Дидактический материал по Геометрии 9 класс.

Задача по теме «Площадь круга и длина окружности». 9 класс

Колодец цилиндрической формы, имеющий в диаметре 135 см. , а глубину 380 м. , надо выложить кирпичом. Сколько штук кирпича для этого потребуется, если размер кирпича 25 х 12 х 6,5 см.

Решение:  Длина окружности, диаметр которой меньше диаметра колодца на удвоенную ширину кирпича, равна πd ≈ 351 см . Длину окружности делим на длину кирпича, получаем 351 : 25 ≈ 14 кирпичей уложено в один ряд. Таких рядов будет 380 : 6,5 ≈ 59. Следовательно, потребуется кирпича 14 ∙ 59 = 826 штук.

Ответ: 826 кирпичей.

Задача:  Поверхность пруда имеет форму квадрата.

В вершинах квадрата на берегу пруда растут четыре дуба. Хотят вдвое увеличить площадь повер- хности пруда, но так, чтобы новый пруд со- хранил форму квадрата и чтобы все четыре дуба остались целы (то есть были на берегу).  Как это сделать?

Решение: Построим точки О₁, О₂, О₃, О₄, симметричные точке О относительно прямых ВС, АD, CD, и АВ соответственно. Докажем, что Sо₁о₂ о₃ о₄ =2S_АВСD.  Пусть ВС = х. Тогда площадь пруда равна х2. Площадь нового пруда  Sо₁о₂ о₃ о₄ = О₁О₂ ∙ О₃О₄ = 2 х2.

Задача  по теме «Теоремы синусов и косинусов».

С наблюдательного пункта А замечают под углом 63°30( самолет В, пролетающий над башней D, высота которой 79,5 м. Прямая, соединяющая наблюдательный пункт А с верхушкой башни D, образует с горизонтальной плоскостью угол 20°45(. На какой высоте находился самолет?

Решение: Высота полета самолета ВС = ВD + DС ∆ ABC – прямоугольный, т. к. СВ – высота. (DAB =(САВ – (САD = 63°30( – 20°45( = 42°45(, (СВА=90° – 63°30) = 26°30 (.∆ DАС – прямоугольный. АD =Из ∆ DAB по теореме синусов ВС = ВD + DС = 342,2 + 79,5 = 421,7

Ответ: 421,7 м – высота полета самолета.

Задача  по теме «Теоремы синусов и косинусов».

Вершина горы В (рис. 10) из точки А видна под углом  = 38°42 а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом = 42°).  Найти высоту горы.

Решение:  Из ∆ BDC по теореме синусов ∆ BDC – прямоугольный, т. к. ВС - высота горы.

Ответ: высота горы 1452,5 м.

Дерево имеет в обхвате 120 см. Найдите примерную площадь поперечного сечения (в см²), имеющего форму круга. (П=3)

Ответ:1200

Две трубы, диаметры которых равны 10 см и 24 см, требуются заменить одной, не изменяя их пропускной способности. Каким должен быть диаметр новой трубы?

Ответ:26

Зрачок человеческого глаза, имеющий форму круга, может изменять свой диаметр в зависимости от освещения от 1,5 мм до 7,5 мм. Во сколько раз при этом увеличивается площадь поверхности зрачка?

Ответ:25

Бумажная лента плотно намотана на катушку, внутренний диаметр которой равен 20 см. Толщина бумаги равна 0,5 мм, а толщина намотанного рулона – 30 см. Найдите длину бумажной ленты. Ответ дайте в метрах (П=3)

Ответ:300

Участок между двумя параллельными улицами имеет вид четырехугольника ABCD (AD\\BC)  AB=28м, ВС=20м, AD=40м, угол В=112⁰. Найдите площадь этого участка. В ответе укажите приближенное значение, равное целому числу квадратных метров.

Ответ:1875

«Тригонометрические функции. Решение треугольников »

1 вариант

1.      Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800м. Затем завернул на север и прошел 600м. Под каким углом к направлению на запад он должен идти, чтобы вернуться домой? В ответе укажите целое число градусов. (Используйте таблицу тригонометрических функций)

Ответ 37

2.      Горная железная дорога поднимается на 1 м на каждые 30м пути. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол подъема в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.

Ответ  2         

3.      Лестница имеет ступеньки, ширина которых30 см, а высота – 18 см. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол подъема лестницы. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.

Ответ 31        

4.      С самолета радируют капитану рыболовецкого судна, что самолет находится над косяком рыбы на высоте 1000 м. С судна определяют, что угол, под которым виден самолет над горизонтом, равен 26⁰. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите расстояние от судна до косяка рыбы. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.

Ответ 2020    

Использую данные, приведенные на рисунке, найдите ширину АВ реки.

Ответ 23,8

 «Тригонометрические функции. Решение треугольников »

2        вариант

1.      Девочка прошла от дома на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. Под каким углом к направлению на восток она должна идти, чтобы вернуться домой? В ответе укажите целое число градусов. (Используйте таблицу тригонометрических функций)

Ответ  37

2.      Человек, пройдя вверх по склону холма на 1000 м, поднялся на 90 м над плоскостью основания холма. Используйте таблицу тригонометрических функций, найдите (в среднем) угол наклона холма в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.

Ответ        5         

3.      Угол подъема лестница дачного домика равен 58⁰. Используйте таблицу тригонометрических функций, найдите высоту ступенек лестницы, если ширина ступенек равна 20 см.

Ответ 32  

4.      Самолет приближается к аэропорту А на высоте 8000м. Пилот имеет предписание производить снижение для посадки под постоянным углом 6⁰. Используйте таблицу тригонометрических функций, найдите расстояние АВ от посадочной полосы до того места, над которым самолет должен начать снижение. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом метров.

Ответ 76080  

5.                 Из окна, расположенного на высоте 15 м над поверхностью земли, нижний край дома, стоящего прямо на другой стороне улицы, виден под углом понижения 32⁰. Найдите ширину улицы.

Ответ 24

Тематический зачет

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ

(геометрия 9 класс)

1)      Даны неколлинеарные векторы  и  и точка А. Постройте от точки А вектор .

2)      Среди данных векторов  найдите пару коллинеарных векторов.

3)      Запишите разложение по координатным векторам  и  вектора .

4)      Запишите координаты вектора .

5)      В параллелограмме АВСD проведена диагональ BD. Найдите координаты вектора , если .

6)      Дан треугольник АВС. Найдите координаты вектора , если .

7)      В прямоугольнике ABCD сторона АВ равна 2, а сторона ВС равна 5. Выразите векторы  через координатные векторы.

8)      В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС, а в треугольнике АВD – медиана АМ. Найдите координаты вектора , если .

9)      Точки M и N являются серединами диагоналей трапеции АВСD. Найдите координаты вектора , если .

10)  Дан ромб АВСD. Меньшая диагональ ромба АD равна 6 см, а большая ВС – 10 см. На рисунке введите удобным образом систему координат и определите координаты вершин А,В и С

11)  Точка  является началом вектора , а точка  - его концом. Найдите координаты вектора .

12)  Точка  является началом вектора , а точка  - его концом. Найдите координаты точки

13)  Даны точки А(5;-2), В(3;0), С(-4;5) И D(-6;7). Определите, равны ли векторы  и .

14)  Определите координаты центра окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А(9;-4) и В(7;6).

15)  В треугольнике ОАВ к стороне АВ проведена медиана ОС. Найдите длину медианы ОС, если О(-5;7), С(-2;3).

16)  Даны точки А(8;-2), В(5;3), С(-4;9) и D(11;-4). Определите, коллинеарны ли векторы  и .

17)  Отметьте точки А(2;0), В(-3;4), С(-3;7) и D(2;3). Определите вид полученного четырехугольника ABCD.

Зачёт по теме «  Векторы. Метод координат».

1.      Вектором называется отрезок,  _____________________________________________________________________________

2.      Средняя линия трапеции – это___________________________________________________________________________

3. В какой координатной четверти расположена точка М( -1; 4)? ________________________
4. Любой вектор можно разложить по двум данным __________________________________ векторам, причём коэффициенты разложения определяются __________________________________

5.      Разложите вектор m( -3;2 )по координатным векторам i  и j. _________________________

6.    Если А(3; 4) и В( - 2; 5), то вектор АВ имеет координаты       ; ________________________

7.       Координаты точки равны соответствующим координатам её __________________________

8. Длина вектора р (x;y) вычисляется по формуле ____________________________________
9. Из данных уравнений выберите то, которое не является уравнением окружности: x²+y²=36;            (x-3)²+y²=1; x²+y=4; (y-3)²+(x+5)²=2.   Ответ: _______________________________________
10. Напишите уравнение окружности  с центром в точке А(0; -2) и радиусом равным 8. _____________________________________________________________________________

11. Запишите формулы для вычисления координат середины отрезка АВ, если А(x₁;у₁) и В(x₂;y₂):   ___________________________________________________________________________
12. Верно ли, что расстояние d между точками M x₁;у₁) и N(x₁;y₂)  выражается формулой                           d = (x₁+x₂)²-(y₁+y₂)².    Ответ:____________________________________________________
13. Окружность задана уравнением x²+y²=25. Запишите координаты её центра и радиус.  Ответ:_______________________________________________________________________

Зачет  по теме «Векторы».

1 вариант

Определите, является ли утверждение верным  Утверждение Да/Нет

1          Вектором называется направленный отрезок

2          Вектор АВ – нулевой вектор         

3          Длина ненулевого вектора называется его модулем

4          Коллинеарные векторы лежат только на параллельных прямых

5          Противоположные векторы противоположно направлены

6          От любой точки можно отложить векторы, равные данному

7          Произведение вектора на число есть вектор

8          Вычитание двух векторов можно заменить сложением с противоположным вектором

9          При сложении векторы нельзя менять местами

10        Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее оснований

                                                            Зачет по теме  «Векторы».

2 вариант

Определите, является ли утверждение верным    Утверждение            Да/Нет

1          Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется вектором

2          Длиной вектора АВ называется длина любого отрезка 

3          Любые векторы могут быть сонаправленными

4          Векторы называются равными, если они сонаправлены и их

длины равны

5          От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и при том только один

6          Сумма двух векторов есть вектор

7          Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор

8          В параллелограмме АВСК , вектор АВ равен вектору СК, то есть векторы АВ и СК  -  равные векторы

9          Разностью векторов ā и ē называется такой вектор, сумма которого с вектором ē равна вектору ā.

10        Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Зачет по теме «векторы» вопросы- билеты

Билет № 1

1.      Дайте определение вектора, длины вектора. Выведите формулу длины вектора через его координаты.

2.      Задача. Даны векторы  а    (-5;1) ; в  (0;-3) ; с  (4;-2). Найдите длину вектора:

 

1)      т  =  а  -  3  в  +  2 с

 

                                          2) п   =  - 2  а  +  в  - ½ с

Билет № 2

1.      Дайте определение коллинеарных векторов. Докажите теорему о коллинеарных векторах.

2.      Задача. Даны векторы   а (х ; -2) ,  в  (2 ; -4) ,  с  (-3 ; 6). При каком значении х векторы  а   и  т  = 3 (  а   - в  ) + с  коллинеарны?

Билет  № 3

1.      Дайте определение равных и противоположных векторов. Расскажите о правилах сложения векторов (правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника).

2.      Задача. В равностороннем  ∆ АВС  АD – биссектриса. Найдите

 

     | СВ  +  DС  - DА |  , если АВ = √3 см

Билет  № 4

1.      Дайте определение нулевого и единичного векторов. Расскажите о построении разности двух векторов.

2.      Задача. В ∆ АВС  М – точка пересечения медиан,  МА  = а  ,  МС  = с  .

 

Выразите векторы  ВА ,СВ , АС  через а  и  с .                                                   

Билет № 5

1.      Дайте определение умножения вектора на число. Как найти координаты суммы двух векторов? (Докажите правило 1).

2.      Задача. Начертите два неколлинеарных вектора а   и  в  и постройте вектор

 т = ½ ( 3 а  + 2  в  -  3  в ). Найдите координаты  вектора  т  , если  а (-2 ; 4) ,

 в (8 ; -4).

Билет № 6

1.      Дайте определение координатных векторов. Как найти координаты разности двух векторов?( Докажите правило 2).

2.      Задача. Разложите вектор d (3 : -6) по векторам  в (2 ; - 4) и  с (-3 ; 6). Постройте вектор d в системе координат. 

Билет № 7

1.      Дайте определение координат вектора. Как найти координаты произведения вектора на число? (Докажите правило 3). Сформулируйте следствие из этого правила.

2.      Задача. Запишите разложение вектора п = - а + ½ в – в  по координатным

     векторам и постройте вектор п в системе координат, если  а (-; -)

     и  в (4√3 ; √2).

Билет № 9

1.      Дайте определение радиус – вектора.. Выведите формулу для нахождения

    координат вектора через координаты его конца и начала.

2. Задача..  Даны точки А (2 , 3), В (-2 ; 0), С (2 ,-3). Разложите вектор ВО по векторам АВ и СВ. Здесь точка О – начало координат.

Билет № 10

1.      Как найти расстояние между двумя точками, если известны координаты этих точек? Выведите формулу для вычисления координат середины отрезка.

2.      Задача. В ∆АВС , МN - средняя линия, М Є АВ , N Є BC , O – пересечение

     медиан. Найдите координаты вершин треугольника, если М (0 ;-3), N (-2;3),

    O (-1;2).Чему равны длины медиан  AN и СМ ?

Билет № 11

1.      Выведите уравнение окружности.

2.      Задача. Начертите окружность, заданную уравнением х² – 4х +у² +6у +8=0 и найдите координаты точек пересечения окружности с осями координат.

Билет № 12

1.      Выведите уравнение прямой.

2.      Задача. Даны точки А (-2 ;3) , В (2 ; 0) , С (-2 ;-3). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ  ∆ АВС и постройте эту прямую в системе координат.

по теме «Метод координат».

1 вариант

Определите, является ли утверждение верным   Утверждение Да/Нет

1          Какими являются векторы ā и kā?

2          Векторы ā и kā сонаправлены, если k – положительное число

3          Каждая координаты суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов

4          Каждая координата середины отрезка равна половине длины этого отрезка

5          Уравнение окружности имеет вид: х2+у2=r2

6          Уравнение прямой имеет вид:  y=kx+b

7          Уравнение параболы имеет вид: ах3+вх2+с=0

8          Вектор АВ – нулевой вектор

9          Вектором называется направленный отрезок

10        Радиус-вектор точки М имеет координаты точки М

Теоретический зачет   по теме «Метод координат».

2 вариант

Определите, является ли утверждение верным.   Утверждение     Да/Нет

1          Векторы ā и kā сонаправлены, если k – отрицательное число

2          Координатные векторы имеют различную длину          

3          Координаты равных векторов соответственно равны

4          Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его начала и конца

5          Длина вектора вычисляется по формуле нахождения длины отрезка

6          Уравнение окружности имеет вид : (х-х0)2+(у-у0)2=r2

7          Уравнение прямой имеет вид : ах+ву+с=0

8          Уравнение гиперболы имеет вид : у= kx

9          Каждая координата разности двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов

10        Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется вектором

Теоретические вопросы и практические задания

к зачету №2 по теме «Метод координат»

Теоретические вопросы

1. Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам.
2. Сформулируйте правило нахождения координат разности двух векторов.
3. Сформулируйте правило нахождения координат произведения вектора на число по заданным координатам вектора.
4. Сформулируйте утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.
5. Выведите формулы координат середины отрезка по координатам его концов.
6. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.
7. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке, заданной координатами.
8. Выведите уравнение прямой l в прямоугольной системе координат, если l является серединным перпендикуляром к отрезку с концами А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂).

Практические задания

1. Напишите уравнение окружности с центром в точке В(4; 0), если она проходит через точку А(7; 4).
2. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки А(-3; -3) и В(3; 5).
3. Найдите координаты середины отрезка АВ, если координаты его концов: А(-3; 4), В(3; -6).
4. Найдите расстояние между точками М(2; -1) и N(5; -3).

Билет 1.

1.         Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам.

2.         Выведите формулы координат середины отрезка по координатам его концов.

3.         Напишите уравнение окружности с центром в точке В(4; 0), если она проходит через точку А(7;

Билет 2.

1.      Сформулируйте правило нахождения координат разности двух векторов.

2.      Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

3.      Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки А(-3; -3) и В(3; 5).

Билет 3.

1.         Сформулируйте правило нахождения координат произведения вектора на число по заданным координатам вектора.

2.         Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке, заданной координатами.

3.         Найдите координаты середины отрезка АВ, если координаты его концов: А(-3; 4), В(3; -6).

Билет 4.

1.         Сформулируйте утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

2.         Выведите уравнение прямой l в прямоугольной системе координат, если l является серединным перпендикуляром к отрезку с концами А(х1; у1) и В(х2; у2).

3.         Найдите расстояние между точками М(2; -1) и N(5; -3).

Теоретический зачет по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».                                                              1 вариант

Определите, является ли утверждение верным  Утверждение  Да/Нет

1          Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

2          Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

3          Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.

4          Треугольник ABC, у которого , , , является остроугольным.

5          Стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов.

6          В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы не превосходит суммы квадратов катетов.

7          Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.

8          Треугольник ABC, у которого , , , является прямоугольным.

9          Для любого угла α из промежутка 0  ̊≤α≤180  ̊ косинусом угла α называется ордината у точки М (х; у)

10        Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.        

Теоретический зачет по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Часть 1                                                                      2 вариант

 Определите, является ли утверждение верным. Утверждение Да/Нет

1          Треугольник ABC, у которого , , , является прямоугольным.

2          В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы не превосходит суммы квадратов катетов.

3          Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

4          Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

5          В прямоугольном треугольнике отношение катета к гипотенузе называется синусом острого угла

6          Для любого угла α из промежутка 0  ̊≤α≤180  ̊ синусом угла α называется ордината у точки М (х; у)

7          Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.

8          Тангенсом угла α называется отношение косинуса α к   синусу α

9          Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними

10        Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.    

Зачет Тема: Решение треугольников

Билет № 1

1. Запишите основное тригонометрическое тождество и формулу, связывающую синус, косинус, тангенс одного угла.

