Для работы в шмо

 

Выпускник научится в 10-11 классах (для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне)

В личностных результатах сформированность:

– целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки математики и общественной практики ее применения;

– основ саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества; готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности с применением методов математики;

– готовности и способности к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательного отношения к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности на основе развитой мотивации учебной деятельности и личностного смысла изучения математики, заинтересованности в приобретении и расширении математических знаний и способов действий, осознанности в построении индивидуальной образовательной траектории;

– осознанного выбора будущей профессии, ориентированной в применении математических методов и возможностей реализации собственных жизненных планов; отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;

– логического мышления: критичности (умение распознавать логически некорректные высказывания), креативности (собственная аргументация, опровержения, постановка задач, формулировка проблем, работа над исследовательским проектом и др.).

В метапредметных результатах сформированность:

– способности самостоятельно ставить цели учебной и исследовательской, проектной деятельности, планировать, осуществлять, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее выполнения;

– умения самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

– умения находить необходимую информацию, критически оценивать и интерпретировать информацию в различных источниках (в справочниках, литературе, Интернете), представлять информацию в различной форме (словесной, табличной, графической, символической), обрабатывать, хранить и передавать информацию в соответствии с познавательными или коммуникативными задачами;

– навыков осуществления познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

– умения продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

– владения языковыми средствами – умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

– владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения.

В предметных результатах сформированность[1]:

–  представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

–  представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

– умений применения методов доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

– стандартных приёмов решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

–  представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа;

–  представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

–  навыков использования готовых компьютерных программ при решении задач;

–  представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений;

– понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;

–  умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;

–  представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

–  умений составления вероятностных моделей по условию задачи и вычисления вероятности наступления событий, в том числе с применением формул комбинаторики и основных теорем теории вероятностей; исследования случайных величин по их распределению.

Выпускник получит возможность научиться в 10-11 классах для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углублённом уровнях

«Алгебра. 7—9 классы»

к линии учебников Г. К. Муравина,

К. С. Муравина, О. В. Муравиной

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Множества и отношения между ними. Множество,

характеристическое свойство множества, элемент множества, пустое, конечное, бесконечное множество. Подмножество. Отношение принадлежности, включения, равенства.

Элементы множества, способы задания множеств, распознавание

подмножеств и элементов подмножеств с использованием

кругов Эйлера.

Операции над множествами. Пересечение и объедине-

ние множеств. Разность множеств, дополнение множества.

Интерпретация операций над множествами с помощью

кругов Эйлера.

Элементы логики. Определение. Утверждения. Теоремы.

Доказательство. Доказательство от противного. Теорема,

обратная данной. Пример и контрпример.

Высказывания. Истинность и ложность высказывания.

Сложные и простые высказывания. Операции над высказываниями

с использованием логических связок: и, или, не. Условные высказывания (импликации).

АЛГЕБРА В 7—9 КЛАССАХ

(БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ)

Числа

Рациональные числа. Множество рациональных чи-

сел. Сравнение рациональных чисел. Действия с рациональ-

ными числами. Представление рационального числа десятичной

дробью.

Иррациональные числа. Понятие иррационального числа. Распознавание иррациональных чисел. Примеры доказательств в алгебре. Иррациональность числа 2 . Применение

в геометрии. Сравнение иррациональных чисел. Множество

действительных чисел.

Тождественные преобразования

Числовые и буквенные выражения. Выражение с пере-

менной. Значение выражения. Подстановка чисел и выражений

вместо переменных.

Целые выражения. Степень с натуральным показателем

и ее свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с натуральным показателем.

Одночлен, многочлен. Действия с одночленами и многочленами

(сложение, вычитание, умножение). Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы

и разности. Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение

формул сокращенного умножения. Квадратный трехчлен,

разложение квадратного трехчлена на множители.

Дробно-рациональные выражения. Степень с целым

показателем. Преобразование дробно-линейных выражений:

сложение, умножение, деление. Алгебраическая дробь. Допустимые

значения переменных в дробно-рациональных выражениях.

Сокращение алгебраических дробей. Приведение

алгебраических дробей к общему знаменателю. Действия

с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение,

деление, возведение в степень. Преобразование выражений,

содержащих знак модуля.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Преобразование выражений, содержащих квадратные

корни: умножение, деление, вынесение множителя из-под

знака корня, внесение множителя под знак корня.

Уравнения и неравенства

Равенства. Числовое равенство. Свойства числовых ра-

венств. Равенство с переменной.

Уравнения. Понятие уравнения и корня уравнения.

Представление о равносильности уравнений. Область определения

уравнения (область допустимых значений переменной).

Линейное уравнение и его корни. Решение линейных

уравнений. Линейное уравнение с параметром. Количество

корней линейного уравнения. Решение линейных уравнений с параметром.

Квадратное уравнение и его корни. Квадратные урав-

нения. Неполные квадратные уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения.

Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Решение квадратных уравнений: использование формулы для нахождения корней, графический метод решения, разложение

на множители, подбор корней с использованием теоремы

Виета. Количество корней квадратного трехчлена в зависимости

от его дискриминанта. Биквадратные уравнения.

Уравнения, сводимые к линейным и квадратным. Квадратные уравнения с параметром.

Дробно-рациональные уравнения. Решение простейших дробно-линейных уравнений. Решение дробно-рациональных уравнений. Методы решения уравнений: методы

равносильных преобразований, метод замены переменной,

графический метод. Использование свойств функций при решении уравнений. Простейшие иррациональные уравнения

вида f (x) = a, f (x) = g(x) . Уравнения вида xn = a. Уравнения в целых числах.

Системы уравнений. Уравнение с двумя переменными.

Линейное уравнение с двумя переменными. Прямая как графическая

интерпретация линейного уравнения с двумя переменными.

Понятие системы уравнений. Решение системы

уравнений. Методы решения систем линейных уравнений

с двумя переменными: графический метод, метод сложения,

метод подстановки. Системы линейных уравнений с параметром

Неравенства. Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Проверка справедливости неравенств при за-

данных значениях переменных. Неравенство с переменной.

Строгие и нестрогие неравенства. Область определения неравенства

(область допустимых значений переменной). Решение линейных неравенств. Квадратное неравенство и его решения. Решение квадратных неравенств: использование

свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов.

Запись решения квадратного неравенства. Решение

целых и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

Системы неравенств. Системы неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с одной переменной: линейных, квадратных. Изображение решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств.

Функции

Понятие функции. Декартовы координаты на плоскости.

Формирование представлений о метапредметном понятии

«координаты». Способы задания функций: аналитический,

графический, табличный. График функции. Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных реальных процессов и решения задач. Значение функции в точке.

Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, четность/нечетность,

промежутки возрастания и убывания, наибольшее и

наименьшее значения. Исследование функции по ее графику.

Представление об асимптотах. Непрерывность функции.

Кусочно заданные функции.

Линейная функция. Свойства и график функции y = kx.

Свойства и график линейной функции. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика линейной функции в за-

висимости от ее углового коэффициента и свободного члена.

Нахождение коэффициентов линейной функции по заданным

условиям: прохождение прямой через две точки с заданными

координатами, прохождение прямой через данную

точку параллельно данной прямой.

Квадратичная функция. Свойства и график квадратичной функции (парабола). Построение графика квадратичной

функции по точкам. Нахождение нулей квадратичной

функции, множества значений, промежутков знакопостоянства,

промежутков монотонности.

Обратная пропорциональность. Свойства функции

y = kx . Гипербола.

Графики функций. Преобразование графика функции

y = f(x) для построения графиков функций вида

y = af(kx + b) + с.

Графики функций y = a + kx , y = x , y = |x|.-

Последовательности и прогрессии. Числовая последо-

вательность. Примеры числовых последовательностей. Бес-

конечные последовательности. Арифметическая прогрессия и

ее свойства. Геометрическая прогрессия. Формула общего

члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической

прогрессий. Сходящаяся геометрическая прогрессия.

Решение текстовых задач. Задачи на все арифметические действия. Решение текстовых задач арифметическим

способом. Использование таблиц, схем, чертежей, других

средств представления данных при решении задачи. Задачи

на движение, работу и покупки. Анализ возможных ситуаций

взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объемов выполняемых работ при совместной работе.

Задачи на части, доли, проценты. Решение задач на нахождение части числа и числа по его части. Решение задач на про-

центы и доли. Применение пропорций при решении задач.

Логические задачи. Решение логических задач. Решение

логических задач с помощью таблиц.

Основные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов. Первичные представления о других методах решения задач (геометрические

и графические методы).

