Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 2

Вариант № 2

Сторона  CD прямоугольника  ABСD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причем точка P лежит между точками D и Q. Прямая  BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.

а). ∠CBM =∠BQA = α,  (как накрест лежащие  при  ВС ǁ AQ),

∠MQP =  ⌒MP   –  вписанный;

∠MOP = ⌒MP   –  центральный;     В   MOP:

∠OMP =∠OPM = 90^ᵒ –  .

Так как OM⊥CD ,  то  ∠DMP = 90^ᵒ –∠OMP = 90^ᵒ – ) =   = ∠CBM.

Доказано.

б)  1. CMOE – квадрат,  т. к.  ∠C = ∠E = ∠M = 90^ᵒ ;  CM =EO = R  и  CE =MO =R.

     По условию  AB =CD = 25,  CM = R = 17,   MD = 8.

     2.  Проведем  радиус  OQ.  Так как DMOH – прямоугольник,  то OH = MD = 8.

      PH² = OP² – OH² = 17²  – 8² = 225,   PH = 15.    DH = MO = R =17.

      DP = DH – PH = 17 – 15 = 2.

    3.   BCM  и   MDP подобны, (∠ CBM = ∠DMP = , ∠C = ∠ D = 90^ᵒ), 

   =  ;      BC =  = 68.   AD = 68.

Ответ: AD = 68.