2. Докажите теорему о площади треугольника через синус угла.

3.      Задача.  Две стороны треугольника равны 20 см  и 14 см , а косинус угла между ними равен – 4/5. Найдите площадь этого треугольника.

Билет № 2

1. Определение тангенса острого угла. Значение tg 30 ⁰ ; tg 45 ⁰ ; tg 60 ⁰ (без вывода).

2. Докажите теорему о площади параллелограмма через синус угла.

3.      Задача. Угол параллелограмма равен 120 ⁰ , большая диагональ 14 см, а одна из сторон 10 см. Найдите площадь параллелограмма.

Билет  № 3

1. Определение синуса острого угла. Значение  Sin 30 ⁰ ; Sin 45 ⁰ ; Sin 60 ⁰ .

2. Докажите теорему синусов. Сформулируйте замечание из этой теоремы.

3.      Задача.. Наименьшая сторона треугольника равна  7 √2 см , а два угла тре-

     угольника равны 105 ⁰ и 45 ⁰ . Найдите среднюю сторону этого треугольника.

Билет  № 4

1. Определение косинуса острого угла. Значение    Cos 30 ⁰ ; Cos 45 ⁰ ; Cos 60 ⁰ .

2.Докажите теорему косинусов. Сформулируйте следствие из этой теоремы.

3.      Задача. В параллелограмме биссектриса тупого угла, равного 120 ⁰ , делит

     сторону параллелограмма на отрезки 15 см  и 10 см , начиная от вершины

     острого угла. Найдите биссектрису и большую диагональ параллелограмма.

Билет № 5

1.      Определение тангенса острого угла. Значение tg 120 ⁰ ; tg 135 ⁰ ; tg 150 ⁰ (без вывода).

2.      Расскажите о решении треугольника по двум сторонам и углу между ними..

3. Задача .  Дано:  ∆ АВС  АВ = 7√3 см , ВС = 1 см , ÐВ  = 150 ⁰ . Решите треугольник.

Билет № 6

1.      Определение синуса острого угла. Значение  Sin 120 ⁰ ; Sin 135 ⁰ ; Sin 150 ⁰ .

2. Расскажите о решении треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

3.      Задача. Дано:  ∆ АВС, АС = 4 см , ÐВ =20 ⁰ , ÐС = 105 ⁰. Решите треугольник.

Билет № 7

1. Определение косинуса острого угла. Значение    Cos 120 ⁰ ; Cos 135 ⁰ ; Cos 150 ⁰ .

2. Расскажите о решении треугольника по трем сторонам.

3. Задача. Дано:  ∆ АВС, АВ = 4 см , ВС = 5 см , АС = 7 см . Решите треугольник.

Билет № 8

1. Определение угла между двумя векторами. Определение перпендикулярных векторов.

2. Докажите признак и свойство перпендикулярности двух векторов. Чему равен скалярный квадрат вектора?

3. Задача. Вычислите | 2 а  -  в  | , если известно, что  | а  | = 1 ,  |  в  | = 3√3 см ,

                     а  ^  в  = 150 ⁰.                          

Билет № 9

1. Определение скалярного произведения двух векторов.

2. Докажите теорему о скалярном произведении двух векторов.

3. Задача..  Даны точки А (0 , 0), В (2 ; 2), С (5 ,-1). Найдите скалярное произведение   АС ·  СВ. Докажите, что  ∆ АВС – прямоугольный.

Теоретический зачет по теме «Векторы.  Скалярное произведение векторов».

1 вариант

 Определите, является ли утверждение верным.  Утверждение Да/Нет

1          Вектором называется отрезок, имеющий направление

2          Векторы бывают коллинеарные

3          Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на синус угла между ними

4          Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны

5          Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

6          Скалярное произведение векторов ā {х2;у2} выражается формулой ā • ē=х1х2+у1у2

7          ē • ā ≠ ā • ē

8          Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения данных векторов к произведению их длин

9          Сумма двух векторов есть вектор

10        Произведение двух векторов есть число

Теоретический зачет по теме «Векторы.  Скалярное произведение векторов». Часть 1

2 вариант

Определите, является ли утверждение верные .  Утверждение Да/Нет

1          Отрезок, для которого указано какая из его граничных точек является началом, а какая – концом, называется направленным отрезком

2          Коллинеарные векторы бывают противоположно направленными

3          Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

4          Скалярное произведение ненулевых векторов не равно нулю

5          Скалярное произведение ā • ā называется скалярным квадратом вектора ā и обозначается ā2

6          Ненулевые векторы ā {х2;у2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда х1х2+у1у2=0

7          Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения данных векторов к произведению их модулей

8          Векторы ā и kā сонаправлены, если k – положительное число

9          Произведение нескольких векторов можно найти по правилу многоугольника

10        Координаты равных векторов соответственно равны

Теоретический зачет по теме «Длина окружности.  Площадь круга». Часть 1

1 вариант

 Определите, является ли утверждение верным. Утверждение Да/Нет

1          Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны

2          Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и при том только одну

3          Сумма всех углов  правильного  п-угольника равна (п-2) • 180  ̊

4          В любой правильный многоугольник можно вписать несколько окружностей разного радиуса

5          Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах

6          Отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей, обозначаемое

7          Длина окружности равна произведению радиуса  на

8          Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга

9          S=  • α

10        Площадь правильного п-угольника равна половине произведения       его периметра на радиус  вписанной окружности      

Теоретический зачет по теме «Длина окружности.  Площадь круга». Часть 1

2 вариант

 Определите, является ли утверждение верным. Утверждение Да/Нет

1          Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны

2          Около любого правильного многоугольника можно описать несколько окружностей разного радиуса

3          Каждый угол правильного п-угольника  αп =

4          В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну

5          Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник

6          Отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей, обозначаемое α

7          Длина окружности равна  удвоенному произведению радиуса на

8          Площадь круга равна R2

9          Дуга сектора ограничивает круговой сектор

10        L=

Теоретический зачет по теме «Движения». Часть 1

1 вариант

Определите, является ли утверждение верным.   Утверждение Да/Нет

1          Правильный шестиугольник имеет центр симметрии.

2          Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

3          Прямоугольник не имеет центра симметрии.

4          Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей.

5          Прямая не имеет осей симметрии.

6          Квадрат имеет две оси симметрии.

7          Правильный шестиугольник имеет три оси симметрии.

8          Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.

9          Правильный шестиугольник не имеет центра симметрии.

10        Правильный пятиугольник имеет центр симметрии.

Теоретический зачет по теме «Движения». Часть 1

2 вариант

Определите, является ли утверждение верным. Утверждение Да/Нет

1          Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2          Круг не имеет центра симметрии.

3          Прямая не имеет центра симметрии.

4          Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.

5          Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей.

6          Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

7          Окружность не имеет центра симметрии.

8          Ромб не имеет центра симметрии.

9          Квадрат не имеет центра симметрии.

10        Круг имеет одну ось симметрии.

Билеты  к устному зачету за курс основной школы (9 класс)

Билет №1

1.   Вертикальные углы. Свойство вертикальных углов.

2.   Выражение координат середины отрезка через координаты его концов, координаты точки, делящей отрезка в отношении m:n.

3.   Задача по теме «Биссектриса угла в треугольнике».

Билет №2

1.   Признаки равенства треугольников. Доказательство одного из них.

2.   Выражение расстояния между двумя точками через их координаты.

3.   Задача по теме «Окружность, вписанная в четырехугольник».

Билет №3

1.   Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых.

2.   Окружность, вписанная в четырехугольник.

3.   Задача по теме «Площадь трапеции».

Билет №4

1.   Теорема о сумме углов треугольника.

2.  Свойство площадей треугольников, образованных диагоналями трапеции.

3.   Задача по теме «Площадь круга, вписанного в трапецию».

Билет №5

1.   Параллелограмм (определение). Свойства параллелограмма.

2.   Окружность, описанная около треугольника.

3.   Задача по теме «Биссектриса угла  треугольника».

Билет №6

1.   Признаки параллелограмма. Доказательство одного из них.

2.   Окружность, вписанная в треугольник.

3.   Задача по теме «Подобие треугольников».

Билет №7

1.   Ромб. Свойства диагоналей ромба.

2.   Теорема  о площадях треугольников, имеющих по равному углу.

3.   Задача по теме «Окружность, описанная около треугольника».

Билет №8

1.   Средняя линия треугольника (определение). Свойства средней линии треугольника.

2.   Свойства параллельных прямых.

3.   Задача по теме «Вписанная окружность».

Билет №9.

1.   Средняя линия трапеции (определение). Свойства средней линии трапеции.

2.   Свойство биссектрисы угла треугольника.

3.   Задача по теме «Векторы».

Билет №10.

1.   Теорема Пифагора.

2.   Построение геометрического места точек, равноудаленных от сторон угла.

3.   Задача по теме «Трапеция».

Билет №11.

1.   Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника.

2.   Свойство медиан треугольника.

3.   Задача по теме «Касательная к окружности».

Билет №12.

1.   Признаки подобия треугольников. Доказательство одного из них.

2.   Свойство хорд, проходящих через данную точку, лежащую внутри круга.

3.   Задача по теме «Площади подобных треугольников».

Билет №13.

1.   Теорема косинусов.

2.   Измерение угла, заключенного между касательной и хордой, проведенных через одну точку.

3.   Задача по теме «Площадь фигуры, описанной около окружности».

Билет №14.

1.   Теорема     синусов     (указать     коэффициент     пропорциональности     сторон     и     синуса противоположного угла).

2.   Зависимость между сторонами и диагоналями в параллелограмме.

3.   Задача по теме «Окружность, вписанная в четырехугольник».

Билет №15.

1.   Вывод формул площади параллелограмма S = аЬ∙sinС, S = аhа.

2.   Формулы площади правильного многоугольника. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной около него и вписанной в него окружности.

3.   Задача по теме «Геометрическое место точек».

Билет №16.

1.  Формула медианы  треугольника mа =  .

2.   Свойство высот в треугольнике.

3.   Задача по теме «Свойство медиан в треугольнике».

Билет №17.

1.   Вывод формулы Герона.

2.   Свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу.

3.   Задача по теме «Окружность, описанная около треугольника».

Билет №18.

1.   Вывод формулы площади треугольника S=рг.

2.   Величина угла, заключенного между двумя хордами, проходящими через данную точку внутри круга.

3.   Задача по теме «Задачи на построение».

Билет №19.

1.   Вывод формулы S=аbс/4R.

2.   Зависимость   между   касательной   и   секущей,   проведенных   из   данной   точки   к   данной окружности.

3.   Задача по теме «Задачи на построение».

Билет №20.

1.   Вывод формулы площади трапеции.

2.   Четырехугольник, вписанный в окружность.

3.   Задача по теме «Свойства параллелограмма, описанного около окружности».

Билет №21.

1.   Сумма, разность векторов. Умножение вектора на число, коллинеарные вектора.

2.   Формула биссектрисы угла 1а =

3.   Задача по теме «Описанная окружность».

Билет №22.

1.   Скалярное произведение векторов, перпендикулярность векторов.

2.   Задачи  на построение. Построение касательной к окружности, проведенной  через данную точку (2 случая).

3.   Задача по теме «Окружность, вписанная в треугольник».  

Карточки для индивидуальной работы

По геометрии 9кл на тему Правильный многоугольник

Карточка№1.

1. Найдите углы правильного двенадцатиугольника .

2. Сколько сторон имеет правильный многоугольник , если каждый его угол

     равен  144⁰.

3. Найдите внешний угол правильного пятнадцатиугольника.

Карточки для индивидуальной работы

По геометрии 9кл на тему Правильный многоугольник

Карточка №2

1.Сколько сторон имеет правильный многоугольник , если его внешний угол в два раза

   меньше внутреннего .

2. Докажите , что четыре вершины правильного восьмиугольника , взятые через одну ,

    служат вершинами квадрата.

3. Площадь правильного треугольника равна  4    3 см² . Найдите его периметр. 

Работа по карточкам 9кл стр 211 урок 41

Карточка №1

1. Найдите углы правильного восемнадцатиугольника .

2. Угол правильного n- угольника равен 108⁰. Вычислите количество его сторон.

3. Сколько сторон имеет правильного вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна 45⁰.

Работа по карточкам 9кл стр 211 урок 41

Карточка №2

1. Сумма углов правильного n-угольника равна 1440⁰. Чему равна сумма углов другого правильного многоугольника, если известно, что вершины первого многоугольника, взятые через одну, служат вершинами второго.

2. Докажите , что в правильном пятиугольнике АВСДЕ диагонали АС и АД делят угол ВАЕ на три равные части.

Работа по карточкам 9кл стр 211 урок 41

Карточка №3

1. Вокруг правильного многоугольника описана окружность с радиусом, равным 10см, и в этот же многоугольник вписана окружность с радиусом, равным 5см. Чему равно число сторон этого многоугольника.

2. В правильном многоугольнике диагонали МН  и КЕ пересекаются  в точке F так, что МF =6см, НF=8см, КЕ=16см. Найдите КF и ЕF .

Я знаю геометрию

Карточка 1      

1)                              Найти АВ

2)                               Найти  угол АСВ, если

                                  угол АОВ = 84°

3)

4) Найдите площадь равностороннего   треугольника, отсекаемого от  данного треугольника его средней линией, если площадь данного треугольника равна 48см².

5) Периметр равностороннего треугольника АВС равен 24см. Найдите длину средней линии этого треугольника.

Карточка 2      

1)                               Найти  угол АСВ, если угол

                                 АОВ равен 160°

2)

3) Найдите площадь данного равностороннего треугольника, если площадь треугольника, отсекаемого от него средней линией, равна 6 см².

4) Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8см. Найдите периметр этого треугольника

5) Из квадрата со стороной 10см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 4см. Найдите площадь оставшейся части.

Карточка 3  

1)                                      Найти  угол ВАС

2)                                    Найти  угол АОВ, если

                                       угол  АСВ = 25°                                  

3)            Найти площадь  четырёхугольника

4)                                    Найти длину большей высоты

                                         параллелограмма

5)                                      Найти косинус угла

Карточка 4     

1) В треугольнике АВС угол В равен 46°, угол С равен 71°, ВD – биссектриса. Найдите угол АDВ.

2)                                        Найти радиус

                                           окружности, если

                                           АВ = 12см, ОА = 13см.

3)                              Найти длину отрезка НМ,

                                 Если АМ=3см, АН=НС=2

4) Найти угол ВОС, если

    угол  ВАС = 70°

5) Найти площадь треугольника АВС, если высота, проведённая к одной из его сторон равна 11, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 10.

Карточка 5          

1) Найти угол 3,

    если угол 1

    равен 40°, а

    угол 2 равен 55

2) Основания трапеции равны 48 и 24, высота 4. Найдите площадь трапеции.

3) На рисунке

    Изображён

   параллелограмм.

   Найти х.

4)  Из квадрата со стороной 8см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 2см. Найдите площадь оставшейся части.

5) Стороны прямоугольника равны 10 и 24. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

Карточка 6          

1) Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.

2) Найдите угол α

3) Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Найдите радиус этой окружности.

4) Найдите тангенс угла А.

5) Из прямоугольника со сторонами  8см и 10см вырезан квадрат со стороной 5см. Найдите площадь оставшейся части.

Карточка 7           

1)                                        Найти меньший угол

                                           параллелограмма АВСD

2)                                             Найти угол ОСD

3)

4)

5)                                            Найти тангенс угла С

Карточка 8           

1) В трапеции АВСD АВ=СD ∟ВDА=40° и ∟ВDС=24°. Найдите угол АВD.

2)                                                Найдите

                                                   расстояние от

                                                   точки А до

                                                   середины отрезка

                                                   АВ

                                  Найдите котангенс угла АОВ

3)

4) Найдите угол АВС

5) Угол АОВ = 63°. Найдите угол АСВ.

Тема Окружность

1 вариант 

1.      Вычислить длину окружности, если её радиус равен 3 дм.

2.      Вычислите диаметр окружности, если её длина равна 3140 дм.

3.      Вычислите площадь круга,   радиус которого равен 3 см

4.      Вычислите площадь кругового сектора, если радиус круга = 6м, а соответствующий центральный угол = 60⁰

2 вариант 

1.      Вычислить радиус окружности, если её длина  приближенно равно 31,4 м.

2.      Вычислите длину окружности, если ее диаметр равен 85 мм.

3.      Вычислите площадь круга,   радиус которого равен 5 дм.

4.      Вычислите площадь кругового сегмента, если радиус круга = 8 см, а соответствующий центральный угол = 90⁰.

Контрольная работа № 1

 9кл по теме векторы

вариант 1

1. Начертите два неколлинеарных вектора  а  и  б . Постройте векторы , равные :

     а) 1/2  а  +  3  б  ,                 б)  2 б -  а

2. На стороне ВС ромба  АВСД  лежит точка  К так , что  ВК = КС, точка  О – пересечения диагоналей . Выразите  векторы  АО , АК ,  КД  через векторы   а =  АВ  и  б  =  АД .

3. В равнобедренной трапеции высота делит  большое основание  на отрезки , равные , 5 см    и 12см . Найдите  среднюю линию трапеции .

4. В △ АВС  О- точка  пересечения медиан . Выразите  вектор  АО  через векторы  а = АВ, и  б =  АС .

Контрольная работа № 1

 9кл по теме векторы

вариант 2

1. Начертите два неколлинеарных вектора  m  и  n. Постройте векторы, равные:

     а) 1/3m+2n  ,                 б)  3n - m

2. На стороне СД квадрата  АВСД  лежит точка  P так , что  CP = PД, точка  О – точка  пересечения диагоналей . Выразите  векторы  BО , BP ,  PA  через векторы   x =  BA  и       у = ВС .

3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60⁰, боковая сторона равна 8см , а меньшее основание 7см.  Найдите  среднюю линию трапеции .

4. В △ MNK,  О- точка пересечения  медиан, MN=х, MK=у,  MO=k^.(х+у). Найдите число k.

Контрольная работа

 9кл по теме векторы

Вариант 1

1.     Две стороны прямоугольника ABCD равны 42 и 40. Найдите длину вектора   .