Статистика и теория вероятностей

Статистика. Табличное и графическое представление

данных, столбчатые и круговые диаграммы, графики, применение диаграмм и графиков для описания зависимостей реальных величин, извлечение информации из таблиц, диаграмм и графиков. Описательные статистические показатели

числовых наборов: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения. Меры рассеивания: размах,

дисперсия. Случайная изменчивость. Изменчивость при измерениях. Закономерности в изменчивых величинах.

Случайные события. Случайные опыты (эксперименты),элементарные случайные события (исходы). Вероятности элементарных событий. События в случайных экспериментах и

благоприятствующие элементарные события. Вероятности случайных событий. Опыты с равновозможными элементарными

событиями. Классические вероятностные опыты с использованием монет, кубиков. Представление событий с помощью

диаграмм Эйлера. Противоположные события, объединение

и пересечение событий. Правило сложения вероятностей.

Случайный выбор. Представление эксперимента в виде дерева. Независимые события. Умножение вероятностей независимых

событий. Последовательные независимые испытания. Представление о независимых событиях в жизни.

Математическое ожидание. Свойства математического ожидания. Понятие о законе больших чисел.

Элементы комбинаторики. Правило умножения, перестановки, факториал числа. Сочетания и число сочетаний.

Формула числа сочетаний. Треугольник Паскаля. Опыты

с большим числом равновозможных элементарных событий.

Вычисление вероятностей в опытах с применением комбинаторных формул. Испытания Бернулли. Успех и неудача.

Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.

История математики. Возникновение математики как

науки, этапы ее развития. Основные разделы математики.

Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки.

Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины

отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных

числах. Школа Пифагора. Зарождение алгебры в

недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики.

П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. Появление метода

координат, позволяющего переводить геометрические объекты

на язык алгебры. Появление графиков функций. Р. Декарт,

П. Ферма. Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи)- о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске.

Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные

игры. П. Ферма, Б. Паскаль, Я. Бернулли, А. Н. Колмогоров.

АЛГЕБРА В 7—9 КЛАССАХ

(УГЛУБЛЕННЫЙ УРОВЕНЬ)

Числа

Рациональные числа. Сравнение рациональных чи-

сел. Действия с рациональными числами. Конечные и бесконечные десятичные дроби. Представление рационального числа в виде десятичной дроби.

83

Иррациональные числа. Понятие иррационального числа. Распознавание иррациональных чисел. Действия с иррациональными числами. Свойства действий с иррациональны-

ми числами. Сравнение иррациональных чисел. Множество

действительных чисел. Представления о расширениях число-

вых множеств.

Тождественные преобразования

Числовые и буквенные выражения. Выражение с переменной. Значение выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Законы арифметических действий. Преобразования

числовых выражений, содержащих степени с натуральным и целым показателем.

Многочлены. Одночлен, степень одночлена. Действия

с одночленами. Многочлен, степень многочлена. Значения

многочлена. Действия с многочленами: сложение, вычитание,

умножение, деление. Преобразование целого выражения в

многочлен. Формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности, сумма и разность

кубов, куб суммы и куб разности. Разложение многочленов на

множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения. Корень многочлена с одной переменной. Стандартный вид многочлена с одной переменной. Квадратный трехчлен. Корни

квадратного трехчлена. Разложение на множители квадратного трехчлена. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Выделение полного квадрата. Разложение на множители

способом выделения полного квадрата. Теорема Безу, разложение на множители с помощью следствия из теоремы Безу.

Схема Горнера. Представление о тождестве на множестве.

Дробно-рациональные выражения. Алгебраическая

дробь. Преобразования выражений, содержащих степени с

целым показателем. Допустимые значения переменных в

дробно-рациональных выражениях. Сокращение алгебраических дробей. Приведение алгебраических дробей к общему

знаменателю. Действия с алгебраическими дробями: сложение, умножение, деление. Преобразование выражений, содержащих знак модуля.

Иррациональные выражения. Арифметический квадратный корень. Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

84

Корни n-х степеней. Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих корни n-х степеней. Преобразование

выражений, содержащих корни n-х степеней. Степень с рациональным показателем. Преобразование выражений, содержащих степень с рациональным показателем.

Уравнения

Равенства. Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равенство с переменной.

Уравнения. Понятие уравнения и корня уравнения.

Представление о равносильности уравнений и уравнениях следствиях. Представление о равносильности на множестве.

Равносильные преобразования уравнений.

Методы решения уравнений. Методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод.

Использование свойств функций при решении уравнений, использование теоремы Виета для уравнений степени выше 2.

Линейное уравнение и его корни. Решение линейных

уравнений. Количество корней линейного уравнения. Линейное уравнение с параметром.

Квадратное уравнение и его корни. Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения.

Количество действительных корней квадратного уравнения.

Решение квадратных уравнений: графический метод решения, использование формулы для нахождения корней, разложение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводимые

к линейным и квадратным. Квадратное уравнение с параметром. Решение простейших квадратных уравнений с параметрами. Решение некоторых типов уравнений 3 и 4 степени.

Дробно-рациональные уравнения. Решение дробно-рациональных уравнений. Простейшие иррациональные

уравнения вида: f (x) = a, f (x) = g(x) , f (x) == a f (x) g(x) и их решение. Решение иррациональных

уравнений вида f (x) = g(х).

Системы уравнений. Уравнение с двумя переменными.

Решение уравнений в целых числах. Линейное уравнение с

двумя переменными. Графическая интерпретация линейного

уравнения с двумя переменными. Представление о графической интерпретации произвольного уравнения с двумя переменными: линии на плоскости. Парабола, гипербола и эллипс

как геометрические места точек. Расстояние между двумя точками координатной плоскости, уравнение окружности. Понятие системы уравнений. Решение систем уравнений. Представление о равносильности систем уравнений. Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными:

графический метод, метод сложения, метод подстановки. Количество решений системы линейных уравнений. Система линейных уравнений с параметром. Системы нелинейных

уравнений. Методы решения систем нелинейных уравнений:

методы подстановки, деления, замены переменных.

Неравенства. Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Проверка справедливости неравенств при заданных значениях переменных. Неравенство с переменной.

Строгие и нестрогие неравенства. Доказательство неравенств.

Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел. Понятие о решении неравенства.

Множество решений неравенства. Представление о равносильности неравенств. Линейное неравенство и множества

его решений. Решение линейных неравенств. Линейное неравенство с параметром. Квадратное неравенство и его решения. Решение квадратных неравенств: использование свойств

и графика квадратичной функции, метод интервалов. Запись

решения квадратного неравенства. Квадратное неравенство

с параметром и его решение. Простейшие иррациональные

неравенства вида: f (x) > a, f (x) < a, f (x) > g(x) .

Обобщенный метод интервалов для решения неравенств.

Системы неравенств. Системы неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с одной переменной:

линейных, квадратных, дробно-рациональных, рациональных. Изображение решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств. Неравенство

с двумя переменными. Представление о решении линейного

неравенства с двумя переменными. Графическая интерпретация неравенства с двумя переменными. Графический метод

решения систем неравенств с двумя переменными.

Функции

Понятие зависимости. Прямоугольная система координат. Формирование представлений о метапредметном понятии «координаты». График зависимости.

Функция. Способы задания функций: аналитический, графический,

табличный. График функции. Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных процессов и решения задач. Значение функции в точке. Свойства

функций: область определения, множество значений, нули,

промежутки знакопостоянства, четность/нечетность, возрастание и убывание, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значение. Исследование функции по ее графику.

Линейная функция. Свойства, график. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика линейной функции в зависимости от ее коэффициентов.

Квадратичная функция. Свойства. Парабола. Построение графика квадратичной функции. Положение графика

квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов.

Использование свойств квадратичной функции для решения задач.

Обратная пропорциональность. Свойства функцииу = kx . Гипербола. Представление об асимптотах. Степенная функция с показателем 3 и ее свойства. Кубическая парабола.

Функции y = x , y = 3 x , y = |x|. Их свойства и графики. Степенная функция с показателем степени больше 3. Преобразование графиков функций: параллельный перенос, симметрия, растяжение/сжатие, отражение. Представление о взаимно обратных функциях. Непрерывность функции и точки разрыва функций. Кусочно заданные функции.

Последовательности и прогрессии. Числовая последовательность. Способы задания последовательностей. Примеры. Бесконечные последовательности. Арифметическая прогрессия и ее свойства. Геометрическая прогрессия. Суммирование первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Сходящаяся геометрическая прогрессия. Сумма

сходящейся геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Расходимость гармонического ряда. Метод математической индукции, его применение для вывода формул, доказательства равенств и неравенств, решения задач на делимость.

