IX муниципальный конкурс исследовательских работ «Первый шаг в науку» Тема : «Лист Мёбиуса или неожиданность в математике »

«Лист Мёбиуса или неожиданность в математике »

Александров Назар Николаевич

Россия

 Забайкальский край,

 г. Борзя

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя образовательная школа № 240 4 А класс

Лист Мёбиуса или

неожиданность в математике

Выполнил: ученик 4А класса

Александров Назар Николаевич

Научный руководитель:

Вахмянина Татьяна Михайловна

                                                                    2017 год

«Лист Мёбиуса или неожиданность в математике »

Александров Назар Николаевич

РФ Забайкальский край, г. Борзя

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя образовательная школа № 240 4 А класс

Аннотация

В исследовательской работе рассматривается изучение различных свойств и нестандартных применений листа Мёбиуса. Работа предназначена для развития познавательного интереса к топологии — части геометрии, изучающей в самом общем виде явления непрерывности, для углубления знаний учащихся в области математики.

Цель:

Исследование поверхности листа Мёбиуса и его свойств.

Задачи:

•Познакомиться с историей появления ленты

•Выявить и исследовать свойства ленты

•Установить области применения ленты Мёбиуса

Выбранную мной  тему считаю актуальной, потому что в наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений.

Методы исследования: анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение;

моделирование.

Практическая значимость: я уверен в том, что моя работа заинтересует моих одноклассников и сделанные мной буклеты с информацией можно подарить всем моим друзьям, учащимся и в других школах.

Предполагаемый результат: в ходе проведения исследования хотелось бы получить новые знания о ленте Мебиуса.

Выводы:

1.Лента Мёбиуса имеет только один край.

2.Имеет только одну поверхность.

3.Объекты по поверхности ленты будут двигаться бесконечно.

4. Лист Мёбиуса обладает неожиданными свойствами односторонности, непрерывности и связности.

«Лист Мёбиуса или неожиданность в математике »

Александров Назар Николаевич

РФ Забайкальский край, г. Борзя

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя образовательная школа № 240 4 А класс

План исследований

Я люблю занимательную математику. Совсем недавно на сайте «Моя ГАЛАктика» я увидел одну «математическую неожиданность» под названием «Лист Мёбиуса», затем прошел по ссылке и посмотрел  видео «Занимательная математика. Лента Мёбиуса. Фокус из бумаги». Мне стало очень интересно и просмотрел еще несколько видеофильмов.

Возникло большое желание узнать, откуда лента получила такое название? Каковы её свойства, что так волнуют человечество? Почему ленту применяют в нашей жизни?

Начал я с того, что подумал, как я могу узнать что-то новое о том, что исследую? Поэтому для начала  определил, какие методы могу использовать, а затем выстроил их по порядку, у меня получился следующий список доступных методов исследования:

- изучение свойств ленты Мебиуса

- прочитать книги о том, что исследую;

- найти информацию в глобальных компьютерных сетях, например, в сети Интернет;

- написать научную статью о ленте Мебиуса;

- провести опыты и фокусы с лентой Мебиуса;

- узнать, где применяется лента;

-написать научную статью

Изучение свойств ленты Мёбиуса

Мною проведено несколько экспериментов с листом Мёбиуса, в которых я постарался ответить на интересующие меня  вопросы, и сделал определённые  выводы.

Для изготовления ленты Мёбиуса  потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см.

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".

Прочитал книгу о том, что исследую.

 В домашней библиотеке я нашел книгу из серии энциклопедий  «Я познаю мир. Математика»  и прочитал много интересной и полезной информации о листе Мебиуса с точки зрения математиков.

Опыты с лентой Мёбиуса

1 опыт.

  Поставьте точку на одной стороне ленты и начертите линию   вдоль неё.

Результат:  линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.

2 опыт.

 Попробуйте закрасить ленту Мёбиуса, а затем обычное кольцо.

Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а

вот у кольца одна сторона закрашена, а другая – нет.

3 опыт: разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)

Результат: у обычной ленты получилось два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого. У листа Мёбиуса получилось одно большое кольцо перекрученное в два раза (в виде восьмерки).