2.     Две стороны прямоугольника ABCD равны 48 и 20. Найдите длину суммы векторов     и   .

3.     Две стороны прямоугольника ABCD равны 5 и 12. Найдите длину разности векторов     и   .

4.         В прямоугольнике ABCD  известны стороны АВ = 17 и AD = 34. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов     и    .

5.     В ромбе ABCD  диагонали АС = 20 и BD = 35. Найдите длину вектора     +  .

6.     В ромбе ABCD  диагонали АС = 14 и BD = 76. Найдите длину вектора     -  .

7.         Найдите среднюю линию трапеции, если её основания 33 и 27.

8.         Средняя линия трапеции равна 25,5.а меньшее основание равно 21. Найдите большее основание трапеции.

9.         Основания трапеции равны 3 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит  среднюю линию одна из её диагоналей.

10.     Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24.  Найдите гипотенузу.

Вариант 2

1.   Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 25. Найдите длину вектора   .

2.   Две стороны прямоугольника ABCD равны 63 и 60. Найдите длину суммы векторов     и   .

3.   Две стороны прямоугольника ABCD равны 45 и 24. Найдите длину разности векторов     и   .

4.      В прямоугольнике ABCD  известны стороны АВ = 25 и AD = 46. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов    и   .

5.   В ромбе ABCD  диагонали АС = 14 и BD = 76. Найдите длину вектора     +  .

6.   В ромбе ABCD  диагонали АС = 33 и BD = 58. Найдите длину вектора     -  .

7.      Найдите среднюю линию трапеции, если её основания 16 и 32.

8.      Средняя линия трапеции равна 23.а меньшее основание равно 15. Найдите большее основание трапеции.

9.      Основания трапеции равны 6 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит  среднюю линию одна из её диагоналей.

10.  Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21.  Найдите гипотенузу.

Вариант 3

1.   Две стороны прямоугольника ABCD равны 28 и 21. Найдите длину вектора   .

2.   Две стороны прямоугольника ABCD равны 32 и 24. Найдите длину суммы векторов     и  .

3.   Две стороны прямоугольника ABCD равны 16 и 30. Найдите длину разности векторов     и  .

4.      В прямоугольнике ABCD  известны стороны АВ = 8 и AD = 68. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов     и    .

5.   В ромбе ABCD  диагонали АС = 33 и BD = 58. Найдите длину вектора     +  .

6.   В ромбе ABCD  диагонали АС = 3 и BD = 67. Найдите длину вектора     -  .

7.      Найдите среднюю линию трапеции, если её основания 46 и 66.

8.      Средняя линия трапеции равна 11.а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.

9.      Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит  среднюю линию одна из её диагоналей.

10.         Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40.  Найдите гипотенузу.

Ответы:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Вар.1	58	52	13	34	20	76	30	30	8,5	30
Вар.2	65	87	51	46	14	58	24	31	5,5	29
Вар.3	35	40	34	68	33	67	56	17	5	41

Контрольная работа №2  9класс

по теме Метод координат

Вариант 1

1. Найдите координаты  и длину  вектора  а , если  а = 1/3m -  n ,   m {-3; 6 } , n {2  ; -2 }.

2. Напишите уравнение окружности  с центром в точке А(-3; 2) , проходящей через точку

    В( 0; -2).

3. Треугольник MNK задан координатами  своих вершин : М(-6 ; 1), N(2 ; 4) ,К(2; -2).

     а) Докажите, что треугольник MNK – равнобедренный .

     б) Найдите высоту , проведенную из вершины М.

4. Найдите координаты точки N, лежащей на оси абсцисс и  равноудаленной от точек

    Р(-1; 3) и  К( 0; 2) . 

Контрольная работа №2

по теме Метод координат

Вариант 2

1. Найдите координаты  и длину  вектора  b , если  b = 1/2 c -  d ,   c {6;-2 } , d {1 ; -2 }.

2. Напишите уравнение окружности  с центром в точке  C(2; 1) , проходящей через точку

    D( 5; 5).

3. Треугольник CDE задан координатами  своих вершин : C(2 ; 2), D(6 ; 5) , E(5; -2).

     а) Докажите , что треугольник CDE – равнобедренный .

     б) Найдите высоту , проведенную из вершины C.

4. Найдите координаты точки A, лежащей на оси ординат и  равноудаленной от точек

    В(1; -3) и  С( 2; 0) . 

Контрольная работа 9 кл.№3

По теме: Соотношение между сторонами и углами треугольника.

1 вариант

1. В треугольнике АВС   А = 45⁰ ,     В=60⁰  ,   ВС= 3√2.   Найдите  АС.

2. Две стороны треугольника равны 7см  и 8см , а угол между ними равен 120⁰ . Найдите третью сторону треугольника .

3. Определите вид треугольника  АВС  , если   А (3;9)  , В(0;6)  , С(4;2) .

4^*. В треугольнике АВС   , АВ=ВС ,    САВ=30⁰ , АЕ – биссектриса , ВЕ=8см. Найдите площадь треугольника АВС.

Контрольная работа  9 кл.№3

По теме: Соотношение между сторонами и углами треугольника.

2 вариант

1. В треугольнике СДЕ   <С=30⁰, <Д=45⁰,  СЕ=5√2. Найдите ДЕ.

2. Две стороны треугольника равны 5см  и 7см , а угол между ними равен 60⁰. Найдите третью сторону треугольника.

3. Определите вид треугольника  АВС  , если   А (3;9)  , В(0;6)  , С(4;2) .

4^*. В ромбе АВСД АК- биссектриса угла САВ, < ВАД=60⁰, ВК=12см. Найдите площадь ромба.

Контрольная работа в 9 классе по теме: «Соотношения между сторонами  и углами треугольника. Скалярное произведение векторов».

Вариант № 1

1.  В треугольнике ABC  A = 45˚ , B = 60˚ , BC = 3 . Найдите AC.
2. Две стороны треугольника равны  7 см и 8 см, а угол между ними равен 120 . Найдите третью сторону треугольника.
3. В треугольнике ABC   A = 45˚ , AB = 2 , AC = 3.Вычислите
4. Вычисли косинус угла  между векторами  , если   ,

Контрольная работа в 9 классе по теме: «Соотношения между сторонами  и углами треугольника. Скалярное произведение векторов».

Вариант № 2

1. В треугольнике KNM K =30˚ ,= 45˚ , KM =5. Найдите NM.
2. Две стороны треугольника равны  5 см и 7 см, а угол между ними равен 60 . Найдите третью сторону треугольника.
3. В треугольнике ABC   A = 45˚ , AB = 2 , AC = 3.Вычислите
4. Вычисли косинус угла  между векторами  , если   ,

Контрольная работа  № 4 9кл

По теме Длина окружности и площадь круга

1вариант

1.Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности , если сторона  квадрата , правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см.

2. Вычислите длину дуги окружности  с радиусом 4см, если ее градусная мера равна 120⁰. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.

3. Периметр правильного треугольника , вписанного в окружность , равен  6√3 дм.  Найдите периметр правильного шестиугольника , описанного  около той же окружности .

4*Рис. Найдите площадь заштрихованной на рис.  фигуры, если ВС=4,  <  ВАС=30⁰, О – центр окружности.

Контрольная работа  № 4 9кл

По теме Длина окружности и площадь круга

2вариант

1.Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности , если сторона  квадрата , описанного около него ,равна 6см.

2. Вычислите длину дуги окружности  с радиусом 10см, если ее градусная мера равна 150⁰. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.

3. Периметр квадрата , описанного около окружности , равен 16дм.  Найдите периметр правильного пятиугольника ,  вписанного  в эту окружность .

4*Рис. Найдите площадь заштрихованной на рис.  фигуры, если О - центр окружности с диаметром 10√2.

Контрольная работа 9класс

По теме: Движения

1 вариант

1. Начертите ромб АВСД . Постройте образ этого ромба:

а) при симметрии относительно тоски С

б) при симметрии относительно прямой АВ

в) при параллельном переносе на вектор АС

г) при повороте вокруг точки Д на 60⁰ по часовой стрелке.

2. Докажите , что прямая , содержащая середины двух параллельных хорд окружности, проходит через ее центр.

3^* Начертите два параллельных отрезка , длины которых равны . Начертите точку, являющуюся центром симметрии , при котором один отрезок отображается на другой.

Контрольная работа 9класс

По теме: Движения

2 вариант

1. Начертите параллелограмм АВСД . Постройте образ этого параллелограмм:

а) при симметрии относительно точки Д,

б) при симметрии относительно прямой СД,

в) при параллельном переносе на вектор ВД,

г) при повороте вокруг точки  А на45⁰ против часовой стрелки.

2. Докажите, что прямая, содержащая середины противоположных сторон параллелограмма , проходит через точку пересечения его диагоналей.

3* Начертите два параллельных отрезка, длины которых равны. Постройте центр поворота, при котором один отрезок отображается на другой.  

Итоговая контрольная работа 9кл. урок 68

1 вариант

Часть1.

1 Какое утверждение относительно треугольника со сторонами 5, 9,15 верно

А) треугольник остроугольный,  Б) треугольник тупоугольный  В) треугольник прямоугольный

Г) такого треугольника не существует

2. Если одна из сторон треугольника на 3 см меньше другой , высота делит третью сторону на отрезки 5см и 10см, то периметр треугольника равен

А) 25см  Б)40см В)32см   Г)20см

3. Если один из углов ромба равен 60º, а диагональ, проведенная из вершины этого угла равна 4√3 см то периметр ромба равен:

А) 16см  ,   Б) 8см   ,   В) 12см  , Г)24см

4. Величина одного из углов треугольника равна 20º. Найдите величину острого угла между биссектрисами двух других углов треугольника

А) 84º  .Б) 92º,    В)80º     Г) 87º

5. В треугольнике АВС сторона   а=7,  сторона  б=8, сторона  с=5. Вычислите <А.

А) 120º     Б) 45º      В)30º   Г)60º

2часть

1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8:5, считая от вершины лежащей против основания. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10

2. В треугольнике ВСЕ угол С=60º, СЕ/ВС=3/1. Отрезок СК- биссектриса треугольника. Найдите КЕ  если радиус описанной около треугольника окружности равен 8√3.

3. Найдите S треугольника КМР, если сторона КР = 5 Медиана РО=3√2, <КАР=135º.

4. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите S трапеции, если ее средняя линия равна5.

5. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, касается катетов АС и ВС соответственно в точках Е и Д . Найдите величину угла АВС ( в градусах) если АЕ=1, ВД=3

Итоговая контрольная работа 9кл. урок 68

2 вариант

1часть.

1. Какое утверждение верно относительно треугольника со сторонами 15, 9, 12.

А) остроугольный ,  Б) тупоугольный   В) прямоугольный   Г) такого не существует

2. Если сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и  5см, S первого треугольника 8см², то площадь второго треугольника:

А) 50см²  ,   Б)40см²    В) 60см²    Г) 20см²

3. Если в равнобедренном треугольнике длина основания равна 12м, а его периметр 32см то радиус окружности, вписанной в треугольник равен

А) 4см   Б) 3см    В) 6см     Г)5см

4. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и12см. Найдите катеты треугольника

А) 12 и 16см  Б) 7 и 11см     В) 10 и 13 см   Г) 8 и15см.

5. Стороны прямоугольника равны  а и к . Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника

А) а²/к    Б) к²/а    В) ½√а²+к²      Г) √а²+к²

Часть2

1 Окружность с центром О вписанной в равнобедренной треугольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К, причем СК/ВК=5/8. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 72

2. Около треугольника АВС описана окружность. Медиана треугольника АМ- продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ=18, МК=8, ВК=10.

3. Найдите основания равнобедренного треугольника , если угол при основании 30º , а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на расстоянии 2√3 от основания.

4. Пусть М точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника АВСД, в котором стороны АВ , АД и ВС равны между собой. Найдите <СМД (в градусах), если ДМ =МС, а <САВ не равен <ДВА.

5 На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая основания этого треугольника в точке Д. Найдите квадрат расстояния от вершины А до центра окружности. Если АД=√3, а < АВС=120º.

Математический диктант

По геометрии 9кл по теме Уравнение окружности

1. Найдите координаты центра окружности, если АВ- диаметр , А(2;-4) , В(-6;8)

2. Вычислите радиус окружности с центром в начале координат, проходящей через точку

     М(12;-5)

3. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости , равноудаленных от данной точки.

4. Как называется хорда , проходящая через центр окружности

5. Расстояние от центра окружности  до точки  А,  равно  d , а радиус  окружности  равен r . Сравните d  и   r , если точка А лежит вне круга, ограниченного данной окружностью.

6. Пересекаются ли окружности  с центрами в точках А и В, если АВ=10см, а радиусы  окружностей  равны 5см и 6см.

7. Найдите координаты  точек пересечения окружности с центром  в начале координат и радиусом, равным  7 , с осями координат.

8. Найдите координаты центра окружности, если СД – диаметр, С(4;5) , Д(-6;7).

9. Вычислите радиус окружности с центром в точке N (-6;-8), проходящей  через начало координат.

Вариант І

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А (-2; 3), В (6, -3).
2. Найдите длину отрезка ЕН, если Е (-3; 8), Н (2; -4).
3. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек?
4. Принадлежит ли точка А(-6; 2) графику функции у = - 0,5х?
5. Функция задана уравнением  у = 2х – 3. Какая линия служит графиком этой функции?
6. На окружности радиуса 7 см даны точки А и В, расстояние между которыми равно 13 см. Лежит ли центр окружности на прямой АВ?
7. Вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: А(8; - 3); В(5;1); С(12;0). Докажите, что <В =<С.

Вариант 2

1. Найдите координаты середины отрезка СД, если С(3;-4); Д(- 3; 6).
2. Найдите длину отрезка КВ, если К(- 6;- 3); В(2;3).
3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию АВ треугольника АВС и проходит через вершину С. Определите вид треугольника АВС.
4. Принадлежит ли точка В(2;- 8) графику функции у = - 4х?
5. Функция задана уравнением у = 5 – х. Какая линия служит графиком этой функции?
6. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?
7. Вершины четырехугольника АВСД имеют следующие  координаты: А(- 3;- 1);   В(1; 2); С(5; -1); Д(1; -4). Докажите, что этот четырехугольник – ромб.

Математический диктант №2

по геометрии 9кл по теме

уравнение окружности  и уравнение прямой

1. Найдите расстояние между точками А(-5;1) и В(-2;-3)

2. Найдите координаты центра окружности  с диаметром СД, если С(4;7) , Д(2;-3)

3. Принадлежит ли точка Е(3;7) линии , заданной уравнением х²-4х+у=4.

4. Функция задана уравнением у=4х-5 . Какая линия служит графиком этой функции.

5. Проходит ли прямая , заданная уравнением у=-2х-4 , через первую координатную четверть.

6. Лежит ли точка Р(2;-6) внутри круга , ограниченного окружностью (х-5)²+(у+3)²=16

7. Определите вид треугольника , заданного координатами своих вершин : А(0;2) , В(2;6) ,

C(6;-1)/

Урок 21 Геометрия 9кл.

Математический диктант

1 вариант.

1.Найдите расстояние между точками А (-5;1) и В(-2;-3)

2. Найдите координаты центра окружности с диаметром СД, если  С(4;-7) , Д(2;-3).

3. Принадлежит ли точка Е (3;7) линии, заданной уравнением х²-4х+у=4.

4. Функция задана уравнением у=4х-5. Какая линия служит графиком этой функции.

5. Проходит ли прямая , заданная уравнением у=-2х-4, через первую координатную четверть.

6.Лежит ли точка Р(2;-6) внутри круга , ограниченного окружностью (х-5)²+(у+3)²=16

7. Определите вид треугольника , заданного координатами своих вершин А(0;2) , В(2;6), С(6;-1).

Урок 21 Геометрия 9кл.

Математический диктант

2 вариант.

1. Найдите расстояние между точками М(3;-2) и N(-3;6).

2. Найдите координаты центра окружности с диаметром РК, если Р(-5;2), К(-3;8).

3. Принадлежит ли точка S(2;-5) линии , заданной уравнением (8/х) –у=9.

4. Функция задана уравнением у=-1/3х. Какая линия служит графиком этой функции .

5. Проходит ли прямая , заданная уравнением у=3х+2, через четвертую координатную четверть.

6. Лежит ли точка S(-7;4) вне круга , ограниченного окружностью (х+1)²+(у-2)²=36.

7. Определите вид треугольника , заданного координатами своих вершин: M(-8;-3), N(-2;6), К(4;-3). 

Математичекий диктант 9кл урок 37

I Вариант

1. Найдите площадь треугольника АВС, если угол A = 45^о,  АВ = 4, АС = 7.

2. В равнобедренном треугольнике АВС длинна основания АВ равна √2, угол при основании равен 30^о. Найдите периметр треугольника.

3. Стороны треугольника равны 4, 5 и 6. Найдите косинус угла, лежащего против меньшей стороны.

4. В треугольнике АВС угол В = 90^о, АВ = ВС, ВD – медиана треугольника, АС = 2√2. Вычислите скалярное произведение векторов: а) BD*AC;  б) BD*BC; в) BD*BD.

5. Вычислите косинус угла между векторами а {3; - 4} и b {15;8}.

6. Найдите значение х, если известно, что а {2; - 3} и b {x; - 4} перпендикулярны.

7. Найдите высоту BD треугольника АВС, если АВ = 4, ВС = 6, угол АВС = 60^о.

Математичекий диктант 9кл урок 37

II Вариант

1. Найдите площадь треугольника CDE, если угол С = 60^о, CD = 6, CE = 8.

2. В равнобедренном треугольнике MNK  боковая сторона равна  √3, угол при вершины равен 120^о. Найдите периметр треугольника.

3. Стороны треугольника равны 6, 7 и 8. Найдите косинус угла лежащего против большей стороны.

4. В треугольнике MNK NP – биссектриса, MN = 2, MN = NK, угол N = 60^о. Вычислите скалярное произведение векторов:

а) MK*MK;      б) NP*NK;     в) KM*MK.