Решение текстовых задач

Задачи на все арифметические действия. Решение текстовых задач арифметическим способом. Использование таблиц, схем, чертежей, других средств представления данных

при решении задачи.

Решение задач на движение, работу, покупки. Анализ возможных ситуаций взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объемов выполняемых работ при

совместной работе.

Решение задач на нахождение части числа

и числа по его части

Решение задач на проценты, пропорциональное деление

Логические задачи. Решение логических задач. Решение логических задач с помощью таблиц.

Основные методы решения задач. Арифметический, алгебраический, перебор вариантов. Первичные представления о других методах решения задач (геометрические и графические методы).

Статистика и теория вероятностей

Статистика. Табличное и графическое представление

данных, столбчатые и круговые диаграммы, извлечение нужной информации. Диаграммы рассеивания. Описательные статистические показатели рядов данных: среднее арифмети-

ческое, медиана, мода, наибольшее и наименьшее значения,

отклонение, размах, дисперсия. Случайная изменчивость.

Изменчивость при измерениях. Закономерности в изменчивых величинах.

Случайные опыты и случайные события. Случайные

опыты (эксперименты), элементарные случайные события

(исходы). Вероятности элементарных событий. События в

случайных экспериментах и благоприятствующие элементарные события. Вероятности случайных событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями. Классические

вероятностные опыты с использованием монет, кубиков.

Представление событий с помощью диаграмм Эйлера. Противоположные события, объединение и пересечение событий. Правило сложения вероятностей. Случайный выбор. Независимые события. Последовательные независимые испытания. Представление эксперимента в виде дерева, умножении вероятностей. Испытания до первого успеха. Условная вероятность. Формула полной вероятности.

Элементы комбинаторики и испытания Бернулли.

Правило умножения, перестановки, факториал. Сочетания и

число сочетаний. Треугольник Паскаля и бином Ньютона.

Опыты с большим числом равновозможных элементарных

событий. Вычисление вероятностей в опытах с применением

элементов комбинаторики. Испытания Бернулли. Успех и неудача. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.

Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки

из фигуры на плоскости, отрезка и дуги окружности. Случайный выбор числа из числового отрезка.

История математики. Возникновение математики как

науки, этапы ее развития. Основные разделы математики. Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки. Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины

отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора. Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики.

П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. Появление метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Появление графиков функцийР. Декарт. Примеры различных координат. Задача

Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи.

Задача о шахматной доске. Истоки теории вероятностей:

страховое дело, азартные игры. П. Ферма, Б. Паскаль,

Я. Бернулли, А. Н. Колмогоров.

·        Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс: в 2 ч. Ч. 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений ФГОС/ А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2015.

·        Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс: в 2 ч. Ч. 2: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений ФГОС/А. Г. Мордкович [и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2015.

Повторение курса алгебры за 7 класс

Алгебраические дроби

Понятие алгебраической дроби. Рациональное выражение. Допустимые значения дробного выражения. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение алгебраических дробей. Приведение дроби к заданному знаменателю. Способ группировки и вынесение общего множителя за скобки при приведении дробей к общему знаменателю. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Сложение и вычитание целого выражения и дроби. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Рациональное выражение (целое, дробное). Доказательство тождеств. Преобразование рациональных выражений Рациональное уравнение. Решение рациональных уравнений (первые представления). Область допустимых значение рациональных уравнений.

Квадратичная функция y = kx².  Гипербола  . 

 Функция y = kx², ее график, свойства. Построение графика функции y = kx².  Функция , ее свойства и график. Гипербола. Асимптота. Решение уравнений и систем уравнений графическим способом. Способ       построения   графика    функции y = f (x+l) по известному   графику функции y = f (x). Способ    построения    графика    функции y = f (x) + m по известному графику функции y = f (x).  Способ     построения   графика   функции y= f (x+l) + m, y = -f (x) по известному графику функции y = f (x). Квадратный трехчлен. Квадратичная функция, ее свойства и график. Алгоритм построения графика квадратичной функции. Понятие ограниченной функции. Построение и чтение графиков кусочных функций. Графическое решение квадратных уравнений.

Функция y=√x. Свойства квадратного корня

Рациональные числа. Рациональные числа и их свойства. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Понятие кубического корня. Правила вычисления. Корень n-й степени из неотрицательного числа. Иррациональные числа. Действия с иррациональными числами. Множество действительных чисел. Изображение действительных чисел на числовой прямой. Функция y=√x, ее свойства и график. Выпуклость функции. Область значений функции. Свойства взаимного обратных функций. Свойства квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Модуль действительного числа. Основные свойства модуля числа. График функции y =√x.

Квадратные уравнения (21 ч.)

Квадратное уравнение. Приведенное (неприведённое) квадратное уравнение. Полное (неполное) квадратное уравнение. Корень квадратного уравнения. Решение квадратного уравнения методом разложения на множители, методом выделения полного квадрата. Дискриминант. Формулы корней квадратного уравнения. Параметр. Уравнение с параметром (начальные представления). Алгоритм решения рационального уравнения. Биквадратное уравнение. Метод введения новой переменной. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Решение текстовых задач с помощью рациональных уравнений. Частные случаи формулы корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Иррациональное уравнение. Метод возведения в квадрат.

Действительные числа

Рациональные, иррациональные, действительные числа. Множество действительных чисел. Делимость чисел. Признаки делимости. Среднее арифметическое, среднее геометрическое чисел. Приближенные значения действительных чисел, погрешность приближения, приближение по недостатку и избытку. Округление чисел. Степень с натуральным и степень с отрицательным показателем. Стандартный вид положительного числа.

Неравенства

Свойства числовых неравенств. Сравнение чисел и выражений с помощью свойств числовых неравенств. Возрастающая функция. Убывающая функция. Исследование функций на монотонность. Неравенство с одной переменной. Решение неравенств с одной переменной. Линейное неравенство. Равносильные неравенства. Равносильное преобразование линейного неравенства. Графический способ решения линейных неравенств. Квадратное неравенство. Алгоритм решения квадратного неравенства.

Обобщающее повторение курса алгебры за 8 класс

    «Алгебра. 8 класс углубленное изучение» : учеб.для общеобразоват. учреждений /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов.

Арифметика

            Натуральные числа. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики. Разложение натурального числа на простые множители.

            Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида.

            Целые числа. Деление с остатком.

            Рациональные числа. Степень с целым показателем.

            Задача измерения величин. Единица измерения. Измерение отрезков: единичный отрезок, процесс измерения. Общая мера двух отрезков. Соизмеримость и несоизмеримость отрезков. Связь между соизмеримостью отрезков и отношением их длин. Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной.

            Представление рационального числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Представление бесконечной периодической десятичной дроби в виде обыкновенной.

            Действительные числа. Бесконечная десятичная дробь как результат измерения отрезка. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Периодические десятичные дроби. Примеры бесконечных непериодических десятичных дробей. Свойства множества действительных чисел.

            Решение уравнения х² = 2 во множестве рациональных чисел и во множестве действительных чисел.

            Квадратный корень из числа. Условие существования квадратного корня и число квадратных корней из действительного числа. Арифметический квадратный корень.

            Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа . Десятичные приближения иррациональных чисел. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора.

            Стандартный вид числа.

            Измерения, Приближения, оценки.

Алгебра

            Алгебраические выражения. Свойства степеней с целым показателем. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

            Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями. Представление дроби в виде суммы дробей с использованием метода неопределенных коэффициентов.

            Рациональные выражения и их преобразование. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.

            Уравнения и неравенства. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложение на множители.

            Уравнения с двумя переменными. Примеры решения нелинейных систем. Примеры решения нелинейных уравнений в целых числах.

            Неравенство с одной переменной. Решение неравенств. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства. Дробно – рациональные неравенства. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

            Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической и обратно. Решение текстовых задач алгебраическим способом.

            Числовые функции. Область определения и область значений функции. Чтение графиков функций. Преобразование графиков функций: растяжение, сжатие, параллельный перенос вдоль осей координат.

            График функции у = . Дробно – линейная функция и ее график. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.

            Координаты. Числовые промежутки: Интервал, отрезок, луч. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем.

Элементы логики, комбинаторики, статики и теории вероятностей.

            Множества и комбинаторика. Объединение и пересечение множеств. Взаимно однозначное соответствие. Замкнутость множества относительно операции сложения (умножения, деления, вычитания). Число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств. Понятие о мощности множеств. Принцип Дирихле.

            Статистические данные. Интервальный ряд данных. Относительная частота варианты.