4 опыт: разрежем обычное кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.). Точно также разрежем и лист Мёбиуса.

Результат: в обычной ленте получилось 2 кольца одно уже, другое шире.

В листе Мёбиуса получилось два сцепленных  друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое.

5 опыт Вырежем  бумажного  человечка  и  отправим  его  вдоль  пунктира,  идущего  посередине  листа  Мёбиуса.

Результат: Человечек  вернулся к  месту  старта.  Но  в  каком  виде! В  перевернутом!

Фокусы

Фокус 1. Рамка для фото.

Как сделать рамку для фотографии?

Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. В результате разрезания мы получим прямоугольник, который можно применить как фото-рамку. Если проявить фантазию, и заменить ровный разрез бумаги на фигурный , то можно получить оригинальную рамку.

Фокус 2. Проблема завязывания узлов. 

 Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

7. Приготовил презентацию;

8. Выпустил  буклеты по своей теме;

9. Сделал заключение:

Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности и  рассказывать о  листе Мебиуса можно удивительно долго.

Лист  Мёбиуса –односторонняя поверхность, которая положила начало новому направлению в геометрии – топологии.

«Лист Мёбиуса или неожиданность в математике»

Александров Назар Николаевич

РФ Забайкальский край, г. Борзя

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя образовательная школа № 240 4 А класс

Научная статья

Лист Мебиуса - символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом…

А. Ф. Мёбиус и его открытие

1.Историческая справка.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса.                       

Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений.

Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.  Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году. Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело  (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), – две стороны.

2. Что такое лист Мёбиуса?                                                                                      

Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем .

    Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части — ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.  Самое же  удивительное, пожалуй, то, что я смогу её  сделать  своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты  А и В, а с другой – C  и D. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о.  И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. (Приложение I)

3. Топология как наука.

  В ходе исследования я узнала, что Мёбиуса считают основателем топологии.

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности».  Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

4.  Существуют ли ещё объекты подобные листу Мёбиуса?

Возникает логичный вопрос: «Существуют ли ещё подобные объекты?»

Да,  существуют.  В научной литературе описаны ещё более замысловатые объекты. Если Лист Мебиуса – «условно двумерный объект» (он получен из плоской полоски), то его подружка - Бутылка Клейна полноправно занимает 3 измерения.    Запустите сюда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.

В месте, где трубка «проникает в бутылку» - нет зазора, казалось бы,   это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по Листу Мебиуса ему нужно было разворачиваться, после того как он куда-то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!

Что же будет, если разрезать Бутылку Клейна? 

Это невероятно, но получился Лист Мебиуса. Резать, правда, нужно было так, что бы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной.

Чудеса! Бутылка Клейна в трёх измерениях - это аналог Листа Мёбиуса в двух измерениях.

Применение ленты Мебиуса

1. Лист Мёбиуса в науке и технике

Существовали технические применения ленты Мёбиуса.

В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

2. Лист Мёбиуса в живописи и архитек

 - Муравьи на листе Мёбиуса. Рисунок Мориса Эшера

 -  Памятник трём бесконечностям в Латвии.

  - У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах.

3. Лента Мебиуса в цирковом искусстве.

Лента Мебиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.

4. Лист Мебиуса и генетика.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

5  Лист Мёбиуса в природе                                         6  В кулинарии

7 Лист Мёбиуса

вдохновляет дизайнеров

8. Интересная вещь - шарф Мёбиуса,

появившаяся

в гардеробах 21 века. Его можно

сделать самому, связав концы шарфа и

перекрутив на один оборот.

«Лист Мёбиуса или математическая неожиданность»

Александров Назар Николаевич

РФ Забайкальский край, г. Борзя

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя образовательная школа № 240 4 А класс

Литература

1. Даль В. «Толковый словарь», Москва, 1983г.
2. Я познаю мир. Математика. - Минск: «АСТ – ЛТД», 1998. – 475 с.
3. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11, М.: Аванта +, 2002.
4. Интернет сайты:

     http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://solodenkovagalina.blogspot.ru/p/blog-page_5103.html

http://all-for-school.ru/useful-sites/

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/

http://www.openclass.ru/node/1833

http://festival.1september.ru