5. Вычислите косинус угла между векторами а {-4; 5} и b {5; - 4}

6. Найдите значение y, если известно, что а {3 ; y}  и b {2; - 6} перпендикулярны.

7. Найдите высоту MN треугольника PMK, если PM = 3, MK = 4, угол PMK = 120^о

Математический диктант 9кл

По геометрии урок 63

1. В прямоугольном треугольнике  медиана , проведенная из вершины прямого угла , равна ……

2. В треугольнике против большей стороны лежит ……..

3. Каждая сторона треугольника …….. суммы двух других его сторон

4. Существует следующие признаки равенства прямоугольных треугольников  ……..

5. Площадь  произвольного треугольник  вычисляется по формуле ………..

6. Медианы треугольника  делят треугольник   ……….

7. По теореме ,обратной теореме Пифагора ………..

8. Если  в треугольнике MNK  <N =90⁰ , NP – его высота  , то :

NP= …..(     MP  PK   )    ,   MN = …….(   MP  MK  )  ,   NK =…….(    PK  MK  )

9. Медианы  треугольника точкой пересечения делятся в отношении………

10. Если  в треугольнике  АВС  ВД- биссектриса , то

          АВ/ВС=…..(АД/ДС)           ,                   S_АВД/S_ВДС =……(АД/ДС) 

11. По теореме косинусов  в треугольнике  MNK   MN²= ……..

12. По теореме синусов  в треугольнике     EST  ST=   ……….

Понятие  вектора.

1 вариант

1. Запишите кратко  вектор  .

2. Запишите обозначение вектора с концом в точке Х  и с началом в точке Y.

3. Изобразите два одинаково направленных, но не равных вектора.

4. Что можно сказать о направлении двух равных векторов?

5. Запишите в виде равенства, чему равна абсолютная величина нулевого вектора? 6. Изобразите вектор   и точку Y.  Отложите от Y вектор, равный  .

2 вариант

1. Запишите кратко  вектор  .

2. Запишите обозначение вектора с концом в точке  Р и с началом в точке  A.

3.  Запишите в виде равенства, чему равна абсолютная величина нулевого вектора.

4. Изобразите вектор и точку М. Отложите от М вектор, равный .

5. Что можно сказать о направлении двух равных векторов?

6. Изобразите два одинаково направленных, но не равных вектора.

Сложение векторов. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы.

1 вариант

1. Найдите сумму векторов    и .

2. Найдите разность векторов .

3. Изобразите векторы   и    и их сумму.

4. ВСМК – параллелограмм. Чему равна сумма векторов   и ?

5. Абсолютная величина вектора равна 7. Чему равна абсолютная величина вектора  -5?

6. Изобразите вектор   и вектор, равный  -3.

7. Векторы и   коллинеарные, но не одинаково направлены. Изобразите такие векторы.

2 вариант

1.  Изобразите векторы и   и их сумму.

2. Найдите сумму векторов   и 

3. Найдите разность векторов    и .

4. АВСЕ – параллелограмм. Чему равна сумма векторов    и ?

5. Абсолютная величина вектора   равна 5. Чему равна абсолютная величина вектора  -7?

6. Изобразите вектор   и вектор, равный   (2)

7. Векторы   и  – коллинеарные, но не одинаково направлены. Изобразите такие векторы.

Координаты вектора.

1 вариант

1.Чему равны координаты вектора , если точка В имеет координаты (5; 3), а  точка С имеет координаты (2;3)?

2. Чему равна абсолютная величина вектора ?

3. Запишите координаты точек: А(2; 3), В(-1; 2), С(0;1) и М(-3; 0). Равны ли векторы   и ?

4. Найдите координаты вектора, равного сумме векторов (2; 3) и (1; 1).

5. Какие координаты имеет произведение вектора (2; -3) на число -5?

6. Координаты вектора (2;5), а координаты коллинеарного ему вектора   (-2; y). Чему равен y?

7. Выразите через орты вектор   (-3; 2).

2 вариант

1. Чему равны координаты вектора , если точка А имеет координаты (4; 2), а  точка В имеет координаты (7; 2)

2. Чему равна абсолютная величина вектора

3. Запишите координаты точек А(5; -1), В(4;3), С(1;0) и М(0;4). Равны ли векторы  и ?

4. Найдите координаты вектора, равного разности векторов (2; 3) и (1; 1).

5. Какие координаты имеет произведение вектора  (-3; 1) на число -3?

6. Координаты вектора с(1; 6), а координаты коллинеарного ему вектора  k(x; -18). Чему равен  x?

7. Выразите через орты вектор   (2; -4).

Уравнение прямой. Уравнение окружности.

1 вариант

1.Составьте уравнение окружности  с центром в точке  А (9; -4) и с радиусом 3.

2. Дано уравнение окружности (х + 5)² + (у – 1)² = 144. Чему равен радиус этой окружности?  В какой точке находится её центр?

3. Начертите окружность, имеющую уравнение х² + (у – 3)² = 9

4. Является ли уравнение вида 3 + 4у = 0 уравнением прямой?

5. Начертите прямую, заданную уравнением у – 2х + 3 =0. (3х – у -1 = 0)

6. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (-2; 1) и через начало координат.

7. Как расположена относительно осей координат прямая 3х + 7 = 0?

8. Чему равен угловой коэффициент прямой  2х + 5у – 8 = 0?

9. Напишите уравнение какой-нибудь прямой, параллельной оси  абсцисс.

10. Сколько общих точек имеют прямая х = 10 и окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 3?

11. Сколько общих точек имеют окружность  х² + у² = 16 и прямая, удаленная от начала координат на 3 единицы?

12. Каково взаимное расположение прямой у = 7 и окружности х² + у² = 49?

2 вариант

1. Составьте уравнение окружности  с центром в точке А (3; -5) и с радиусом 7.

2. Дано уравнение окружности (х - 7)² + (у + 3)² = 121. Чему равен радиус этой окружности?  В какой точке находится её центр?

3. Начертите окружность, имеющую уравнение (х – 2)² + у² = 4.

4. Является ли уравнение вида 2х – 5 = 0 уравнением прямой?

5. Начертите прямую, заданную уравнением 3х – у -1 = 0

6. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (-1; 2) и через начало координат.

7. Как расположена относительно осей координат прямая 2у - 6 = 0?

8. Чему равен угловой коэффициент прямой  3х - 6у + 7 = 0?

9. Напишите уравнение какой-нибудь прямой, параллельной оси  абсцисс.

10. Сколько общих точек имеют окружность        х² + у² = 9 и прямая, удаленная от начала координат на 2 единицы?

11. Сколько общих точек имеют прямая у = 5 и окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 4?

12. Каково взаимное расположение окружности х² + у² = 64 и прямой х = 8?

Решение треугольников

1 вариант

1. Дан треугольник СКМ. Используя теорему косинусов, запишите, чему равен квадрат его стороны СМ

2.  В  треугольнике АВС сторона  АВ равна 3, а сторона ВС равна 5, угол В равен 30˚. Найдите сторону АС

3. Квадрат стороны х  в треугольнике меньше суммы квадратов двух других сторон. Против какого угла: острого, прямого или тупого лежит сторона х?

4.В треугольнике АВС угол С – тупой . Сравните стороны АВ и ВС.

5. В треугольнике КНМ сторона КН равна 10, угол М равен 45˚, угол К равен 60˚. Найдите сторону НМ.

6.  В треугольнике АВС сторона АВ равна 4, угол В равен 45˚, угол С равен 30˚. Найдите стороны ВС, АС и угол А.

7.  В треугольнике АВС сторона АВ равна 5, сторона ВС равна 7, угол В равен 135˚. Найдите сторону АС, и синусы углов А и С

8. В треугольнике АВС сторона АВ равна 2, сторона ВС равна 4, сторона АС равна 5. Найдите косинусы углов этого треугольника

2 вариант

1. Дан треугольник ВСЕ. Используя теорему косинусов, запишите, чему равен квадрат его стороны СЕ.

2.  В  треугольнике ВСД  сторона  ВС  равна 4, а сторона СД  равна 3, угол С равен 45˚. Найдите сторону ВД.

3. Квадрат стороны а  в треугольнике больше суммы квадратов двух других сторон. Против какого угла: острого, прямого или тупого лежит сторона а?

4. В треугольнике МКР угол М– прямой . Сравните стороны МК и КР

5. В треугольнике АВС сторона АВ равна 20, угол С равен 30˚, угол В равен 120˚. Найдите сторону АС.

6.  Втреугольнике АВС сторона АВ равна 7, угол В равен 60˚, угол С равен 45˚. Найдите стороны ВС, АС и угол А.

7.  В треугольнике АВС сторона АВ равна 4, сторона ВС равна 5, угол В равен 120˚. Найдите сторону АС  и синусы углов А и С.

8. В треугольнике АВС сторона АВ равна 2, сторона ВС равна 3, сторона АС равна 4. Найдите косинусы углов этого треугольника.

Длина окружности.

1 вариант

1.Вычислите длину окружности, если ее радиус равен 3дм.

2.Вычислите диаметр окружности, если ее длина равна приближенно 3140дм.

3.Закончите предложение : «Угол, с вершиной в центре окружности, называется…

4.Вычислите длину дуги окружности, соответствующей центральному углу в 60˚, если радиус окружности равен 3м.

5.Закончите предложение : «Радианной мерой  центрального угла называется отношение длины  соответствующей  дуги к …

6.Чему равна радианная мера угла в 60˚

7.Чему равна радианная мера прямого  угла?

8.Чему приближенно равна градусная мера угла в    радиана?

2 вариант

1. Вычислите радиус окружности, если ее длина равна приближенно 31,4м

2. Вычислите длину окружности, если ее диаметр равен 85 мм

3. Радианной мерой  центрального угла называется отношение длины  соответствующей  дуги к ….

4. Вычислите длину дуги окружности, соответствующей центральному углу в 6˚, если радиус окружности равен 30 см.

5. Угол,  с вершиной в центре окружности,  называется…

6. Чему равна радианная мера  развернутого угла?

7. Чему равна радианная мера угла в 30˚?

8. Чему равна радианная мера угла в 114˚?

Площадь круга

1 вариант

1.Вычислите площадь круга, радиус которого равен 3 см.

2.Вычислите площадь кругового сектора,  если  радиус круга  равен 6 м,  а соответствующий  центральный угол равен 60˚.

3.Как изменится площадь круга, если его радиус  увеличить в 2 раза?

2 вариант

1 Вычислите площадь круга, радиус которого равен  5 дм.

2. Вычислите площадь кругового сектора,  если  радиус круга  равен 8 см,  а соответствующий  центральный угол равен 90˚.

3. Как изменится площадь круга, если его радиус  уменьшить  в 3 раза?

Движение.

1 вариант.

1. Отметьте точки М и К. Постройте точку ′, симметричную точке К относительно точки М.

2. Начертите прямую а и точку В вне её. Постройте точку В′, симметричную точке В относительно прямой а.

   3. Закончите предложение: «Преобразование фигуры F в фигуру F′ называется движением,   если …»

4. Треугольники ABC и DEF симметричны относительно точки. Стороны треугольника ABC равны соответственно 3, 4 и 5см. Чему равен периметр треугольника DEF?

5. Один прямоугольник получен из другого поворотом. Первый прямоугольник имеет длину 3дм и ширину 2дм. Чему равна площадь второго прямоугольника

6. Два ромба симметричны друг другу относительно прямой. У первого ромба имеется прямой угол. Будет ли второй ромб квадратом?

7. Какие три вида движения вы знаете?

2 вариант.

1. Отметьте точки C и D. Постройте точку C′,симметричную точке C относительно точки D.

2. Начертите прямую l и точку P вне её. Постройте точку P′, симметричную точке P относительно прямой l.

3. Какие три вида движения вы знаете?

4. Две окружности  симметричны относительно прямой. Радиус первой окружности равен 1дм. Чему равен диаметр второй окружности?

5. Два треугольника симметричны друг другу относительно точки. Два угла первого треугольника соответственно равны 30º и 60º. Является ли второй треугольник прямоугольным?

6. Один квадрат получен из другого поворотом. Сторона одного квадрата равна 3см. Чему равен периметр второго квадрата?

7. Закончите предложение: «Преобразование фигуры F в фигуру F′ называется движением, если …»

Свойства движения.

1 вариант

1. При движении точки А, В и С переходят соответственно в точки А′, В′ и С′. Точка С лежит между точками А и В. Как расположены точки А′, В′ и С′?

2. Закончите предложение: «Два движения, выполненные последовательно, дают…»

3. В какую фигуру при движении переходит отрезок длиной 3см?

4. В какую фигуру переходит при движении полупрямая?

5. Преобразование плоскости переводит точку Р в точку  Р′. В какую точку перейдет точка Р′ при обратном  преобразовании?

6. При движении точка А переходит в точку А′, точка В – в точку В′, точка С – в точку С′. Угол АВС  равен  80º. Какой угол вам еще известен и чему он равен

7.Существует ли движение, переводящее отрезок с концами в точках (0;0) и (0;3) в отрезок с концами в точках (2;0) и (5;0)?

2 вариант

1. При движении точки А, В и С переходят соответственно в точки А′, В′ и С′. Точка А лежит между точками С и В. Как расположены точки А′, В′ и С′?

2. В какую фигуру переходит при движении луч?

3. При движении точки А, В и С переходят соответственно в точки А′, В′ и О′. Угол АВС равен 60º. Какой еще угол вам известен и чему он равен?

4. В какую фигуру при движении переходит отрезок длиной 2дм?

5. Закончите предложение: «Два движения, выполненные последовательно, дают…»

6. Преобразование плоскости переводит точку Х в точку  Х′. В какую точку перейдет точка Х′ при обратном  преобразовании?

7.Существует ли движение, переводящее окружность х² + у² = 9 в окружность х² + у² = 4?

Математический диктант

1.      Найдите координаты центра окружности, если АВ – диаметр, А (2;-4), В (-6;8).

2.      Вычислите радиус окружности с центром в начале координат, проходящей через точку М (12;-5).

3.      Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки?

4.      Как называется хорда, проходящая через центр окружности?

5.      Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности?

6.      Расстояние от центра окружности до точки А равно d, а радиус окружности равен r. Сравните d и r, если точка А лежит вне круга, ограниченного данной окружностью.

7.      Пересекаются ли окружности с центрами А и В, если АВ=10 см, а радиусы окружностей равны 5 см и 6 см? Обоснуйте свой ответ.

8.      Найдите координаты точек пересечения окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 7, с осями координат.

9.      Вычислите радиус окружности с центром в точке N (-6;-8), проходящей через начало координат.

10.  Найдите координаты центра окружности, если CD – диаметр, C (4;5), D (-6;7) .

Математический диктант по теме

«Многоугольник. Правильный многоугольник.»

1.      Ломаной называется фигура состоящая из_____________ и _____________

2.      Точки называются _________________ ломаной

3.      Отрезки называются ___________________ ломаной

4.      Длина ломаной – это ___________________________________________

5.      Изобрази не замкнутую ломаную без самопересечений

6.      Найди длину получившейся ломаной_____________

7.      Изобрази не замкнутую ломаную с самопересечением

8.      Изобрази замкнутую ломаную линию

9.      Многоугольником называется ___________________________________

10.  Вершины ломаной называются ____________________________________

11.  Звенья ломаной называются _____________________________________

12.         Отрезки, соединяющие не соседние  вершины многоугольника, называются____________________

13.        Какой многоугольник называют выпуклым?_______________________________________________

14.        Изобрази не выпуклый многоугольник

15.        Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника_________________________________________

16.        Выпуклый многоугольник называют правильным, если у него_______________________________

17.  Многоугольник называется вписанным  в окружность, если все его _________________ лежат на ______________________

18.  Многоугольник называется описанным около окружности, если все его ________________   _______________ окружности.

19.  Правильный многоугольник является _________________ и __________

20.  Примеры правильных многоугольников_______________________________________

Таблица 8.13. Декартовы координаты на плоскости

Таблица 8.14. Симметрия относительно точки

Таблица 8.15. Симметрия относительно прямой

Таблица 8.16. Векторы на плоскости

Таблица 9.1. Подобные треугольники

Дано: МВС <» ДЛ.В.С,. Найти х, у, г:

1)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Решение:

Высота BH треугольника ABC нам дана: BH=24. Эта высота проведена к стороне AC.

AC=AH+HC=10+32=42.

Площадь треугольника ABC:  S_АВС=12AC⋅BH=12⋅42⋅24=21⋅24=504.

Ответ: S_АВС=504

2)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив него, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Решение:

Пусть катет AC=10, лежащий напротив него ∠ABC=45∘. 

Как мы помним, если в прямоугольном треугольнике острый угол равен 45∘, то этот треугольник - равнобедренный: ΔABC - равнобедренный ⟹AC=BC=10.

Площадь прямоугольного треугольника -  полупроизведение его катетов: S_АВС=12⋅AC⋅BC=10⋅102=50.

Ответ: S=50

3) Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Ответ 10

4) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 10, ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 60°, а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, делённую на√. 3

Ответ 50

5) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 70, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ 1225

6) В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен 120°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, делённую на √3

Ответ 25

7) Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 216, а бо­ко­вая сто­ро­на — 78. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ 2160

8) Вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Най­ди­те его пло щадь, умноженную на√3.

Ответ 100

9) В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 8, ос­но­ва­ние — 5⋅(√6−√2), а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ 16

10) Дан выпуклый четырехугольник, углы которого относятся как 7:3:2:6. Найдите наибольший угол этого четырехугольника.

Ответ 140

 11) Найдите, чему равны стороны параллелограмма, если его периметр P=60, а стороны относятся как 1:2.

Решение:

Так как стороны относятся как 1:2, обозначим одну из сторон параллелограмма AB за 1x, тогда сторону BC - за 2x.

По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, т.е. CD=AB,  AD=BC.

Периметр параллелограмма - это сумма длин всех его четырех сторон:P=AB+BC+CD+AD=2⋅AB+2⋅BC⟹P=2⋅x+2⋅2x=6x.   P=6x⟹60=6x⟹x=10. Значит, стороны параллелограмма: AB=CD=x=10,   AD=BC=2x=20.