«Алгебра. 9 класс углубленное изучение» : учеб.для общеобразоват. учреждений /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов.

                                                                      Функции и их графики

    Квадратичные  функции. Способы задания функции. Область определения и область значений функции.
Графики функции. Преобразования графиков функций: параллельный перенос, растяжение и сжатие вдоль осей координат, симметрия относительно осей координат и относительно прямой   у=х.
Свойства функции: четность и нечетность, возрастание и убывание, нули функции и промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения функции. Отражение свойств функции на графике. Элементарное исследование функции. Функция как соответствие между множествами.  Построение графиков кусочно-заданных функций. Построение графиков функций, связанных с модулем.  Представление  данных  в  виде  таблиц,  диаграмм  и  графиков

                                      Уравнения и неравенства с одной  переменной 

Квадратные уравнения. Корень уравнения. Равносильность уравнений. Уравнение-следствие. Исключение «посторонних» корней.  Линейное уравнение с параметром. Корень многочлена. Нахождение целых и дробных корней многочлена с целыми коэффициентами. Число корней многочлена. Решение рациональных уравнений. [Решение рациональных уравнений с параметром.] Примеры решения иррациональных уравнений.
Уравнение с двумя переменными. Решение линейного уравнения в целых числах.  График уравнения с двумя переменными. Уравнение окружности. Получение приближенного корня способом графического решения систем уравнений.   Решение текстовых задач с помощью уравнений.   Неравенство с переменными. Числовые промежутки.  Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Метод интервалов. Доказательство неравенств.
Решение уравнений  высших  степеней. Составление  математической  модели по условию  задачи. Расположение корней квадратного  трехчлена в зависимости  от  параметра.

Системы уравнений и системы неравенств  с  двумя  переменными

   Система уравнений. Решение систем уравнений. Равносильность. Уравнение-следствие. Приемы решения систем: подстановка, алгебраическое сложение. [Решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными методом Гаусса.] Получение приближенного корня способом графического решения систем уравнений.  Решение текстовых задач с помощью  систем.  Неравенство с переменными. Геометрическая интерпретация линейных неравенств  с  двумя переменными и их систем.

Системы  однородных  уравнений  и приводящиеся  к ним  системы. Метод  почленнного  умножения и деления уравнений  системы. Симметрические  системы. Системы  уравнений  с тремя  переменными. Задачи на смеси. Задачи  на  движение.  Замена  неизвестного  при решении рациональных  неравенств.

                                                                       Последовательности

    Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Формула n-го члена. Рекуррентная формула. Числа Фибоначчи. Возрастающие и убывающие (монотонные) последовательности. [Метод математической индукции.] Арифметическая и геометрическая прогрессии, формулы п-го члена и суммы первых п членов прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. [Понятие о пределе последовательности.]

Арифметическая прогрессия и простые  проценты. Геометрическая  прогрессия  и сложные  проценты.

Степени и корни

     Иррациональность числа. Корень п-й степени. Степень с дробным показателем.   Свойства степеней с рациональными показателями.  Преобразование выражений с радикалами и степенями с дробными показателями.
Решение рациональных уравнений с параметром. Примеры решения иррациональных уравнений. Геометрическая интерпретация линейных неравенств  с  двумя переменными и их систем. Квадратные неравенства. Рациональные  неравенства. Метод интервалов. Доказательство неравенств.

Замена  неизвестного  при решении иррациональных  уравнений   и неравенств.

                                                   Тригонометрические функции и их свойства.
Тригонометрические тождества: siп²а+соs²а= 1, Формулы приведения.
Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Формулы половинного угла. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. [Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.]
                                                             Элементы  комбинаторики  и  теории вероятностей 

Комбинированный принцип умножения. Число элементов прямого произведения двух множеств. Число подмножеств конечного множества. Число элементных подмножеств конечного множества из и элементов (число сочетаний). Число перестановок Понятие вероятности события. Подсчет вероятностей простейших событий.
    

Итоговое повторение  .

·        Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс: в 2 ч. Ч. 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений ФГОС/ А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2015.

·        Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс: в 2 ч. Ч. 2: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений ФГОС/А. Г. Мордкович [и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2015.

ПОВТОРЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ 8  КЛАССА 

 НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ 

       Линейное и квадратное неравенство с одной переменной, частное и общее решение, равносильность, равносильные преобразования. Рациональные неравенства с одной переменной, метод интервалов, кривая знаков, нестрогие и строгие неравенства. Элемент множества, подмножество данного множества, пустое множество. Пересечение и объединение множеств. Системы линейных неравенств, частное и общее решение системы неравенств.

системы уравнений

      Рациональное уравнение с двумя переменными, решение уравнения с двумя переменными р(х;у) = 0, равносильные уравнения с двумя переменными, равносильные преобразования. Формула расстояния между двумя точками координатной плоскости. График уравнения

(х - а)² + {у - b)² = r². Система уравнений с двумя переменными, решение системы уравнений с двумя переменными. Метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных, графический метод. Равносильность систем уравнений. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Числовые функции

           Функция, область определение и множество значений функции. Аналитический, графический, табличный, словесный способы задания функции. График функции. Монотонность (возрастание и убывание) функции, ограниченность функции снизу и сверху, наименьшее и наибольшее значения функции,  непрерывная функция, выпуклая вверх или вниз. Исследование элементарных  функций: у = С, у = kx + т,

у = kx²,  у=, =, у =, у = ах² + bх + с. Четная и нечетная функции.  Алгоритм исследования функции на четность. Графики четной и нечетной функций. Степенные функции с натуральным показателем, их свойства и графики. Свойства и графики степенных функций с четным и нечетным показателями, с отрицательным целым показателем.

.  Прогрессии

         Числовая последовательность. Способы задания числовой последовательности(аналитический, словесный, рекуррентный).. Свойства числовых последовательностей, монотонная последовательность, возрастающая последовательность, убывающая последовательность. Арифметическая прогрессия, её  разность, возрастающая прогрессия, конечная прогрессия, формула n-го члена арифметической прогрессии, формула суммы членов конечной арифметической прогрессии,  характеристическое свойство арифметической прогрессии. Геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии, возрастающая прогрессия, конечная прогрессия,  формула n-го члена геометрической прогрессии, формула суммы членов конечной геометрической прогрессии, характеристическое свойство геометрической прогрессии. Прогрессии и банковские расчеты.

элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

       Методы решения простейших комбинаторных задач (перебор вариантов, построение дерева вариантов, правило умножения). Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Общий ряд данных и ряд данных конкретного измерения, варианта ряда данных, её кратность, частота и процентная частота, сгруппированный ряд данных, многоугольники распределения. Объем, среднее арифметическое, размах, мода, медиана, среднее значение. Вероятность. Событие (случайное, достоверное, невозможное). Несовместные события. Противоположные события. Вероятность суммы двух событий. Вероятность противоположного события. Классическая вероятностная схема. Классическое определение вероятности. Статистическая устойчивость. Статистическая вероятность.

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ И ПОДГОТОВКА К

Требования к уровню подготовки выпускников.

Знать/понимать

·         значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

·         значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;

·         идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач  и внутренних задач математики;

·         универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;

Числовые и буквенные выражения

Уметь:

·      выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем.

·      применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач;

·      находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для

·      практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы и тригонометрические функции, при необходимости используя справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Функции и графики

Уметь

·      определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

·      строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков;

·      решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для

·      описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов.

Уравнения и неравенства

Уметь

·      решать рациональные, показательные уравнения и неравенства, иррациональные уравнения;

·      доказывать несложные неравенства;

·      решать текстовые задачи с помощью  составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

·      изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

·      находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

Стандарт ориентирован на воспитание школьника — гражданина и патриота России, развитие духовно-нравственного мира школьника, его национального самосознания. Эти положения нашли отражение в содержании уроков. В процессе обучения должно быть сформировано умение формулировать свои мировоззренческие взгляды и на этой основе - воспитание гражданственности и патриотизма.

Тема 1 «Квадратичная функция» (22 часа)

 Раздел математики. Сквозная линия

        Функция.

• Уравнения и неравенства.

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

• Квадратичная функция, ее график, парабола.

·         Координаты вершины параболы, ось симметрии.

·         Свойства квадратичной функции.

·         Квадратные неравенства.

·         Использование графиков функций для решения неравенств.

Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки обучающегося

• Уметь находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу.
• Уметь находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей.
• Уметь определять свойства квадратичной функции по ее графику.
• Уметь применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств.
• Уметь описывать свойства квадратичной функции, строить их график.

