=288см³

  R³=288

  R=6

  S=4R²=4*6²=144

 2009ж

  №15(9 нұсқа №18)

    Шарды қиятын екі параллель жазықтық шар центрінің екі жағында орналасқан. Қималардың аудандары 144 және 25. Жазықтықтардың арасы 17 см болса, шар бетінің   ауданын табу керек.

 

 AB=17см

  S₁=144

   S₂=25

   S_шар-?

R₁²=144

BC=R₁=12

R₂²=25

AD=R₂=5

AO=x, BO=17-x

CO²=BO²+BC²
 DO²=AO²+AD²

  DO=CO=R

 (17-x)²+144=x²+25

 289-34x+x²+144= x²+25

 34x=408

 X=12

 AO=12,   DO²=144+25=169

 DO=13

 S=4*R²=676

  №16 (18 нұсқа №24)

  Шардың өзара перпендикуляр екі қимасының ортақ хордасының ұзындығы 12 см. Қималардың аудандары 100және 64 болса, шардың радиусын табыңыз.

 S₁=100   R₁=10

S₂=64     R₂=8

AB=12 см.

AKD;  KD²=AD²-AK²

KD²=100-36=64

KD=8

BKC

KC²=BC²-KB²

KC²=64-36=28

  KC=2

 DKO;

 KO²=KD²+DO²

 KO²=64+28=92

 AKO

  AO²=AK²+KO²

 AO²=36+92=128

 R=

 2010ж

 №17 (15 нұсқа №25)

Сфера центрінің бір жағында орналасқан, сфераны қиятын параллель жазықтықтардың қималарының ұзындығы 10 және 24.  Жазықтықтардың арасы 7 см болса, сфера бетінің ауданын табыңыз.

   AB=7, C₁=10 , C₂=24. 

   S_сфера-?

   2R₁=10

   AC=R₁=5

      2R₂=24. 

      BD=R₂=12

 AOC;

BO=x

AO=x+7

OC²=AO²+AC²=(x+7)²+25
  BOD

  OD²=BO²+BD²=x²+144

 OC=OD=R

  (x+7)²+25= x²+144

  X²+14x+49+25=x²+144

  14x=70

  X=5

  R²= x²+144=25+144=169

 R=13

  S=4*R²=4*169=676

    ҮІІ бөлім Цилиндр

Цилиндр деп тік төртбұрышты оның қабырғаларының бірінен айналдырғанда шығатын фигураны айтады.

V=R²H

S_б.б=2RH

S_т.б= S_б.б+2S_таб

2003ж

  №1  (7 нұсқа №21)

   Биіктігі 3см-ге тең, ал осьтік қимасы шаршы болатын цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

  AC=H=3см

  R=AB:2=3:2=1,5 см

  S=2RH

  S=2*1,5*3=9

  №2 (13 нұсқа №11)

  Цилиндр биіктігі 2 м, табан радиусы 3 см. Көлемін табыңыз.

  H=2 м=200 см.

  R=3 см.

  V=R²H

  V=*3²*200=1800 см³

  №3 (14 нұсқа №11)

 Цилиндрдің биіктігі 6 дм, ал табанының радиусы 5дм. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

H=6 дм, R=5дм.

S=2RH

S=2*5*6=60 дм²

  №4 (16 нұсқа №11)

Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 24 см². Бүйір бетінің ауданын табыңыз.

S_ABCD=24 см²,

S_б.б=2RH

AB=2R

AC=H

S_ABCD=AB*AC

S_б.б=24 см²

    №5 (16 нұсқа №27)

Осьтік қимасының ауданы 30см², ал табанының ауданы 9см²цилиндр берілген.

Көлемін табыңыз.

S_ABCD=30 см²,

Sтаб=9см²

Sтаб=R²

R²=9

R=3

AB=2R

AC=H

S_ABCD=AB*AC

2R*H=30

H=30:6=5cм

V=R²H

V=*9*5=45

  №6(19 нұсқа №26)

 Цилиндрдің бүйір бетінің жазбасы тік төртбұрыш. Жазбаның диогоналі d табанымен  бұрыш жасайды. Цилиндрдің көлемін табыңыз.

AC=d

<CAD=

V-?

