Факультатив по математике 8-9 класс

Государственное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования

«Нижегородский институт развития образования»

ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ 8–9 КЛАССОВ

(ПРЕДПРОФИЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА УЧАЩИХСЯ)

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород Нижегородский институт развития образования

2010

УДК 373:15

ББК 74.262.21

Ф 18

Рекомендовано к изданию

научно-методическим экспертным советом ГОУ ДПО НИРО

А в т о р ы - с о с т а в и т е л и

И. Г. Малышев, канд. техн. наук,

доцент кафедры теории и методики обучения математике ГОУ ДПО НИРО;

М. А. Мичасова, канд. пед. наук,

доцент кафедры теории и методики обучения математике ГОУ ДПО НИРО

Р е ц е н з е н т ы

Ю. А. Кузнецов, докт. физ.-мат. наук, профессор ННГУ им. Н. И. Лобачевского;

О. В. Королева, учитель математики высшей категории МОУ СОШ № 174 Н. Новгорода

Ф 18

Факультативный курс математики 8–9 классов (Предпрофильная под- готовка учащихся) : учебное пособие / авт.-сост.: И. Г. Малышев, М. А. Мича- сова. – Н. Новгород : Нижегородский институт развития образования, 2010. – 86 с.

IBSN 978-5-7565-0434-7

Основу предлагаемого учебного пособия составили материалы факультативно- го курса, разработанного на кафедре теории и методики обучения математике. Дан- ный факультативный курс выполняет функцию поддержки основных курсов цикла математического образования основной школы и ориентирован на углубление и расширение предметных знаний учащихся по математике.

Для 8 класса курс больше соответствует факультативным занятиям и представ- ляет собой избранные вопросы из четырех глав общим объемом 35 часов. В 9 классе курс может быть включен в систему предпрофильной подготовки школьников и представляет собой полные три главы общим объемом 35 часов.

Пособие может быть рекомендовано к использованию в образовательном про- цессе.

УДК 373:15

ББК 74.262.21

IBSN 978-5-7565-0434-7

© Малышев И. Г., Мичасова М. А., 2010

2

© Нижегородский институт развития обра- зования, 2010

Пояснительная записка

Данный факультативный курс выполняет функцию поддержки основных курсов цикла математического образования основной школы и ориентирован на углубление и расширение предметных знаний учащихся по математике и соответствующих компетентностей.

Если в 8 классе курс больше соответствует факультативным занятиям, то в 9-м может быть включен в систему предпрофильной подготовки учеников.

Факультативные занятия – форма учебной работы, состоящая в разви- тии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой; способствует зарождению интереса к математике на первичном уровне.

Целями организации факультативных занятий являются расширение кругозора школьников, развитие у них математического мышления, форми- рование активного познавательного интереса к предмету, воспитание миро- воззрения и ряда личностных качеств средствами углубленного изучения ма- тематики.

Факультативные занятия по математике дополняют обязательную прог- рамму по алгебре и геометрии и призваны, прежде всего, способствовать бо- лее глубокому усвоению учащимися материала, предусмотренного програм- мой.

Факультативные занятия позволяют педагогу производить поиск и экс-

периментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьировать объем сложности изучаемого материала. Программа факультативных занятий должна тесно связывать теоретический материал общего характера с приложениями математики.

Примечательной особенностью факультативного курса для каждого класса является то, что его программа составлена из ряда основных тем, со- держание которых непосредственно примыкает к общему курсу математики. Однако учебная работа учащихся на факультативных занятиях определяется

не только математическим содержанием изучаемых тем и разделов, но и раз- личными методическими факторами:

·        характером объяснения учителя;

·        соотношением теории и учебных упражнений;

·        содержанием познавательных вопросов и задач;

·        сочетанием самостоятельной работы и коллективного обсуждения по- лученных каждым учащимся результатов.

Факультативные занятия по математике должны быть использованы для углубления знаний учащихся в области программного материала, разви- тия их логического мышления, пространственного воображения, исследова- тельских навыков, смекалки, правильной математической речи, привития вкуса к чтению математической литературы, сообщения ученикам сведений из истории математики.

Главное место в математическом образовании, как и во всей педагоги- ческой работе в школе, занимает, несомненно, урок. Но и система факульта- тивных занятий дает богатейшие возможности для решения задач математи- ческого образования. Факультативные занятия могут быть использованы для предпрофильной подготовки школьников, для ознакомления учащихся с применением математических знаний на практике, для привития ученикам конструктивных навыков, навыков моделирования и т. д.

При этом могут использоваться разнообразные формы проведения за- нятий. Учитывая возрастные особенности учащихся, мы рекомендуем ком- бинированные занятия, занятия-практикумы, семинары, проекты, доклады, лабораторные работы. На занятиях-практикумах у ребят целенаправленно вырабатываются умения и навыки решения основных типов задач. Семинары посвящены повторению, углублению и обобщению пройденного материала. Также их дидактические цели – приобретение школьниками новых знаний, обучение самостоятельному применению знаний в нестандартных ситуаци- ях. Полезная форма работы – подготовка докладов, реализация различных

проектов. Выполнение таких заданий важно прежде всего для развития навыков самообразования, удовлетворения индивидуальных интересов уче- ников. Одновременно индивидуальное задание должно иметь ценность для всех участников факультативной группы. Большую роль в успешном усвое- нии материала детьми имеет подбор задач.

Содержание факультативных занятий, как показывает наш опыт, зави- сит от индивидуальных интересов учителя. Математическая и общепедаго- гическая квалификация организатора факультативных занятий также не мо- жет не оказать влияния на ее качество и методический уровень. Большое значение имеют и личные вкусы педагога. Поэтому трудно дать конкретные методические указания по организации факультативных занятий, которые удовлетворили бы любого учителя математики. Однако, по нашему мнению, все же могут быть высказаны некоторые общие соображения по вопросам ведения факультативных занятий, перечислены темы, рекомендуемые для них (при этом нами отдавалось предпочтение темам, проверенным собствен- ным опытом). Приведены детальные планы занятий, а также списки литера- туры, дающие вполне удовлетворительное освещение каждой темы.

Авторы убеждены, что ведение факультативных занятий приносит

большую пользу и самому учителю. Они заставляют педагога обращаться к литературе и таким образом освежать, расширять и углублять свои познания в области элементарной математики, ее истории и т. п., в результате чего косвенно повышается качество классной работы.

Рекомендации по организации факультативных занятий

·        В начале первого занятия учитель должен в общих чертах обрисовать учащимся перспективу всей работы факультатива, рассказать об основ- ных вопросах, которые будут изучаться на занятиях. Обязательно нужно сформулировать основные требования, критерии оценки результатов ра- боты.

·        Материал каждого занятия должен быть доступен, понятен и интересен ребятам. Педагогу необходимо заранее подобрать и продумать список за- дач и вопросов для занятия, расположить их в определенной последова- тельности.

·        Важным для формирования устойчивого интереса учащихся к изучению математики является обеспечение содержательной взаимосвязи уроков и факультативных занятий. Один из эффективных приемов этого – показ новых идей и методов в действии, в применении к задачам, которые «прог- раммными» методами решаются гораздо сложнее.

·        Процесс обучения должен строиться как совместная исследовательская деятельность учащихся – математическая истина (определенное правило, теорема, свойство) не сообщается ученикам «в готовом виде», а открыва- ется ими самими. Этот процесс начинается с наблюдений, высказывания догадок, суждений о возможном способе решения (возможном содержа- нии теоремы, правила), после чего следуют проверка, поиск дедуктивного обоснования выводов, их обобщение, анализ прикладных возможностей изученного. Исследовательская или проблемная структура изучения ма- тематики хорошо отвечает развивающим целям обучения при факульта- тивной форме занятий. Без определенной подготовки надеяться включить учащихся в успешную многоэтапную творческую поисковую деятель- ность нереально. Этот успех надо готовить.

·        На факультативных занятиях можно использовать такую форму работы, как небольшое сообщение учителя или ученика по одному какому-либо сравнительно узкому вопросу («десятиминутка»). Темами «десятиминут- ки» могут быть: интересный факт биографии выдающегося математика; интересный факт из истории математики; прием рационального вычисле- ния; софизмы; математические фокусы; сообщение о какой-нибудь мате- матической книге, журнале; краткое изложение интересного математиче- ского вопроса. Обычно «десятиминутка» проводится в конце занятия, ко-

гда учащиеся уже несколько устали. Она не обязательно должна быть свя- зана с занятием по содержанию.

·        Другие формы работы со школьниками на факультативном занятии по математике – выполнение проектов, исследовательская деятельность. Ме- тод проектов и учебные исследования позволяют сделать учеников вос- приимчивыми к науке, дать им сознательное научное направление, посе- лить в них любовь к самостоятельным занятиям. Как бы поднимаясь по ступенькам интеллектуальной активности и самостоятельности, подро- сток проходит путь от восприятия готовой учебной информации через воспроизведение полученных знаний и освоенных способов деятельности к овладению методами научного познания, самостоятельному и, в идеале, творческому их применению.

·        Кружковые заочные олимпиады лучше проводить каждую четверть; это позволяет отметить успехи большого количества школьников, что имеет несомненную педагогическую ценность. Незачем гнаться за большим числом участников; важнее, на наш взгляд, чтобы было много «болель- щиков», чтобы все члены факультатива знали условия олимпиадных за- дач, интересовались их решением, пробовали свои силы. Тексты задач вывешиваются в классе за месяц до олимпиады. Разбор задач проводится в конце каждой четверти на занятии факультатива.

·       

7

Математический турнир (командные соревнования) проходит на факуль- тативных занятиях в два тура между двумя командами членов факульта- тива. Итоги турнира должны быть известны в школе. После каждого тура вывешиваются его результаты и тексты предложенных задач. Такая раз- бивка на туры обычно приводит к повышению интереса учащихся к тур- ниру, более подробному обсуждению ими турнирных заданий. Желатель- но премировать победителей.

Примерное учебно-тематическое планирование курса

№ п/п	Наименование разделов и дисциплин	Всего часов
8   к л а с с
1	Арифметика. Математика и окружающий мир	8
1.1	Различные системы счисления	2
1.2	Решение арифметических задач повышенной трудности	2
1.3	Математика на каждом шагу (решение задач с практическим содержанием)	2
1.4	Замечательные свойства натуральных чисел	2
2	Планиметрия	8
2.1	Геометрические упражнения с листком бумаги	2
2.2	Задачи на разрезание и перекраивание фигур	2
2.3	Занимательные задачи на построение	2
2.4	Осевая симметрия	1
2.5	Центральная симметрия на плоскости	1
3	Алгебра	10
3.1	Занимательные и исторические задачи на состав- ление уравнений	2
3.2	Неопределенные уравнения первой степени	2
3.3	Разложение многочленов на множители	2
3.4	Решение и исследование алгебраических уравне- ний и систем уравнений	2
3.5	Математический турнир	2
4	Графики функций	9
4.1	Линейная функция и ее график	1
4.2	Свойства линейной функции	1

8

4.3	График квадратичной функции	1
4.4	Графическое решение систем уравнений и квад- ратных уравнений	1
4.5	Построение, чтение и применение графиков	2
4.6	Защита проектов	2
4.7	Итоговое занятие	1
9   к л а с с
1	Функции	10
1.1	Квадратичная функция	6
	Общие свойства квадратичной функции	2
	Квадратичная функция в заданиях с параметрами	4
1.2	Дробно-линейная функция	4
2	Многочлены	10
2.1	Деление многочленов и теорема Безу	2
2.2	Многочлены вида xn - an и x2m-1 + a2m-1	2
2.3	Формулы Виета	4
2.4	Решение кубических уравнений	2
3	Планиметрия	15
3.1	Элементы тригонометрии в планиметрии	4
3.2	Пифагоровы треугольники	1
3.3	Теорема Стюарта	2
3.4	Решение треугольников	1
3.5	Олимпиадные задачи на треугольники	2
3.6	Вывод формул площади четырехугольника	2
3.7	Метод площадей в решении задач	1
3.8	Решение задач ГИА по геометрии	2
И т о г о		70

9

Основное содержание курса

8       к л а с с (35 ч)

Арифметика. Математика и окружающий мир (8 ч)

Различные системы счисления. Решение арифметических задач повышенной трудности.

Математика на каждом шагу (решение задач с практическим содержанием). Замечательные свойства натуральных чисел.

Планиметрия (8 ч)

Геометрические упражнения с листком бумаги. Задачи на разрезание и пере- краивание фигур. Занимательные задачи на построение. Осевая симметрия. Центральная симметрия на плоскости.

Алгебра (10 ч)

Занимательные и исторические задачи на составление уравнений. Неопреде- ленные уравнения первой степени. Разложение многочленов на множители. Решение и исследование алгебраических уравнений и систем уравнений. Ма- тематический турнир.

Графики функций (9 ч)

Линейная функция и ее график. Свойства линейной функции. График квад- ратичной функции. Графическое решение систем уравнений и квадратных уравнений. Построение, чтение и применение графиков. Защита проектов. Итоговое занятие.

9       к л а с с (35 ч)

Функции (10 ч)

Квадратичная функция. Общие свойства квадратичной функции. Квадратич- ная функция в заданиях с параметрами. Дробно-линейная функция.

Многочлены (10 ч)

Деление многочленов и теорема Безу. Многочлены вида Формулы Виета. Решение кубических уравнений.

xⁿ - aⁿ и

x2m-1 + a2m-1 .

10

11

Планиметрия (15 ч)

Элементы тригонометрии в планиметрии. Пифагоровы треугольники. Тео- рема Стюарта.

Решение треугольников. Олимпиадные задачи на треугольники. Вывод фор- мул площади четырехугольника. Метод площадей в решении задач. Решение задач ГИА по геометрии.

МЕТОДИЧЕСКИЕ БЛОКИ К ГЛАВАМ КУРСА 8 КЛАССА

Различные системы счисления

Вводная задача «Загадочная автобиография»^*

В бумагах одного математика была найдена странная автобиография:

«Я окончил школу 33-летним юношей и поступил в том же году в институт, который успешно окончил в возрасте 42 лет. Вместе со своей маленькой сестренкой, которая училась в III классе средней школы и была в возрасте 20 лет, я поехал на учительскую работу. Школа помещалась в 10 км от же- лезной дороги. Это расстояние я не спеша, легко преодолевал за 1 час, а на велосипеде даже за каких-нибудь 100 минут. Работа в школе мне давалась легко, нагрузка у меня была небольшая: 100 часов в неделю. Сестра моя учи- лась очень хорошо и через 12 лет окончила десятилетку, будучи еще совсем молоденькой девушкой». Как расшифровать эту странную автобиографию? Задача будет решена позже, после того как мы познакомимся с системами счисления. (Ответ: запись в пятеричной системе счисления.)

Рассказ учителя о различных системах счисления, о применении их в настоящее время

— При подсчете многих объектов удобно группировать их по несколь- ко штук. Такая группировка облегчает счет. Поскольку удобно считать на пальцах, предметы часто группируют по 5 или по 10 (впрочем, иногда и по 12 – вспомните слово «дюжина»; иногда и по 7 – в неделе 7 дней).

Система счисления – это способ записи чисел в виде, удобном для про- чтения и выполнения арифметических операций. В римской системе счисле- ния есть особые знаки: для единицы – I, пяти – V, десяти – X, пятидесяти – L, ста – C, пятисот – D, тысячи – M. Примеры записи чисел в римской системе приведены в таблице. Римская система более или менее пригодна для вы-

* Другой вариант см. в «Занимательной арифметике» Я. И. Перельмана.

полнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобна для умно- жения и деления.

Запись чисел в различных системах счисления

Десятичная	Римская	Двоичная	Троичная	Четверичная
1	I	1	1	1
2	II	10	2	2
3	III	11	10	3
4	IV	100	11	10
5	V	101	12	11
6	VI	110	20	12
7	VII	111	21	13
8	VIII	1000	22	20
9	IX	1001	100	21
10	X	1010	101	22
11	XI	1011	102	23
12	XII	1100	110	30
13	XIII	1101	111	31
14	XIV	1110	112	32
15	XV	1111	120	33
16	XVI	10000	121	100
17	XVII	10001	122	101
18	XVIII	10010	200	102
19	XIX	10011	201	103
20	XX	10100	202	110
21	XXI	10101	210	111
22	XXII	10110	211	112
28	XXVIII	11100	1001	130
48	XLVIII	110000	1210	300
101	CI	1100101	10202	1211
151	CLI	10010111	12121	2113
1966	MCMLXVI	11110101110	2200211	132232
1980	MCMLXXX	11110111100	2201100	132330

1997	MCMXCVII	11111001101	2201222	133031
2000	MM	11111010000	2202002	133100
5000	MMMMM	1001110001000	20212012	1032020

Если в записи положение цифр (знаков) не играет важной роли, то си- стему счисления называют непозиционной. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков. У древних вавилонян система счисле- ния вначале тоже была непозиционной, но впоследствии они научились ис- пользовать информацию, заключенную в порядке записи цифр, и перешли к позиционной системе счисления. При этом, в отличие от используемой нами системы счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при пере- мещении на одну позицию, у вавилонян при перемещении знака происходи- ло изменение значения числа в 60 раз. Следы вавилонской системы счисле- ния сохранились до наших дней: в часе – 60 минут, в минуте – 60 секунд.