Уровень возможной подготовки обучающегося

• Понимать, что функция – это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами.
• Знать свойства квадратичной функции.
• Уметь строить график квадратичной функции.
• Уметь применять метод интервалов при решении неравенств.
• Уметь интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

Уровень обязательной подготовки выпускника

 

Уровень возможной подготовки выпускника

Тема 2 «Уравнения и системы нелинейных уравнений» (17  +15 часов)

Раздел математики. Сквозная линия

        Уравнения и неравенства

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

        Решение рациональных уравнений.

        Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложение на множители.

        Уравнения, приводимые к квадратным.

        Система уравнений; решение системы; примеры решения нелинейных систем.

        Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Требования к математической подготовке

 Уровень обязательной подготовки обучающегося

        Уметь решать квадратные, рациональные уравнения, сводящиеся к ним.

        Уметь решать системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы.

        Уметь решать текстовые задачи алгебраическим методом.

• Знать как используются уравнения и системы уравнений на практике.
• Знать понятие функции, свойства функций.

 Уровень возможной подготовки обучающегося

        Уметь решать алгебраические уравнения высших степеней и уравнения, сводящиеся к ним.

        Уметь решать системы линейных и нелинейных уравнений.

        Уметь решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи.

Уровень обязательной подготовки выпускника

 

Уровень возможной подготовки выпускника

 

Тема 3 «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (26 часов)

Раздел математики. Сквозная линия

        Вычисления и числа.

• Выражения и преобразования.

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

        Понятие последовательности.

• Арифметическая и геометрическая прогрессии.
• Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий.
• Формулы суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий.

Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки обучающегося

        Распознавать арифметические и геометрические прогрессии.

        Решать несложные задачи с применением формул общего члена и суммы нескольких первых членов прогрессий.

 Уровень возможной подготовки обучающегося

        Понимать смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.

        Распознавать арифметические и геометрические прогрессии.

• Решать задачи с применением формул общего члена и нескольких первых членов прогрессий.

Уровень обязательной подготовки выпускника

 

Уровень возможной подготовки выпускника

Тема 4 «Степень с рациональным показателем» (17 часов)

Раздел математики. Сквозная линия

        Выражения и преобразования

        Функция.

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

        Понятие степенной функции.

• Область определения функции. Возрастание и убывание функции. Четность и нечетность функции.
• Степенные функции с натуральным показателем и их графики.

        Свойства арифметического корня n-й степени и их применение в вычислениях.

        Свойства степеней с рациональным показателем.

Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки обучающегося

        Знать, как математически степенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания.

        Уметь находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу.

• Уметь находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей.
• Уметь определять свойства степенной функции по ее графику.
• Уметь описывать свойства степенных функций, строить их графики.

        Уметь выполнять основные действия со степенями с целыми показателями.

        Уметь применять свойства арифметического корня n-й степени для вычислений значений и преобразований числовых выражений, содержащих корни n-й степени.

Уровень возможной подготовки обучающегося

        Знать, как математически степенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания и уметь применить это при решении практических задач.

• Уметь применять графические представления при решении уравнений, неравенств и систем.

• Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.
• Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами.

Уровень обязательной подготовки выпускника

 

Уровень возможной подготовки выпускника

 

Тема 5. «Тригонометрические выражения и их преобразования» (20 часов)

Раздел математики. Сквозная линия

        Вычисления и преобразования

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

        Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат.

        Определение синуса, косинуса и тангенса угла.

        Знаки синуса, косинуса и тангенса углов.

        Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного итого же угла.

        Тригонометрические тождества.

        Формулы сложения

        Синус, косинус и тангенс двойного и половинного  угла.

        Формулы приведения.

        Сумма и разность синусов.

        Сумма и разность косинусов.

Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки обучающегося

        Уметь находить значения синуса косинуса, тангенса угла на основе определений, с помощью калькулятора и таблиц.

        Выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений с помощью справочного материала

Уровень возможной подготовки обучающегося

        Уметь находить значения синуса косинуса, тангенса угла на основе определений, с помощью калькулятора и таблиц. Выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений.

        Уметь применять тригонометрические формулы  в при решении практических задач

Уровень обязательной подготовки выпускника

   

Уровень возможной подготовки выпускника

  

Тема 6 «Элементы комбинаторики» (13 часов)

Раздел математики. Сквозная линия

• Случайное событие, относительная частота случайного события,
•  Сложение и умножение вероятностей.
• «Комбинаторная задача»,
• «Перестановки»,
• «Размещения»,
• «Сочетания».

Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки обучающегося

• Знать понятия: «комбинаторная задача», «перестановки», «размещения», «сочетания»
• Уметь находить относительную частоту случайного события, сложение и умножение вероятностей

• Решать комбинаторные задачи с использованием формул для вычисления числа размещений, перестановок, сочетаний.

Уровень возможной подготовки обучающегося

• решать комбинаторные задачи путём систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;
• вычислять средние значения результатов измерений;
• находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

Тема 7 «Повторение. Решение задач» (40 часов)

Раздел математики. Сквозная линия

        Числа и вычисления.

• Выражения и преобразования.
• Уравнения и неравенства.
• Функции.

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

        Арифметические действия с рациональными числами.

• Преобразования многочленов, алгебраических дробей. Свойства степени с натуральным показателем. Прогрессии.
• Уравнение с одной переменной. Системы уравнений. Неравенства с одной переменной и их системы.
• Функции: у = kx,   y=kx+b, ,   y=x²,  y=x³, у=хⁿ,  y=ax²+bx+c,   их свойства и графики.

Требования к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки выпускника

Уровень возможной подготовки выпускника

9 кл углубл

Функции, их свойства и графики (22ч).

Уравнения и неравенства с одной переменной (30 ч).

Системы уравнений и системы неравенств с  двумя переменными  (21ч)

Последовательности  (26ч).

Степени и корни. (25ч).

Тригонометрические функции и их свойства  (31ч).

Тригонометрические функции и их свойства  (31ч).

Элементы комбинаторики и теории вероятностей. (19ч)

Решение КИМов

30ч

Содержание обучения  в 9-м классе (6ч)

                                                          Функции и их графики 25 ч.

    Квадратичные  функции. Способы задания функции. Область определения и область значений функции.
Графики функции. Преобразования графиков функций: параллельный перенос, растяжение и сжатие вдоль осей координат, симметрия относительно осей координат и относительно прямой   у=х.
Свойства функции: четность и нечетность, возрастание и убывание, нули функции и промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения функции. Отражение свойств функции на графике. Элементарное исследование функции. Функция как соответствие между множествами.  Построение графиков кусочно-заданных функций. Построение графиков функций, связанных с модулем.  Представление  данных  в  виде  таблиц,  диаграмм  и  графиков

                                      Уравнения и неравенства с одной  переменной  37 ч.
Квадратные уравнения. Корень уравнения. Равносильность уравнений. Уравнение-следствие. Исключение «посторонних» корней.  Линейное уравнение с параметром. Корень многочлена. Нахождение целых и дробных корней многочлена с целыми коэффициентами. Число корней многочлена. Решение рациональных уравнений. [Решение рациональных уравнений с параметром.] Примеры решения иррациональных уравнений.
Уравнение с двумя переменными. Решение линейного уравнения в целых числах.  График уравнения с двумя переменными. Уравнение окружности. Получение приближенного корня способом графического решения систем уравнений.   Решение текстовых задач с помощью уравнений.   Неравенство с переменными. Числовые промежутки.  Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Метод интервалов. Доказательство неравенств.
Решение уравнений  высших  степеней. Составление  математической  модели по условию  задачи. Расположение корней квадратного  трехчлена в зависимости  от  параметра.

Системы уравнений и системы неравенств  с  двумя  переменными 36 ч

   Система уравнений. Решение систем уравнений. Равносильность. Уравнение-следствие. Приемы решения систем: подстановка, алгебраическое сложение. [Решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными методом Гаусса.] Получение приближенного корня способом графического решения систем уравнений.  Решение текстовых задач с помощью  систем.  Неравенство с переменными. Геометрическая интерпретация линейных неравенств  с  двумя переменными и их систем.

Системы  однородных  уравнений  и приводящиеся  к ним  системы. Метод  почленнного  умножения и деления уравнений  системы. Симметрические  системы. Системы  уравнений  с тремя  переменными. Задачи на смеси. Задачи  на  движение.  Замена  неизвестного  при решении рациональных  неравенств.

                                                                       Последовательности 30 ч.

    Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Формула n-го члена. Рекуррентная формула. Числа Фибоначчи. Возрастающие и убывающие (монотонные) последовательности. [Метод математической индукции.] Арифметическая и геометрическая прогрессии, формулы п-го члена и суммы первых п членов прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. [Понятие о пределе последовательности.]

Арифметическая прогрессия и простые  проценты. Геометрическая  прогрессия  и сложные  проценты.

Степени и корни 20 ч.

     Иррациональность числа. Корень п-й степени. Степень с дробным показателем.   Свойства степеней с рациональными показателями.  Преобразование выражений с радикалами и степенями с дробными показателями.
Решение рациональных уравнений с параметром. Примеры решения иррациональных уравнений. Геометрическая интерпретация линейных неравенств  с  двумя переменными и их систем. Квадратные неравенства. Рациональные  неравенства. Метод интервалов. Доказательство неравенств.

Замена  неизвестного  при решении иррациональных  уравнений   и неравенств.

                                                   Тригонометрические функции и их свойства 27ч.
Тригонометрические тождества: siп²а+соs²а= 1, Формулы приведения.
Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Формулы половинного угла. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. [Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.]
                                                             Элементы  комбинаторики  и  теории вероятностей  16 ч.

Комбинированный принцип умножения. Число элементов прямого произведения двух множеств. Число подмножеств конечного множества. Число элементных подмножеств конечного множества из и элементов (число сочетаний). Число перестановок Понятие вероятности события. Подсчет вероятностей простейших событий.
    

Итоговое повторение  13 ч.

10 кл -11

Планируемые результаты

Выпускник научится в 10–11 классах (для использо-

вания в повседневной жизни и обеспечения возможности

продолжения образования):

Элементы теории множеств и математической

логики

• Оперировать на базовом уровне понятиями: конеч-

ное множество, элемент множества, подмножество, пере-

сечение и объединение множеств, числовые множества на

координатной прямой.

• Находить пересечение и объединение двух мно-

жеств, представленных графически на числовой прямой.

• Строить на числовой прямой подмножество число-

вого множества, заданное простейшими условиями.

• Оперировать на базовом уровне понятиями: ут-

верждение, отрицание утверждения, истинные и ложные

утверждения, причина, следствие, частный случай обще-

го утверждения, контрпример.

• Распознавать ложные утверждения, ошибки в рассуждениях, в том числе с использованием контрприме-

ров.

В повседневной жизни и при изучении других пред-

метов:

• Использовать числовые множества на координат-

ной прямой для описания реальных процессов и явле-

ний.

• Проводить логические рассуждения в ситуациях

повседневной жизни.

Действительные числа и выражения

• Оперировать на базовом уровне понятиями: целое

число, рациональное число, действительное число.

• Оперировать на базовом уровне понятиями: обык-

новенная дробь, десятичная дробь, приближённое значе-

ние числа, часть, доля, отношение, процент, повышение

и понижение на заданное число процентов.

• Выполнять арифметические действия с целыми и

рациональными числами. Сравнивать рациональные чис-

ла между собой. Находить значения числовых выраже-

ний и алгебраических выражений при заданных значени-

ях переменных.

• Оперировать на базовом уровне понятиями: корень

натуральной степени из числа, степень с рациональным

показателем, логарифм числа.

• Изображать точками на числовой прямой целые и

рациональные числа, целые степени чисел, корни нату-

ральной степени из чисел, логарифмы чисел в простых

случаях.

• Оценивать и сравнивать с рациональными числа-

ми значения целых степеней чисел, корней натуральной

степени из чисел, логарифмов чисел в простых случаях.

• Оперировать на базовом уровне понятиями тригонометрическая окружность, длина дуги числовой окруж-

ности.

• Соотносить длину дуги числовой окружности с ме-

рой соответствующего центрального угла. Переводить

градусную меру дуги (угла) в радианную и наоборот.

• Изображать на числовой окружности основные

точки, находить декартовы координаты этих точек, соот-

носить их с синусом и косинусом соответствующего чис-

ла. Использовать линию тангенсов для изображения тан-

генса числа, принадлежащего числовой окружности.

• Оценивать знаки синуса, косинуса, тангенса и ко-

тангенса точек числовой окружности.

• Находить тригонометрические значения чисел в

табличных случаях.

• Оперировать на базовом уровне понятиями: аркси-

нус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа. Уметь

вычислять значения аркфункций в табличных случаях.

В повседневной жизни и при изучении других учебных предметов:

• Выполнять вычисления при решении задач прак-

тического характера.

• Выполнять практические расчёты с использовани-

ем при необходимости справочных материалов и вычислительных устройств.

Соотносить реальные величины, характеристики

объектов окружающей действительности с их конкретны-

ми числовыми значениями.

• Использовать методы округления, приближения и

прикидки при решении практических задач повседнев-

ной жизни.

Функции

• Оперировать на базовом уровне понятиями: зави-

симость величин, функция, аргумент и значение функ-

ции, область определения и область значений функции,

график зависимости, график функции, возрастание и

убывание функции на числовом промежутке, наибольшее

и наименьшее значение функции на числовом промежут-

ке, чётная и нечётная функции, периодическая функция,

нули функции, промежутки знакопостоянства.

• Оперировать на базовом уровне понятиями: пря-

мая и обратная пропорциональность, линейная, квадратичная, степенная, логарифмическая и показательная

функции, тригонометрические функции.

• Распознавать графики элементарных функций:

прямой и обратной пропорциональности, линейной, квад-

ратичной, степенной, логарифмической и показательной

функций, тригонометрических функций.

• Соотносить графическое и аналитическое задания

элементарных функций.

• Находить по графику приближённо значения

функции в заданных точках.

• Описывать по графику свойства функций (читать

график).

• Строить графики перечисленных элементарных

функций.

• Осуществлять параллельный перенос графиков

функций в координатной плоскости.

Элементы математического анализа

• Оперировать на базовом уровне понятиями: производная функции в точке, касательная к графику функ-

ции, производная функции. Определять значение производной функции в точ-

ке по изображению касательной к графику, проведённой

в этой точке.

• Понимать эквивалентность понятий: значение про-

изводной в точке, угловой коэффициент касательной в

точке, тангенс угла наклона касательной в точке, ско-

рость изменения функции в точке.

• Находить уравнение касательной.

• Исследовать функцию на монотонность и экстре-

мумы с помощью производной.

• Находить наименьшее и наибольшее значения

функции на заданном отрезке с помощью производной.

• Применять формулы и правила дифференцирова-

ния элементарных функций, используя справочные мате-

риалы.

В повседневной жизни и при изучении других пред-

метов:

• Пользуясь графиками, сравнивать скорости возрастания (роста, повышения, увеличения и т. п.) или ско-

рости убывания (падения, снижения, уменьшения и т. п.)

величин в реальных процессах.

• Соотносить графики реальных процессов и зависи-

мостей с их описаниями, включающими характеристики

скорости изменения (быстрый рост, плавное понижение

и т. п.).

• Использовать графики реальных процессов для ре-

шения несложных прикладных задач, в том числе опреде-

ляя по графику скорость хода процесса.

Уравнения и неравенства

• Выполнять равносильные преобразования при ре-

шении уравнений и неравенств.

• Решать линейные, квадратные и дробно-рацио-

нальные уравнения и неравенства.

• Решать простейшие тригонометрические уравне-

ния. Решать -тригонометрические уравнения методом за-

мены переменной и разложением на множители. Решать

однородные тригонометрические уравнения первой и вто-

рой степени. • Решать простейшие показательные и логарифми-

ческие уравнения и неравенства. Решать показательные

и логарифмические уравнения и неравенства, сводящиеся

к квадратным.

• Решать иррациональные уравнения.

• Решать несложные системы уравнений и нера-

венств.

В повседневной жизни и при изучении других пред-

метов:

• Использовать уравнения и неравенства при реше-

нии задач на других предметах.

• Уметь оценить и интерпретировать полученный ре-

зультат.

• Использовать уравнения и неравенства как мате-

матические модели для описания реальных ситуаций и

зависимостей.

Тождественные преобразования

• Выполнять преобразования целых, дробно-рацио-

нальных выражений и несложных выражений, содержа-

щих радикалы.

• Выполнять несложные преобразования логарифмических выражений на основе свойств логарифма.

• Выполнять тождественные преобразования триго-

нометрических выражений с использованием формул (ос-

новного тригонометрического тождества, формул суммы

и разности аргументов, двойного аргумента, замены сум-

мы произведением).

В повседневной жизни и при изучении других пред-

метов:

• Выполнять тождественные преобразования при ре-

шении задач на других предметах.