Ответ: 10,  20

12)  Разность двух углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40∘. Найти меньший угол параллелограмма.

Решение:

Обозначим ∠A  параллелограмма ABCD  за x. По условию задачи .

∠B−∠A=40∘⟹∠B=∠A+40∘⟹∠B=x+40∘.

Мы знаем, что сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180∘.

∠A+∠B=180∘⟹x+x+40∘=180∘⟹2x=140∘⟹x=70∘.

Значит, ∠A=x=70∘,  ∠B=x+40∘=110∘. 

Меньший угол параллелограмма - это ∠A, его и записываем в ответ.

Ответ: 70∘

13) Диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 65° и 50°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Решение:

Найдем сначала весь угол B: ∠B=∠ABD+∠DBC=65∘+50∘=115∘.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180∘: ∠A+∠B=180∘⟹∠A+115∘=180∘⟹∠A=180∘−115∘=65∘.

Нужно было найти меньший угол параллелограмма, это и есть угол A.

Ответ: 65∘

14) На про­дол­же­нии сто­ро­ны AD  па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD  за точ­кой D от­ме­че­на точка E  так, что DC=DE. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если ∠DEC=53°. 

Решение:

Обратим сразу внимание, что ΔCDE  - равнобедренный с основанием CE. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠DCE=∠DEC=53∘.

 ∠ADC - внешний угол треугольника CDE  при вершине D⟹∠ADC=∠DCE+∠DEC=53∘+53∘=106∘   

(внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним). Мы нашли нужный нам больший угол параллелограмма. Меньший угол параллелограмма ∠A=180∘−∠D=180∘−106∘=74∘.

Ответ: 106∘

15) Най­ди­те ве­ли­чи­ну остро­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если бис­сек­три­са угла A об­ра­зу­ет со сто­ро­ной BC угол, рав­ный 15°.

Решение:

Так как AL - биссектриса, то ∠BAL=∠LAD.

Из определения параллелограмма: BC||AD⟹∠BLA=∠LAD (как накрест лежащие углы при BC||AD и секущейAL).

Итак, ∠BAL=∠LAD=∠BLA=15∘.

Так как  ∠BAL=∠BLA⟹ΔABL - равнобедренный с основанием AL⟹AB=BL. Для решения данной задачи эта строчка не понадобится, но пригодится для решения одной из тестовых задач в этом уроке ;) 

∠BAD=∠BAL+∠LAD=15∘+15∘=30∘. Это и есть требуемый острый угол параллелограмма.

Ответ: 30∘ 

16) В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­наль AC в 2 раза боль­ше сто­ро­ны AB и  ∠ACD=104°. Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. 

Решение:

Противоположные стороны параллелограмма равны ⟹CD=AB.

Обозначим сторону CD  за x, тогда диагональ AC=2x. По свойству параллелограмма диагонали AC  и BD  точкой пересечения O  делятся пополам, т.е. AO=OC=12AC=x.

В треугольнике COD  стороны CO  и  CD  оказались равны ⟹ΔCOD  - равнобедренный с основанием OD⟹∠COD=∠CDO  (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Сумма углов треугольника COD  равна 180∘: 

∠COD+∠CDO+∠OCD=180∘⟹2⋅∠COD+104∘=180∘⟹2⋅∠COD=76∘⟹∠COD=38∘.

Это и есть искомый угол между диагоналями параллелограмма (хотя между диагоналями образуется два разных угла, но обычно под углом между диагоналями понимают именно острый угол, если в условии не оговорено обратное).

Ответ:  38∘

17) Периметр параллелограмма равен 26, длина одной из сторон равна 7. Найдите длину стороны, смежной с данной.

Ответ 6

18) В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль AC. Угол DAC равен 47°, а угол CAB равен 11°. Най­ди­те боль­шийугол па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. 

Ответ 122

19) Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K. Най­ди­те пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма, если BK=7,  CK=12.

Ответ 52

20) Найти пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Решение:

Площадь параллелограмма можно найти, умножив основание AD на высоту BH, проведенную к нему: S=AD⋅BH.

AD=AH+HD=3+7=10 

S=AD⋅BH=10⋅4=40 

Ответ:  S=40  

21)  Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — 45°. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Решение:

Площадь параллелограмма можно найти как произведение двух его сторон на синус угла между ними: 

S=AB⋅AD⋅sin∠A⟹S=5⋅12⋅sin45∘⟹S=60⋅2√2⟹S=302√.

Ответ: S=302√

22)  Вы­со­та BH па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH=1 и HD=28. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма BD равна 53. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Решение:

Основание AD=AH+HD=1+28=29 

Для нахождения площади параллелограмма не хвататет только высоты BH , проведенной к основанию AD.

Найдем BH по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BHD, в котором BH, HD - катеты, BD - гипотенуза:

BH2=BD2−HD2=532−282=(53−28)⋅(53+28)=25⋅81⟹BH=25⋅81−−−−−√=5⋅9=45.

Тогда площадь параллелограмма: S=AD⋅BH=29⋅45=1305.

Ответ: S=1305

23)  Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на первую сторону, равна 3. Найти высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Решение:

Пусть DH=3 - высота, проведенная к первой стороне AB=5. BK - высота, проведенная ко второй стороне AD=10. Вот эту-то высоту BK и надо найти.

Решим эту задачу через площадь параллелограмма. С одной стороны, S=AB⋅DH=5⋅3=15. 

С другой стороны, площадь этого же параллелограмма можно найти так: S=AD⋅BK.

S=AD⋅BK⟹BK=SAD=1510=1,5.

Ответ:  1,5

24) Диагонали параллелограмма равны 16  и  63√, а угол между ними равен 60∘. Найти площадь параллелограмма.

Решение:

Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Тогда угол между диагоналями - это ∠AOB и он равен 60∘.

Площадь параллелограмма - полупроизведение диагоналей на синус угла между ними: S=12⋅AC⋅BD⋅sin∠AOB.

S=12⋅16⋅63√⋅sin60∘=8⋅63√⋅3√2=48⋅3√⋅3√2=24⋅3=72 

Ответ:  72 

25) Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, а опу­щен­ная на нее вы­со­та равна 10. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ 120

26) Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 24, дру­гая равна 5, а косинус од­но­го из углов равен 22√3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ 40

27) Стороны параллелограмма равны 20  и  12. Высота, опущенная на первую сторону, равна 6. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Ответ 10

28)  Сто­ро­на ромба равна 34, а ост­рый угол равен 60°. Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH с гипотенузой AB и катетами AH и BH:   cos∠BAH=AHAB .

cos∠BAH=cos60∘=12 

Тогда AHAB=12⟹AH=12⋅AB=12⋅34=17.

Так как ABCD - ромб, то AD=AB=34.   Тогда HD=AD−AH=34−17=17.

Ответ:  AH=HD=17

29)  Рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба до одной из его сто­рон равно 19, а одна из диа­го­на­лей ромба равна 76. Най­ди­те углы ромба. 

Решение:

Пусть диагонали ромба AC и BD пересекаются в точке O. Тогда расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны AD - это отрезок OH,  OH⊥AD,  OH=19. 

Примем, что диагональ AC=76. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то AO=OC=12AC=12⋅76=38.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH с гипотенузой AO и катетами AH  и  OH:  sin∠OAH=OHAO=1938=12⟹∠OAH=30∘.

 Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: AC - биссектриса ∠A⟹∠A=2⋅∠OAD=2⋅30∘=60∘.

 Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180∘⟹∠B=180∘−∠A=120∘.

Ответ:  60∘,  120∘

30) На ри­сун­ке изоб­ра­жен ромб ABCD. Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те tg ∠OBC.

Решение:

Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, т.е. ∠BOC=90∘, то треугольник BOC - прямоугольный с катетами BO и OC.

Тангенс угла OBC - это отношение противолежащего катета OC к прилежащему катету BO:   tg ∠OBC=OCBO.

Осталось только посчитать количество клеточек: OC=3,  BO=4.

tg ∠OBC=OCBO=34=0,75.

Ответ:  tg ∠OBC=0,75

31) Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=20 и CH=8. Найдите высоту ромба. 

Решение:

Для начала найдем сторону ромба: CD=CH+HD=8+20=28.

Так как у ромба все стороны равны, то AC=CD=28.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH с гипотенузой AC и катетами CH  и  AH. Нужный нам катет AH найдем из теоремы Пифагора:  AH2=AC2−CH2=282−82=(28−8)⋅(28+8)=20⋅36 ⟹AH=20⋅36−−−−−√=4⋅5⋅36−−−−−−−√=125√.

Ответ:  125√

32) Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 38, а острый угол равен 60∘.

Решение:

В ромбе все стороны равны: AB=BC=CD=DA. 

Так как AB=DA, то BAD - равнобедренный с основанием BD⟹∠ABD=∠BDA.

Сумма углов треугольника BAD равна 180∘: ∠BAD+∠ABD+∠BDA=180∘⟹60∘+2∠ABD=180∘⟹∠ABD=60∘.

Получили, что ∠BAD=∠ABD=∠BDA=60∘⟹ΔBAD - равносторонний ⟹BD=AB=38.

Ответ: 38

33) На ри­сун­ке изоб­ра­жен ромб  ABCD. Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те  tg ∠CDO.

Ответ 0,5

34) У ромба ABCD диагональ BD равна 14 см, длина диагонали AC равна 48 см. Найти длину стороны AB.

Ответ 25

35) Найдите периметр ромба ABCD, если угол B равен 60∘, а длина диагонали AC равна 10,5.

Ответ 42

36) В ромбе ABCD  угол DAB равен 36∘. Найдите угол BDC.

Ответ 72

37) Пло­щадь ромба равна 27, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба. 

Решение:

Периметр ромба - это сумма длин всех его сторон: P=AB+BC+CD+AD. Так как все стороны ромба равны, то P=4⋅AD⟹36=4⋅AD⟹AD=9.

 Площадь ромба - произведение стороны ромба и высоты, проведенной к этой стороне:  SABCD=AD⋅BH⟹27=9⋅BH⟹BH=3.

Ответ:  3

38) Сто­ро­на ромба равна 5, а диа­го­наль равна 6. Най­ди­те пло­щадь ромба. 

Решение:

Воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABD  для нахождения угла A: 

BD2=AB2+AD2−2⋅AB⋅AD⋅cos∠A⟹62=52+52−2⋅5⋅5⋅cos∠A⟹36=50−50⋅cos∠A⟹ 

⟹cos∠A=50−3650=0,28.

Зная косинус ∠A, по основному тригонометрическому тождеству мы найдем синус ∠A: 

sin2∠A+cos2∠A=1⟹sin2∠A+(0,28)2=1⟹sin2∠A=1−(0,28)2=0,9216⟹sin∠A=0,96.

Площадь ромба можно найти как произведение двух его смежных сторон на синус угла между ними: 

SABCD=AB⋅AD⋅sin∠A=5⋅5⋅0,96=24 

Ответ: 24

39)  Пе­ри­метр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Решение:

Периметр ромба - сумма его четырех одинаковых сторон: P=AB+BC+CD+AD⟹P=4⋅AB⟹40=4⋅AB⟹AB=AD=10.

Площадь ромба можно найти как произведение двух его смежных сторон на синус угла между ними:  SABCD=AB⋅AD⋅sin∠A=10⋅10⋅sin30∘=100⋅12=50.

Ответ:  50

40) Площадь ромба равна 48. Одна из его диагоналей в 6 раз больше другой. Найдите меньшую диагональ ромба.

Решение:

Обозначим меньшую диагональ ромба за x:  BD=x. Тогда вторая диагональ ромба AC=6x.

Площадь ромба - полупроизведение его диагоналей: SABCD=BD⋅AC2⟹48=x⋅6x2⟹48⋅2=6x2⟹x2=16⟹x=4.

Значит, BD=4.

Ответ: 4

41) Пе­ри­метр ромба равен 24, а синус од­но­го из углов равен 13. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ответ 12

42) В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей равна 5⋅(6√−2√), а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ответ 50

43) Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 14 и 6.

Ответ 42

44) Сто­ро­на ромба равна 9, а рас­сто­я­ние от цен­тра ромба до неё равно 1. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Ответ 18

45) Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка об­ра­зу­ет угол 51∘ с одной из его сто­рон. Най­ди­те ост­рый угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах. 

Решение:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам ⟹BO=AO⟹ΔBOA - равнобедренный с основанием AB ⟹∠OBA=∠OAB=51∘.

Сумма углов треугольника BOA равна 180∘: ∠OBA+∠OAB+∠BOA=180∘⟹51∘+51∘+∠BOA=180∘⟹∠BOA=78∘.

Ответ: 78∘

46)  На сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, у ко­то­ро­го AB=12 и AD=17, от­ме­че­на точка E так, что ∠EAB=45°. Най­ди­те ED.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный ΔABE:  т.к. острый угол этого прямоугольного треугольника равен  45∘, то  ΔABE - равнобедренный и BE=AB=12.

В прямоугольнике противоположные стороны равны: BC=AD=17,  CD=AB=12. 

Теперь можем найти EC:    EC=BC−BE=17−12=5.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ECD с гипотенузой ED и применим теорему Пифагора: ED2=EC2+CD2=52+122=25+144=169⟹ED=13.

Ответ: 13

47)  Периметр прямоугольника, одна из сторон которого в два раза больше другой, равен периметру ромба со стороной 6. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Обозначим одну из сторон прямоугольника за x, тогда вторая сторона будет равна 2x. 

Периметр прямоугольника равен сумме всех его четырех сторон: Pпрямоугольника=x+2x+x+2x=6x.

Периметр ромба - сумма длин всех его четырех одинаковых сторон:  Pромба=6+6+6+6=4⋅6=24.

По условию задачи периметр прямоугольника равен периметру ромба: 6x=24⟹x=4,  2x=8.

Итак, стороны прямоугольника 4  и  8 .

Ответ: 4,  8

48) На сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, у ко­то­ро­го AB=24 и AD=31, от­ме­че­на точка E так, что ∠EAB=45°. Най­ди­те ED.

Ответ 25

49)Периметр прямоугольника, одна из сторон которого в четыре раза больше другой, равен периметру ромба со стороной 15. Найдите стороны прямоугольника. В ответе укажите длину большей стороны.

Ответ 24

50) Одна из сторон прямоугольника равна 10. Угол, который образует диагональ с этой стороной, равен 45∘. Найдите периметр прямоугольника.

 Ответ 40

Самостоятельная работа  9кл  урок 8

Вариант 1

1. Начертите неколлинеарные вектора  а, b, с . Постройте векторы  а + с, с – b.

2. В равнобедренном треугольнике  АВС  точка В₁ – середина основания АС.

     а) Упростите выражение  ВВ₁ –  АВ – В₁С.

     б) Найдите  / ВВ₁ –  АВ – В₁С / , если АВ=10см, ВВ₁= 8см.

3. Найдите вектор  РО – х = РМ

Самостоятельная работа  9кл  урок 8

Вариант 2

1. Начертите неколлинеарные вектора  p, k, с . Постройте векторы  k+ с,  k – p.

2. В равнобедренном треугольнике АВС , с основанием АВ проведена медиана СС₁

    а) Упростите выражение  ВС₁ – АС + АВ,

    б) Найдите / ВС₁- АС + АВ /, если АС=5см, АВ=6см.

3. Найдите вектор  х – МА =РМ

Самостоятельная работа  9кл урок 10 стр 54

Вариант 1. 

1. Начертите вектор х такой что,  /х /= 2см. Постройте векторы  3 х, -2 х, 1/2х,

2. В параллелограмме АВСД на стороне АВ отмечена точка К так, что АК:КВ= 2:1, О- точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ОС и СК через векторы а=АВ, и b= АД.

Самостоятельная работа  9кл урок 10 стр 54

Вариант 2. 

1. Начертите вектор а , абсолютная величина которого  равна 3см. Постройте векторы 2а , -а, 1/3а.

2. В параллелограмме АВСД на стороне ВС взята точка Р так, что ВР:РС=3:1 , О-  точка пересечения диагоналей . Выразите векторы АО и РА через векторы х=АВ  и у=АД.

Самостоятельная работа  9кл  урок 8

Вариант 1

1. Начертите неколлинеарные вектора  а, b, с . Постройте векторы  а + с, с – b.

2. В равнобедренном треугольнике  АВС  точка В₁ – середина основания АС.

     а) Упростите выражение  ВВ₁ –  АВ – В₁С.

     б) Найдите  / ВВ₁ –  АВ – В₁С / , если АВ=10см, ВВ₁= 8см.

3. Найдите вектор  РО – х = РМ

Самостоятельная работа  9кл  урок 8

Вариант 2

1. Начертите неколлинеарные вектора  p, k, с . Постройте векторы  k+ с,  k – p.

2. В равнобедренном треугольнике АВС , с основанием АВ проведена медиана СС₁

    а) Упростите выражение  ВС₁ – АС + АВ,

    б) Найдите / ВС₁- АС + АВ /, если АС=5см, АВ=6см.

3. Найдите вектор  х – МА =РМ

Самостоятельная работа  9кл урок 10 стр 54

Вариант 1. 

1. Начертите вектор х такой что,  /х /= 2см. Постройте векторы  3 х, -2 х, 1/2х,

2. В параллелограмме АВСД на стороне АВ отмечена точка К так, что АК:КВ= 2:1, О- точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ОС и СК через векторы а=АВ, и b= АД.

Самостоятельная работа  9кл урок 10 стр 54

Вариант 2. 

1. Начертите вектор а , абсолютная величина которого  равна 3см. Постройте векторы 2а , -а, 1/3а.

2. В параллелограмме АВСД на стороне ВС взята точка Р так, что ВР:РС=3:1 , О-  точка пересечения диагоналей . Выразите векторы АО и РА через векторы х=АВ  и у=АД.

Урок 21 Геометрия 9кл

Самостоятельная работа

1 вариант

1.Окружность задана уравнением (х+5)²+(у-4)²=49.

   а) Укажите центр окружности

   б) Какие из точек А(2;4), В(1;3), С(-5;-3) лежат на данной окружности.

   в) Найдите точку с абциссой -12 , лежащей на данной окружности.