Долгое время в вавилонской системе счисления не было нуля, то есть знака для «пропущенного» разряда. В IX веке появился особый знак для ну- ля. Десятичная система распространилась по всему миру.

Например,      записывая      2653,      мы      имеем      в      виду      число 2 ×10³ + 6 ×10² + 5 ×10¹ + 3×10⁰ . Особая роль отводится числу 10: все числа пред- ставляются в виде суммы различных степеней десяти с коэффициентами, принимающими значения от 0 до 9. Поэтому эта система и называется деся- тичной. А что будет, если вместо десяти использовать какое-нибудь другое число, например 6? По аналогии нам потребуются шесть цифр-символов. В качестве их мы можем взять знакомые нам символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, которые будут обозначать числа от нуля до пяти. Число 6 мы примем за единицу сле- дующего разряда, и поэтому в нашей новой системе счисления оно будет за- писываться так: 10. Продолжая аналогию, мы можем представить любое натуральное число в виде суммы различных степеней шестерки с коэффици-

ентами от нуля до пяти. Например,

7 = 1× 6¹ +1× 6⁰

или

45 = 1× 6² +1× 6¹ + 3× 6⁰ . По-

этому в новой системе счисления, которая называется шестеричной, есте-

ственно записывать число

710

как 11₆ ,

4510 как 1136

(индекс у числа означает,

что это число записано в данной системе счисления).

Нетрудно понять, что в шестеричной системе счисления можно запи-

сать любое натуральное число. Покажем, как это сделать для числа 450₁₀ .

Наибольшее число, являющееся степенью шестерки и не превосходя-

щее 450, – это 216. Разделим 450 на 216 с остатком: 450 = 2 × 216 +18 .

Неполное частное равно 2. Поэтому первой цифрой шестеричной запи- си числа 450 будет 2.

Остаток от деления равен 18. Разделим его на предыдущую степень

шестерки (на первом этапе мы делили на

6³ , а теперь на

6² ) с остатком:

18 =

0 × 36 +18 . Неполное частное равно 0, поэтому вторая цифра – 0. Остаток

равен 18.

Разделим с остатком 18 на 61: 18

= 3 × 6 + 0 . Значит, третья цифра равна

3, остаток – 0. Таким образом, последняя цифра равна 0. Итак, 450₁₀ = 2030₆ .

При построении новой системы счисления мы не пользовались ника- кими специфическими  свойствами числа 6. Аналогично по любому нату-

ральному числу

n, n

>   1, можно построить n -ичную систему счисления, в ко-

торой запись числа связана с его разложением по степеням числа n .

Еще в XVII веке немецкий математик Лейбниц предложил перейти на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Напри- мер, 106 = 1101010₂ .

Однако в XX веке, когда были созданы компьютеры, оказалось, что для выполнения арифметических операций на машинах самой удобной является именно двоичная система счисления.

Удобным компромиссом между человеком и машиной являются шест- надцатеричная и восьмеричная системы счисления. Дело в том, что очень легко переводить числа из двоичной системы в любую из них, а по краткости

записи восьмеричная система почти такая же, как десятичная, а шестнадца- теричная даже короче.

Операции над натуральными числами в n -ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой си- стемы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Напри- мер, для троичной системы счисления таблицы таковы:

+	0	1	2		×	0	1	2
0	0	1	2		0	0	0	0
1	1	2	10		1	0	1	2
2	2	10	11		2	0	2	11

В двоичной системе счисления таблицы сложения и умножения удиви- тельно просты:

0 + 0 = 0  0 × 0 = 0

0 + 1 = 1  0 × 1 = 0

1 + 1 = 10 1 × 1 = 1

Пользуясь этими таблицами, легко складывать и вычитать:

10 + 11 = 101, 111 + 101 + 1100, 101 + 11 = 10, 110110011 + 10111 =

= 111001010.

Эти примеры в десятичной системе выглядят следующим образом: 2 + 3 = 5, 7 + 5 = 12, 5 – 3 = 2, 435 + 23 = 458.

Умножаем в двоичной системе:

11101×101 = 10010001, 10111011×1100101 = 100100111000111,

11011×1101 = 101011111.

В десятичной системе эти примеры выглядят так:

29 × 5 = 145 , 187 ×101 = 18887 , 27 ×13 = 351.

В двоичной системе можно записывать не только целые числа. Напри- мер, двоичная запись 101,1010111 в десятичную систему переводится сле- дующим образом:

4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

= 5,6796875 .

2    8     32    64    128

Решение задач на переход от недесятичной системы счисления к десятичной и наоборот

1.   Запишите в указанной системе счисления:

А)1587 = x2 ; Б) 178 = x3 ; В)

594 = x₆ ; Г)

354₆ = x₂ ; Д)

2531₇ = x₆ ; Е)

937 = x₂ ;

Ж) 120210010123 = x10 ; З)

2.   Выполните действия:

2234210₅ = x₃ .

А) 2131₄ + 3201₄ ; Б)

231342₅ - 42123₅ ; В)

2546 + 3426 ; Г) 321204 + 52718 ;

Д) 4259 - 7238 ; Е) 3205 : 325 ; Ж)

43211₅ :100₃ ; З)

2317 × 246 .

3.   Найдите основание системы счисления:

А) 43x

= 27 ; Б) 324x

= 89 ; В)

421x -143x   = 234x ; Г) 53x ×16x   = 880x .

4.   «Странная семья». У меня 100 братьев, младшему 1000 лет, а стар- шему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Что это за семья?

5.   Запишите число 111₁₀ в одиннадцатеричной системе счисления (в ка-

честве недостающей цифры 10 принято использовать букву А).

6.    Запишите число 1110100111 2 в шестнадцатеричной системе счисле- ния (в качестве недостающих цифр от 10 до 15 принято использовать буквы А, В, С, D, E, F).

Ответы

1. А) 1587 = 30638 = 110001100112 ; Б) 178 = 2012 ×13 ; В) 594 = 24306 ;

Г) 3546 = 100011102 ; Д) 25317 = 124256 ; Е) 937 = 11101010012 ;

Ж) 120210010123 = 103550 ; З) 22342105 = 39930 = 20002022203 .

2.     Г)     11100101001 2 ;          Д)     –1708 ;     Е)

З) 2317 × 246 = 120 × 28 = 3360 .

10₅ ;           Ж)     309;

3.   А)

x = 6 ; Б)

x = 5 ; В)

x = 6 ; Г)

x = 9 .

4.    Числа записаны в двоичной системе. В семье четыре брата. Млад- шему 8 лет, а старшему 15 лет, он учится в 9 классе.

Фокусы, связанные с различными системами счисления

Угадывание предмета по таблицам

Ведущий. Вы видите перед собой различные геометрические фигуры и инструменты. Здесь выписаны все их названия.

1.  Куб.

2.  Шар.

3.  Окружность.

4.  Круг.

5.  Линейка.

6.  Циркуль.

7.  Цилиндр.

8.  Треугольник.

9.       Квадрат.

10.     Параллелограмм.

11.     Сегмент.

12.     Транспортир.

13.     Сектор.

14.     Пирамида.

15.     Трапеция.

Они же выписаны в этих четырех таблицах:

Таблица № 1	Таблица № 2	Таблица № 3	Таблица № 4
Куб Сектор Трапеция Сегмент Окружность Линейка Цилиндр Квадрат	Шар Окружность Цилиндр Циркуль Трапеция Пирамида Сегмент Параллелограмм	Круг Линейка Циркуль Сектор Транспортир Трапеция Пирамида Цилиндр	Треугольник Трапеция Сектор Пирамида Транспортир Квадрат Параллелограмм Сегмент

Можете выбрать любой из этих предметов так, чтобы я не видел. Я бе- русь с помощью несложных расчетов установить, какой предмет вы выбрали. Кто желает проделать этот фокус?

К доске идет ученик М.

Ведущий отворачивается так, что видит только список с 15 названия- ми, но не видит ни таблиц, ни самих предметов. Затем он продолжает: «Вы- бери, М., любой из предметов на столе. Подними его так, чтобы видели все, кроме меня. Записан ли этот предмет в таблице № 1?» – «Да». – «А в таблице

№ 2?» – «Нет». – «А в таблице № 3?» – «Да». – «А в таблице № 4?» – «Нет».

Ведущий. Я угадываю: ты выбрал линейку.

О б ъ я с н е н и е

Каждому предмету соответствует определенное число – номер, под ко- торым название предмета значится в общем перечне. Например, сектору со- ответствует число 13, линейке – число 5. Переведем все эти номера в двоич- ную систему счисления. Тогда каждое из чисел записывается не более чем четырьмя цифрами. Например, число 14 запишется как 1110, число 5 запи- шется как 101 или (что то же) 0101.

Таблицы составлены так. В первой таблице помещаются такие и толь- ко такие слова, чьи номера в двоичной системе счисления имеют на первом месте 1. Например, слову «сектор» соответствует число 13, в двоичной си- стеме счисления 1101; на первом месте справа – 1; поэтому мы это слово по- мещаем в таблицу № 1. В таблицу № 2 помещаем те слова, чьи номера в дво- ичной системе счисления имеют на втором месте (считая справа налево) цифру 1. Например, слово «цилиндр» входит под номером 7, то есть в дво- ичном разложении под номером 111. Вторая справа с конца – 1. Поэтому слово «цилиндр» мы включаем в таблицу № 2. Аналогично составлены таб- лицы № 3 и № 4. Например, в таблице № 4 помещаются те слова, в чьих но- мерах (в двоичной записи) на четвертом месте (считая справа налево) стоит

1.    Когда М. говорит, что выбранный им предмет имеется в таблице № 1 и

№ 3, но не значится в таблицах № 2 и № 4, можно записать номер этого предмета в двоичной системе счисления: 0101; или в десятичной системе

счисления    0 × 2³ +1× 2² + 0 × 2 +1, то есть 5. Под номером 5 в таблице из 15

предметов значится слово «линейка». Значит, М. выбрал линейку.

Угадывание любого целого числа от 1 до 31 с помощью двоичной системы счисления

Пусть этот фокус проводят два ученика – А и Б.

Б выходит из комнаты, А вызывает к столу 5 учеников (кто желает) и выстраивает их в один ряд. Затем он предлагает присутствующим в комнате называть любое число от 1 до 31. В уме он переводит число в двоичную си-

стему счисления и расставляет учащихся так, чтобы нулю соответствовал ученик, стоящий лицом к присутствующим, а единице – ученик, стоящий не- сколько боком к аудитории. Например, если предложено число 13, то в дво- ичной системе счисления оно запишется так: 1101 или (что то же) 01101. За- тем А уходит в сторону (или вовсе выходит из комнаты). Приглашают Б, и он, посмотрев на пятерку учеников, восстанавливает в уме по их расположе- нию загаданное число (сначала в двоичной системе, а затем переводит в де- сятичную). Можно видоизменить этот эффектный фокус, например, ставить вместо нулей и единиц мальчиков и девочек или вместо нуля книгу лицевой стороной, а вместо единицы – книгу задней стороной к зрителю.

Дополнительные задачи

1.        Докажите, что разность между трехзначным числом и числом, за- писанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может быть квадра- том натурального числа в десятичной системе счисления.

2.        Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Бриллиант массой m разделен на две части. В каком случае общая цена двух частей бу- дет наименьшей?

3.        За 3,5 часа работы один штамповочный пресс может изготовить 42 % всех заказанных деталей. Второй пресс за 9 часов работы может изго- товить 60 % всех деталей, а скорость выполнения работы на третьем прессе относится к скорости выполнения работы на втором прессе как 6:5. За сколь- ко времени будет выполнен весь заказ, если все три пресса будут работать одновременно?

4.        Средняя линия трапеции равна 20 см и делит площадь трапеции в отношении как 2:3. Найдите длины оснований трапеции.

Ответы

1.       Пусть   трехзначное   число   будет    abc ,   а   разность   d .   Тогда

d = 100a +10b + c -100c -10b - a = 99(a - c) = 9 ×11(a - c). Так как (a - c) < 11, то

d ¹ n² .

2.       Пусть масса первой части будет

m + x . Тогда масса второй части

2

m - x . Цена первой части

2

aæ m

ç 2

è

2

+ 

ö

x ÷

ø

, цена второй части

aæ m

ç 2

è

2

- 

ö

x ÷

ø

, цена двух

частей   бриллианта   равна

æ m + x ÷

+  aæ m

2

- 

ç

ö

x ÷

æ    2

m

= aç

ö

+ 

2

2x ÷ .   Она   будет

a

ö

2

ç

è 2       ø

è 2       ø        è 2            ø

наименьшей при x = 0 , то есть когда бриллиант разделят на две равные части.

3.       Найдем время выполнения заказа каждым прессом:

3,5 :

0,42

= 8 1 (ч),

3

9 : 0,6

= 15(ч);

15 : x

= 6 : 5 , где x – время выполнения за-

каза   третьим   прессом.   Значит,

x = 12,5

(ч).    Искомое   время   равно

æ

ç 1       1

ö

1 ÷       3

1: ç       +

ç 8 1    15

+        ÷ = 3

12,5 ÷       4

(÷) .

3

ç                         ÷

è                         ø

4.       12 см и 28 см.

Примеры устных упражнений

1.   Вычислите устно:

А) 34 × 48 +18×12 + 23× 24 ;   Б)

120 × 239 -119 ;   В) 195 × 6 ;

119 × 239 + 120

Г) 63 + 29 ;   Д) æ 4 1 - 6 4 + 3,6ö - æ - 1 ö .

ç                       ÷    ç1       ÷

2

5

5

è                       ø    è         ø

2.   Тане не хватает 2 рублей для покупки 8 воздушных шаров. Если она купит 5 шаров, то у нее останется 10 рублей. Сколько стоит шар? (Ответ: 4 рубля.)

3.    В семье пять братьев. У каждого из них есть одна сестра. Сколько всего детей в семье? (Ответ: 6.)

4.   Три землекопа за 2 часа вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 земле- копов за 5 часов?

(Ответ: за 2 часа 6 землекопов выроют 6 ям, за 5 часов – в 2,5 раза больше, то есть 15 ям.)

5.       Один восьмиклассник писал о себе так: «Пальцев у меня 24, на каждой руке 5, а на ногах 12». Как же так могло быть? (Ответ: ученик вос-

пользовался     восьмеричной     системой      счисления:

12₈ = 1× 8 + 2 = 10₁₀ .)

24₈ = 2 × 8 + 4 = 20₁₀ ,

6.       Решите уравнение x - 2008 = 2009 .

7.        Можно ли расставить 10 стульев вдоль стен квадратной комнаты так, чтобы возле каждой стены было поровну стульев? (Ответ: можно. Надо поставить по стулу в два противоположных угла комнаты и, кроме этого, по два стула у каждой стены.)

Пример «десятиминутки»

– Как умножить в уме два двузначных числа, близких к 100?

94 × 97 = 9118

Как я произвел умножение?

Я узнаю, каков недостаток первого сомножителя (94) до 100. Это будет

6. Недостаток второго сомножителя (97) до 100 равен 3. Затем я из одного сомножителя (94) вычитаю недостаток (3) второго сомножителя до 100; по- лучаю 91. Приписываю к результату произведение 3 × 6 , то есть 18.

Значит, 94 × 97 = 9118

6 3

Я пользуюсь правилом: если надо перемножить два двузначных числа, близких к 100, то можно поступать так: найти недостатки сомножителей до сотни; вычесть из одного сомножителя недостаток второго до сотни; к ре- зультату приписать двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

Возьмем другой пример:

98 × 86 = 8428

2 14

ра.

А почему можно так умножать числа? Ответ на этот вопрос дает алгеб-

Пусть нужно перемножить двузначные числа x и y , близкие к 100.

x = 100 - a , где

a - недостаток числа x до 100.

y = 100 - b .

x × y = (100 - a)(100 - b) = (100 - a)×100 -100b + ab = (100 - a - b)×100 + ab = (x - b)×100 + ab

Итак, в произведении всего ( x - b ) сотен и, кроме того, еще ab единиц. Отсюда и вытекает наше правило. Оно наиболее удобно, если a и b меньше 25.

Предложите теперь два трехзначных числа, близких к 1000.

997 × 936 = 933192

3   64

Учащимся предлагается сформулировать и доказать самим дома пра- вило для умножения трехзначных чисел, близких к 1000.

Неопределенные уравнения первой степени

Самые разные задачи практического содержания часто приводят к уравнениям, в которых неизвестные по своему смыслу могут принимать только целочисленные значения. Уравнения в целых числах рассматривались еще в глубокой древности. Особенно много ими занимался александрийский математик Диофант, имя которого и носят уравнения в целых числах. Прос- тейшим примером диофантова уравнения служит линейное уравнение

ax + by = c

в целых числах (естественно, с целыми коэффициентами

a,b, c ).