Статистика и теория вероятностей, комбинаторика

• Уметь пользоваться основными описательными ха-

рактеристиками числового набора; понятием генеральная

совокупность и выборка из неё, использовать простейшие

решающие правила.

• Вычислять вероятности событий на основе подсчё-

та числа исходов, в том числе с помощью комбинаторики

• Иметь представление о дискретных и непрерыв-

ных случайных величинах и распределениях, о независи-

мости случайных величин.

• Иметь представление о математическом ожидании

и дисперсии случайных величин.

• Иметь представление о нормальном распределе-

нии и примерах нормально распределённых случайных

величин.

• Понимать суть закона больших чисел и выбороч-

ного метода измерения вероятностей.

В повседневной жизни и при изучении других пред-

метов:

• Оценивать и сравнивать в простых случаях вероят-

ности событий в реальной жизни.

• Читать, сопоставлять, сравнивать, интерпретиро-

вать в простых случаях реальные данные, представленные в виде таблиц, диаграмм, графиков.

Текстовые задачи

• Решать несложные текстовые задачи разных ти-

пов.

• Анализировать условие задачи. Описывать реаль-

ные ситуации с помощью математических моделей.

• Понимать и использовать для решения задачи ин-

формацию, представленную в виде текстовой и символь-

ной записи, схем, таблиц, диаграмм, графиков, рисунков.

• Действовать по алгоритму, содержащемуся в усло-

вии задачи.

• Использовать логические рассуждения при реше-

нии задачи.

• Работать с избыточными условиями, выбирая из

всей информации данные, необходимые для решения за-

дачи.

• Осуществлять несложный перебор возможных ре-

шений, выбирая из них оптимальное по критериям, сформулированным в условии.

• Анализировать и интерпретировать полученные

решения в контексте условия задачи, выбирать решения,

не противоречащие контексту.

• Решать задачи на расчёт стоимости покупок, ус-

луг, поездок и т. п.

• Решать несложные задачи, связанные с долевым

участием во владении фирмой, предприятием, недвижи-

мостью.

• Решать задачи на простые проценты (системы ски-

док, комиссии) и на вычисление сложных процентов в

различных схемах вкладов, кредитов и ипотек.

• Решать практические задачи, требующие исполь-

зования отрицательных чисел: на определение температу-

ры, определение положения на временной оси (до нашей

эры и после), на движение денежных средств (приход/

расход), на определение глубины/высоты и т. п.

• Использовать понятие масштаба для нахождения

расстояний и длин на картах, планах местности, планах

помещений, выкройках, при работе на компьютере и т. п.

В повседневной жизни и при изучении других пред-

метов:

• Решать несложные практические задачи, возникающие в ситуациях повседневной жизни.

Выпускник получит возможность научиться

в 10 –11 классах (для развития мышления, использования

в повседневной жизни и обеспечения возможности успеш-

ного продолжения образования по специальностям, не

связанным с прикладным использованием математи-

ки):

Элементы теории множеств и математической

логики

• Оперировать понятиями: конечное множество, эле-

мент множества, подмножество, пересечение и объедине-

ние множеств, числовые множества на координатной пря-

мой, отрезок, интервал, полуинтервал, промежуток с вы-

колотой точкой, графическое представление множеств на

координатной плоскости.

• Оперировать понятиями: утверждение, отрицание

утверждения, истинные и ложные утверждения, причи-

на, следствие, частный случай общего утверждения,

контрпример. Проверять принадлежность элемента множеству.

• Находить пересечение и объединение множеств, в

том числе представленных графически на числовой пря-

мой и на координатной плоскости.

• Проводить доказательные рассуждения для обо-

снования истинности утверждений.

В повседневной жизни и при изучении других пред-

метов:

• Использовать числовые множества на координат-

ной прямой и на координатной плоскости для описания

реальных процессов и явлений.

• Проводить доказательные рассуждения в ситуаци-

ях повседневной жизни, при решении задач из других

предметов.

Действительные числа и выражения

• Свободно оперировать понятиями: целое число, ра-

циональное число, иррациональное число, действитель-

ное число.

• Свободно оперировать понятиями: делимость чи-

сел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, приближён-

ное значение числа, часть, доля, отношение, процент, по-

вышение и понижение на заданное число процентов.

• Выполнять арифметические действия, сочетая уст-

ные и письменные приёмы, применяя при необходимости

вычислительные устройства.

• Находить значения числовых и алгебраических

выражений, осуществляя необходимые подстановки и

преобразования.

• Оперировать понятиями: числовая окружность,

синус, косинус, тангенс и котангенс числа, расположен-

ного на числовой окружности.

• Соотносить точку числовой окружности с цент-

ральным углом. Соотносить тригонометрические значе-

ния числового и углового аргументов. Осуществлять пере-

ход от градусной меры угла к радианной и наоборот.

• Использовать табличные значения тригонометри-

ческих функций при выполнении вычислений и решении

уравнений и неравенств.

Свободно оперировать понятиями: логарифм чис-

ла, десятичный и натуральный логарифмы.

• Выполнять вычисления с использованием свойств

логарифма.

• Находить значения корня натуральной степени,

степени с рациональным показателем, логарифма, ис-

пользуя при необходимости вычислительные устрой-

ства.

• Пользоваться оценкой и прикидкой при практиче-

ских расчётах.

В повседневной жизни и при изучении других учеб-

ных предметов:

• Выполнять действия с числовыми данными при

решении задач практического характера и задач из раз-

личных областей знаний, используя, при необходимости,

справочные материалы и вычислительные устройства.

• Оценивать, сравнивать и использовать при реше-

нии практических задач числовые значения реальных ве-

личин, конкретные числовые характеристики объектов

Функции

• Оперировать понятиями: зависимость величин,

функция, аргумент и значение функции, область опреде-

ления и область значений функции, график зависимости,

график функции, возрастание и убывание на числовом

промежутке, наибольшее и наименьшее значения функ-

ции на числовом промежутке, период функции, периоди-

ческая функция, чётная и нечётная функции, нули функ-

ции, промежутки знакопостоянства.

• Оперировать понятиями: прямая и обратная про-

порциональность, линейная, квадратичная, степенная,

логарифмическая и показательная функции, тригономет-

рические функции.

• Определять значение функции по значению аргу-

мента при различных способах задания функции.

• Строить графики изученных функций, осуществлять параллельный перенос графиков функций в коор-

динатной плоскости.- Описывать по графику и в простейших случаях по

формуле свойства функций, находить по графику функ-

ции наибольшие и наименьшие значения.

• Строить эскиз графика функции, удовлетворяю-

щей приведённому набору условий (промежутки возрас-

тания/убывания, значение функции в заданной точке,

точки экстремумов, асимптоты, нули функции и т. д.).

• Решать уравнения, простейшие системы уравне-

ний, используя свойства функций и их графиков.

В повседневной жизни и при изучении других учеб-

ных предметов:

• Определять по графикам и использовать для реше-

ния прикладных задач свойства реальных процессов и

зависимостей (наибольшие и наименьшие значения, про-

межутки возрастания и убывания, промежутки знакопо-

стоянства, асимптоты, точки перегиба, период и т. п.),

интерпретировать свойства в контексте конкретной прак-

тической ситуации.

• Определять по графикам простейшие характери-

стики периодических процессов в биологии, экономике,

музыке, радиосвязи и т. п. (амплитуда, период и т. п.).

Элементы математического анализа

• Оперировать понятиями: производная функции в

точке, касательная к графику функции, производная

функции.

• Вычислять производную одночлена, многочлена,

квадратного корня, производную суммы функций.

• Вычислять производные элементарных функций и

их комбинаций.

• Исследовать в простейших случаях функции на

монотонность, находить наибольшие и наименьшие зна-

чения функций, строить графики многочленов и простей-

ших рациональных функций с использованием аппарата

математического анализа.

В повседневной жизни и при изучении других учеб-

ных предметов:

• Решать прикладные задачи по биологии, физике,

химии, экономике и другим предметам, связанные с исследованием характеристик реальных процессов, нахож-

дением наибольших и наименьших значений, скорости и

ускорения и т. п., интерпретировать полученные резуль-

таты.

Уравнения и неравенства

• Решать рациональные, показательные и логариф-

мические уравнения и неравенства, иррациональные и

тригонометрические уравнения и их системы, простей-

шие тригонометрические и иррациональные неравенства.

• Использовать методы решения уравнений: приве-

дение к виду «произведение равно нулю» или «частное

равно нулю», замена переменных.

• Использовать метод интервалов для решения не-

равенств.

• Использовать графический метод для приближённого решения уравнений и неравенств.

• Изображать на числовой окружности множество

решений простейших тригонометрических уравнений и

неравенств.