2. Напишите уравнение окружности с центром С и радиусом r: если

    а) С(-3;2), r=  √ 3 .                   б) С(0;-6) , r= 4√5.

Самостоятельная работа 9 класс 27урок

1.      Найдите sinA, если     1 вариант   cosA= -1/3          2 вариант   cosA=-1/4

     2. Найдите  cosA, если    1 вариант   sinA= 2/5              2вариант   sinA=-2/3

3.      Проверьте, лежат ли на единичной окружности точки: 

         1 вариант  В(7;3),С(0,5;0,5)                      2 вариант  С(2;3), В(-0,5;0,5)

     4. Угол между лучом ОМ, пересекающим единичную полуокружность, и   положительной полуосью Ох равен А. Найдите координаты точки М, если

            1 вариант    ОМ=8,  <А=30°                               2 вариант    ОМ=10, <А=60°

Самостоятельная работа 9кл

По теме : Решение треугольников

1. Дано:   △АВС ,   <А=45⁰ ,   < С=15⁰  , ВС= 4√6 .

    Найти:  АВ ,   АС ,     < В

2. Дано :   △MNK , MN=6см , MK=10см,    <M=120⁰.

    Найти :  NK ,      <N  ,     <K.

3. Дано : △ ОРТ   , ОР=24 , РТ=30, ОТ=36.

    Найти:    <О ,      <Р,        <Т.

Самостоятельная работа 9 кл урок 33

Тема Решение треугольников

1 вариант

1. Площадь параллелограмма  равна 30V3 см², а один из углов равен 60⁰. Найдите его периметр, если длина одной из сторон равна 6см.

2. В треугольнике MNK  MN=NK , MK=V2 , <M=30⁰, MA- ,биссектриса. Найдите МА.

3. Стороны треугольника равны 8, 10  и 12см. Найдите угол, лежащий против меньшей стороны.

Самостоятельная работа 9 кл урок 33

Тема Решение треугольников

2 вариант

1. Площадь параллелограмма  равна 40V2 см² , а один из углов равен 45⁰ . Найдите его периметр , если длина одной из сторон равна 10см.

2. В треугольнике СДЕ  СМ- биссектриса , <ДСЕ=60⁰ , МЕ= 3V2. Найдите СМ, если < СЕД =45⁰.

3. Стороны треугольника равны 6, 9  и 10 см. Найдите угол , лежащий против большей стороны.

Самостоятельная работа 9кл. по геометрии

По теме Правильный многоугольник

1. Найдите углы правильного шестнадцатиугольника .

2. Каждый угол правильного многоугольника  равен 162⁰ . Найдите  число его сторон.

3. Чему равен внешний угол правильного восемнадцатиугольника .

4. Внешний угол правильного многоугольника равен 15⁰.Найдите число его сторон.

5. Является ли равнобедренный треугольник с углом при вершине в 60⁰ правильным.

6. Является ли ромб с равными диагоналями правильным четырехугольником .

Самостоятельная работа по геометрии 9кл

По теме Формулы для вычисления площади правильного многоугольника его стороны и радиуса вписанной окружности.

Вариант 1

1. Найдите углы правильного восемнадцатиугольника .

2. Угол правильного n-угольника равен 108⁰. Вычислите количество его сторон .

3. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник , если дуга описанной окружности , которую стягивает его сторона , равна 45⁰.

Урок 44 9класс стр 228

Самостоятельная работа

1 вариант

1. Найдите длину окружности с радиусом 5см. Чему равна длина ее дуги с градусной мерой 36⁰.

2. Длина окружности, описанной около квадрата , равна 12П см. Найдите длину окружности, вписанной в этот квадрат.

Урок 44 9класс стр 228

Самостоятельная работа

2 вариант

1. Найдите длину окружности с радиусом 9см. Чему равна длина ее дуги с градусной мерой 20⁰.

2. Длина окружности , вписанной в правильный треугольник, равна 2√3 П см. Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника.

Самостоятельная работа по геометрии 9кл.

По теме Площадь круга и кругового сектора урок 45

1. Найдите длины дуг , на которые разбивают окружность два радиуса . Угол между радиусами равен 120⁰, радиус окружности равен 6дм.

2. Найдите длину окружности , в которую вписан квадрат со стороной 5см.

Самостоятельная работа по геометрии 9кл

 По теме Длина окружности . Площадь круга.

1 вариант

1. Длина окружности равна 8 П. Вычислите площадь круга , ограниченного данной окружностью.

2. Градусная мера дуги окружности с радиусом 6см. равна 30⁰. Вычислите площадь кругового сектора , соответствующего этой дуге .

Самостоятельная работа по геометрии 9кл

 По теме Длина окружности . Площадь круга.

2вариант

1. Длина окружности равна 10П . Вычислите площадь круга , ограниченного данной окружностью.

2. Градусная мера дуги  окружности  с радиусом 4см равна 45⁰. Вычислите площадь кругового сектора , соответствующего этой дуге.

Самостоятельная работа 9кл урок 53

1 вариант

1.Дан четырехугольник АВСД. Постройте фигуру , симметричную данной:

а) относительно вершины Д                    б) относительно диагонали АС

2. Докажите , что при движении квадрат отображается в квадрат.

Самостоятельная работа 9кл урок 53

2 вариант

1. Дан четырехугольник АВСД. Постройте фигуру , симметричную данной:

а) относительно вершины А               б) относительно диагонали ВД

2.Докажите , что при движении прямоугольник отображается на прямоугольник.

Самостоятельная работа

По геометрии 9кл ур.55

1. В прямоугольном треугольнике АВС ,СК-биссектриса , точки М и Н  лежат  на СК так , что М лежит между С и Н . Постройте образ треугольника АВС  при параллельном переносе  на вектор МН .

2. Постройте образ треугольника АВС при параллельном переносе на вектор   а.

3. Укажите координаты точек А¹,В¹, если известно , что они являются образами точек А(2;5) , В(-1;-3) при параллельном переносе на вектор  а {-3;2}.

Самостоятельная работа

По геометрии 9кл ур.58

1.В результате параллельного переноса точка А(-1;3) переходит в точку А¹ (2;4) , а точка В(1;-3) в точку В¹.

2. При осевой симметрии относительно координатной оси  Оу точка  А переходит в точку А¹ , а точка В в точку В¹ . Найдите координаты точек А¹ и В , если А(-2;5) , В¹(-3;-8).

3. При центральной симметрии относительно начала координат четырехугольник  АВСД

переходит в четырехугольник А₁В₁С₁Д₁. Найдите координаты  точек А,В,С,Д, если

 А₁(-6;-1) ,В₁(-5;-8), С₁(-1;-6) ,Д₁(0;0) .

4. В результате  поворота  вокруг начала координат  точка А(4;0) перешла в точку А¹(0;4). Найдите точку , в которую перейдет  точка А  в результате поворота  на 30⁰ , 45⁰ ,120⁰ вокруг  того же центра  и в том же направления.

5. Какое наименьшее число вершин может  иметь многоугольник , у которого есть  две оси симметрии , пересекающиеся под углом 30⁰.   

Самостоятельная работа

Длина окружности и площадь круга

Вариант 1

  1. Вычислите радиус окружности, длина которой равна сумме длины окружности с радиусом 9 см и длины дуги окружности с радиусом 20 см и центральным углом 18^°.

  Ответ: 10 см.

   2. В круг вписан прямоугольный треугольник с катетами, равными 8 см и 15 см. Найдите разность площадей этих фигур.

Ответ:

  3. В сектор с центральным углом 90^° вписан круг так, что он касается радиусов и дуги. Найдите отношение площади сектора к площади круга.

  Ответ:

Вариант 2

  1. Вычислите радиус окружности, длина которой равна разности длины окружности с радиусом 16 см и длины дуги окружности с радиусом 40 см и центральным углом 9^°.

  Ответ: 15 см.

 2. В круг вписан прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 см и 12 см. Найдите разность площадей этих фигур.

  Ответ:

3. В сектор с центральным углом 120^° вписан круг так, что он касается радиусов и дуги. Найдите отношение площади сектора к площади круга.

  Ответ:

Решение треугольников

Вариант 1

А1. Найдите площадь равнобедренного △, если его боковая сторона равна 1 м, а угол при вершине равен 45^о.

А2. В △ АВС  АС = 0,59 дм, А = 40^о, С = 35^о. Вычислите  ВС.

А3. Две стороны △ равны 1,3  и  42,5, < между ними  100^о. Вычислите третью сторону △.

Самостоятельная работа 3.2

Решение треугольников

Вариант 2

А1. Найдите площадь равностороннего △ со стороной, равной 1 м.

А2. В △ АВС  АС = 15,2 см, А = 25^о, С = 80^о. Вычислите  ВС.

А3. Две стороны △ равны 27,4  и  16,3, < между ними  70^о. Вычислите третью сторону △.

Самостоятельная работа  Понятие вектора

Вариант 1

  1. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K, L, M, N - середины сторон АВ, ВС, CD, DA соответственно. Установите связь между векторами

Ответ: 

 2. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 12 и AD = 10 точка К принадлежит АВ и АК : КВ = 1 : 2, точка L принадлежит CD и CL : LD = 1 : 3. Найдите величину

Ответ: 5√5.

  3. В равностороннем треугольнике АВС со стороной а отрезок AD - медиана. Точка Е - середина отрезка BD. Найдите величину

Ответ:  

Вариант 2

   1. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K, L, M, N - середины сторон АВ, ВС, CD, DA соответственно. Установите связь между векторами

Ответ:  

  2. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 20 и AD = 12 точка К принадлежит АВ и АК : КВ = 2 : 3, точка L принадлежит CD и CL : LD = 1 : 4. Найдите величину

Ответ: 4√13.

  3. В равностороннем треугольнике АВС со стороной а отрезок AD - медиана. Точка Е принадлежит BD и ВЕ : ED = 1 : 2. Найдите величину

  Ответ: 

Самостоятельная работа по теме векторы 9 класс

Вариант 1

1. На рисунке от точки А отложите вектор:

а) равный вектору а;

б) сонаправленный вектору b;

в) противоположно направленный вектору с.

                                                          с

А .                                                                              а

                                                                                    b

2.      АВСD – ромб. Равны ли векторы:

а) АВ и СD;

б) ВС и DА;

в) АВ и АD.

Самостоятельная работа

Вариант 2

1. На рисунке от точки В отложите вектор:

а) равный вектору b;

б) сонаправленный вектору с;

в) противоположно направленный вектору а.

B  .

                                                                              a

                                                                                                         b

                                                                                           c

2.      АВСD – квадрат. Равны ли векторы:

а) ВА и DС;

б) ВС и АD;

в) DА и DС.

Самостоятельная работа по теме «Векторы» 

Вариант 1

1)Постройте векторы , такие, что векторы  неколлинеарны. Постройте:   а)            б)          в)  

2)Точки M и N – середины сторон AB и AC △ ABC.  Выразите через  векторы   а)    ,  б) ,   в)    г) ,   д) , где S – середина BC .

Самостоятельная работа по теме «Векторы» 

Вариант 2

1)Постройте векторы , такие, что векторы  неколлинеарны. Постройте:   а)          б)            в)  .

2)Точка B₁ – середина стороны  AC △ ABC.  Выразите через  векторы          а)    ,     б) ,     в)        г)       ,   д) , где K – середина BB₁ .

Сложение и вычитание векторов.

Вариант 1.

Постройте четыре попарно неколлинеарных вектора . Постройте                                       а)  по правилу треугольника              б)   по правилу параллелограмма         

в)      г)   двумя способами   д)    е)        

Сложение и вычитание векторов.

Вариант 2.

Постройте четыре попарно неколлинеарных вектора . Постройте                                       а)  по правилу треугольника                  б)   по правилу параллелограмма       

  в)     г)   двумя способами     д)    е)     

Координаты вектора.

Вариант 1

1.Даны векторы .       а) Найдите координаты вектора .      б) Запишите разложение вектора  по единичным векторам .                                                                              в) Найдите длину вектора  .        г) Найдите координаты вектора   противоположного вектору  .                                 

 2. Среди векторов  найдите пары коллинеарных.                                                      3. В параллелограмме ABCD . Точки M и N лежат на сторонах BC и СD соответственно так, что BM=MC, CN : ND=3 : 1. Найдите координаты вектора .

Координаты вектора. Вариант 2

1.Даны векторы .       а) Найдите координаты вектора .       б) Запишите разложение вектора  по единичным векторам .                                                                              в) Найдите длину вектора  .      г) Найдите координаты вектора   противоположного вектору  .                               

2. Среди векторов  найдите пары коллинеарных.                                                    3. В параллелограмме ABCD . Точки K и P лежат на сторонах AB и AD соответственно так, что AP=PD, AK : KB=2 : 1. Найдите координаты вектора .

Самостоятельная работа

Скалярное произведение векторов

Вариант 1

А1. Даны точки  А(2; 4),  В(5; 8), С(-7; -1), D(5; 8).  Найдите скалярное произведение векторов  .

А2. Даны векторы  .  Найдите скалярное произведение векторов.

А3. Вычислите скалярное произведение векторов, если  , а угол между ними равен  60^о.

Самостоятельная работа

Скалярное произведение векторов

Вариант 2

А1. Даны точки  А(2; 4),  В(-1; 6), С(-4; -2), D(3; 2).  Найдите скалярное произведение векторов    и  .

А2. Даны векторы  .  Найдите скалярное произведение векторов.

А3. Вычислите скалярное произведение векторов, если  , а угол между ними равен  30^о.

Самостоятельная работа Простейшие задачи в координатах

Вариант 1

  1. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (−4; 2), В (2; −8), С (10; 16). Отрезок AD - медиана треугольника АВС, а АЕ - медиана треугольника ACD. Найдите

Ответ: 

 2. На осях координат найдите точки, равноудаленные от концов отрезка АВ, если А (−3; 5) и В (6; 4).

  Ответ: (1; 0) и (0; −9).

 3. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты А (0; 1), В (1; −4), С (5; 2).

  Ответ: S = 13.

Вариант 2

  1. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (−4; 2), В (2; −8), С (10; 16). Отрезок AD - медиана треугольника АВС, а АЕ - медиана треугольника ABD. Найдите

Ответ:

2. На осях координат найдите точки, равноудаленные от концов отрезка АВ, если А (4; −3) и В (8; 1).

  Ответ: (5; 0) и (0; 5).

  3. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты А (−4; 1), В (−2; 4), С (1; 2).

  Ответ: S = 6,5.

Метод координат.

Вариант 1

1. Вершины треугольника ABC имеют координаты A(-5; 13), B(3; 5), C(-3; -1). Найдите: а) медиану, проведенную к стороне AC  б) среднюю линию, параллельную стороне BC .

2. Четырехугольник ABCD задан координатами его вершин: A(1; 1), B(3; 5), C(9; -1), D(7; -5).    а) Докажите, что ABCD -параллелограмм.            б) Найдите координаты середины отрезка CO, где С – точка пересечения диагоналей.

3) △MNK задан координатами своих вершин: M(2;N(0;0), K(3;. Найдите углы и площадь △.

Метод координат.

Вариант 2

1. Вершины треугольника ABC имеют координаты A(13; -5), B(5; 3), C(-1; -3). Найдите: а) медиану, проведенную к стороне AC  б) среднюю линию, параллельную стороне BC 

2. Четырехугольник ABCD задан координатами его вершин: A(-6; 1), B(2; 5), C(4; -1), D(-4; -5).     а) Докажите, что ABCD -параллелограмм.              б) Найдите координаты середины отрезка CO, где С – точка пересечения диагоналей.

3) Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(4;N(7;3), K(2;. Найдите углы и площадь треугольника.

Самостоятельная работа Уравнение окружности

Вариант1

  1. Напишите уравнение окружности, которая проходит через точки А (−7; 8) и В (−3; −4). При этом хорда АВ является диаметром окружности.

  Ответ: (х + 5)² + (у − 2)² = 40.

 2. Даны окружность, заданная уравнением х² + у² − 4х − 5 = 0, и точка А (5; 4). Напишите уравнение окружности, имеющей центр в данной точке и касающейся данной окружности внешним образом.

  Ответ: (х − 5)² + (у − 4)² = 4.

 3. В квадрат площадью S вписана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата есть величина постоянная, и найдите эту величину.

  Ответ: 3S.

Вариант 2

  1. Напишите уравнение окружности, которая проходит через точки А (−5; 6) и В (−1; 4). При этом хорда АВ является диаметром окружности.

  Ответ: (х + 3)² + (у − 5)² = 5.

 2. Даны окружность, заданная уравнением х² + у² − 2у − 8 = 0, и точка А (4; 4). Напишите уравнение окружности, имеющей центр в данной точке и касающейся данной окружности внешним образом.

  Ответ: (х − 4)² + (у − 4)² = 4.

  3. Около квадрата площадью S описана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата есть величина постоянная, и найдите эту величину.

  Ответ: 4S.

Самостоятельная работа Уравнение прямой

Вариант1

  1. Координаты вершин треугольника А (2; −6), В (4; 2) и С (0; −4). Напишите уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника, которая параллельна стороне АС.

  Ответ: х + у − 1 = 0.

  2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми, заданными уравнениями у − х = 0, у + х = 0 и у − 2х + 4 = 0.

  Ответ: S = 16/3.

 3. Прямая 2у + х − 4 = 0 пересекает окружность х² + у² = 5. Найдите длину хорды, которая отсекается этой окружностью на прямой.

  Ответ: 6√5/5.

 Вариант2

  1. Координаты вершин треугольника А (4; −8), В (−2; 6) и С (2; 4). Напишите уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника, которая параллельна стороне АС.

  Ответ: 6х + у − 5 = 0.

  2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми, заданными уравнениями у + х = 0, у − х = 0 и 2у − х + 6 = 0.

  Ответ: S = 12.

3. Прямая у − 3х + 1 = 0 пересекает окружность х² + у² = 5. Найдите длину хорды, которая отсекается этой окружностью на прямой.

  Ответ: 7√10/5.

Уравнение прямой. Уравнение окружности.