Оно может быть решено разными способами.

Пусть

a,b, c – ненулевые целые числа. Уравнение

ax + by = c в целых чис-

лах не имеет решений, если число с не делится на наибольший общий дели-

тель пары чисел

Задача 1

a, b .

Можно ли набрать сумму в 1000 рублей с помощью купюр достоин- ством в 1 рубль, 10 рублей, 100 рублей таким образом, чтобы всего было ис- пользовано ровно 40 купюр?

Р е ш е н и е

Если сумму в 1000 рублей можно набрать с помощью

x, y, z

купюр до-

стоинством в 1 рубль, 10 рублей, 100 рублей соответственно, то справедливо

равенство  x +10y +100z = 1000 . Если к тому же всего купюр должно быть

x + y + z = 40 ,    то   целые   числа

y, z

должны   удовлетворять   уравнению

(40 - y - z)+10y +100z = 1000 , или

9y + 99z = 960 . Так как число 960 не делится на

наибольший общий делитель пары чисел 9 и 99, равный 9, то уравнение не имеет решений.

О т в е т: нельзя.

Задача 2. Затруднение кладовщика

На складе имеются гвозди, упакованные в ящики по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Может ли кладовщик отпустить 140 кг гвоздей, не вскрывая ни одного ящика?

Р е ш е н и е

Задача сводится к решению уравнения 16x +17 y + 40z = 140 в целых неот- рицательных числах.

Заметим, что число y не может быть равным 0, так как иначе уравне-

ние

16x + 40z = 140

в целых числах имело бы решение, что противоречило бы

утверждению задачи (ибо число 140 не делится на число 8 (наибольший об- щий делитель чисел 16 и 40)). Далее, число x также не может быть равным 0, так как иначе было бы выполнено равенство 17 y = 140 - 40z = 10(14 - 4z) и неот-

рицательное число (14 - 4z ) делилось бы на 17 при целом неотрицательном

значении z , что невозможно. Наконец, число z также не может быть равным

0, так как иначе из равенства 17 y = 140 -16x = 4(35 - 4x)

следовало бы, что чис-

ло 35 - 4x кратно 17 при x > 0 , что невозможно.

Таким образом, числа

x, y, z

должны быть положительными, а числа

x¢ = x -1,

y¢ = y -1, z¢ = z -1

– целыми неотрицательными, удовлетворяющими

уравнению 16x¢ +17 y¢ + 40z¢ = 67.

Аналогичные рассуждения показывают, что

y¢ ¹ 0, x¢ ¹ 0,

то есть числа

x¢ = x¢ -1 и

y¢ = y¢ -1 должны удовлетворять уравнению 16x¢

+ 17 y¢

+ 40z¢

= 34

в целых неотрицательных числах, которое имеет единственное решение

x¢ = 0, y¢ = 2, z¢ = 0. Таким образом, возвращаясь к исходным неизвестным, мы

получаем единственное решение первоначального уравнения x = 2, y = 4, z = 1,

то есть 140 кг гвоздей можно отпустить только с помощью 2 ящиков по 16 кг, 4 ящиков по 17 кг и 1 ящика в 40 кг.

Задача 3. Состав с углем

На станцию привезли 420 т угля в вагонах вместимостью по 15 т, по 20 т и по 25 т. Сколько каких вагонов было использовано, если известно, что всего было 27 вагонов?

Р е ш е н и е

Пусть было использовано

x, y, z

вагонов вместимостью по 15 т, по 20 т

и по 25 т соответственно. Тогда имеем

15x + 20y + 25z = 420 ,

x + y + z = 27 , то

есть числа

y, z

должны удовлетворять уравнению

15(27 - y - z)+ 20y + 25z = 420

в натуральных числах. Преобразовывая это уравнение, получаем y + 2z = 3 , то

есть

y = z = 1 и

x = 25. Итак, было использовано 25 вагонов по 15 т, 1 вагон в

20 т и 1 вагон в 25 т.

Общее решение

Пусть пара чисел

x = x0 ,

y = y0

удовлетворяет уравнению

ax + by = c в

целых числах с взаимно простыми коэффициентами a, b . Докажем, что фор-

мулы

x = x₀ + bk, y = y₀ - ak

с целым параметром k задают все решения этого

уравнения.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Если пара чисел

x, y

наряду с парой чисел

x0 , y0

удовлетворяет уравне-

нию

ax + by = c

в целых числах со взаимно простыми коэффициентами

a, b , то

имеем

ax + by = ax0 + by0 ,    откуда

a(x - x0 )+ b(y - y0 ) = 0 .     Так    как    число

x - x0

= b(y0  - y) a

является целым, а числа

a, b

не имеют общих делителей, то

число

k = y0 - y

a

также является целым. Поэтому

x - x0

= bk и

y - y0

= ak , от-

куда получаем равенства x = x0 + bk, y = y0 - ak .

Мы доказали, что любое решение уравнения задается указанными формулами. С другой стороны,   при   любом целом значении   k   имеем a(x0  + bk )+ b(y0  - ak ) = ax0  + by0   = c , то есть ничего кроме решений эти формулы

не задают.

Задача 4. Сколько нужно мешков?

Для перевозки зерна имеются мешки, в которые входит либо 60 кг, ли- бо 80 кг зерна. Сколько надо заготовить тех и других мешков для загрузки 1 т зерна таким образом, чтобы все мешки были полными? Какое наимень- шее количество мешков при этом может понадобиться?

Р е ш е н и е

60x + 80y = 1000 , или 3x + 4y = 50 .

Одно   целочисленное  решение   этого   уравнения  нетрудно  угадать

x = -50, y = 50 .

Учитывая формулы общего решения, получаем: x = -50 + 4k, y = 50 - 3k .

Теперь для того чтобы найти все натуральные решения, наложим огра-

ничения

4k - 50

³ 0,

50 - 3k

³ 0, из которых выведем оценки 12 < k < 17 .

Таким образом, полагая последовательно неотрицательные решения:

k = 13, 14, 15, 16 , найдем все

x₁ = 2, y₁ = 11;

x₂ = 6, y₂ = 8;

x₃ = 10, y₃ = 5;

x₄ = 14, y₄ = 2.

Наименьшее количество мешков найденных решений.

x + y = 13

достигается при первом из

Дополнительные задачи

1.        У продавца имеются 100-граммовые гирьки и консервные банки весом по 450 г. Как с их помощью отвесить на чашечных весах 2,5 кг сахар- ного песка за один раз, используя для взвешивания наименьшее количество гирек и банок в общей сложности?

О т в е т: продавец должен на одну чашку весов положить 6 банок, а на дру- гую 2 гирьки и взвешиваемый сахар. Весы уравновесятся, если сахара будет 2,5 кг.

2.       Решите в целых неотрицательных числах уравнения:

69x - 91y = 1996 .

2x - 246y = 345 ;

3.       Решите   уравнения  в   целых   числах:

7x + 4y - 9z = 89 .

5x + 8y = 29 ;

89x -144y = 1;

4.       При каких натуральных n число 8n + 3 делится на 13?

5.        Мой брат купил несколько одинаковых ручек. Каждая ручка стоила 13 рублей. Брат имел деньги достоинством только в 5 рублей. Он уплатил все свои деньги (у него было больше 200 рублей, но меньше 300 рублей), и про- давец дал ему сдачи 1 рубль. Сколько ручек купил брат?

Устные упражнения

1.        Возникла необходимость устно перемножить числа 85 и 95. Укажи- те 2–3 удобных способа для умножения «в уме» этих чисел.

2.   Вычислите 99 - 97 + 95 - 93 + ... + 3 -1. (Ответ: 50.)

3.       Правильная или неправильная дробь

244 × 395 -151 ?

244 + 395 × 243

4.        Множимое увеличили на 20 %, а множитель уменьшили на 20 %. Как изменится произведение? (Ответ: уменьшится на 4 %.)

5.        После того как пешеход прошел 1 км и половину оставшегося пути, ему еще осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь? (Ответ: 9 км.)

6.       Существуют ли треугольники, у которых один из углов равен раз-

ности двух других углов? (Ответ: прямоугольные треугольники, так как ес-

ли Ð1 = Ð2 - Ð3, то есть

Ð2 = Ð1+ Ð3. Но

Ð2 = 180⁰ - (Ð1+ Ð3), или

Ð2 = 180⁰ - Ð2 ,

то есть

Ð2 – прямой.)

Пример «десятиминутки»

Как возвести в квадрат число, близкое к 50?

Назовите любое число, близкое к 50, но большее, чем 50.

ния?

Например, 58.

58² = 3364 . Как я так быстро и устно произвел вычисле-

Объясним смысл выражения: приписать к данному числу a двумя цифрами другое данное число b . Это означает: умножить число a на 100 и к тому, что получится, прибавить число b .

Пусть мне нужно возвести в квадрат число x , близкое к 50, но большее

50. Это число запишем так: x = 50 + a , где a – избыток числа x над 50.

Например: 58=50+8, x

= 58,

a = 8 .

Итак, x

= 50 + a,

a = x - 50 .

x²  = (50 + a)2   = 2500 +100a + a²  = (25 + a)×100 + a²  = (25 + x - 50)×100 + a²  = (x - 25)×100 + a²

Итак, если возводим в квадрат число x , то в результате сотен будет

x - 25 . И, кроме того, еще a ² единиц.

Отсюда следует правило: если требуется возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то можно поступить так: 1) вычесть из этого числа 25; 2) приписать к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.

Пример: 58² = 3364 .

О б ъ я с н е н и е. 58 - 25 = 33, 8² = 64, 58² = 3364 .

Ученикам предлагается самостоятельно придумать прием возведения в квадрат чисел, близких к 50, но меньших 50 (или чисел, близких к 500).

Геометрические упражнения с листом бумаги

– Среди множества возможных действий с бумагой особое место зани- мает операция ее перегибания. Одним из достоинств этой операции является то, что ее можно производить, не имея под рукой никаких дополнительных инструментов – ни линейки, ни циркуля, ни даже карандаша. Этим вы, ко- нечно, неоднократно пользовались, когда складывали из бумаги пилотку, ко- раблик и т. п.

Практические свойства бумаги порождают своеобразную геометрию, с элементами которой мы и познакомимся. Роль линий в этой геометрии бу- дут играть края листа и складки, образующиеся при его перегибаниях, а роль точек – вершины углов листа и точки пересечения складок друг с другом или с краями листа. Оказывается, возможности операции перегибаний листа очень велики. То, что они включают в себя всю геометрию одной линейки, не вызывает сомнений. Но они в определенной степени таят в себе также и возможности циркуля, хотя и не позволяют проводить непосредственно дуги окружности.

Заметим, что при реальной работе с бумагой нужно учитывать следу- ющие обстоятельства. Если складывать лист бумаги в несколько раз, то сами складки получаются все менее и менее четкими из-за того, что настоящая бумага имеет некоторую, пусть незначительную, но ненулевую толщину. Этот эффект иногда начинает проявляться уже при втором перегибании. Следовательно, решая задачи на нашем занятии, мы должны складывать бу- магу по возможности в меньшее число раз. Будем искать более экономные пути решения.

Для решения задач необходимо обеспечить всех учащихся индивиду- альными листами глянцевой цветной бумаги (на лицевой и оборотной сторо- нах – разные цвета).

Задача 1. Середина отрезка

На листе бумаги отмечены две точки А и В. Как с помощью перегиба- ний этого листа разделить отрезок АВ пополам?

Обычно бумагу перегибают следующим образом: одну часть листа накладывают на другую и, прижав их друг к другу в определенном месте од- ной рукой, разглаживают оба листа другой рукой до образования складки. Если при этом некоторые две точки А и В бумаги оказались прижатыми друг к другу, то любая точка С складки будет равноудалена от точек А и В, так как отрезки АС и ВС после разглаживания окажутся прижатыми друг к другу.

Поскольку множество таких точек С совпадает с серединным перпендикуля- ром к отрезку АВ, то полученная складка будет прямой линией.

Итак, мы перегибаем лист бумаги по прямой линии так, чтобы сами точки остались на видимой стороне бумаги после перегибания. Тогда, при- жав друг к другу точки А и В неразвернутого листа и разгладив этот лист, мы получим искомую точку С на прямой АВ, равноудаленную от точек А и В.

Задача 2. Перпендикуляр к прямой

Как с помощью перегибаний листа бумаги провести прямую, перпен- дикулярную данной прямой и проходящую через данную точку?

Задача 3. Параллельная прямая

Как с помощью перегибаний листа бумаги провести прямую, парал- лельную данной прямой и проходящую через данную точку?

Проведем сначала перпендикуляр к данной прямой, а потом проведем перпендикуляр к полученной прямой, проходящей через данную точку. По- следняя прямая будет параллельна данной, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой.

Задача 4. Центр круга

Как с помощью перегибаний найти центр вырезанного из бумаги кру- га? Можно ли найти центр круга, нарисованного на непрозрачной бумаге?

Если круг вырезан из бумаги, то, перегнув его пополам по некоторому диаметру АВ (для этого нужно, чтобы при наложении две полуокружности совместились друг с другом), а затем перегнув лист еще раз так, чтобы сов- местились точки А и В, мы получим центр О круга.

Если же круг нарисован на непрозрачной бумаге, то перегнем лист по какой-нибудь хорде и по серединному перпендикуляру АВ к ней, а затем найдем середину О этого перпендикуляра. Точка О будет центром круга, так как АВ – его диаметр.

Задача 5. Построения в треугольнике

Из бумаги вырезан треугольник. Укажите, как с помощью перегибаний найти следующие линии и точки этого треугольника: биссектрису данного угла; высоту, опущенную из данной вершины (если углы при двух других вершинах острые); медиану, проведенную к данной стороне.

Для построения биссектрисы угла А треугольника АВС перегнем лист бумаги так, чтобы сторона АВ пошла по стороне АС. Тогда линия сгиба бу- дет осью симметрии угла ВАС, то есть его биссектрисой.

Задача 6. Сумма углов треугольника

С помощью перегибаний произвольного бумажного треугольника про- демонстрируйте тот факт, что сумма углов при его вершинах равна 180⁰.

Идея доказательства ясна из рисун- ка. АС – большая сторона треугольника,

MN – средняя линия, MP ^ AC, NQ ^ AC.

Перегнем  треугольник  по

MN, MP, NQ.

В новом положении три угла у вершины

D образуют развернутый угол.

Задача 7. Из прямоугольника квадрат

Из бумаги вырезан прямоугольник. Получите из него квадрат со сторо- ной, равной меньшей стороне прямоугольника.

Перегнем прямоугольный лист бумаги по биссектрисе одного из его углов BAD, то есть так, чтобы сторона AB прямоугольника ABCD пошла по соседней с ней стороне AD, а линия

сгиба пересекла какую-то третью сторону в точке E (см. рисунок). Пусть меньшая сторона AB оказалась наложенной сверху на большую сторону AD. Тогда, перегнув нижнюю часть листа вдоль линии BE, мы получим квадрат ABEF. Действительно, в четырехугольнике ABEF выполнены равенства

ÐABE = ÐBAF

= 90⁰ ,

AB = BE

(ибо

ÐBAE = 45⁰ = ÐAEB ),

AB = AF, BE = EF , следо-

вательно, все стороны этого четырехугольника равны, а углы прямые.

Задача 8. Парадокс с разрезанием ковра

Один фокусник (имя его за давностью забылось) нашел способ, как разрезать квадратный ковер на четыре части, а затем сложить из этих частей прямоугольный ковер большей площади.

Способ этот такой. Разобьем каждую сторону квадрата на восемь рав- ных частей, проведем прямые линии, как указано на рисунке, и разрежем по ним квадрат на четыре части. Затем сложим эти части так, как показано на следующем рисунке, получим прямоугольный ковер. Площадь прямоуголь- ного ковра больше площади квадратного ковра, так как 13× 5 = 65, а 8 × 8 = 64 . В чем же дело? Почему увеличилась площадь?

Вы сможете отве- тить на этот вопрос са- мостоятельно, если нарисуете большой квадрат (чем больше,

тем лучше), разрежете его по «выкройке» и сложите по следующей «выкройке».

Подобные парадоксы с разрезанием квадрата или прямоугольника и связанные с этим математические задачи рассмотрены в книгах М. Гарднера

«А ну-ка догадайся» и «Математические головоломки».

Проект по использованию решения задачи-парадокса о разрезании ковра (для наиболее подготовленных учащихся)

1.     Выполнив указание к решению парадокса о разрезании ковра, вы

обнаружите, что в ковре, составленном по вы- кройке второго рисунка, есть «дыра». Можно ли утверждать, что «дыра» имеет форму параллело- грамма?

2.      Можете ли вы предложить аналогич-

ную выкройку для ковра 13×13 (м²) так, чтобы

площади исходного ковра и вновь сложенного отличались на 1 м²?

