ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД ШКОЛЬНИКОВ

ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ                                                                       МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД ШКОЛЬНИКОВ

Сидоренко Анна Борисовна, кандидат  наук государственного управления, учитель высшей категории, учитель-методист МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ «НАЦИОНАЛЬНАЯ ЕВРЕЙСКАЯ ШКОЛА № 99 «ОР-МЕНАХЕМ» ГОРОДА ДОНЕЦКА», ДНР.

Аннотация: в математических олимпиадах различного уровня очень часто встречаются задачи, которые основаны на применении свойств целой и дробной части числа. К сожалению, в курсе математики средней школы эта тема не изучается и школьники зачастую даже не пытаются решать подобные задачи. В своей  работе мы попытаемся доказать, что эта тема не просто очень интересна, но и не требует каких-то “особых” усилий для её изучения. Тем не менее свойства целой и дробной части действительного числа настолько содержательны, что позволяют решать задачи достаточно серьёзного уровня.

Ключевые слова: функция Антье, метод прямой и обратной постановки, сведения уровнений к двойному неравенств, метод оценок и теории чисел.

Как известно целой частью числа или функцией Антье называется наибольшее целое число, не превосходящее, обозначается целая часть символом  [x]. Дробной частью {x} числа x называется разность между числом х и его целой частью: {x}=x - [x].

В начале нашей работы мы доказываем основные свойства целой и дробной части. Они не являются оригинальными, но необходимы нам для дальнейшего использования.

Первая часть работы посвящена использованию аналитических методов при решении уравнений с целой и дробной частью. Здесь мы в основном используем три метода:

 - метод прямой и обратной подстановки;

 -  метод сведения уравнений к двойному неравенству;

 - метод оценок.

  Все эти методы разобраны на следующих уравнениях:

1.      (Всероссийская математическая олимпиада, Окружной тур,2005г.)  Решить  уравнение :   .

2.      (Всероссийская математическая олимпиада, Заключительный тур,2011г.)  Найти все значения   , которые удовлетворяют равенству :

 .

3.      (Болгарская математическая олимпиада,2-й уровень,2013г.)   Решите  уравнение  :   .

Кроме того проиллюстрировано, как подобные методы применяются при решении систем уравнений с целой и дробной частью, на таких примерах:

4.      (Санкт-Петербургская математическая олимпиада,1999г.)  Решите систему уравнений  :     .

5.      (Балканская математическая олимпиада,юниоры,2014г.)   Решите систему уравнений :    .

Вторая часть работы посвящена использованию методов теории чисел, при решении задач связанных с целой и дробной частью. Очень активно использовались свойства делимости, методы теории остатков, а также оценки соответствующих сумм.

Были рассмотрены следующие примеры:

6.      (Всеукраинская математическая олимпиада, Областной тур,2001г.)   Найти множество целых положительных решений и найти количество таких решений :          .   

7.      (Всероссийский Турнир Журнала “Квант”,1993г.)   Решить  уравнение  :   .

8.      (Всероссийская математическая олимпиада, Окружной тур,2010г.)    Найдите все натуральные числа  , для которых  число   - простое .

9.      (Санкт-Петербургская  математическая олимпиада,2002г.)  На какие цифры не может оканчиваться натуральное число  :

 ,

если   - вещественное число ?

В третьей части работы рассматривается использование целой и дробной части в задачах на доказательства неравенств. Мы показываем как наряду со стандартными неравенствами, типа неравенств о средних и неравенства Коши можно использовать свойства Антье и как это работает при решении олимпиадных задач. Рассмотрены следующие примеры.

10.  ( Математическая олимпиада “Покори Воробьёвы горы ”,2016г.)  Найдите наименьшее положительное число  ,  удовлетворяющее неравенству  .

11.  (Математическая олимпиада Московской области, Окружной тур,2011г.)  Сумма положительных чисел  ,    и    равна  11 .

 Докажите неравенство :   .

12.  (Олимпиада США,2001г.)   Известно, что натуральное число  не является точным квадратом. Доказать, что

 .

13.  (Олимпиада ОММО по математике,2014г.)  Дано число . Известно, что . Докажите, что  .

В конце приведен список задач, предлагавшихся на задачах различного уровня, в которых могут быть применены методы, рассмотренные в этой работе. Хочется надеяться, что данные методы помогут учащимся успешно подготовиться к математическим олимпиадам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.      Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. М.: МФТИ, 2003.

2.      Фомин Д.В., Санкт-Петербургские математические олимпиады. СПб.: Политехника, 1994.

3.      И. Кушнир, Шедевры школьной математики, Киев, Астарта, 1995.

4.      И. Кушнир, 101х3, Киев, Факт, 2007.

5.      Горбачёв Н.В., Сборник олимпиадных задач по математике. М.: МЦНМО, 2005.

6.      Семёнов И.Л., Антье и мантисса. Сборник задач с решениями,М.: ИПМ им. М.В.Келдыша,2015.