Вариант 1

1. а) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А(4;-1) и В(2;3).                                   б) Лежат ли на этой прямой точки М(1;5) и  N(-1;5).                                                                                      в) Найдите точки пересечения этой прямой с осями координат.                                                                    г) Найдите точку пересечения этой прямой и прямой .                                                          д) Докажите, что данная прямая параллельна прямой .

2. Окружность задана уравнением   .                                                                                  а) Найдите координаты центра окружности и ее радиус.                                                                                     б) Докажите, что отрезок АВ, где А(-1;-1), В(5;17), является хордой окружности.                                    в) Выясните взаимное расположение окружности и прямой .                                                   г) Найдите расстояние от центра окружности до этой прямой.

Уравнение прямой. Уравнение окружности.

Вариант 2

1. а) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А(-1;3) и В(3;-5).                                    б) Лежат ли на этой прямой точки М(4;9) и  N(4;-7).                                                                                       в) Найдите точки пересечения этой прямой с осями координат.                                                                     г) Найдите точку пересечения этой прямой и прямой .                                                           д) Докажите, что данная прямая параллельна прямой .

2. Окружность задана уравнением   .                                                                                  а) Найдите координаты центра окружности и ее радиус.                                                                                    б) Докажите, что отрезок АВ, где А(3;-0), В(6;-1), является хордой окружности.                                    в) Выясните взаимное расположение окружности и прямой .                                                    г) Найдите расстояние от центра окружности до этой прямой.

Самостоятельная работа

Уравнение окружности. Уравнение прямой

Вариант 1

А1. Начертите окружность, заданную уравнением   .

А2. Запишите уравнение окружности с центром в точке  С(3;-5), касающейся оси ординат.

А3. Прямая задана уравнением  .

     а) Начертите эту прямую.

     б) Запишите координаты пересечения прямой с осями координат.

     в) Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и    этой прямой.

________________

В1. Окружность задана уравнением  . Напишите уравнения касательных к окружности, которые параллельны оси ординат.

_______________

Самостоятельная работа

Уравнение окружности. Уравнение прямой

Вариант 2

А1. Начертите окружность, заданную уравнением   .

А2. Запишите уравнение окружности с центром в точке  С(-2;4), касающейся оси ординат.

А3. Прямая задана уравнением  .

     а) Начертите эту прямую.

     б) Запишите координаты пересечения прямой с осями координат.

     в) Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и    этой прямой.

________________

В1. Окружность задана уравнением  . Напишите уравнения касательных к окружности, которые параллельны оси абсцисс.

Самостоятельная работа

Синус, косинус, тангенс угла

Вариант 1

А1. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите косинус меньшего острого угла этого треугольника.

А2. Найдите  .

А3. Найдите  .

А4. Постройте угол

Самостоятельная работа

Синус, косинус, тангенс угла

Вариант 2

А1. Стороны прямоугольного треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см. Найдите тангенс большего острого угла этого треугольника.

А2. Найдите  .

А3. Найдите  .

А4. Постройте угол

Самостоятельная работа синус, косинус и тангенс угла

Вариант 1

  1. Известно, что tg α  = − 5/12 и 90^° < α < 180^°. Найдите значение cos α.

  Ответ: − 12/13.

   2. Найдите значение выражения

  Ответ: 4.

  3. Упростите выражение

Ответ: 2.

 Вариант 2

  1. Известно, что tg α = − 15/8 и 90^° < α < 180^°. Найдите значение cos α.

  Ответ: − 8/17.

   2. Найдите значение выражения

  Ответ: 6.

   3. Упростите выражениеОтвет: −2.

Вписанная окружность  -  самостоятельная  работа

1 вариант

1. Четырёхугольник АВСД  описан около окружности. Найдите стороны ВС и АД, если АВ=7см, СД=11см, ВС в 2 раза меньше АД.

2. В равносторонний △ со стороной 8см вписана окружность. Найдите радиус окружности.

Вписанная окружность  -  самостоятельная  работа

2  вариант

1. Четырёхугольник АВСД  описан около окружности. Найдите стороны АВ и СД, если ВС=6см, АД=9см, АВ в 2 раза больше СД.

2. В  равносторонний  △  вписана окружность радиусом 4см. Найдите сторону  ∆.

Самостоятельная работа. Вписанная и описанная окружность

Вариант 1

  1. Вокруг правильного шестиугольника описана окружность. В этот же шестиугольник вписана окружность. Найдите отношение радиусов этих окружностей.

  Ответ: 2√3/3.

 2. Вокруг одной и той же окружности описаны правильные треугольник и четырехугольник. Найдите отношение площадей этих фигур.

  Ответ: 3√3/4.

 3. Сторона описанного правильного четырехугольника на 3 больше стороны правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. Найдите сторону треугольника.

  Ответ: 9 + 6√3.

Вариант 2

  1. Вокруг правильного треугольника описана окружность. В этот же треугольник вписана окружность. Найдите отношение радиусов этих окружностей.

  Ответ: 2.

 2. Вокруг одной и той же окружности описаны правильные четырехугольник и шестиугольник. Найдите отношение площадей этих фигур.

  Ответ: 2√3/3.

 3. Сторона описанного правильного треугольника на 5 больше стороны правильного четырехугольника, вписанного в ту же окружность. Найдите сторону треугольника.

  Ответ: 6 + √6.

Самостоятельная работа. Движение

Вариант1

  1. Треугольник А₁В₁С₁ симметричен треугольнику АВС с вершинами А (−1; 3), В (2; −4), С (4; 1) относительно точки D (7; −1). Найдите координаты вершин А₁, В₁, С₁.

  Ответ: А₁ (15; −5), В₁ (12; 2), С₁ (10; −3).

 2. Окружность задана уравнением (х + 3)² + (у − 2)² = 16. Она повернута на угол 90^° против часовой стрелки относительно точки А (−2; 1). Напишите уравнение полученной окружности.

  Ответ: (х + 3)² + у² = 16.

 3. Найдите координаты точки, симметричной точке А (1; 7) относительно прямой, заданной уравнением у = х + 2.

  Ответ: (5; 3).

Вариант2

  1. Треугольник А₁В₁С₁ симметричен треугольнику АВС с вершинами А (−4; 1), В (1; 3), С (3; −5) относительно точки D (5; −1). Найдите координаты вершин А₁, В₁, С₁.

  Ответ: А₁ (14; −3), В₁ (9; −5), С₁ (7; 3).

  2. Окружность задана уравнением (х + 2)² + (у − 3)² = 16. Она повернута на угол 90^° по часовой стрелке относительно точки А (−1; 2). Напишите уравнение полученной окружности.

  Ответ: х² + (у − 3)² = 16.

  3. Найдите координаты точки, симметричной точке А (7; 2) относительно прямой, заданной уравнением у = −х + 3.

  Ответ: (1; −4).

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические функции. Решение треугольников »

1 вариант

1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800м. Затем завернул на север и прошел 600м. Под каким углом к направлению на запад он должен идти, чтобы вернуться домой? В ответе укажите целое число градусов. (Используйте таблицу тригонометрических функций)

2. Горная железная дорога поднимается на 1 м на каждые 30м пути. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол подъема в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.

3. Лестница имеет ступеньки, ширина которых30 см, а высота – 18 см. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол подъема лестницы. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.

4. С самолета радируют капитану рыболовецкого судна, что самолет находится над косяком рыбы на высоте 1000 м. С судна определяют, что угол, под которым виден самолет над горизонтом, равен 26⁰. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите расстояние от судна до косяка рыбы. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.

5. Использую данные, приведенные на рисунке, найдите ширину АВ реки.

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические функции. Решение треугольников »

2        вариант

1.      Девочка прошла от дома на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. Под каким углом к направлению на восток она должна идти, чтобы вернуться домой? В ответе укажите целое число градусов. (Используйте таблицу тригонометрических функций)

2.      Человек, пройдя вверх по склону холма на 1000 м, поднялся на 90 м над плоскостью основания холма. Используйте таблицу тригонометрических функций, найдите (в среднем) угол наклона холма в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.

3.      Угол подъема лестница дачного домика равен 58⁰. Используйте таблицу тригонометрических функций, найдите высоту ступенек лестницы, если ширина ступенек равна 20 см.

4.      Самолет приближается к аэропорту А на высоте 8000м. Пилот имеет предписание производить снижение для посадки под постоянным углом 6⁰. Используйте таблицу тригонометрических функций, найдите расстояние АВ от посадочной полосы до того места, над которым самолет должен начать снижение. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом метров.

5.                 Из окна, расположенного на высоте 15 м над поверхностью земли, нижний край дома, стоящего прямо на другой стороне улицы, виден под углом понижения 32⁰. Найдите ширину улицы.

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические функции. Решение треугольников »

3        вариант

1.      Грибник, войдя в лес, в течение двух часов шел в направлении на север, а затем с той же скоростью в течение полутора часов – на восток. Под каким углом к направлению на юг он должен идти, чтобы вернуться к месту, где он вошел в лес? Используйте таблицу тригонометрических функций. В ответе укажите  целое число градусов.

2.      Угол подъема дороги равен 7⁰. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите высоту, на которую поднимается пешеход, пройдя 200 м.

3.      Ширина дачного домика равна 6 м, ширина одного ската его двускатной крыши равна 5 м. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите угол между стропилами крыши и потолком.

4.      Расстояние от наблюдателя до башни главного здания МГУ имени М.В.Ломаносова равно 150 м, а угол, под которым видно здание, равен 58⁰. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите высоту башни. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом метров.

5.      Найдите расстояние между населенными пунктами А и В, расположенными на разных берегах реки, если расстояние между пунктами А и С, расположенными на одном берегу этой реки, равно 2 км, угол САВ равен 80⁰, угол АСВ равен 70⁰. В ответе укажите  целое число метров

.

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические функции. Решение треугольников »

4        вариант

1.      Маятник в виде груза, подвешенного на нитке, отклонили от положения равновесия на угол 60⁰. Длина АС маятника 20 см. На сколько изменилась высота груза по сравнению с положением равновесия?

2.      Пожарная лестница выдвинута на 50 м при предельном угле подъема 72⁰. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите высоту, которой достиг верхний конец лестницы, если ее нижний конец отстоит от поверхности земли на 1 м.

3.      Длина балки, на которую опираются стропила крыши, равно 20 м. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите высоту крыши, зная, что стропила с этой балкой образуют угол 24⁰.

4.       Расстояние от наблюдателя до башни главного здания МГУ имени М.В.Ломаносова равно 240 м, под каким углом видна эта башня с расстояния 200 м? В  ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом градусов.

.

5.      Использую данные, приведенные на рисунке, найдите ширину АВ озера. В ответе укажите целое число метров.

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические функции. Решение треугольников »

5        вариант

1.      Маятник в виде груза, подвешенного на нитке, отклонили от положения равновесия на угол 60⁰. Длина АВ маятника 20 см. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите расстояние СD от груза С до прямой АВ, проходящей через начальное положение маятника.

2.      Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите приближенное значение угла, под которым виден столб высотой 3 м, находящийся от наблюдателя на расстоянии 100 м. В ответе укажите целое число градусов.

3.      Из некоторой точки вершина горы видна под углом 30⁰. При приближении к горе на 1000 м вершина стала видна под углом 45⁰. Найдите приближенную высоту горы. В ответе укажите целое число метров.

4.      Вершина радиомачты видна с расстояния 300 м от ее основания под углом 10⁰. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите высоту радиомачты.

5.      Использую данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние между населенными пунктами А и В, расположенными на разных берегах озера. В ответе укажите целое число метров.

Самостоятельная работа по теме

«Тригонометрические функции. Решение треугольников »

6        вариант

1.      Маятник АВ длиной 50 см отклонили от положения равновесия на расстояние СD, равное 12 см. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите угол, который образует новое положение Ас маятника с положением равновесия АВ.

2.      Телеграфный столб высотой 10 м находится на берегу реки. Верхний конец столба виден с другого под углом 20⁰ к горизонту. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите ширину реки.

3.      Используя данные, указанные на рисунке, найдите расстояние от корабля К до берега АВ. В ответе укажите целое число метров.

4.      Высота Останкинской  телевизионной башни – 540 м. Используя  таблицу тригонометрических функций, найдите угол в градусах,  под которым видна башня с расстояния 2000 м.

5.      Подводная лодка, находясь впереди корабля, погрузилась в воду и пошла в направлении, перпендикулярном направлению на корабль со скоростью 30 км/ч. Под каким углом к направлению хода подводной лодки должен идти корабль со скоростью 60 км/ч, чтобы в некоторой точке пройти над подводной лодкой? Ответ укажите в градусах.

ОТВЕТЫ

	1 задание	2задание	3 задание	4задание	5задание
1вариант	37	2	31	2020	23,8
2вариант	37	5	32	76080	24
3вариант	37	24	53	240	3760
4вариант	10	48,5	4,5	50	47
5вариант	17,4	2	1381	24	870
6вариант	14	27,8	1000	15	30

Самостоятельная работа по теме

«Практическое применение подобия»

1 вариант

1.      Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние АВ от лодки А до берега В

2.      Для нахождения высоты египетской пирамиды недалеко от нее был установлен шест длиной 1,5 м. Его тень составила 1м. В тот же момент тень пирамиды была равна 96м. Чему равна высота пирамиды?

3.      Какой должна быть ширина (Х) прямоугольной рамки для фотографии, указанной на рисунке, чтобы прямоугольники рамки и фотографии были подобны?

Самостоятельная работа по теме

«Практическое применение подобия»

2 вариант

1.      Используя данные на рисунке , найдите высоту мачты АВ.

2.      Чтобы изменить высоту дерева, ученик держит линейку в вертикальном положении на расстоянии вытянутой руки. Расстояние от глаз ученика дот линейки равно 60см. Часть линейки, закрывающая дерево, составляет 20 см. Расстояние от ученика до дерева равно 18 м. Чему равна высота дерева?

3.      Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько граммов весит игрушечный кирпич из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

Самостоятельная работа по теме

«Практическое применение подобия»

3 вариант

1.      Используя данные, приведенные на рисунке, найдите ширину реки АВ.

2.      Изображение дерева на фотопленке имеет высоту 15мм. Найдите высоту дерева, если расстояния от

объектива фотоаппарата до изображения и до дерева равны соответственно 50мм и 60мм.

3.        Апельсин в два раза больше мандарина. Мандарин весит 40г. Считая их форму шарообразной и удельный вес одинаковым, найдите вес апельсина

ОТВЕТЫ

	1 задание	2задание	3 задание
1вариант	100	144	4,5
2вариант	5	6	62,5
3вариант	10	18	320

ТЕСТ Векторы

1. Если A (c; d), B (m; n), а C (x; y) - середина отрезка АВ, то:

а) x =; .      б) ; .      в) ; .

2. Длина вектора ā {x; y}находится по формуле:

а) |ā| = x² + y² ;

б) |ā| = x + y ;

               2

в) |ā| = √ x² + y²

3. Если даны точки М(-3; -1) и Р(-7; -2), то расстояние между ними равно:

а)                 б)                    в)

4. Найти длину вектора АВ, если А(5, 2), В(6; 4).

а)     б) 5       в)

5. Функция задана уравнением у = - 2х + 5. Какая точка принадлежит графику функции?

а) А(- 2; 1)       б) В(- 2; 9)        в) С(1; - 7)

6. Если в параллелограмме ABCD точка М делит сторону ВС на части так, что ВМ : МС = 1 : 4, то вектор АМ выражается через векторы AD и AB следующим образом:

а) – АВ + 1/4 AD      б) АВ + 1/5 AD        в) АВ + 4/5 AD

7. Средняя линия трапеции…

а) параллельна основаниям и равна их сумме;

б) перпендикулярна основаниям и равна их полусумме;

в) параллельна основаниям и равна их полусумме.

Урок 23 Геометрия 9кл.

Тест

1 вариант

1. Если векторы АВ и СД коллинеарны, то

     а) АВ = СД        б) АВ = k  СД         в) / АВ / =/ СД /

2. Если  а = 5j – 3i ,  то

    а) а {5;-3}          б)  а {5;3}                 в)    а {-3;5}

3. Если  А(2;-5) , В(-4;-2), то

    а)   АВ {-6;3}     б) АВ {6;-3}        в) АВ {-2;-7}

4. Если х {3;-6}, у{-2;4} , с =- 1/3х+ 1/2у , то

   а) с {2;-4}         б) с {1;1}         в) с {-2;4}

5. Если  х {2;-5} , у {1;2,5},  z {-1/2; 5/4}, то коллинеарны векторы

     а)  х  и  у           б)   х  и  z           в)  у   и    z

6. Если АМ – медиана треугольника АВС, В(2;-5) С(-6;3), то

     а) М (-2;-1)      б) М(4;-4)       в) М(-4;4)

7. Если  а = -3i +4j  , то

    а) /a/=1          б)  /a/=5                       в) /a/ = 7

8. В треугольнике  АВС  А(-2;2),   В(2;6), С(4;-2). Если ВМ- медиана , то

     а) ВМ=  37                     б) ВМ= 45                   в)  ВМ = 35

9. Если точки С (-2;1) и Д(6;5)- концы диаметра окружности , то уравнение данной окружности имеет вид.