О т в е т. Вот выкройка для ковра 13 м × 13 м. Размеры нового ковра будут 21 м × 8 м, его площадь 168 м², а площадь исходного 169 м².

Пример «десятиминутки»

Математические софизмы

1. 2 × 2 = 5!

Пусть имеем два числа a

= 4, b

= 5 . Обозначим их полусумму через d ;

d = a + b ;

2

a + b = 2d , так что a

= 2d

-   b,

2d - a

= b.

Умножим       последние       два       равенства       почленно;       тогда

2d × a - a² = 2d × b - b².

Умножим обе части равенства на – 1. Получим: a² - 2da = b² - 2db .

Прибавим      к      обеим      частям      по

a² - 2da + d ²  = b² - 2db + d ² , то есть (a - d )2   = (b - d )2 .

d ² ,      тогда      получим:

Следовательно,

a - d = b - d , отсюда

a = b ; но

a = 4,b = 5 , значит,

4 = 5 , то

есть

2 × 2 = 5, что и требовалось доказать.

2.   Спичка вдвое длиннее телеграфного столба!

– Каждый скажет, что телеграфный столб, конечно, длиннее спички. А

я берусь доказать, что каждая спичка длиннее телеграфного столба и притом ровно вдвое!

Действительно, пусть a   – длина спички (в дм), b    – длина столба

(в дм). Обозначим

b - a

через c , так что

b - a

= c,

b = a + c . Перемножим

эти равенства почленно. Получим b² - ab = ca + c² . Вычтем из обеих частей

bc.

Получим

b² - ab - bc = ca + c² - bc ,

b(b - a - c) = c(a + c - b),

b(b - a - c) = -c(b - a - c).

Отсюда

b = -c,     но

c = b - a ,   так   что

-  c = a - b.

Таким   образом,

b = a - b, a = 2b .

Но что такое a ? Длина спички. А b ? Длина столба. Итак: спичка вдвое длиннее телеграфного столба, что и требовалось доказать!

3.        Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе!

Пусть    BO    –   биссектриса   угла   B ,    D     –   середина   катета    AC ,

DO ^ AC,OE ^ BC,OF ^ BA . Так как O   на биссектрисе угла B , то OF = OE .

Δ BFO = Δ BEO (по гипотенузе и катету). По-

этому

BF = BE (1).

Далее OA = OC , ибо каждая точка перпен-

дикуляра к отрезку AC , проходящего через середину AC , равноудалена от A и C . Так как OF = OE , то Δ AOF =Δ COE , и поэтому

AF = CE (2). Складывая почленно (1) и (2), по-

лучим AB = CB , то есть катет равен гипотенузе,

О б ъ я с н е н и е Обычно кто-либо из

что и требовалось доказать.

учащихся догадывается, что точка O не может

быть внутри Δ ABC . Тогда нужно показать, что если O вне Δ ABC или на его

стороне, то опять

AB = CB . Именно, показываем, что

BF = BE ,

AF = CE . От-

сюда

AB = CB .

Оба случая невозможны, что и доказывается полученным противоре-

чием (на самом деле F вне отрезка BA , а E на отрезке BC ).

Аналогично «доказывается» софизм: «Все треугольники равнобедрен-

ные».

Устные упражнения

1.    Сколько вы видите на рисунке квадра- тов, треугольников, трапеций?

2.    Андрей живет на пятом этаже, а Костя живет в том же доме вдвое выше, чем Андрей. На каком этаже живет Костя?

3.   Вычислите:

26 2 %

3

от 30.

4.   Вычислите:

1

a - 3

+ 2 +

1

3 - a

- 2a - 2

a

, если

a = 0,01 .

5.   Что больше:

99 или

100

100 ;

101

18 или

115

90 ?

573

6.    Первую половину пути мотоциклист проехал со скоростью 30 км/ч, вто- рую – со скоростью 60 км/ч. Какова его средняя скорость?

7.   Могут ли стороны пятиугольника быть равными 1 м, 2 м, 4 м, 8 м, 16 м?

Математический фокус

Задумай однозначное число, удвой его, прибавь 1, умножь на 5, вычти 2, прибавь 301, зачеркни среднюю цифру, к остатку прибавь 3. Ты получил 37.

О б ъ я с н е н и е

Последовательно выполненные операции можно записать формулой.

x – задуманное число. (2x +1)× 5 - 2 + 301 = 3×100 +10x + 4 = 3x4 .

Первая цифра 3, вторая x , третья 4. Если зачеркнуть среднюю, то по- лучим 34. 34 + 3 = 37. В данном примере после того, как зачеркивается неиз- вестная цифра x , отгадчик уже знает, что его товарищ, задумавший число, написал 34. После этого он может производить с полученным числом любые операции. Например, прибавить 3, отнять 17, умножить на 2 и т. д. Результат все равно ему будет известен.

Придумать самим учащимся такие фокусы не составит труда. Напри-

мер:

1.    x – любое число.

((x + 273 + 8 - 31+ 350 - x + 200)¸ 4)× 3 = 600 .

2. ((x +11)× 2 - 20)× 5 -10x = 10 .

3. x + x + 12 - x + 3 = 9 .

2

Дополнительные задачи

1.      Треугольник  ABC – равнобедренный,  AB = BC ; треугольник  ABD

также равнобедренный,

AB = AD ,

ÐDAC = 10⁰ ,

ÐDBC = 20⁰ . Найдите длину BD ,

если AB = a .

Р е ш е н и е

1)       Обозначим

ÐD = a ; Δ ABD – равно-

бедренный,

AB = AD ,    значит,

ÐD = ÐABD

и ÐABC = a - 20⁰ .

2)       Сумма  углов  треугольника  равна

180⁰, поэтому ÐBAD = 180⁰ - 2a .

3)       Треугольник ABC равнобедренный,

AB = BC , значит,

ÐBAC = ÐBCA ,

но ÐBAC = ÐBAD +10⁰ = 190⁰ - 2a . Сумма углов этого треугольника равна 180⁰,

поэтому

2(190⁰ - a )+ a - 20⁰ = 180⁰ , откуда a = 60⁰ .

4)       В равнобедренном треугольнике ABD , в котором ÐB = ÐD , угол D

равен 60⁰. Отсюда следует, что этот треугольник правильный, все его сторо-

ны равны. Итак, BD = AB = a .

2.   Высоты

AA1 и

CC₁ треугольника ABC равны между собой. Докажите,

что треугольник равнобедренный,  AB = BC . Найдите периметр этого тре-

угольника, если

AC = 5 и

AA1 = 4 .

Р е ш е н и е

1)   Прямоугольные треугольники

C1 AC

и A1CA

равны, у них общая ги-

потенуза AC и равные катеты CC₁ = AA₁ . Из равенства этих треугольников

следует равенство углов

C1 AC

и   A₁CA . Это

означает, что в треугольнике ABC углы, при- лежащие к стороне AC , равны между собой. Если два угла треугольника равны, то тре-

угольник равнобедренный, AB = BC .

2)  Если AC

= 5 ,

AA1   = 4

то A₁C =                        = 3 .

3)    Пусть

AB = x , тогда

BC = x ,

BA₁ = x - 3 .

Из  прямоугольного  треугольника

ABA     имеем

AB ² = BA ² + AA ² ,   то есть

x²  = (x - 3)2  + 4² . Находим

1                                                                          1                     1

x = 25 .

6

4)  Вычисляем периметр треугольника ABC :

P = 2AB + AC = 2x + AC = 40 =

3

13 1 .

3

3.    Через середину диагонали BD прямоугольника ABCD проведена перпен- дикулярная ей прямая, она пересекает сторо-

ну AB в точке M , а сторону CD в точке N .

Известно, что

AB = a

и BM

= 2AM . Найдите

длину отрезка MN и периметр прямоуголь- ника ABCD .

Р е ш е н и е

1)   Δ AMO =Δ CNO , так как

ÐAOM = ÐCNO

ÐOAM = ÐOCN

(как вертикальные),

(как накрест лежащие при па-

раллельных прямых AB и DC ) и

AO = OC

(диагонали прямоугольника, пере-

секаясь, делятся пополам). Из равенства этих треугольников следует

MO = ON, MO = 1 MN .

2

2)   Из

BO = OD

следует, что Δ BOM = Δ DOM (катет OM – общий и равны

катеты BO и OD ), тогда BM = MD .

3)     AB = a, AM

= a , BM

3

= 2 a.

3

Как установили,

MD = BM , то есть

DM = 2 a .

3

Из прямоугольного треугольника AMD   находим

AD =

= a .

BD =

4)  Из прямоугольного треугольника ABD находим

= 2a .

5)        BO = 1 BD =

2

a , из прямоугольного треугольника   BOM    находим

MO =

= a , поэтому

3

MN = 2MO = 2 a.

3

6)   Вычисляем периметр прямоугольника ABCD :

P = 2(AB + AD) =

æ a + a ö

2ç            ÷.

è          3 ø

Построение, чтение и применение графиков График – «говорящая линия», которая может многое рассказать. Подготовительное задание

На графике показано, как в течение недели колебался курс акций ком-

пании А на торгах. По горизонтальной оси отмечены дни, а по вертикаль-

ной – курс акций в тысячах пунктов в течение дня.

1)    Каким был курс акций к от- крытию торгов в пятницу?

2)    В какие дни курс акций па- дал?

А) Понедельник, вторник, пят- ница

Б) Вторник, среда

В) Среда, четверг, пятница Г) Среда, четверг

3)  В какой день торги закончились самым большим курсом акций? А) В понедельник Б) Во вторник В) В среду Г) В четверг

4)  За какой день курс акций изменился больше всего?

А) За вторник     Б) За среду     В) За четверг     Г) За пятницу

5)   На сколько пунктов вырос курс акций за первые три дня недели?

Задача 1

Фирма начала продавать две новые модели телефонов – А и В. На гра- фиках показано, как росло в течение года количество проданных телефонов. (По горизонтальной оси откладывается время, прошедшее с начала продаж, в месяцах; по вертикальной – число телефонов, проданных с начала продаж, в тыс. шт.). Сколько всего телефонов этих двух моделей было продано за первые десять месяцев?

П р е д о с т е р е ж е н и е. По такому графику можно задать много вопросов – от- вечайте на поставленный во- прос.

С о в е т. Если нужно, то проведите вертикальные прямые через указанные точки горизонтальной оси. Обязательно получатся точ- ки пересечения, располо- женные в вершинах квадра-

тиков. Не забывайте о единице измерения по вертикальной оси. Прочитав графики, внимательно прочитайте вопрос задания и дайте ответ.

Р е ш е н и е

Телефонов модели А за первые 10 месяцев продано 400 тыс. штук. Теле-

фонов модели В за первые 10 месяцев продано 400 тыс. штук. Тогда за 10 месяцев телефонов моделей А и В продано 800 тыс. штук.

Задача 2

На графике показано, сколько угля добыли шахты А и Б с 1990 по 2000 год. По го- ризонтальной оси отмечены годы, а по вертикальной – ко- личество угля, добытое шахтой с 1990 года, в миллионах тонн.

1)  Сколько миллионов тонн угля было добыто на шахте Б за 1997 год?

2)  Сколько тысяч тонн угля было добыто на шахте А за 1995 и 1996 го- ды?

3)  Сколько миллионов тонн угля было добыто на двух шахтах вместе, начиная с 1991 по 1992 год?

4)  За сколько лет после 1990 года шахта Б добыла 6 миллионов тонн уг-

ля?

5)  В каком году шахта Б добыла меньше всего угля за год?

Задача 3

Компания предлагает на выбор

два разных тарифа для оплаты те- лефонных разговоров: тариф А и тариф В. Для каждого тарифа зави- симость стоимости разговора от его продолжительности изображе- на графически. На сколько минут хватит 250 рублей, если использу- ется тариф А? Сколько придется

заплатить за 140 минут разговора, если используется тариф В? Сколько при- дется заплатить за 40 минут разговора, если используется тариф А? На сколько минут хватит 300 рублей, если используется тариф В?

Ось абсцисс – продолжительность, мин. Ось ординат – стоимость разговоров, руб.

Задача 4

График описывает движение парус- ной яхты, которая первую часть пути прошла под парусом. Спустив парус, она продолжила движение.

км/ч).

1)  Найдите скорость яхты «под парусом» и «без паруса» (выразив ее в

2)  На каком расстоянии от начала движения находилась яхта через 50

минут, через 2 часа?

3)  Сколько времени потребуется яхте на обратный путь, если она будет двигаться с той же скоростью, что и на первом участке «под парусом»?

Р е ш е н и е

1)    Под парусом яхта прошла 30 км за 60 минут, то есть за 1 час, значит ее скорость была 30 км/ч. Без паруса яхта прошла 5 км за 60 минут, значит ее скорость была 5 км/ч.

О т в е т: скорость яхты «под парусом» 30 км/ч, скорость яхты «без па- руса» 5 км/ч.

2)    На графике найдем точку с абсциссой, равной 50. Найдем ординату этой точки. Она равна 25. Получили, что за 50 минут яхта пройдет 25 км. Аналогично за 120 минут – 35 км.

О т в е т: за 50 минут яхта пройдет 25 км, за 120 минут – 35 км.

3)    Обратный путь составляет 35 км. Скорость яхты 30 км/ч. Найдем

время обратного пути: t = S

= 35 = 7 ч, что составляет 1 час 10 минут.

V

О т в е т: 1 ч 10 мин.

Задача 5

30     6

Постройте графики функций:

А)

В) y =

y =         ; Б)

-

y = (-

- x )2 ;

;

Г) y =     x -1.

Р е ш е н и е

А) Из определения квадратного корня следует, что

= x .

Б) Функция определена при

x £ 0 ,

y = -x .

        

В) y =

-                = x - 2 - x +1 . При

x £ -1 функция

y = -x + 2 + x +1 = 3 .

При

x Î (- 1;2)

функция

y = 2 - x - x -1 = 1- 2x .

При

x ³ 2 функция

y = x - 2 - x -1 = -3.

Г) Функция определена для всех х. При

х = 1 значение функции равно 0.

Дополнительные задачи

1.   Постройте графики функций:

А) y = -

x ; Б) y =

-        x²

- 2x +1; В)

y =                            .

2.   Решите уравнения:

А) ( 2 +     + )( 2 +

+ )=

; Б)

x² - 3bx + x + 2b² - 2b = 0 ;

x      5x    3 x

5x    1     63

x² - 7x + 6

В) x -

- 2 +

+ 6 - x = 8 .

3.   Бассейн наполняется тремя насосами за 3 часа, причем первый насос производительнее второго вдвое. Если бассейн наполнять двумя насосами: сначала на ½ объема первым и третьим насосами, а затем на ½ объема вто- рым и третьим, – то он наполнится за 5 часов. За какое время бассейн напол- нится, если будет работать только третий насос?

4.     Исследуйте, сколько решений имеет уравнение

различных значениях параметра a .

x -1 -1 -1 = a

при

5.   Задача Пуассона. Известному французскому математику Пуассону в юности предложили задачу. Заинтересовавшись ею, Пуассон затем увлекся математикой и посвятил этой науке всю свою жизнь. Вот эта задача.

Некто имеет 12 пинт вина (пинта – мера объема) и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один в 8, другой в 5 пинт. Спрашивается: каким образом налить 6 пинт вина в сосуд в 8 пинт?

Пример проекта «Кусочно-линейная функция»

1.   Постройте последовательно графики следующих функций:

А) y =

Б) y =

x +1 ;

x +1 + x ;

В) y =

Г) y =

x +1 + x + x - 2 ;

x +1 + x + x - 2 + x - 3 .

2.   Графики построенных функций являются ломаными. Их крайние (бесконечные) звенья симметричны относительно некоторой оси. Найдите эту ось для каждого из графиков.

3.   Чем отличаются друг от друга ломаные – графики функций, имею- щие четное и нечетное число звеньев?

4.   В каких точках функции принимают наименьшее значение? Вычис- лите эти значения.

5.   Рассмотрим аналогичную функцию с нечетным числом угловых то-

чек графика (вершин ломаной):

y = x - a₁ + x - a₂

+ x - a3

+ x - a4

+  x - a5  , (a1  < a2  < a3  < a4  < a5 ).

А) В какой точке функция принимает наименьшее значение? Б) Чему равно наименьшее значение функции?

В) Относительно какой оси симметричны крайние звенья графика?

6.      Рассмотрим функцию с четным числом угловых точек графика:

y =  x - a1   + ... +  x - a6  , (a1  < a2   < ... < a6 ).

А) На каком промежутке функция постоянна? Б) Чему равно наименьшее значение функции?

В) Относительно какой оси симметричны крайние звенья графика?

7.   Предложите обобщение предложенных задач.

Пример проекта «Парабола»

Даны парабола

y = x²

и две лежащие на ней точки

A (x ; y ) и A (x ; y ).