CD=d sin

AD=d cos

C_таб= 2R

2R= d cos

R=

 V=R²H

V=()²* d sin=cos²*sin

  2004ж

   №7.(3 нұсқа №30)

    Цилиндрдің көлемі 112 см³, биіктігі  28 см. Осьтік қимасының диогоналінің ұзындығын табыңыз.

 

  V=112 см³

  V=R²H

  H=28 см.

  AD-?

  R²*28=112

  R²=4

     R=2

   AB=4

   AD²=AB²+BD²

   AD²=16+784=800

  AD=
  2006ж

  №8 (19 нұсқа №14)

   Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 70см², ал биіктігі 7 см-ге тең. Цилиндрдің бетінің ауданын табыңыз.

  AB=2R

  AC=H=7 см

  S_ABCD=AB*AC=70см²

   2R*7=70

  R=70:14=5cm

  S_б.б=2RH=2*5*7=70

   S_таб=R²=*5²=25

  S_т.б=2 S_таб+ S_б.б=50+70=120

2007ж

№9(25 нұсқа №30)

Цилиндрдің осьтік қимасының диогональдары өзара перпендикуляр. Қиманың  периметрі 8а. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

P_ABCD=8a

AB=2a, AC=2a

R=a,

S_б.б=2RH=2*a*2a=4a²

V=R²H

V=a²*2a=2a³
  2009ж

   №10 (17 рұсқа№24)

   Радиусы R, биіктігі Н-қа тең цилиндрге табаны цилиндр табанының біріне іштей сызылған, ал төбесі оның келесі табанына тиісті болатын дұрыс төртбұрышты пирамида іштей сызылған. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.

SO=H, OD=R.

S_т.б-?

AD=2R

AB=x

AD²=AB²+BC²

x²+x²=4R²

x²=2R²

S_таб=AB²

S_таб=2R²

 Sб.б=P*A (А-пирамиданың апофемасы)

  AB=R

  P=4R

 A²=H²+(AB/2)²

 A=

 S_б.б=*4R*=2R

 S_т.б=2R+2R²=2R(+R)

 ҮІІІ бөлім. Конус

Конус деп тік бұрышты үшбұрышты катетінен айналдырғанда шығатын фигураны атайды.

V=R²H

Sб.б= RL

L²=H²+R²

S_т.б= S_б.б+S_таб

2003ж

 №1 (3 нұсқа №11)

Конустың жасаушысы 2 см-ге тең, осьтік қимасының төбесіндегі бұрышы 120⁰.

Конустың табанының  ауданын табыңыз.

AC=2 см

<ACB=120⁰

S_таб-?

АВ²=AC²+BC²-2AC*BC*cos120⁰

АВ²= (2)²+(2)²+2*2*=2*4*3+4*3=36

AB=6

R=3

S_таб=R²   S_таб=9

№2 (3 нұсқа №29)

Конустың биіктігі 4см. Табанының диаметрі 6см. Бүйір бетінің ауданын табыңыз.

CH=4см

AB=6см

R=3cм

Sб.б= RL

L²=H²+R²

L²=16+9=25

L=5

Sб.б= *3*5=15
 №3 (8 нұсқа №26)

Конустың биіктігі табанының радиусына тең. Көлемі V=9.Жасаушысын табыңыз.

CH=R=x

V=9.

L-?

V=R²H

R²H=9

X³=27

X=3

L²=H²+R²

L²=9+9=18

L=3

№4 (9 нұсқа №26)

 Конустың табанының радиусы 3см, ал жасаушысы табан жазықтығына 45⁰ бұрыш жасай көлбеген. Конустың көлемін және бүйір бетінің ауданын табыңыз.

R=AH=3см

<CAH=45⁰

V, S_б.б-?

СH=3см

L²=H²+R²

L²=(3)²+(3)²

L²=36

L=6

V=R²H

V=(3)³=18

Sб.б= RL

Sб.б= *3*6=18

№5 (13 нұсқа №27)

Конустың көлемі 9см³  Егер оның осьтік қимасы тең қабырғалы  үшбұрыш болса, конустың биіктігін табыңыз.