  а) (х+2)²+(х+3)²=    20        б) (х-4)²+(х-3)²= 12       в) (х-2)²+(х-3)²=20

10. Уравнение прямой проходящей через точки А(-1;1) и В(2;7), имеет вид

   а) х-2у+3=0                    б) 2х-у+3=0                    в)2х+у-3=0

Тест геометрия 9кл урок 25

1 вариант

1. Рис.1 Синус угла  А   равен:

а) 4/5         б) 3/5        в) 4/3

2. Тангенс угла В равен :

а) 4/3     б) 3/5       в) 3/4

3. Косинус 60⁰ равен:

 а)  3 / 2       б) ½         в)  2 / 2

4. Если sin a = 5/9, то cos a  равен :

а) 9/5       б) 56/ 81        в) 2  14/ 9

7. Упростите выражение sin 30^{0 .} cos45^{0 .}  td60⁰ :

а)  6 / 4           б) 3  2 / 4            в)  2 / 4

Тест геометрия 9кл урок 25

2 вариант

1. Рис. 2 . Косинус угла В равен :

а)  5/13        б) 12/13        в) 12/5

2. Тангенс угла А равен:

а)  12/5       б) 5/12       в) 12/13

3. Синус 30⁰ равен:

а)    2  / 2          б)    3   / 2        в) 1/2

4. Если cos A= 4/7, то sin A равен :

а)   33  / 97         б) 33/49           в) 4/7

7. Упростите выражение : cos 60^{0  .} sin 45^{0 .} td 30⁰

а)   2  /4          б)  6  / 4       в)   6  / 12

Тест по геометрии 9кл

По теме Соотношения между сторонами и углами треугольника

1. Для треугольника АВС справедливо равенство:

    а) АВ²=ВС²+АС²-2ВС^.АС^.cos  ВСА      б) ВС²=АВ²+АС²-2АВ^.АС^. сos  АВС

                                            в) АС²=АВ²+ВС²-2АВ^.ВС^. cos  АСВ

2.Площадь треугольника МНК равна

   а) ¹/₂  ^.МН^.МК^.sin  МНК      б) ¹/₂^. МК^.НК^. sin  МНК   в) ¹/₂^. МН^.НК^. sin  МНК

3.Если квадрат стороны треугольник равен  сумме  квадратов двух других  его сторон , то эта  сторона лежит против :

  а) тупого угла                    б) прямого угла                      в) острого угла

4.В треугольнике АВС известны длины сторон АВ и ВС . Чтобы найти сторону АС, необходимо знать величину:

   а) угла А                       б) угла В                       в) угла С

5. Треугольник со сторонами 5,6 и 7см:

   а) остроугольный       б) прямоугольный                 в) тупоугольный

6. В треугольнике АВС  угол А=30⁰, ВС=3 . Радиус описанной около  треугольника АВС окружности  равен :

    а) 1,5                             б) 2√ 3                            в) 3

7. Если в треугольнике АВС  угол А=48⁰ , угол В=72⁰, то наибольшей стороной треугольника является сторона :

   а) АВ                            б) АС                                в) ВС

8. В треугольнике СДЕ :

   а) СД^.sin C=ДЕ^.sinЕ        б) СД^.sinЕ= ДЕ^.sinС       в) СД^.sinД=ДЕ^.sinЕ

9. По теореме синусов:
   а) Стороны треугольника обратно пропорциональны синусам противолежащих углов

   б) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

   в) Стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов

10.В треугольнике АВС АВ=10см,ВС=5см.Найти отношение синуса угла А к синусу 

    угла С:

   а) ¹/₂                      б) 5                             в) 2

11.По теореме о площади треугольника :

    а) Площадь треуг-ка равна произ-нию двух его сторон на синус угла между  ними.

    б) Площадь треуг-ка равна половине произ-ния двух его сторон  на угол между ними

    в) Площадь треуг-ка равна половине произ-ния двух его сторон на синус угла между ними

Тест.  урок 33

Геометрия 9кл урок 33

по теме Соотношения между сторонами и углами треугольника

1 вариант

1. Для треугольника АВС справедливо равенство:

а) АВ²=ВС²+АС²-2∙ВС∙АС∙cos<ВСА

б) ВС²=АВ²+АС²-2∙АВ∙АС∙cos<АВС

в) АС²=АВ²+ВС²-2∙АВ∙ВС∙cos<АСВ

2. Площадь треугольника MNK равна

а) ½∙MN∙MK∙cos<MNK    б) ½∙MK∙NK∙cos<MNK           в) ½∙MN∙NK∙cos<MNK

3. Если квадрат  стороны треугольника равен  сумме квадратов двух других сторон, то это сторона лежит против:

a) тупого угла,         б) прямого угла                  в) острого угла

4. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ и ВС. Чтобы найти сторону  АС, необходимо знать величину.

а) угла А                    б) угла В                           в) угла С 

5. Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см

а) остроугольный,    б) прямоугольный           в) тупоугольный.

6. В треугольнике АВС , <А=30º, ВС=3. Радиус описанной около ∆АВС окружности равен.

а) 1,5                          б) 2√3                                в) 3.

7. Если в треугольнике АВС, <А=48º, <В=72º, то наибольшей стороной треугольника является сторона:

а) АВ                         б)  АС                                 в) ВС

8. В треугольнике СDЕ:

а) СD∙sinC=DE∙sinE        б) СD∙sinЕ=DE∙sinС            а) СD∙sinD=DE∙sinE

9. По  теореме  синусов:

а) Стороны треугольника обратно пропорциональны синусам противолежащих углов.

б) Стороны треугольника пропорциональны  синусам противолежащих углов.

в) стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов.

10. В треугольнике АВС АВ=10см,  ВС=5см. Найти отношение синуса угла А к синусу  угла С:

а) ½                           б) 5                                   в) 2

Тест.  урок 33

2 вариант

1. Для треугольника АВС справедливо равенство:

 

2. Площадь треугольника СDE равна

а) ½∙CD∙DE∙sin<CDE    б) ½∙CD∙DE           в) CD∙DE∙sin<CDE

3. Если квадрат  стороны треугольника больше  суммы  квадратов двух других сторон, то это сторона лежит против:

a) острого  угла,         б) прямого угла                  в) тупого  угла

4. В треугольнике MNK известны длины сторон MN и величина угла К. Чтобы найти сторону  NK, необходимо знать.

а) величину угла М                    б) длину стороны МК                           в) значение периметра MNK 

5. Треугольник со сторонами 2, 3 и 4 см

а) остроугольный,    б) прямоугольный           в) тупоугольный.

6. В треугольнике MNK , <K=60º, MN=2. Радиус описанной около ∆MNK окружности равен.

а) 4                          б) 2√3/3                                в) 2.

7. Если в треугольнике MNK, <M=76º, <N=64º, то наименьшей стороной треугольника является сторона:

а) MN                         б)  NK                                 в) MK

8. В треугольнике АВС:

а) АВ∙sinC=АС∙sinВ        б) АВ∙sinВ=АС∙sinС            а) АВ∙sinА=АС∙sinВ

9. По  теореме  о площади треугольника:

а) Площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними.

б) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на угол между ними  .

в) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла  между ними .

10. В треугольнике АВС АВ=6см,  ВС=2см. Найти отношение синуса угла А к синусу  угла В:

а) 1/3                           б) 1/4                                   в) 3

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1 вариант	а	в	б	б	а	в	б	а	а	а
2 вариант	б	а	в	а	в	б	а	б	в	а

Геометрический тест 9кл. Урок 35

I вариант

Часть I

Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание.

1. (АС, СВ) = …                    2. (АВ, СА) = …                   3. (АВ,СВ) = …

4. СВ*СА = …                      5. АВ*ВА = …         

Часть II

Установите верный ответ из числа предложенных:

 6. ВС*ВА = …

а) 9;                             б) 9√3;            в) 18.

7. Скалярное произведение векторов АС и ВA:

а) равно нулю;                      б) отрицательно;                   в) положительно

8. Скалярное произведение координатных векторов i и j равно:

а) 1;                             б) – 1;                                     в) 0.

9. Если а*b=12 , | а | = 3, | b | = 4, то векторы а и b:

а) сонаправлены;                  б) перпендикулярны            в) противоположно направлены.

10. Найдите угол между векторами m и n, если m*n = -15, | m | = 5, | n | = 6.

а) 50⁰;                                     б) 50⁰;                                     в) 120⁰.

Геометрический тест 9кл. Урок 35

II вариант

Часть I

Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание.

1. (СА, CB) = …                    2. (AB,CA) = …                    3.(BA, CA) = …                   

4. CD*CA = …                      5. AB² = …               

Часть II

Установите верный ответ из числа предложенных:

6. АС * АВ = …

а) 32;                                         б) 16√2;                                           в) 16.

7. Скалярное произведение векторов АВ и СВ:

а) положительно;                б)отрицательно;                  в)равно нулю.

8. Скалярный квадрат координатного вектора i равен:

                     а) 1;                                      б) 0;                                      в) – 1.

9. Если x * y = -20, | x | = 4, | y | = 5, то векторы x и y: 

а) перпендикулярны;               б) противоположно направлены;             в)сонаправлены.

10. Найдите угол между векторами а и b, если а * b = 12, | а | = 3, | b | = 8

                     а) 30⁰;                                   б) 120⁰;                               в) 60⁰.

Урок 47 9кл. стр.238

Устный тест

1. Установите, истины или ложны следующие высказывания:

а) Длину окружности можно вычислить по формуле С=ПD, где D-радиус окружности.

б) Площадь круга равна произведению квадрата его радиуса на П.

в) Длина полуокружности диаметра 10 равна 5П.

г) Площадь круга можно вычислить по формуле S=ПD²/2, где D-диаметр круга.

д) Площадь круга радиуса 10 равна 10П.

е) Длина дуги окружности с градусной мерой в 60⁰ вычисляется по формуле L=2ПR/3.

ж) Площадь кругового сектора , ограниченного дугой в 90⁰, вычисляется по формуле S=ПR²/4.

з) Если длина дуги окружности радиуса R равна ПR/4, то градусная мера этой дуги равна 90⁰.

2. Закончите утверждение:

а) Если диаметр окружности равен 6см, то ее длина равна………….

б) Если диаметр круга увеличить в 4 раза , то его площадь увеличится в ………….раз.

в) Если радиус окружности уменьшить на 3 , то ее длина уменьшится на …………….

г) Если радиус круга равен 6см, то его площадь его кругового сектора вычисляется по формуле……………….

д) Площадь вписанного в окружность квадрата равна 16см². Площадь круга , ограниченного данной окружностью равна

е) Площадь описанного около окружности правильного четырехугольника равна 25. Длина этой окружности равна…………

ж) Диаметр окружности равен 8см. Периметр правильного шестиугольника, вписанного  в окружность, равен………

з) Сторона правильного четырехугольника , вписанного  в окружности , равна 10. Длина окружности равна………….

Урок 48 9кл. стр. 243

Проверочный тест

1 вариант

1. Четырехугольник является правильным, если:

а) все его углы равны между собой

б) все его стороны равны между собой

в) все его углы равны между собой и все его стороны равны между собой.

2. Длина окружности больше диаметра в ……

а) 2П раз,                    б) П раз,                        в) 2 раза

3. Длина дуги окружности вычисляется по формуле :

а) L=ПRß/180                       б) L=ПRß/360                    в) L=ПR²ß/180

4. Сторона правильного треугольника , вписанного в окружность с радиусом R, равна :

а) R√2                       б)  R√3                        в) R

5. Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около квадрата окружности равно:

а) √2/2                       б) 2                               в) √2

6. Отношение радиуса описанной к радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности равно:

а) 2/√3                        б) √3                             в) √3/2

7. Каждый угол правильного десятиугольника равен :

а) 140⁰                     б)135⁰                       в)144⁰

8. Внешний угол правильного двенадцатиугольника равен :

а) 36⁰            б) 30⁰                     в) 45⁰

9. Из круга , радиус которого равен 20см. вырезан сектор. Дуга сектора равна 90⁰. Чему равна площадь оставшейся части круга.

а) 100П см²                 б) 400П см²                 в) 300П см².

10. Длина дуги окружности с радиусом 12см и градусной мерой 100⁰ равна:

 а) 20П/3 cм        б) 10П/3 см                     в) П/15 см

Урок 48 9кл. стр. 243

Проверочный тест

2 вариант

1. Если в четырехугольнике все стороны равны, то он:

а) всегда является правильным

б) может быть правильным

в) никогда не является правильным

2. Длина окружности больше радиуса в :

а) 2П раз,         б) П раз                 в) 2 раза

3. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

а) L=ПR²ß/180                       б) L=ПRß/180                    в) L=ПR²ß/360

4. Сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность с радиусом R, равна:

а) R                     б) R√2                    в) R√3

5. Отношение радиуса описанной к радиусу вписанной в квадрат окружности равно:

а) 2               б) √2/2                  в) √2

6. Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности равно:

а) √3              б) √3/2                 в) 2/√3

7. Каждый угол правильного восьмиугольника равен:

а) 135⁰                 б) 144⁰                в) 140⁰

8. Внешний угол правильного двадцатиугольника равен:

а) 20⁰                   б) 22,5⁰                     в) 18⁰

9. Из круга, радиус которого равен 30см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 60⁰. Чему равна площадь оставшейся части круга.

а) 150П см²                    б) 750П см²                   в) 900П см²

10. Длина дуги окружности с радиусом 6см и градусной мерой 135⁰ равна:

а) 9П/2 см                  б) 9П см                  в) 9П/4 см

1вариант 1в,  2б,  3а,  4б, 5а,  6а,  7в,  8б,  9в,  10а.   2 вариант 1б, 2а,  3в,  4б,  5в,   6б,  7а,  8в,  9б,  10 а

Тест  по геометрии 9кл урок 49

По теме Подготовка к контрольной работе

1.Один из внутренних углов правильного n-угольника равен 150⁰ . Найдите число сторон многоугольника.

а) 9                  б) 14                         в) 12                         г) 15

2. Периметр правильного треугольника равен  12   3 см. Найдите радиус вписанной окружности

а) 2см              б) 4см                     в) 4/ √3                   г) 2/√ 3

3. Около квадрата описана окружность  и в квадрат  вписана окружность .Найдите отношение  радиуса описанной  окружности к радиусу вписанной окружности .

а) 1/ √2               б)   √2                     в)  2                         г) 1/2

4. Сторона правильного шестиугольника равна 2м . На сколько площадь описанного круга больше площади вписанного круга.

а) 3√3                     б) 3√ 3/ 4             в) 6√3                 г) 3√3 / 2

5. Рис. Площадь полуокружности с центром  в точке О равна 8П .

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

а) 16П                     б) 8П                          в) 4П                 г) 32П

6. В окружности вписаны квадрат и правильный треугольник. Периметр треугольника равен 30см, периметр  квадрата равен .

а) 40√ 6/3                б) 10 √6 /3                 в) 40 /3             г) 20 √6 /3

Геометрический тест 9кл урок 62 стр 284

Начальные геометрические сведения

1. Если  а _┴  с ,  в _┴  с , то

а) а ‖ в                     б) а _┴ в                      в) а ∩ в

2. Если а ‖ с,  в ‖ с , то

а) а _┴ с           б) а ∩ в         в) а ‖ в

3. Рис 1. Если а ‖ в , с – секущая, то

а) <2+<3=180⁰    б) <5=<2                   в) <1+<3=180⁰

4. Рис . 2 Для того , чтобы прямые а  и в  были параллельными , нужно , чтобы,

а) <1+<4=180⁰            б) <1=<2                   в) <3=<2

5. Для того , чтобы прямые PR  и  QD  были параллельными, нужно , чтобы

а) <2=<6           б) <8=<4                  в) <3=<7

6. Один из углов при пересечении двух параллельных прямых секущей 73⁰. Остальные углы равны:

а) 73⁰                     б) 73⁰   и   107⁰                     в) 73⁰  и   163⁰.

7. Если точка  С лежит на отрезке АВ , то

а) АВ<АС+СВ                     б) АВ=АС+СВ              в) АВ>АС+СВ

8. Если луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, то

а) <АОВ=<АОС+<ВОС        б) <АОС=<АОВ+<ВОС     в) <ВОС=<АОС- <АОВ

9. Рис. 3 Прямые а, в  и  с пересекаются в точке О . <1 равен :

а) 75⁰                   б) 150⁰                             в) 105⁰

10. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Разность двух из них равна 52⁰. Эти углы:

а) смежные                    б) вертикальные                   в) накрест лежащие. 

Тест на тему: Четырехугольники. Многоугольники. (урок 66 9кл)

1 Вариант.

1. Любой прямоугольник является

А) ромб      б) квадрат,    в) параллелограмм

2. если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник:

А) ромб , Б) параллелограмм, в) прямоугольник

3. Ромб это- четырехугольник  в котором

А) диагонали взаимно перпендикулярны, а противолежащие стороны  параллельны и равны

Б) Диагонали взаимно перпендикулярны и равны,

В) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны

4.Если четырехугольник вписан в окружность то :

А) суммы его противоположных сторон равны

Б) сумма противоположных углов равна 180 градусов

В) суммы противоположных сторон и углов равны

5. В равнобедренной трапеции:

А) диагонали точкой пересечения делятся пополам

Б) диагонали являются биссектрисами ее углов

В) диагонали равны

6. Если АВСД ромб то его площадь можно вычислить по формуле

А) S=½АВ∙АД  б) S=½АС∙ВД  В) S=АС∙ВД

8. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна

А) 360    б) 180∙(n-2)   в) 180º∙n

9. Площадь правильного многоугольника вычисляется по формуле 

А) S=Pr    б) S=PR    в)  S=R²∙sin360º/n

Тест на тему: Четырехугольники. Многоугольники. (урок 66 9кл)
2 Вариант

1. любой ромб является

А) параллелограммом   б) квадратом  в) прямоугольником

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм

А) квадрат  б) прямоугольник   в) ромб

3. Прямоугольник- это четырехугольник в котором:

А) диагонали точкой пересечения  делятся пополам и являются биссектрисами его углов

Б) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны

В) два угла прямые и две его стороны равны

4. Если четырехугольник описан около окружности ,то

А) суммы его противоположных сторон равны

Б) сумма противоположных сторон равна 180 градусов

В) суммы противоположных сторон и углов равны

5. Средней линией трапеции является отрезок

А) параллельный основаниям и равный полусумме двух его сторон

Б) соединяющей две точки на боковых сторонах

В) соединяющей вершины боковых сторон

6. Если АВСД – квадрат, то его площадь можно вычислить по формуле

А) S=½АС∙ВД   Б) S=½АВ∙АД   В) S=½АВ∙ВС∙sin<B

8. Внешний угол правильного n-угольника равен

А) 180º (n-2)/n    Б) 360º/n-2  В)  360º/n

9. Формула, выражающая зависимость между радиусом вписанной и описанной около правильного n-угольника окружности  выглядит так:А) r=Rcos180º/n    Б) r=R/cos180º/n    В) r=Rcos360º/n