• Выполнять отбор корней уравнений или решений

неравенств в соответствии с дополнительными условиями

и ограничениями.

В повседневной жизни и при изучении других учеб-

ных предметов:

• Составлять и решать уравнения, системы уравнений и неравенства при решении задач других учебных

предметов.

• Использовать уравнения и неравенства для постро-

ения и исследования простейших математических моде-

лей реальных ситуаций или прикладных задач.

• Уметь интерпретировать полученный при решении

уравнения, неравенства или системы результат, оцени-

вать его правдоподобие в контексте заданной реальной

ситуации или прикладной задачи.

Тождественные преобразования

• Выполнять тождественные преобразования рацио-

нальных и иррациональных выражений. • Выполнять преобразования логарифмических вы-

ражений, используя определение логарифма, основное

логарифмическое тождество, свойства логарифмов.

• Выполнять тождественные преобразования триго-

нометрических выражений с использованием тригономе-

трических формул.

В повседневной жизни и при изучении других учеб-

ных предметов:

Применять тождественные преобразования при ре-

шении задач на других предметах.

Статистика и теория вероятностей,

комбинаторика

• Иметь представление об условной вероятности и

о полной вероятности, применять их в решении задач.

• Иметь представление о важных частных видах рас-

пределений и применять их в решении задач.

• Иметь представление о корреляции случайных величин, о линейной регрессии.

В повседневной жизни и при изучении других пред-

метов:

• Вычислять или оценивать вероятности событий в

реальной жизни;

• Выбирать подходящие методы представления и об-

работки данных.

• Уметь решать несложные задачи на применение

закона больших чисел в социологии, страховании, здра-

воохранении, обеспечении безопасности населения в чрез-

вычайных ситуациях.

Текстовые задачи

• Решать задачи разных типов, в том числе задачи

повышенной трудности.

• Выбирать оптимальный метод решения задачи,

рассматривая различные методы.

• Строить модель решения задачи, проводить дока-

зательные рассуждения.

• Решать задачи, требующие перебора вариантов, проверки условий, выбора оптимального результата.

• Анализировать и интерпретировать результаты в

контексте условия задачи, выбирать решения, не проти-

воречащие контексту.

• Переводить при решении задачи информацию из

одной формы в другую, используя при необходимости схе-

мы, таблицы, графики, диаграммы.

В повседневной жизни и при изучении других пред-

метов:

• Решать практические задачи и задачи из других

предметов.----

---

Содержание

 курса алгебры и начал  математического анализа 10–11 классов

(базовый уровень)

10 класс

Тригонометрические функции

Числовая окружность. Числовая окружность в ко-

ординатной плоскости. Синус, косинус, тангенс, котан-

генс. Табличные значения тригонометрических функ-

ций. Основное тригонометрическое тождество и след-

ствия из него. Тригонометрические функции числового

и углового аргументов. Функции y=sin x, y=cos x,

y=tg x, y=ctg x, их свойства и графики. Периодич-

ность тригонометрических функций. Преобразования

графиков тригонометрических функций. Обратная

функция. Обратные тригонометрические функции, их

свойства и графики.

Тригонометрические уравнения

Арккосинус, арксинус, арктангенс, арккотангенс

числа. Простейшие тригонометрические уравнения. Ме-

тоды решения тригонометрических уравнений. Решение

простейших тригонометрических неравенств.

Преобразование тригонометрических выражений

Формулы приведения. Синус, косинус, тангенс сум-

мы и разности аргументов. Формулы двойного аргумента

и понижения степени. Преобразование суммы тригономе-

трических функций в произведение.

Степени и корни. Степенные функции

Функция y  n x, её свойства и график. Свойства

корней n-й степени. Степень с любым рациональным показателем. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональные уравнения. Степенные функции, их

свойства и графики.

Показательные и логарифмические функции

Показательная функция, её свойства и график. Чис-

ло е. Показательные уравнения и неравенства. Логарифм

числа. Логарифмическая функция, её свойства и график.

Десятичный логарифм. Натуральный логарифм. Основ-

ные свойства логарифмов. Преобразование логарифмиче-

ских выражений. Логарифмические уравнения и нера-

венства. Переход к новому основанию логарифма.

Вероятность, случайные события,

случайные величины

Повторение. Решение задач на табличное и графиче-

ское представление данных. Использование свойств и ха-

рактеристик числовых наборов: средних, наибольшего и

наименьшего значения, размаха, дисперсии. Решение за-

дач на определение частоты и вероятность событий. Вы-

числение вероятностей в опытах с равновозможными эле-

ментарными исходами. Решение задач с применением

комбинаторики. Решение задач на вычисление вероятно-

стей независимых событий, применение формулы сложе-

ния вероятностей.

Вероятности случайных событий. Биномиальные

коэффициенты. Формула бинома Ньютона. Биномиаль-

ное распределение. Схема Бернулли. Дискретные случай-

ные величины и их таблицы распределений. Числовые

характеристики дискретных случайных величин.

11 класс

Элементы теории пределов

Числовые последовательности. Понятие предела

числовой последовательности. Предел функции на бес-

конечности. Предел функции в точке. Приращение аргу-

мента. Приращение функции.

Производная

Задачи, приводящие к понятию производной. Про-

изводная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Понятие о непрерывных функциях.

Правила дифференцирования. Производные элементар-

ных функций. Уравнение касательной.

Исследование функций с помощью производной

Исследование элементарных функций на монотон-

ность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наи-

меньшего значений функции с помощью производной.

Построение графиков функций с помощью производных.

Применение производной при решении задач.

Первообразная и интеграл

Первообразная. Правила отыскания первообразных.

Первообразные элементарных функций. Площадь криво-

линейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Опре-

делённый интеграл. Вычисление площадей плоских фи-

гур и объёмов тел вращения с помощью интеграла.- Непрерывные распределения вероятностей.

Закон больших чисел

Геометрия и вероятность. Равномерное распределе-

ние. Приближения в формуле Бернулли. Нормальное рас-

пределение. Случайные величины и закон больших чи-

сел.

Уравнения и неравенства

Равносильные и неравносильные уравнения и нера-

венства. Основные методы решения уравнений. Системы

уравнений. Решение неравенств с одной переменной. Не-

равенства с модулями. Иррациональные неравенства.

Уравнения, системы уравнений с параметром. Тексто-

вые задачи.

Профильный уровень 6 часов в неделю . всего 204 часа

Содержание

Числовые и буквенные выражения

Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Решение задач с целочисленными неизвестными.

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.  Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.  Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа.  Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Многочлены от одной переменной.  Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Решение целых алгебраических уравнений. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.

Корень степени  и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.

Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и  логарифмирования.

Тригонометрия

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования тригонометрических выражений.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Функции

Функции.  Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной.

Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и  график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций.

Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Обратные тригонометрические функции,  их свойства и  графики.

Показательная функция (экспонента), её свойства и график.

Логарифмическая функция, её свойства и график.

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой , растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Начала  математического анализа

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах.

Понятие о  непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты.

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию Понятие о  непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты.

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, при решении текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений.

Площадь криволинейной трапеции. Понятие об определенном интеграле. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила вычисления первообразных. Формула Ньютона-Лейбница.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в  прикладных задачах. Нахождение скорости  для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и  ее физический смысл.

Уравнения и неравенства

Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных и тригонометрических уравнений и неравенств.

Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение систем уравнений с двумя неизвестными простейших типов. Решение систем неравенств с одной переменной.

Доказательства неравенств. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и  их систем.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных.

Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события.

Тематическое планирование

10кл (база)   4 часа в неделю

Повторение  4 часа

Действительные числа. 12 часов                ?????????

Числовые функции. 10 часов

Тригонометрические функции  24 часа

Тригонометрические уравнения.10 часов

Комплексные числа 10 часов

Производная  28 часов

Комбинаторика и вероятность. 7 часов

Повторение 11часов

11 кл (база)   4 часа в неделю

10 кл 204 часа (6 часов в неделю) 

Повторение (7 часов)

Действительные числа (17 часов)

Числовые функции (15 часов)

Тригонометрические функции (33 часа)

Тригонометрические уравнения (14 часов)

Преобразование тригонометрических выражений (30 часов)

Производная (42 часа)

Комплексные числа (15 часов)

Комбинаторика и вероятность (18 часов)

Итоговое повторение курса алгебры и начал математического анализа 10-го класса (17 часов)

11 кл 204 часа (6 часов в неделю) 

---

[1] Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования / М-во образования и науки РФ. (Стандарты второго поколения). Приказ Министерства образования и науки РФ от 17.05.2012. №413, с.15-16.