V=R²H

V=9см³ 

9см³  =R²H

R=x, CB=2x

CH²=4x²-x²=3x²

CH=x

*x^2*x=9

X³=27

X=3

 CH=x=3

   №6 (25 нұсқа №11)

   Осьтік қимасы тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш болатын конус берілген. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 6см-ге тең болса, бүйір бетінің ауданын табыңыз.

AB=6

R=3

H=3

L²=H²+R²

L²=(3)²+(3)²

L²=36

L=6

Sб.б= RL

  S_б.б=*3*6=18
2004 ж

№7( 5 нұсқа №30)

 Конустың жасаушысы табан жазықтығына 30⁰бұрыш жасай көлбеген және 8 см-ге тең. Осьтік қимасының ауданын табыңыз.

<CAH=30⁰

AC=8 см

S_ABC-?

S_ABC=AB*CH

CH=AC

CH=*8=4

AH²=AC²-CH²

AH²=64-16=48

AH=4

AB=8

S_ABC=AB*CH=*8*4=16

   №8 (13 нұсқа №30)

   Тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш өзінің катетінен айналдырылған. Гипотенузасы 3см-ге тең болса, шыққан конустың көлемін табыңыз.

AC=3см

AC²=AH²+CH²

2AH²=18

AH²=9

AH=3

V=R²H

V=*3²*3=9

   №9(19 нұсқа №30)

 Конустың биіктігі 15cм, ал көлемі 320 см³. Табанының радиусын табыңыз.

 V=R²H

 V=320 см³

 H=15см

 R^{2 *}15=320

 R²=64

 R=8

  2009ж

  №10( 1 нұсқа №25)

   Жасаушысы L-ге, ал табанының радиусы  R-ге тең  конус берілген. Бір жағы конус табанында, ал қарсы жатқан жағының төбелері оның бүйір бетінде жататын конусқа іштей сызылған кубтың қырын табыңыз.

    

    PB=L

    BK=R,   R-төртбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы

    a-? a-төртбұрыштың қабырғасы

  a=R

  

H=

1-
a ( 

  a=

a=

  №11( 3 нұсқа №18)

 Конустың осьтік қимасы тең бүйірлі үшбұрыш, бүйір қабырғасы 16 см, ал арасындығы бұрышы 120⁰ болса, толық бетінің  ауданын табыңыз.

   AC=16 см,

   <C=120⁰

S_т.б-?

S_т.б=R(R+L)

АВ²=AC²+BC²-2AC*BC*cos120⁰

AB²=16²+16²+2*16*16*=768

AB=16

  R=AB:2

  R=8

  S_т.б=R(R+L)= *8(8+16)=64(3+2)

 №12(4 нұсқа №18)

  Тік конустың жасаушысы 6 см-ге тең және табан жазықтығына 60⁰бұрыш жасай көлбеген. Толық бетінің  ауданын табыңыз.

AC=6 см, <A=60⁰

S_т.б-?

S_т.б=R(R+L)

AH=6*=3 см

S_т.б= *3*(3+6)=27

 2010ж  №13 (8 нұсқа №25)

  Конустың биіктігі 20-ға, табанының радиусы 25-ке тең. Конустың төбесі арқылы өтетін және конустың табанының центрінен қашықтығы 12 см-ге тең боатын қиманың ауданын табыңыз.

SO=20 см,  KO=25 см, PO=12 см

S_SKL=SP*KL

SEO; SE=

SPO; SO²=SE*SP

SP= SO²:SE

SP=400:16=25

KPO; KP=

S_SKL=SP*KL=*25*20=500

 №14 (11 нұсқа №25)

  Пирамиданың табаны-қабырғасы а-ға , сүйір бұрышы -ға тең ромб.  Пирамидаға жасаушысы   табан жазықтығымен бұрыш жасайтын конус іштей сызылған. Конустың көлемін табыңыз.

 

 <A=

  <SAO=

V=S_таб *SO

=sin

h=a sin

r=h= a sin

SO=sintg

S_таб=r²=(a sin)²
  V= *()²a²sin² *sintg=sin³tg

   №15 (16 нұсқа №25)

   Конустың биіктігі 3см, табанының радиусы 5 см.

   Төбесі арқылы өтетін биіктігімен 30⁰жасайтын қиманың ауданын табыңыз.

