Факультативное занятие "Решение иррациональных уравнений"

Тема факультативного занятия

«Иррациональные уравнения»

Цели  

1)              Дидактическая:

- повторить, обобщить знания по теме «Иррациональные уравнения»;

- разобрать правила и основные ошибки при решении простейших иррациональных уравнений.

2)              Развивающая:

- продолжить развитие логического математического мышления и мировоззрения учащихся.

3)              Воспитательная:

- продолжить воспитание у школьников устойчивого интереса к математике.

План занятия

I.Организационный момент

Объявление цели . Знакомство с правилами работы. 

II. Актуализация опорных знаний

Повторение:

1). .Определение арифметического корня.

Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число b, квадрат которого равен a.
, где , если .

III. Объяснение нового материала.

1).  Решение уравнений вида

Из определения квадратного корня следует: 1)           2)

Уравнение называется иррациональным, если в нем некоторые выражения, зависящие от неизвестного, находятся под знаком корня.

Рассмотрим для начала самое простое уравнение, содержащее арифметический квадратный корень.
Например:  .

Под знаком корня – некоторое неизвестное число. Воспользуемся определением квадратного корня. Тогда , то есть .

Ответ : .

2). Частный случай решения уравнений вида

В предыдущем примере мы рассматривали уравнение с одним корнем. Сейчас мы рассмотрим пример уравнения, которое не имеет корней.

Пример:     .

По определению квадратный корень – величина неотрицательная. В данном уравнении сумма двух корней равна 0. То есть сумма двух неотрицательных чисел равна 0. Когда это возможно? Когда оба слагаемых равны 0. То есть, равны 0 выражения, стоящие под знаком корня. Но при , а при . Нетрудно догадаться, что не существует такого значения неизвестного x, при котором оба слагаемых будут равны 0.

Ответ : решений нет.

3). Решение уравнений вида

При решении уравнений такого типа нужно отметить, что справа и слева от знака равенства находятся неотрицательные выражения (значения квадратного корня не могут быть отрицательными) при допустимых значениях x (по определению квадратного корня и ). Таким образом, чтобы найти решения уравнения, нужно найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

Пример:  Решите уравнение .

Решение (1 способ):

;

Ответ : нет решений.

Решение (2 способ): 

Приравняем выражения, стоящие под корнями:.

Откуда получим:  .

И здесь обязательно нужно сделать проверку. При   оба выражения, стоящие под знаками корней будут отрицательными, что не соответствует определению арифметического корня. 2 способ решения удобнее применять, когда выражения, стоящие под корнем сложнее, чем в данном примере.

IV. Закрепление материала

Решить уравнения

1).  Решение уравнений вида

а). .

Под знаком корня – некоторое неизвестное число, определяемое выражением . По определению квадратного корня ; ;

Ответ : .

б). =2 .

Под знаком корня – выражение , то есть противоположное по знаку неизвестному x. По определению квадратного корня ; .

Ответ : .
Проверим, подставив найденное значение в уравнение: или – верно.

в).   .

 По определению квадратного корня, он не может равняться отрицательному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений.

Ответ : нет решений.

 2). Решения уравнений вида

а). .

В данном уравнении сумма двух неотрицательных корней равна положительному числу. Казалось бы, решения должны быть. Но посмотрим на выражения, стоящие под знаком корня. Оба выражения должны быть неотрицательными, т. е. ; . Мы видим, что оба эти условия не могут выполняться одновременно.

Ответ : решений нет.

б)    .

В данном примере сумма двух неотрицательных корней равна положительному числу. Далее проверяем, существуют ли значения x, при которых оба выражения, стоящие под корнем неотрицательны.

; ; .

Видим, что такие значения есть. Можно получить решения? Если внимательно посмотреть на слагаемые в левой части уравнения, то можно заметить, что первое слагаемое при допустимых значениях будет больше 4, да еще плюс второе слагаемое. Таким образом, сумма двух этих слагаемых при допустимых значениях будет больше 4. То есть, решений нет.

Ответ : решений нет.

3). Решение уравнений вида

 .

Если решать это уравнение первым способом, то нужно будет решить достаточно сложную систему неравенств. Поэтому используем 2 способ решения.

; ; ; и .
Сделаем проверку:
При  ,   т. е. число не является корнем исходного уравнения.  При ,  - верно, т. е. число 8 является корнем исходного уравнения.

Ответ :.  

Самостоятельная работа

1.  Решите уравнение

1) ;
2) ;
3) ;
4)

2.  Докажите, что следующие уравнения не имеют корней

1) ;
2)

3. Решите уравнение

1) ;
2) .

V.      Подведение итогов.