1       1        1                    2        2         2

1.   Докажите, что угловой коэффициент прямой

A1 A2

равен

x1 + x2 .

2.   Пусть прямая, параллельная прямой

A1 A2 , пересекает параболу в

точках

B1 и

B₂ . Докажите, что сумма абсцисс точек

A1 и

A₂ равна сумме абс-

цисс точек

B1 и

B2 .

3.   Пусть С – точка пересечения прямой те ординату точки С.

A1 A2

с осью ординат. Вычисли-

4.   Пусть прямая, проходящая через точку С, пересекает параболу в

точках

С1 и

С₂ . Докажите, что произведение абсцисс точек

A1 и

A₂ равно про-

изведению абсцисс точек С1 и С2 .

5.   Пусть

A(x0 ; y0 )

– точка параболы с абсциссой

x = x1 + x2 . Докажите,

0                   2

что уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой

A1 A2 , может быть записано в виде y + y0 = 2xx0 .

6.   Докажите, что прямая, построенная в предыдущем задании, имеет единственную точку пересечения с параболой (эта прямая является каса- тельной к параболе в точке A ).

Устные упражнения

1.   Между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, не меняя их порядка, расставьте зна- ки + и – так, чтобы получилась единица. (Ответ: 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 = 1.)

2.   Сколько будет полторы трети от 100? (Ответ: 50 (полторы трети

11 × 1 = 1 ).

2 3     2

3.   Указите все дроби со знаменателем 15, которые больше

5   , но

11

меньше

6   . (Ответ:

11

5 = 75 ;

11    165

6 = 90

11    165

. Чтобы получить дроби со знаменате-

лем 15, выберем в этом промежутке дроби, допускающие сокращение на 11;

таких дробей будет две:

77 и

165

88 . Итак, искомые дроби

165

7 и 8 .)

15      15

4.   Как изменится частное, если из делителя вычесть

1      его? (Ответ:

3

новый делитель составляет

2      прежнего, то есть равен прежнему, умножен-

3

ному на

2 . Значит, новое частное равно прежнему, деленному на

3

2 , то есть

3

увеличится в полтора раза.)

5.   Задача Эйлера. Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание: «Старший из мо-

их сыновей должен получить 1000 рублей и

1 остатка; следующий – 2000

8

рублей и

1 нового остатка; третий сын – 3000 рублей и

8

1 третьего остатка и

8

т. д.». Определите число сыновей и размер завещанного сбережения.

О т в е т. Так как все сыновья получили поровну, то

1 каждого нового

8

остатка была на 1000 рублей меньше

1 предыдущего остатка, а значит, весь

8

новый остаток был на 8000 рублей меньше предыдущего. Так как, по усло- вию, все деньги были поделены полностью, то когда младший сын получил

по завещанию кроме нескольких тысяч рублей еще

1 остатка, этого остатка

8

не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 рублей. Из него предпо-

следний сын получил

1 , равную 1000 рублей, а остальные 7000 рублей по-

8

лучил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей

было 7, а завещанная сумма

7000 × 7

= 49000 рублей.

Примерные задания олимпиад

Вариант 1

1.  

ç

Упростите выражение: æ     6

+    1    ö y ² + 6 y + 9 .

 

÷

è

ø

ç y ² - 9     3 - y ÷         5

2.   Зная, что

m = 1 ,

найдите значение выражения:

n - 2m .

n      3                                                                      m

3.   Пассажир едет в поезде, который идет со скоростью 60 км/ч, и ви- дит, что мимо окна проходит встречный поезд в течение 4 с. Какова скорость встречного поезда, если его длина равна 120 м?

4.   Постройте график функции y = x - 3 .

5.   Восстановите математическую запись примера: АННА + ВАЛЯ = 4809 ;

здесь разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы – одина- ковые цифры.

6.   Докажите, что биссектрисы внешних углов прямоугольника, пересе- каясь, образуют квадрат.

Вариант 2

1.   Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1 – 2 – 4 – 8 – 16 = 19 стало верным.

2.   Постройте график уравнения  (x -1)2  × y = 0 .

3.   Одну овцу лев съедает за 2 дня, волк – за 3 дня, а собака – за 6 дней. За сколько дней они вместе съедят овцу?

4.   Постройте треугольник по данной высоте, углу при основании и ме- диане, проведенной из этого угла.

5.   В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в ко- тором не менее 34 учеников.

6.   Можно ли разрезать разносторонний треугольник на два равных треугольника?

О т в е т ы

Вариант 1

1. - y + 3 .   2. 1.  3. 48 км/ч. 5. 1661+3148=4809.

5

6. Рассмотрим ΔCKD (см. рису- нок). Так как CK и DK – биссектрисы внешних       углов      прямоугольника

ABCD , то ÐKDC = ÐKCD = 45⁰ , а Δ KCD

– равнобедренный и прямоугольный. Примем длины сторон CK и DK за c . Аналогично Δ NBC , Δ PAD , Δ MAB яв- ляются равнобедренными и прямо- угольными, причем Δ NBC =   Δ PAD , Δ KCD = Δ MAB .      Обозначив      длину

NC    за d , получим, что все стороны прямоугольника MNKP имеют длину

( c + d ), поэтому MNKP  является квадратом.

Вариант 2

1. 1- 2 - 4 - 8 -16 = 19 .

2.    Графиком уравнения являются две прямые, заданные уравнениями:

y = 0 и x = 1.

3.   Лев съедает за сутки

1 овцы, волк –

2

1 овцы, собака –

3

1 овцы. Тогда

6

вместе за сутки они съедят 1 + 1 + 1 = 1 (овцу). О т в е т: за один день.

2    3     6

4.   План построения.

1)   Строим угол A .

2)         Строим множество точек, находящихся на расстоянии, равном данной высоте от основания тре- угольника (прямую a ).

3)      Находим точку пересечения

данного множества и второй стороны угла – B . Это будет вторая вершина треугольника.

4)   Строим окружность с центром в вершине угла и радиусом, в 2 раза большим данной медианы. Данная окружность пересечет построенную пря- мую a в некоторой точке M , принадлежащей внутренней области угла BAC .

5)   Соединяем данную точку M с вершиной угла A и делим полученный отрезок AM пополам. Полученную точку O соединяем со второй вершиной

треугольника B , продолжаем прямую до пересечения с основанием тре- угольника и получаем третью вершину треугольника С.

5.   Пусть такого класса в школе нет, то есть во всех классах будет 33 и

менее учащихся. Тогда во всей школе будет не более 33× 30 = 990 учащихся,

что противоречит условию задачи (в школе 1000 учащихся). Значит, наше предположение неверно, поэтому в школе есть класс, в котором не менее 34 учеников.

6.   Пусть Δ ABC разрезан на два равных треугольника (см. рисунок). То-

гда

ÐADB в Δ ADB должен быть равен одному из углов Δ ADC . Но

ÐADB не

может равняться

ÐACD или

ÐCAD , так как внешний угол треугольника всегда

больше     внутреннего     угла    треугольника,     не     смежного     с     ним.

Если        же        ÐADB = ÐADC ,        то

ÐADB = ÐADC = 90⁰ , значит, AD является вы- сотой. Но в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, зна-

чит, AB = AC , что противоречит тому, что

Δ ABC разносторонний.       Поэтому       раз-

носторонний треугольник разрезать на два равных треугольника нельзя.

Примерное содержание математического турнира

I                                                                                                                                                            тур

1. Решите уравнение: x - 2009 + 2009 - x = 2010.

2.     На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям – на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенно- го корма и уткам и гусям вместе.

3.      В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков? Объяс- ните, как вы рассуждали.

4.    В первый месяц бригада перевыполнила задание на 10 %, а во вто- рой – на 20 %. На сколько процентов бригада перевыполнила план двух ме- сяцев?

Р е ш е н и я

1. 2 × x - 2009 = 2010

x - 2009 = 1005

x = 3014

или

x = 1004 .

2.    За 1 день расходуется уткам

1 , гусям –

30

1    привезенного корма, а

45

всего за один день расходуется

1 + 1

30     45

= 1 привезенного корма. Значит, при-

18

везенного корма хватит на 18 дней.

3.      Обозначим число послушных девочек ПД, число непослушных мальчиков – НМ. По условию задачи ПД = НМ. Число послушных мальчиков обозначим ПМ. Тогда ПД + ПМ = НМ + ПМ. Это означает, что в классе по- слушных детей (ПД + ПМ) столько же, сколько мальчиков (НМ + ПМ).

4.   Пусть месячное задание составляет a деталей. В первый месяц бри-

гада сделала 1,1a

деталей, во второй – 1,2a

деталей, а за два месяца –

2,3a

де-

талей. Задание двух месяцев ( 2a

деталей) бригада перевыполнила на

0,3a

де-

талей, или на

0,3a

2a

× 100%

= 15%.

О т в е т: на 15 %.

II                                                                                                                                                          тур

1.         Треугольник поворачивают вокруг центра квадрата O . Докажите, что разность площадей закрашенных частей при этом не из- меняется.

2.    Подряд записывают числа натурально- го ряда, не разделяя их запятыми:

1234567891011121314151617181920… . Какая цифра окажется на 2007 месте?

3.   Постройте график функции y =

x - 2

+ 1.

ды.

4.    Найдите сумму внутренних углов произвольной пятиконечной звез-

5.   Арбуз весил 20 кг и содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то

стал содержать 98 % воды. Сколько теперь весит арбуз?

Р е ш е н и я

1.   Пусть закрашенная часть квадрата имеет площадь

S₁ , закрашенная

часть треугольника имеет площадь S₂ , а незакрашенная часть квадрата и

треугольника имеет площадь S . Тогда разность закрашенных частей равна S1  - S2 =(S1  + S )- (S2  + S ),  то  есть  равна  разности  площадей  квадрата  и  тре- угольника, которая не изменяется при вращении треугольника. Значит, при

вращении треугольника разность закрашенных частей не изменяется, что и требовалось доказать.

2.   В ряду натуральных чисел 9 однозначных и 90 двузначных чисел,

для записи которых использовано стоит на 1818-м месте, если счи- тать    от          первой         цифры   первого трехзначного числа (100). Разде- лим 1818 на 3, получим 606. Это означает, что искомая цифра явля- ется третьей цифрой 606-го трех- значного         числа,           то      есть   числа 606 + 99 = 705.

О т в е т: искомая цифра 5.

3.   См. рис.

9 + 2 × 90 = 189

цифр. Искомая 2007-я цифра

180⁰.

4.   Сумма внутренних углов произвольной пятиконечной звезды равна

5.   Масса «сухого вещества» арбуза составляет 1 % первоначальной

массы, или 20 × 0,01 = 0,2 (кг). После того как арбуз усох, масса «сухого веще-

ства»   составляла  2%   новой   массы   арбуза.  Найдем   эту   новую  массу

0,2 : 0,02 = 10 (кг). После того как арбуз усох, его масса уменьшилась вдвое.

Литература

1.    Алгебра. 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации – 2009 : учебно- методическое пособие / под ред. Ф. Ф. Лысенко. – Ростов н/Д : Легион, 2008.

2.   Гольдич, В. А. 3000 задач по алгебре для 5–9 классов : учебное пособие / В. А. Гольдич, С. Е. Злотин. – СПб. : Издательский дом «Литера», 2001.

3.  

52

Петраков, И. С. Математика для любознательных : книга для учащихся 8–11 классов / И. С. Петраков. – М. : Просвещение, 2000.

4.     Рязановский, А. Р. Геометрия. 7–9 кл. : дидактические материалы / А. Р. Рязановский, О. В. Фролова. – М. : Дрофа, 1999.

5.   Спивак, А. В. Тысяча и одна задача по математике : книга для учащихся / А. В. Спивак. – М. : Просвещение, 2002.

6.   Шестаков, С. А. Сборник задач для подготовки и проведения письмен- ного экзамена по алгебре за курс основной школы, 9 класс / С. А. Шеста- ков, И. Р. Высоцкий, Л. И. Звавич. – М. : АСТ; Астрель, 2004.

7.     Ященко, И. В. Подготовка к экзамену по математике ГИА-9 (новая форма) 2009 г. : методические рекомендации / И. В. Ященко, А. В. Семе- нов, П. И. Захаров. – М. : МЦНМ, 2009.

МЕТОДИЧЕСКИЕ БЛОКИ К ГЛАВАМ КУРСА 9 КЛАССА

Функции

Квадратичная функция

Общие свойства квадратичной функции

Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c . Основные исследова-

ния по ней, решение квадратных уравнений и построение графиков были в программе 8 класса. В рамках 9 класса необходимы некоторые дополнения, не отмеченные в учебнике.

а) Различные варианты записи квадратичной функции имеют вид

y = ax² + bx + c = a(x - x )² + y

= a(x - a)(x - b ) , где

x = - b ,   y = y(x ) , α и β –

0                   0

корни.

0               2a        0                     0

Корни уравнения

ax² + bx + c = 0 :

a = - b +    D ,

2a      2a

b = - b -

2a

D . Полусум-

2a

ма корней дает абсциссу вершины параболы

x0 = - 2a

= a + b . Полуразность в

2

b

ø

æ a - b ö2              D

квадрате есть ç

è

2         ÷ = 4a2 . С другой стороны,

b2           b2

b²         D

y0 = y(x0 ) = 4a - 2a + c = c - 4a = - 4a . Таким обра- зом,        ордината        вершины        параболы

æ a - b ö2

2

y0 = -a × ç           ÷ .

è           ø

б) Рассмотрим случай касания прямой

y = kx + p

с параболой

y = x² . Это случай един-

ственного   решения   уравнения   x² - kx - p = 0 .

Точки касания имеют следующие координаты:

k

k

æ          2

ç    ;

è 2      4

ö

= - p ÷ ,   где

ø

k = ±2         .   При  заданном

значении р возможно простое построение ка- сательных (см. рис. 1).

в) В заключение данного теоретического раздела следует вывести ка- ноническую формулу параболы, одной из трех классических кривых второго порядка.

Напомним определение параболы – это множество точек, каждая из которых равноудалена от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (ди- ректрисы – направляющей параболы) (рис. 2). Из рис. 2 следуют равенства:

æ p      ö 2                          æ       pö 2

AB = BF , ç     - x÷   + y ² = ç x +    ÷ , y² = 2 px .

                                                                                                                       

è 2       ø

è       2 ø

Последнее и есть каноническое уравне-

ние параболы с параметром p, равным расстоя- нию от фокуса до директрисы. Таким образом,

у параболы

y = x²

координаты фокуса æ 0;

ç

è

1 ö .

4 ÷

ø

тельным зеркалом».

Если зеркало представляет собой парабо- лоид вращения, а источник света находится в фокусе параболы, то лучи от источника света после отражения идут параллельным пучком – результат, который был известен еще в средние века арабам, называвшим параболоид «зажига-

Квадратичная функция в заданиях с параметрами

Дальнейшие занятия могут быть посвящены заданиям с параметрами. В этот раздел входят следующие основные занятия, связанные с формулами Виета и исследованием квадратичной функции в зависимости от основных характеристик:

·         знаки корней квадратного уравнения;

·         расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от пара- метра;

·         наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции на проме- жутке.

Эти вопросы хорошо отражены во многих пособиях и учебниках [например, 7]. Ниже приведены задания уровня 9 класса, взятые из сборника задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы [2].

Задачи для самостоятельной работы

1.        x² - 2(a -1)x + 2a +1 = 0 . При каких значениях параметра а корни

уравнения разных знаков и каждый из них меньше 4?

2.       f (x) = x² + mx + m² + 6m . При каких значениях параметра m f(x) < 0

при 1 < x < 2 ?

3.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых боль-

ший корень уравнения меньший корень.

х² - (20а - 3)х +100а² - 30а = 0

в 6 раз больше, чем его

4.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых боль-

ший корень уравнения меньший корень.

х² - (8а - 7)х +16а² - 28а = 0

в 10 раз больше, чем его

5.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых боль-

ший корень уравнения

х² - (14а - 9)х + 49а² - 63а + 20 = 0

меньше 9.

6.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых боль-

ший корень уравнения х² - (14а - 3)х + 49а² - 21а + 2 = 0 меньше –8.

7.   Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравне-

ния

х² + 3х + 7а - 21 = 0 и

х² + 6х + 5а - 6 = 0

имеют хотя бы один общий корень.

8.   Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравне-

ния

х² + 4х - 3а + 7 = 0 и

х² + 7х - 5а +15 = 0 имеют хотя бы один общий корень.

9.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых реше-

ния   уравнения

х = 12 .

(х - 6а)² + (х - 2а)² = 128

симметричны  относительно  точки

10.   Найдите все значения параметра а, при каждом из которых реше-

ния уравнения

х = -3 .

(х - 2а)² + (х - 4а)² = 242

симметричны относительно точки

11.   Для каждого значения параметра а решите уравнение

9(3х -1)а² -(21х -19)а + 2(х -1) = 0 .

12.   Для каждого значения параметра а решите уравнение

2(4х -1)а² -(14х -11)а + 5(х -1) = 0 .