SO=3см

R=5 см.

<PSO=30⁰

S_SKL=KL*SP

SP=2PO

SP=2x, PO=x

SO²=SP²-PO²

3x²=27

X²=9

 X=3

 SP=6, PO=3    KP==4      KL=2KP=8

 S_SKL=KL*SP=*8*6=24 см²

 №16 (19 нұсқа №25)

  Конустың биіктігі 4 см. Конус бүйір бетінің жазбасының центрлік бұрышы  120⁰.Конустың көлемін табыңыз.

  

CH=4

=

L=3R

  H=

  H=2R

  2R=4          R=2

V=R²H   

 V=*2²*4 =

 №17 (21 нұсқа №24)

 Конустың бүйір бетінің ауданы табанының ауданынан 2 есе артық болса, жазбасының бұрышын радианмен табыңыз.

S_б.б= RL

S_б.б=2S_таб

RL=2R²

L=2R

=

=180⁰

№ 18 (16 нұсқа №25)

  Конустың көлемі V –ға тең. Конусқа іштей сызылған дұрыс төртбұрышты пирамиданың көлемін табыңыз.

 V=R²H

  H=

  V_пир=S_таб*H

   R-төртбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы

  a-төртбұрыштың қабырғасы

  a=R

  S_таб=a²=(R)²=2R²

  V_пир =S_таб*H=*2R^2*H=*2R²*=

№19 (17 нұсқа №25)

  Радиусы 6 см-ге тең жарты дөңгелек конусқа айналдырылған. Кoнустың көлемі неге тең?

  С=R=6

  H=

H=

C=2R

2R=6

R=3

V=R²H=*9*3=9

№20 (20  нұсқа №18)

    Конустың осьтік қимасы тік бұрышты үшбұрыш.P=16(2+) ,  толық бетінің ауданы неге тең?

AC=BC=L,  AB=2R

AC²+BC²=AB²

2L²=4R²

L=R

P=2R+2L

2R+2L=16(2+)

R+L=8(2+)

R+R=8(2+)

R(1+)=8(1+)

R=8

L=*8=16

S_т.б=R(R+L)= *8*(8+16)= *8*8(1+)=128(1+)

  №21 (2003ж. 2 нұсқа №27)

  Қиық конустың табан радиусы 7 м және 4 м. Жасаушысы табанына 60⁰бұрышпен  көлбеген.Жасаушысын табыңыз.

OC=4 м.

ND=7 м

<D=60⁰

DC-?

DH=DN-HN=7-4=3м

=cos60⁰
DC=3: =6м

   №22 (18 нұсқа №11)

    Қиық конустың табанының диаметрі 3м, 6м, биіктігі 4 м. Жасаушысын табыңыз.

  AD=6, BC=3, CH=4, DC-?

  HD=(AD-BC)= *(6-3)=1,5

  DC²=CH²+HD²

  DC²=16+2,25=18,25

   DC=

№23 (23 нұсқа №26)

 Қиық конустың табанының радиустары 10 см және 4 см, ал жасаушысы табан жазықтығына 45⁰ бұрыш жасай көлбеген. Конустың осьтік қимасының ауданын табыңыз.

ND=10, OC=4, <D=45⁰

S_ABCD-?

HD=ND-OC=10-4=6

HD=CH=6

S=(AD+BC) *CH=(20+8)*6=84

 №24 (2009ж 10 нұсқа №25)

  Конустың көлемі 375 см³. Биіктігі 5 см.Конус төбесінен 2 см қашықтықтан өтетін және де оның табанына параллель жазықтық қияды. Пайда болған қиық конустың көлемін табыңыз.

V=375 см³

H=5 см.

SC=2cм

V_{қиық кон}-?

V=R²H

R²*5=375

R²=225:

R=
CN=x    

    x= 

     V=H(r²+R²+R*r)= *3*()=351 см²

   Мазмұны:

   І бөлім  Жазықтықтардың қасиеттері

   ІІ бөлім. Пирамида

   ІІІ бөлім Параллелепипед

   ІҮ бөлім Куб

   Ү бөлім Призма

  ҮІ бөлім Шар

  ҮІІ бөлім Цилиндр

   ҮІІІ бөлім Конус