13.    Найдите все значения параметра b, при каждом из которых отно-

шение дискриминанта уравнения ней равно ( 8b - 7 ).

bx² - 3x +1 = 0

к квадрату разности его кор-

14.    Найдите все значения параметра b, при каждом из которых отно-

шение дискриминанта уравнения ней равно ( 5b + 6 ).

bx² + 3x + 5 = 0

к квадрату разности его кор-

15.   Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

î

уравнений   ì

x - 2 y = 5,

имеет   единственное

решение.

íx² + 4xy + 4 y² -18ax - 36ay + 85a² + 20a + 25 = 0

16.   Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

î

уравнений  ì

x + 5y = -5,

имеет единственное

решение.

íx² +16xy + 64 y² -12ax - 96ay + 45a² + 66a +121 = 0

17.   Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравне-

ние

4x + 9a + 5 = 10x + 8a - 3

имеет два различных корня, равноудаленных от

точки

х = 5 .

18.    Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравне-

ние

10x + 7a - 5 = 3x + 2a -1

имеет два различных корня, равноудаленных от

точки

х = -7 .

19.   Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

уравнений

ì

í      ₂

î(2a

6x - 5y + 3 = 0,

- 7a)x - 25y = 2a²

- 9a - 50

имеет не менее четырех решений.

20.   Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

уравнений

ì

í     ₂

î(5a

5x - 8y - 3 = 0,

- 27a)x + 16 y = 5a²

- 32a + 6

имеет не менее восьми решений.

21.    При каких значениях

a ¹ -6

абсциссы всех общих точек графиков

функций

f (x) = x² + 6x + a²  и

g(x) = x² - ax + 36

больше

a² ?

22.     При каких значениях

a ¹ 4

абсциссы всех общих точек графиков

функций

f (x) = x² + 8x + 4a² и

g(x) = x² + 2ax + 64

больше

a² ?

23.            Для     каждого    значения     а     решите    систему     уравнений

ì      x + 7 y = 2,

í

ï      3x + y = a,       .

î

ï5x + 11y = a² + 3a

ì

í

Для каждого значения а решите систему уравнений ï

x + 8 y = 3,

2x + y = a,       .

î

ï5x + 16 y = a² + 6a

24.    При каких значениях параметра а площадь фигуры, заданной си-

стемой неравенств

ì у² + х² - 2ах £ 36 - а² ,

равна 18π?

î

í        (х + 2)² £ 36,

25.   При каких значениях параметра а площадь фигуры, заданной си-

стемой неравенств

ì у² + х² - 2ах £ 4 - а² ,

равна 2π?

î

í        (х + 1)² £ 25,

Дробно-линейная функция

Функция вида

y = ax + b ,

cx + d

где

c ¹ 0,

ad - bc ¹ 0 , называется

дробно-линейной функцией. График этой функции есть ре- зультат растяжения и парал- лельного переноса обычной ги-

перболы

y = 1 . Для построения

x

графика необходимо выделить целую часть этой дроби. Для этого можно разделить «угол- ком» числитель на знаменатель

или провести следующее преобразование:

aæ x + b ö

aæ x + d + b - d ö

bc - ad

ç

y = ax + b =    è

cx + d       æ

÷       ç

a

c        a

ø =   è

d ö

c     a

æ       d ö

÷

ø =     +

c

c2             = y +

d         0

k

x - x

. Таким образом,

c

cç x +     ÷

è          ø

c

cç x +    ÷                    x +                          0

è          ø                           c

построение графика дробно-линейной функции начинается с нахождения

асимптот: горизонтальной

y = y0

и вертикальной

x = x₀ . Точки двух ветвей

графика легко считаются по исходной формуле. Область определения функ-

ции

D( y) = (-¥, x0 ) È(x0 ,+¥) , область значений

E( y) = (-¥, y0 ) È( y0 ,+¥) .

Рассмотрим касательные к графику функции

y = 1 . Это  значит, что

x

уравнение

1   = kx + p x

имеет единственное решение. При заданном значении р

имеем из квадратного уравнения

æ 2     p ö

kx² +

px -1 = 0

= - p2

k

4

и координаты точки

касания ç    ;

è p

÷ . Отсюда и простой алгоритм проведения касательной к по-

2 ø

строенной гиперболе (см. рис. 3). Следует отметить, что площадь отсекаемо- го касательной от осей координат треугольника постоянна и равна 2.

В дидактических материалах представлены задания на построение графиков дробно-линейной функции.

Задачи для самостоятельной работы

1. Постройте график функции 4х2 + 3x у = 3 ×                 . Напишите уравнения 4x3 + 3x2 всех прямых, параллельных оси абс- цисс, которые не имеют общих то- чек с данным графиком

2. Постройте график функции 4х2 - 3x у = 6 ×                 . Напишите уравне- 4x3 - 3x2 ния всех прямых, параллельных оси абсцисс, которые не имеют общих точек с данным графиком

3. Постройте график функции у = х - 2x . При каких значениях а 3                 2 x - 2 прямая y = a пересекает построенный график в единственной точке?	4. Постройте график функции у = - х + 2x . При каких значениях 3                 2 x + 2 а прямая y = a пересекает построен- ный график в единственной точке?
5. Постройте график функции у = х + 2 . При каких значениях а х - 4 х прямая y = a не имеет с построен- ным графиком ни одной общей точки?	6. Постройте график функции у =  х - 3 . При каких значениях а х - 9 х прямая y = a пересекает построен- ный график в единственной точке?
7. Постройте график функции x3 - 2х 2 - 5x + 6 у =                               . При каких зна- 6 + 7x - х3 чениях а прямая y = a пересекает построенный график в единственной точке?	8. Постройте график функции 3x3 - 8х2 - x + 10 у =                              . При каких зна- х3 - 2x2 - x + 2 чениях а прямая y = a пересекает построенный график в единствен- ной точке?
9. Постройте график функции 2x3 -16х2 + 38x - 24 у =                                     . При каких х3 - 7x2 + 14x - 8 значениях а прямая y = a пересекает построенный график в единственной точке?	10. Постройте график функции - x3 - 3х2 + x + 3 у =                               . При каких зна- х3 + 6x2 + 11x + 6 чениях а прямая y = a пересекает построенный график в единствен- ной точке?

Многочлены

Данный раздел должен быть логическим продолжением первой главы учебника, и в то же время уровень его сложности должен соответствовать уровню сложности 9 класса общеобразовательной школы (хотя материал может быть взят из 10 класса [3]). Поэтому сюда входят: теорема Безу, фор-

мулы Виета для кубической параболы, частные случаи многочленов, форму- ла Кардано.

Деление многочленов и теорема Безу

Рассмотрим операцию деления многочлена

Pn (x)

на многочлен

Bm (x)

(n > m). В результате деления, например, «уголком», имеем выражение:

Pn ( x) = Q

( x) + Rm-1 ( x) , или

P (x) = B  (x) ×Q

(x) + R

(x) , где Q

(x)

– непол-

Bm ( x)

n-m

Bm (x)

n                        m                     n-m

m-1

n-m

ное частное, а

Rm-1 (x)

– остаток. В частном случае двучлена

Bm (x) = x -a

по-

лучаем формулу:

Pn (x) = Qn-1 (x)(x - α) + r , где r – число. Из последней записи

следуют некоторые выводы, а именно теорема Безу:

1.   Многочлен

Pn (x)делится на двучлен ( x -a ) тогда и только тогда, ко-

гда α является его корнем.

2.   Остаток r от деления многочлена

Pn (x)

на двучлен ( x -a ) равен зна-

чению многочлена в точке х = α, то есть

Pn (a ) = r .

Одним из характерных заданий по применению теоремы Безу является следующее:   «Найти   остаток   от   деления   многочлена   на   произведение

(x -a) × (х - b ) , если остаток от деления многочлена

Pn (x)

на ( x -a ) равен

r1 ,

а остаток от деления на ( x - b ) равен r₂ ». Учитывая, что степень остатка

должна быть на единицу меньше, чем у делителя, имеем систему равенств:

ìP_n (x) = Q₁( x)( x - α) + r₁,

ïP (x) = Q ( x)( x - b ) + r ,

í n                        2                                            2

ïP (x) = Q ( x)( x - α)( x - b ) + ( px + q).

î n                        3

Из нее следует, что

ìP_n (a ) = r₁ = pa + q,

Таким образом, остаток равен

íP (b ) = r = pb + q.

î n                       2

R(x) = px + q , где

p = r2 - r1 , q = r1b - r2a .

                             

b - a            b - a

Другой пример, когда деление «уголком» невозможно провести до

конца в силу крайней громоздкости процесса деления: «Найти остаток от де-

ления

P(x) на

B(x) , если

P(x) = x2010 + x2011 + x2012 , а

B(x) = x² -1».

В этом случае также имеем систему равенств R(x) = px + q ,

P(x) = Q(x)(x -1)(х +1) + px + q и ì

P(1) = p + q = 3

. В результате

R(x) = x + 2 .

î

íP(-1) = - p + q = 1

Многочлены вида xⁿ

-   aⁿ

и x2m-1 + a2m-1

Рассмотрим многочлены вида

P (x) = xⁿ - aⁿ

и Q2m-1

(x) = x2m-1 + a2m-1 . В

n

первом случае имеем

Pn (a) = 0 , во втором

Q2m-1(-a) = 0 . Таким образом, перед

нами корни многочленов, а следовательно, по теореме Безу, получаем про-

стейшее          разложение         на         множители:

xⁿ - aⁿ = (x - a)× F

(x),

n-1

2m-2

x^2m-1 + a^2m-1 = (x + a)×T     (x).

Приведенные формулы дают возможность решать ряд задач на дели- мость, что вполне можно использовать в рамках программы 9 класса обще- образовательной школы, не привлекая метод математической индукции.

Задача 1

Докажите кратность (11⁴ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ )⁝ 133.

Для этого запишем

(114n+2  + 122n+1 )⁝ 133.

Задача 2

11⁴ⁿ⁺² +12²ⁿ⁺¹ = 121²ⁿ⁺¹ +12²ⁿ⁺¹ = 133× B , где ВÎZ. Отсюда

Докажите кратность (3³ⁿ⁺² +13× 5ⁿ )⁝ 22.

Для          этого          проведем          следующее          преобразование: 3³ⁿ⁺² +13× 5ⁿ = 9 × 27ⁿ - 9 × 5ⁿ + 22 × 5ⁿ = 9(27ⁿ - 5ⁿ )+ 22 × 5ⁿ . Таким образом, выражение имеет вид (9B + 5ⁿ )× 22 , где ВÎZ. Отсюда (3³ⁿ⁺² +13× 5ⁿ )⁝ 22.

Формулы Виета

В учебнике 9 класса [1] есть задание на вывод формул Виета для урав- нений 3-й степени. Выпишем эти формулы:

x³ + ax² + bx + c = (x - a)(x - b )(x - g ) = x³ - (a + b + g )x² + (ab + bg + ga)x - abg ,

a = -(a + b + g ),

откуда

b = ab + bg + ga,

c = -abg .

На эту тему можно подобрать задания, например:

Задача 1

Найдите число a и решите уравнение x³ – 3x² + ax – 2 = 0 при условии, что сумма квадратов корней уравнения равна 1.

ìα + β + γ = 3,

í

Итак, имеем следующую систему: ïαβ + βγ + γα = a,. Используя то, что

ïîα² + β ² + γ² = 1.

(a + b + g )² = a ² + b ² + g ² + 2(ab + bg + ga) , получаем 9 = 1 + 2а, откуда а = 4.

Теперь решаем уравнение x³ – 3x² + 4x – 2 = 0. Подобрав один из кор- ней x = 1, произведем деление полинома, стоящего в левой части уравнения, на двучлен (x – 1). В результате получаем квадратное уравнение x² – 2x + 2 = 0, не имеющее действительных корней.

Следует отметить, что в некоторых заданиях может встретиться сумма кубов    корней    уравнения.    В    этом    случае    из    общего    уравнения

x³ + ax² + bx + c = 0                        нетрудно                  вывести                  формулу:

α³ + β³ + γ³ = (α + β + γ)(α² + β² + γ² - αβ - αγ - βλ) + 3αβγ .

í

ìα ³

= -аα ²

-   bα - c,

Достаточно записать систему равенств:

ïβ 3

= -аβ ²

-   bβ - c,

и сложить их,

γ

=

î

ï 3             -аγ ²

-   bγ - c

воспользовавшись формулой, полученной в предыдущем примере.

Задача 2

При каком значении параметра а три действительных корня уравнения

x³ – 9x² + 25x – a = 0 образуют возрастающую арифметическую про- греccию?

Пусть x, y – первый член и разность арифметической прогрессии соот- ветственно, тогда по формулам Виета имеем следующую систему уравнений:

ìx + (x + y) + (x + 2 y) = 9,

Û ìx + y = 3,

Û ìx + y = 3,

î

íx(x + y) + (x + y)(x + 2 y) + (x + 2 y)x = 25,

í

î3x

² + 6xy + 2 y ² = 25,

í

î3( x

+ y)² - y ² = 25,

откуда y² = 2. Так как по условию y > 0, то y =

a = x(x + y)(x + 2y) = 21.

, x = 3 -

, следовательно,

Решение кубических уравнений

Для многочленов третьей степени существует формула решения урав- нений в общем виде, которая практически не используется в школьной прак- тике. Это определенное методическое упущение школьного курса. Дело в том, что с открытием формулы решения уравнения, известной как формула Кардано, было положено начало расцвету алгебры в XVI веке. С решением кубических уравнений непосредственно связана необходимость введения комплексных чисел.

Итак, пусть кубическое уравнение имеет вид x³ + ax² + bx + c = 0 . Тогда

заменой

x = t - a

3

его сводят к приведенному уравнению

t³ + pt + q = 0 .

Предположим, что корни этого уравнения имеют вид t =        +       . В

этом    случае    подстановка    в     уравнение    приводит    к    выражению:

(³ a + 3 b )( p + 3× 3 ab ) + a + b + q = 0 , которое легко становится тождеством, если

ì a + b = -q

допустить выполнение следующих условий: ï            æ p ö3 . Из решения этой

íab = -ç    ÷

îï           è 3 ø

системы следует известная формула для корней кубического уравнения:

æ q ö2         æ p ö3

t =                    +

,   где

Q = ç    ÷ + ç    ÷

–   дискриминант  кубического

è 2 ø      è 3 ø

уравнения. Так как из анализа формул следует, что уравнение имеет один действительный корень при положительном Q, два действительных корня при равенстве его нулю, а три действительных корня при отрицательном значении Q, то предлагаемые ученикам задания должны соответствовать

значениям Q ³ 0 .

Задача

Решите уравнение

x³ - 9x +12 = 0 .

Имеем

p = -9

и q = 12 , отсюда дискриминант

Q = 9

и корень уравнения

x = -³ 3 -       .

Задачи для самостоятельной работы

В заданиях 1–4 требуется определить значения параметров и корни при заданных условиях.

1.    х3

+   аx²

+ 23x + b

= 0,

Найдите х₃, а, b.

x1 =

-1, x2

= -3.

2. 2х³ + mx²

- 13x + n

= 0,

Найдите х₃, m, n.

x1 =

2, x2

= 3.

3.    х3

+   аx ²

- 7x - 6

= 0,

Найдите х , х , a.

=

2     3

x1             3.

4.    х3

+ 4x ²

+ аx - 18 =

0, Найдите х , х , a.

x1 =

-3.                                                  2     3

В заданиях 5–10 требуется определить значение параметров, приравняв остаток от деления уголком тождественно к нулю.

5. (x³ - ах + b)⁝(x² - 2x + 15)

6. (x³ + mх + n)⁝(x² + 3x +10)

7. (x³ + ах² +1)⁝(x² + bx -1)

8. (x³ + х² + ах + 2)⁝(x² + bx + 2)

9. (x³ - ах² + 2x -1)⁝(x² - bx +1)

10. (x³ + 2х² - ах + 1)⁝(x² + bx + 1)

В заданиях 11–14 требуется решить уравнение, подобрав целочислен- ный корень.

11. х³ -19х - 30 = 0

12. х³ -10х² + 23х -14 = 0

13. х³ + 9х² +11х - 21 = 0

14. х³ + 9х² + 23х +15 = 0

В заданиях 15–18 требуется решить уравнение, сделав соответствую- щую замену.

15. (х² - 6х)² - 2(х - 3)² = 81

16. (х² + 2х)² - (х +1)² = 55

17. (х² + х +1)² - 3х² - 3х -1 = 0

18. (х² + х +1)(2х² + 2х - 3) = -3(1- х - х² )

В заданиях 19–22 требуется решить возвратное уравнение, сделав со- ответствующую замену.

19. 6х⁴ -13х³ +12х² -13х + 6 = 0

20. 30х⁴ -17х³ - 228х² +17х + 30 = 0

21. 2х⁴ + 3х³ - 4х² - 3х + 2 = 0

22. 15х⁴ -16х³ - 30х² +16х +15 = 0

В заданиях 23–26 требуется решить уравнение, сделав соответствую- щую двойную замену.

23. (х + 5)⁴ -13(х + 5)² х² + 36х⁴ = 0

24. 2(х² + х + 1)² - 7(х -1)² = 13(х³ -1)

25. 3(х + 2)² + 2(х² - 2х + 4)² = 5(х³ + 8)

26. 2(х -1)⁴ - 5(х² - 3х + 2)² + 2(х - 2)⁴ = 0

Задания 27–36 – на применение формул Виета.

27.    При каком значении параметра а три действительных корня урав- нения x³ – 24x² + 183x + а = 0 образуют возрастающую арифметическую про- грессию?

28.    При каком значении параметра а три действительных корня урав- нения x³ + 3x² – 13x – а = 0 образуют убывающую арифметическую прогрес- сию?

29.   Найдите число a и решите уравнение x³ – аx² + 7x – 5 = 0 при усло- вии, что сумма квадратов корней уравнения равна (–5) и а > 0.

30.   Найдите число a и решите уравнение x³ – x² + ax – 1 = 0 при усло- вии, что сумма кубов корней уравнения равна 1.

31.    Найдите число a и решите уравнение x³ – x² + a = 0 при условии, что сумма двух корней уравнения равна 2.

32.    Найдите число a и решите уравнение x³ + ax – 2 = 0 при условии, что произведение двух корней уравнения равно 2.

33.   Составьте уравнение третьей степени с коэффициентом при х³, рав- ным 1, корни которого были бы равны квадратам корней уравнения х³ + ах² + bx + c = 0.

34.     Найдите стороны и углы треугольника, периметр которого равен 14, радиус вписанной окружности равен 1, а радиус описанной окружности равен 3.

35.     Найдите стороны и углы треугольника, периметр которого равен 18, радиус вписанной окружности равен 1, а радиус описанной окружности равен 4.

36.     Найдите стороны и углы треугольника, периметр которого равен 20, радиус вписанной окружности равен 1, а радиус описанной окружности равен 5.

В заданиях 37–40 требуется решить уравнение (ср. пример № 56, гл. III из учебника [3]): в первом случае – используя формулу Виета, а во втором – без дополнительного условия, сделав соответствующую замену.

37.    Решите уравнение

x³ + 3

3x² - 28x +10

= 0 , если известно, что про-

изведение двух корней равно 2.

38.   Решите уравнение

x³ +

5x² - 29x + 3

= 0 , если известно, что произ-

ведение двух корней равно 1.

39.    Решите уравнение

x³ -

3x² - 33x + 9

= 0 , если известно, что произ-

ведение двух корней равно 3.

40.    Решите уравнение

x³ - 2

3x² - 25x + 4

= 0 , если известно, что про-

изведение двух корней равно –1.

О т в е т ы

1   а = 9; b = 15; х3 = –5 2 m = –5; n = 30; х3 = –5/2 3 а = 0; х2 = –2; х3 = –1 4 а = –3; х2 = –3; х3 = 2 5 а = –11; b = 30

21 –2; ± 1; 1/2 22 ± 1; 5/3; –3/5 23 –5/3; –5/4; 5/2; 5 24 –1; –1/2; 2; 4

6 m = 1; n = –30 7 а = –2; b = –1 8 а = 2; b = 0 9 а = 2; b = 1 10 а = –2; b = 1 11 –3; –2; 5 12 1; 2; 7 13 –7; –3; 1 14 –5; –3; –1 15 3; 3 ± 2 5 16 –4; 2 17 –1; 0; (-1 ±    5) / 2 18 –2; ± 1; 0 19 2/3; 3/2 20 –5/2; –1/3; 2/5; 3

25 1; 2; (7 ±    33) / 4 26 ±    2 ; 3 ±    2 27 ÷ 5; 8; 11; а = – 440 28 ÷ 3; –1; –5; а = 15 29 1; а = 3 30 1; а = 1 31 –1; а = 2 32   1; а = 1 33 x3 + (2b - a2 )x2 + (b2 - 2ac)x - c2 = 0 34 c = 6; a = 4 +    2; b = 4 -    2;    ÐC = 900 35 c = 8; a = 5 +    7; b = 5 -   7;    ÐC = 900 36 a = 8; b = 6 +   11;    c = 6 -   11;     ÐA = arccos 3 5 - 5 3,     3 ±1 37 - 5 3,     3 ±1 38 - 3 5,     5 ± 2 39 - 3 3, 2 3 ± 3 40 4 3, - 3 ± 2

Планиметрия

Элементы тригонометрии в планиметрии

При решении треугольников, а также в теме «Правильные многоуголь- ники» довольно часто встречаются тригонометрические функции 15°, 22,5°, 18°, 36° и другие. Если указанные выше темы в курсе геометрии рассматри- ваются раньше, чем соответствующие главы алгебры 9 класса, и, тем более, если тригонометрия практически полностью переходит в программу 10 клас- са, то учащиеся должны иметь элементарные представления о функциях не только 30°, 45°, 60°, 90°, но и других, а также уметь пользоваться теоремами синусов и косинусов без привлечения калькуляторов. Это, несомненно, по-

ложительно скажется на общей математической культуре учащихся и подго- товит их к пониманию абстрактной тригонометрии 10 класса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (рис. 4), где СО – медиана. В этом случае точка О – центр опи-

санной окружности. Пусть

ÐA = a , тогда

ÐCOB = 2a . Так

как площадь треугольника СОВ равна половине площади треугольника   АВС,   то   имеем   следующее   равенство:

1                  1 æ c ö2

bc sin a =    ç    ÷ sin 2a .

4                  2 è 2 ø

Учитывая,    что

b = c × cosa ,    получаем

формулу         синуса         двойного         угла

sin 2a = 2sina cosa

.

Следующим необходимым дополнением к решению треугольников является формула

2ac × cosa 𝑙 =       a + c

для вычисления биссектрисы. Данная формула                      (1) легко полу-

чается из выражения

S ABN

+  SBNC = S ABC

с учетом формулы для синуса двойного

угла (все обозначения соответствуют рис. 5).

Рассмотрим теперь треугольник, у которого угол САВ разделен на п равных частей (рис. 6). Воспользу- емся формулой для биссектрисы АQ в треугольнике

ABP, причем принято, что

ÐA = n ×a : AQ = 2AP × AB × cosa .

AP + AB

Учитывая,      что

AQ =

b         ,

cos(n -1)a

AP =

b         ,

cos(n - 2)a

AB =

b

cos na

,     получаем    формулу    для    косинусов

cos na + cos(n - 2)a = 2cosa × cos(n -1)a .

cos 2a = 2cos2 a -1 = cos2 a - sin2 a

В случае если n = 2 , имеем                                                   .

Таким образом, появляется возможность получить тригонометрические функ-ции углов 15°, 22,5° и кратных им 75°, 67,5°, 105°, 157,5°, 165°, если

при этом воспользоваться формулами приведения в первой и второй четвер- ти.

cos²

Например,

15

₀ = 1+ cos 30⁰ =             =

2                4

, cos15⁰ =

8

=            =                .

4

Соответственно sin15⁰ =

6 -    2 = cos 75⁰ = sin165⁰ .

4

В случае если

n = 3, имеем

cos 3a = 2cosa ×cos 2a - cosa , или

Таким образом, появляется возможность получить тригонометрические функции угла 18° и кратных ему 36°, 54°, 72°, 108°, 126⁰, 144°, 162°, если при этом воспользоваться формулами приведения в первой и второй четверти (см. таблицу).

                 

Например, sin 36⁰ = cos 54⁰ = cos(3×18⁰ ) , 2sin18⁰ cos18⁰ = 4cos³ 18⁰ - 3cos18⁰ ,

4sin² 18⁰ + 2sin18⁰ -1 = 0 , sin18⁰ =

5 -1 = cos 72⁰ ,

4

cos 36° =

5 + 1 = sin 54° .

4

Возможно получение еще ряда полезных тригонометрических формул:

sin 2a

= 2 sin a cos a

=    2 sin a cos a

=     2tga    ,

cos ² a + sin ² a

1 + tg ²a

cos 2a

= cos ² a

-   sin ² a

= cos ² a

cos ² a

-   sin ² a

+   sin ² a

= 1 - tg ²a

1 + tg ²a

, которые понадобятся в

дальнейшем. Следует отметить, что для получения формулы тройного угла

достаточно было рассмотреть трисекцию угла в треугольнике вместо деле- ния угла на п частей.

Пифагоровы треугольники

Известны формулы для определения сторон прямоугольного треуголь-

ника через натуральные числа:

a = 2mn,

b = n² - m² ,

c = n² + m² . Исходя из этих

формул можно получить известные тройки чисел (см. таблицу).

a b c 4 3 5 12 5 13 8 15 17 24 7 25 20 21 29 40 9 41 12 35 37 60 11 61 28 45 53 56 33 65 84 13 85 16 63 65 48 55 73 80 39 89 60 91 109

Но существует и другой вариант получения этих тро-

ек    чисел.   Введем    следующие   обозначения:    x = c - b ,

y = c - a . Учитывая, что в прямоугольном треугольнике су- ществуют две формулы вычисления радиуса вписанной

окружности:

2r = a + b - c

(получена из равенства отрезков

касательных, проведенных к окружности) и

r =      ab

a + b + c

(получена из равенства площадей треугольника, получен- ных   двумя  способами),  имеем   следующие  выражения:

a = x + 2r ,

b = y + 2r ,

c = x + y + 2r . Рассмотрим произведение

ху:    xy = ab - 2r(a + b) + 4r² = r(a + b + c) - 2r(a + b) + 4r² ,   то   есть

xy = 2r ² . Таким образом, задавая целочисленные значения радиуса и выбирая натуральные делители х и у, получаем пифагорову тройку

чисел. Сравнивая предыдущие формулы и полученные, можно выявить их

связь:

Между тем сами числа т и п имеют вполне определенный смысл, если обратиться к формулам для синуса и косинуса угла через формулы с танген-

2tg a

сом    половинного    угла.    Мы    видим,    что

sin a = a =

c

2mn n² + m²

=          2    ,

1+ tg ² a

2

2

cos a = b = n - m

2

1 - tg ² a

=             2

. Таким образом, отношение этих чисел есть тан-

c     n² + m²

1 + tg ² a

2

генс половины острого угла в треугольнике

tg a

2

= m .

n

На самом деле мы встретились с частным случаем формул так называ- емого рационального треугольника, в котором, задавая рациональные значе- ния двух тангенсов половинных углов треугольника и радиуса описанной окружности, можно получить треугольник, у которого все параметры будут рациональными числами. В случае с прямоугольным треугольником для по- лучения рационального треугольника достаточно одного тангенса и гипоте- нузы.

Напомним ряд известных формул, с помощью которых всегда можно воссоздать рациональный треугольник. Эти полезные соотноше- ния удобно использовать при составлении задач, где следует применить формулу Герона.

1-    A     B

Итак, пусть даны

 А и

B , тогда

C =       A + B =

tg    tg

2     2 . Далее

tg            tg

2             2

tg        ctg

2              2

tg A

2

+  tg B

2

воспользуемся       тем,       что

2 tg C

2 tg A

sin A =          2   = a ,

1 + tg² A      2R

2

sin B =

2  tg B

2

1+ tg² B

2

= b ,

2R

sin C =           2   =

1+ tg² C

2

c . Учитывая то, что

2R

S = abc

4R

и S = pr , получаем при рацио-

нальных значениях

tg A ,

2

tg B и R рациональные значения a, b, c и S.

2

Например,  пусть

tg A = 1 ,   tg B = 1 ,   тогда   tg C = 11 .   Далееsin A = 8 ,

2     4           2     3                         2      7                               17

sin B = 3 , sin C = 77 . Теперь пусть

                                                            

R = 85

, тогда a = 40, b = 51, c = 77, S = 924 и

5                85                                          2

r = 11.

В заключение приведем небольшую таблицу этих треугольников:

a	b	c	p	S	hа	R	r
3	25	26	27	36	24	325/24	4/3
44	35	75	77	462	21	125/2	6
4	13	15	16	24	12	65/8	3/2
4	53	51	54	90	45	901/30	5/3
6	29	25	30	60	20	145/8	2
7	15	20	21	42	12	25/2	2
7	65	68	70	210	60	221/6	3
8	29	35	36	84	21	145/6	7/3
9	10	17	18	36	8	85/8	2
9	73	80	81	216	48	365/6	8/3
21	10	17	24	84	8	85/8	7/2
11	13	20	22	66	12	65/6	3
11	25	30	33	132	24	125/8	4
12	17	25	27	90	15	85/6	10/3
14	13	15	21	84	12	65/8	4

Теорема Стюарта

Формулы, позволяющие определить медианы и биссектрисы треуголь- ника по заданным сторонам треугольника, являются частными случаями бо- лее общей формулы, которая составляет основу теоремы Стюарта. Рас- смотрим треугольник АВС (см. рис. 7), в котором АВ = с, ВС = а, ВК = х, АК = p, КС = q, АС = b. По заданным четырем параметрам а, с, p, q опреде- лим отрезок ВК.

Воспользуемся известным равенством для

векторов

BA = c,

BC = a,

BK = x :                                   ,

из которого, после возведения в квадрат, получаем

выражение   2 =

p       ×   2 +      q

2

2

× ² +

2 pq    ® ®

x       (p + q)2     a

(p + q)2     c

(p + q)2   a× c .

С другой стороны,

®  ®

2 a× c = a² + c² - b² .

Таким образом, после подстановки и преобразования получаем форму-

лу для определения отрезка ВК:                                            . (2)

Тот же результат можно получить, если записать теорему косинусов для х из треугольника АВК и для стороны а из треугольника АВС, выбрав

одинаковый угол А. Далее из системы двух выражений исключить cos A .

Из формулы (2) следуют выражения для медианы и биссектрисы тре- угольника.

Пусть отрезок ВК – медиана треугольника, тогда

p = q = b , и выраже-

2

ние принимает вид:                         .

Пусть отрезок ВК – биссектриса треугольника, тогда, учитывая, что

 p = c = b - q , получаем еще ряд формул:

q =   ab  , p =   bc   ,

𝑙² = ac - pq . (3)

q     a        q

a + c

Решение треугольников

a + c       ^b

В решении треугольников возможно не- сколько типов задач, при решении которых необ- ходимы четкое знание многих формул и точные результаты. Причем при умело подобранных па- раметрах больших трудностей они не вызывают. Во всех последующих задачах предполагаются обозначения, представленные на рис. 8.

Задача 1

Дано: DАВС, а = 7, b = 15, c = 20	Р е ш е н и е Площадь треугольника нетрудно рассчитать по формуле Герона: S =    p( p - a)( p - b)( p - c) , где p = (a + b + c)/2 – полупериметр треугольника. Высота, про- веденная к стороне а, найдется как h = 2S . a             a Радиусы описанной и вписанной окружностей определя- ются равенствами: R = abc , r = S . Применяя теорему косинусов, 4S            p получаем  os C = a + b - c . В результате вычислений имеем: 2             2            2 c 2ab p = 21, S = 42, ha = 12, r = 2, R = 12,5, cosC = –3/5.
Найти: S, ha, R, r, cosC

Задача 2

Дано:	Р е ш е н и е В       известные       соотношения       a2 = b2 + c2 - 2bc cos A , S = 1 bc sin A ,    R =     a         подставляем  найденные   ранее 2                          2 sin A значения функций sin15° =    6 -    2 и cos15° =    6 +    2 и по- 4                                  4 лучаем ответ:   a 2 = 4 - 2 3 = 3 - 2 3 +1,   откуда   a =    3 - 1 , S = 3 -    3 , R = ( 3 -1)× 4 =    2 . 2               2 2( 3 -1)
DАВС,
b = 2,
c =   6 ,
ÐА = 15°
Найти:
а, S, R

Задача 3

Дано: DАВС, b = 5, c = 10, S = 15

Р е ш е н и е Из формулы для площади треугольника S = 1 bc sin A вы- 2 ражаем sin A = 2S = 3 . Тогда  cos A = ± 4      (см. рис. 9). Теперь, bc     5                                      5 пользуясь    теоремой    косинусов    для    треугольника    АВС a2 = b2 + c2 - 2bc cos A , получаем возможные значения длины сто- роны а: éa2 = 45,    откуда éa = 3 5, . êa2 = 205,                 êa =     205 ë                                ë

Найти: a

Для большей определенно- сти задачи можно указывать, ту- пым или острым является угол А. На рис. 9 наглядно показана раз- ница между этими случаями.

Задача 4

Дано: DАВС, ÐВ = 45°, ÐА = 30°, с =   3 + 1	Р е ш е н и е Теорема синусов для DАВС дает     a      =      b sin 30°     sin 45° откуда 2a =    2b =   3 +1 = ( 3 +1)4 = 2 2 . Тогда a = Площадь легко находится по известной формуле:			= 2	c      , sin105° , b = 2.
Найти: a, b, S	S = 1 absin C = 1 × 2 × 2                  2	2 × 6 +     4	2 = 3 +1 . 2

Задача 5

Дано: DАВС, ÐA = 30°, a = 17, b = 16	Р е ш е н и е По теореме синусов для DАВС     a    =    b    , откуда sin A     sin B sin B = b sin A = 16 × 1 = 8 . Т. к. b < a, то ÐB < ÐA, поэтому cos a             17  2     17 B > 0. Из основного тригонометрического тождества полу-
Найти: ÐB, c	чаем cos B = 15 . 17 Теорема косинусов для DАВС дает c2 + a2 - 2ac cos B = b2 , откуда      после      подстановки       получаем      уравнение: c2 - 30c + 33 = 0 , откуда c = 15 ± 8 3 . Как уже   указывалось   ранее,   ÐB   <   ÐA,   поэтому ÐС > 120°, следовательно, c > a и c > b, значит, c = 15 + 8 3 .

Задача 1

Олимпиадные задачи на треугольники

Отрезок ВN является биссектрисой тре- угольника АВС. Найдите NС, если АВ = 30, АN

= 20, ВN = 16 и угол ВNС равен углу ВСА. (см. рис. 10) (задача № 536 б, Л. С. Атанасян и др. Геометрия 7–9. М. : Просвещение, издания до 2008 г.).

Из условия задачи следует, что сторона а = 16, следовательно, из про-

порции

x = 16

20     30

находим, что

x = 10 2 . Однако из формулы (3) для биссектри-

3

сы имеем следующее: 16² = 30 ×16 - 20 × x и

x = 11 1 . При данных условиях мож-

5

но получить и третье значение для отрезка, отличное от двух первых!? Зада- ча некорректно сформулирована, так как в ней избыточное число данных.

Уберем одно лишнее условие, например равенство углов ВNС и ВСА.

Составим систему уравнений с двумя неизвестными:

ïì                                            x

í        20

= y , 30

, решением которой является система

ìx = 10

ï

í

6 ,

25 . Исследова-

9

ïî16² = 30 × y - 20 × x

ï y = 15

î            25

ние решений задачи можно продолжить, последовательно исключая какое- либо данное.

Задача 2

Сумма двух сторон треугольника 613, 47 арш., третья сторона 263,546

арш. Угол, противолежащий меньшей стороне, равен 47⁰56¢13¢ . Определите

прочие части треугольника и его площадь (выпускной и одновременно всту- пительный экзамен в университет(!) в гимназиях в 1874 г.).

Упростим задачу, скорректировав численные данные: сумма двух сто-

рон

m = 60 , косинус заданного угла

cosa = 3 , третья сторона

5

a = 28 . Пусть b

меньшая сторона треугольника. Тогда имеем следующую систему уравне-

ний: ì

b + c = m,

îb

í 2 = a2

+  c²

-  2ac cosa .

Подставляя из первого уравнения сторону b во второе уравнение, по-

лучаем   решение   системы

ì                m² - a²

ï

c =                         ,

í

2(m - a cos a )       .   Учитывая,   что

m² + a² - 2am cos a

ìb < a,

,

í b < c

ï

ïb =

î

î

2(m - a cos a )

получаем     условия,     которым     должна     удовлетворять     сторона     а:

m

1 + 2 cosa

< a < m × cosa . Следует отметить, что по условиям исходной задачи

получаем

m

1 + 2 cosa

» 262,178 < a = 263,546 .

ìb = 27 11 ,

По   новым   данным   получаем   следующий   результат:

ï           27

í

ï c = 32 16

î            27

S = 365 1 .

27

Задача 3

В равнобедренной трапеции с основаниями АD и ВС угол ВDА

равен 60⁰, точка

рис. 11).

M Î AD ,

AM = 4,

CM = 2

. Найти площадь трапеции (см.

Построим

CN // BD

и получим равносто-

ронний треугольник АСN, площадь которого равна площади трапеции. Пусть сторона тре- угольника равна d, тогда воспользуемся теоре- мой Стюарта для равнобедренного треугольника:

(2 3)² = d ² - 4(d - 4) . Получаем значение   d = 2   и

соответственно площадь трапеции S =       . Так как АМ получилось больше,

чем АN, то следует рассмотреть случай расположения точки М вне треуголь- ника. Разбирая частный случай теоремы Стюарта для равностороннего тре- угольника, получим, что результат не зависит от расположения точки М.

Вывод формул площади четырехугольника

Попробуем сконструировать формулы площади четырехугольника, ис- ходя из аналогии с формулами площади треугольника:

S = 1 ah

= 1 ab sin C = pr =

= abc = 2R² sin Asin B sin C .

2     ^a     2                                                                      4R

Итак, найдем аналог первой формулы в списке. Пусть дан четырех-

угольник ABCD (рис. 12), в котором BM, ON, CK – высоты на основание AD. Составим отношение площадей треугольников, составляющих четы-

рехугольник:

SACD   = CK .    Учитывая   подобие

SAOD           ON

треугольников ACK и AON, имеем:

CK = AC .

Таким образом, получаем следующее равенство:

AC = SABC

AO     SAOB

ON     AO

= SACD .

SAOD

Откуда следует соотношение:

SABC + SACD

SAOB + SAOD

= SABCD

SABD

= CK ,

ON

из которого, с учетом площади треугольника ABD, получаем искомую фор-

мулу для площади четырехугольника:                                   .

Следующие формулы площади четырехугольника аналогичны послед- ним двум формулам списка. Если четырехугольник вписан в окружность, то каждый треугольник из четырех – АВС, ВСD, СDА, АВD (см. рис. 12) – впи- сан в ту же окружность. Таким образом, площади треугольников выражают-

ся через стороны и радиус R:

S      = abd1 ,

ABC             4R

S      = bcd2 ,

BCD             4R

S      = cdd1 ,

CDA            4R

S      = dad2 ,

DAB             4R

где

d1, d2

– диагонали.

Складывая попарно площади треугольников, имеем:

S = S S = S

ABCD

ABCD

= SABC

= SBCD

+  SCDA

+  SABD

= (ab + dc)d1 , 4R

= (bc + ad )d2 .

4R

Перемножив оба выражения, получаем формулу:

S =    d1d2 (ab + dc)(ad + bc) , (4)

4R

из которой, учитывая справедливость теоремы Птолемея, окончательно име-

S = (ac + bd )(ab + dc)(ad + bc) 4R

ем формулу площади четырехугольника:                                             .

Площади треугольников АВС, ВСD, СDА, АВD можно также выразить

и следующим образом:

SABC

= 1 ab sin B ,

2

SBCD

= 1 bc sin C ,

2

SCDA

= 1 cd sin D ,

2

SDAB

= 1 da sin A .

2

Так как четырехугольник вписан в окружность, то sin B = sin D ,

sin A = sin C . Складывая опять попарно треугольники, имеем:

2S

ab + cd =

2S   ,

sin B

bc + ad =

.

sin A

Учитывая, что

d1d2 = 2S

sinj

и подставляя полученные формулы в (4),

после несложных преобразований получаем еще одну формулу площади че-

S = 2R2 sin Asin B sinj

тырехугольника:                                .

Разработка дидактики, где бы использовались перечисленные форму- лы, может быть темой самостоятельной работы учащихся.

Задача

В остроугольном треугольнике проведены высоты АN и СМ. Далее

проведены   перпендикуляры

NP ^ AB

MQ ^ BC .   Отношение

S ABC

SMPQN

= 81 ,

20

MN = 20 . Найдите радиус описанной окружности треугольника АВС (см. рис. 13).

Пусть

ÐBAC = a ,

ÐBCA = g ,

ÐABC = b . Четы-

рехугольник МВNF можно вписать в окружность,

следовательно, углы

ÐBFM

= ÐBNM = ÐHFC = a .

Аналогично

ÐBFN

= ÐBMN = ÐHFA = g .

Отсюда

PN = MN sin g ,

MQ = MN sin a ,

SMPQN

= 1 d d sin(180 2 1 2

⁰ - b )

= MN ²

2

sina

sin b

sin

g . Так как площадь треугольника

2

SABC = 2R

sina sin b sin g , то

  SABC     =

SMPQN

4R²

MN ²

= 81

20

и R = 9      .

Тема «Метод площадей в решении задач» в конце раздела по плани- метрии – это практическое использование теорем о площадях подобных фи- гур, о площадях треугольников, имеющих равные основания или равные вы- соты, а также теоремы о соотношении площадей треугольников, имеющих равный угол. Поэтому основой подобных тем служит хорошая подборка за- дач.

Задачи для самостоятельной работы

1.    

Вариант 1 2 3 a 9 21 4 b 10 10 13 c 17 17 15

В треугольнике АВС известны стороны а, b и c. Определите площадь треугольника S, высоту, проведенную из вершины А, h_a, радиусы вписанной

(r) и описанной (R) окружностей, косинус угла С.

2.         

Вариант 1 2 3 a 2 6 b 2 2 3 c 6 2 ÐA 75° ÐB 105° ÐC 15°

В треугольнике АВС известны две стороны и угол между ними. Опре- делите длину третьей сто- роны, площадь треуголь- ника S и радиус описанной окружности R.

3.        

Вариант 1 2 3 a 3 b 2 c ( 3 +1) 2 ÐA 60° 30° ÐB 45° 75° ÐC 45° 105°

В треугольнике АВС известны одна сторо- на и прилежащие к ней уг- лы. Определите две другие стороны и площадь тре- угольника S.

4.         

Вариант 1 2 3 a 5 10 b 13 3 8 c 6 5 2 ÐA 30° ÐB 60° ÐC 45°

В треугольнике АВС известны две стороны и угол, лежащий против одной из них. Определите длину третьей стороны, косинус и синус угла, ле- жащего против второй из- вестной стороны.

5.   В треугольнике АВС АD и ВО – биссектрисы, точка M Î AB , точка К

лежит на продолжении стороны АС, СН – биссектриса внешнего угла DСК.

Отрезки

DM ^ BO ,

DK ^ CH ,

AM = a ,

AK = b . Найдите АD.

6.   В прямоугольном треугольнике АВС СН – высота к гипотенузе тре- угольника, ρ – расстояние между центрами вписанных окружностей в тре- угольниках АСН и ВСН. Найдите радиус окружности, вписанной в треуголь- ник АВС.

7.        В   трапеции   АВСD   основания

ÐABC = ÐACD . Найдите площадь АВСD.

AD = a

и    BC = b ,

ÐCAD = a     и

8.   В прямоугольном треугольнике даны высота h и биссектриса 𝑙 , про- веденные из вершины прямого угла. Найдите медиану, проведенную из вер- шины прямого угла.

9.   В равнобедренном треугольнике дано отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной R/r. Найдите углы треугольника.

10.    В треугольнике ABC сторона AB является диаметром окружности, которая пересекает AC и CB в точках М и N. Точка М делит дугу АМВ попо- лам. Дуга МN является шестой частью окружности. Найдите MN, если пло-

щадь треугольника АВС равна 1 +       3.

11.    В прямоугольной трапеции АВСD Ð А = 90⁰. Диагональ ВD равна

11.    Расстояние от точки С до ВD равно 4. Диагональ ВD делит угол D в от- ношении 1:2. Найдите площадь трапеции.

12.   В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, АВ = 19, ВС =

=7, CD = 15 и AD = 21. Стороны АВ и CD продолжены до пересечения в точ- ке Р. Найдите ВР, РС, cosD и cosР.

13.   Диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD, вписанного в окруж- ность радиуса R, перпендикулярны. Сторона АВ равна а. Найдите сторону СD.

14.    Площадь треугольника АВС равна S. Точки М, N принадлежат сто- роне АВ, а точки К, Р – стороне ВС, причем ВN:NМ:МА = 1:1:1, ВК:КР:РС =

=1:2:1. Найдите площадь четырехугольника МNКР.

15.    В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и ВD пе-

ресекаются в точке О. Площади треугольников площадь трапеции.

SBOC = S1 ,

SAOD = S2 . Найдите

16.   В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны ВС, точка К принадлежит стороне СD, причем СК:КD = 2:1. Площадь треугольника SAMK = S . Найдите площадь параллелограмма.

17.   В треугольнике АВС площадью S медианы АМ и СК пересекаются в

точке О. Найдите площадь треугольника ОМК.

18.   Выразите сумму квадратов медиан треугольника

m² + m² + m²

и сум-

a               b               c

му четвертых степеней медиан

m⁴ + m⁴ + m⁴

через стороны треугольника.

a               b               c

Вариант 1 2 3 S 36 84 24 ha 8 8 12 R 10 58 10 58 8 18 r 2 3,5 1,5 cosC - 35 3 5 5 13 Вариант 1 2 3 a 3 +1 b 3 +1 c 3 - 3 S (3 + 3) 2 ( 3 +1) 2 3( 3 -1) 2 R 2 2 6 Вариант 1 2 3 a 6 2 (        ) 1 b 1 6 +   2  2 (       ) c 2 6 +   2 2 S (3 + 3) 8 ( 3 +1) 2 ( 3 +1) 4 Вариант 1 2 3 a 7 2 b 4 + 3 3 c 5 +12 3 sinA; cosA 5/13; 12/13 sinB; cosB 4/5; 3/5 sinC; cosC 3/5; 4/5

О т в е т ы 1.

5. .

6.

7. S = (a + b)

2

r = r .

× sin a .

8.    m =

h𝑙²       .

2h² - 𝑙²

2.                                                                                              1 ±

1 - 2 r

9.    cos a =                 R ,

2

180⁰ - 2a .

10. MN = 1.

11. 46,2; 51,04.

12. ВР = 8, РС = 9, cosD =

3.                                                                               2/7,

cosР = 2/3.

13 . CD =                   .

14.

S        = 5 S .

MNKP          12

15.

SABCD = (

S1 +

)2 .

4.                                                                               16.

S        = 12 S .

ABCD            5

17. S

= 1 S .

18.

9

16

MKO         12

3 (a² + b² + c² ) ,

4

(a⁴ + b⁴ + c⁴ ) .

84

Литература

1.   Алгебра-9 / Ш. А. Алимов [и др.]. – М. : Просвещение, 2008.

2.   Алгебра и начала анализа : сборник задач для подготовки и проведе- ния итоговой аттестации за курс средней школы / под ред. С. А. Шестакова. –

2-е изд., испр. – М. : Внешсигма-М, 2007.

3.   Алгебра и начала математического анализа : учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Ю. М. Колягин [и др.]. – М. : Просвещение, 2008.

4.     Безрукова, Г. К. ГИА-2009. Экзамен в новой форме. Геометрия. 9 класс / Г. К. Безрукова, Н. Б. Мельникова, Н. В. Шевелева. – М. : АСТ; Аст- рель, 2008.

5.   Геометрия. Дополнительные главы к учебнику. 8 класс / Л. С. Атана- сян [и др.]. – М. : Вита-Пресс, 2002.

6.   Геометрия. Дополнительные главы к учебнику. 9 класс. / Л. С. Ата- насян [и др.]. – М. : Вита-Пресс, 2002.

7.     Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике : общие положения, структура портфолио, программа курсов, сценарий заня- тии / И. Н. Данкова [и др.]. – М. : 5 за знания, 2006.

8.   Шестаков, С. А. Сборник задач для подготовки и проведения пись- менного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс / С. А. Шеста- ков, И. Р. Высоцкий, Л. И. Звавич. – М. : АСТ; Астрель, 2004.

Оглавление

Пояснительная записка……………………………………………….	3
Примерное учебно-тематическое планирование курса…………….	8
Основное содержание курса ………………………………………...	10
Методические блоки к главам курса 8 класса………………………	12
Различные системы счисления…………………………………..	12
Неопределенные уравнения первой степени…………………...	23
Геометрические упражнения с листом бумаги…………………	28
Построение, чтение и применение графиков…………………...	38
Примерные задания олимпиад…………………………………...	46
Примерное содержание математического турнира…………….	49
Методические блоки к главам курса 9 класса....................................	53
Функции………………………………………………………...…	53
Многочлены……………………………………………………….	59
Планиметрия……………………………………………………....	67
Литература………………………………………………………...	85

Игорь Геннадьевич Малышев Милена Альбертовна Мичасова

Факультативный курс математики 8–9 классов (Предпрофильная подготовка учащихся)

Учебно-методическое пособие

Редакторы Н. Ю. Андреева, Н. А. Воронцова

Верстка О. В. Кондрашиной

Оригинал-макет подписан в печать 13.09.2010 г.

Формат 60½84 ¹/8. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman.

Печать офсетная. Усл.-печ. л. 11,93. Тираж 100. Заказ 1762.

Нижегородский институт развития образования, 603122, Н. Новгород, ул. Ванеева, 203. www.niro.nnov.ru

Отпечатано в издательском центре учебной и учебно-методической литературы

ГОУ ДПО НИРО.

Краткое описание документа:

Факультативные занятия по математике 8-9 класса