Индивидуальный проект на тему «Построение сечений многогранников методом следов»

Муниципальное общеобразовательное учреждение  

«Средняя общеобразовательная школа № 6»

142100, Московская область, Г.о. Подольск, ул. Февральская, дом 30                                                

КОНФЕРЕНЦИЯ ИТОГОВЫХ РАБОТ ОБУЧАЮЩИХСЯ

ЗА КУРС СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Построение сечений многогранников методом следов»

Авторы работы:

 Кукушкина Ульяна Михайловна 10 «А» класс

Научный руководитель:

Гусаков Алексей Леонидович, учитель высшей категории,

учитель информатики, МОУ СОШ №6 Г.о. Подольск

Городской округ Подольск

2020г.

Оглавление

Введение.

Глава 1. Теоретическая часть.

1.1 Пересечение многогранников плоскостью . Краткие теоретические сведения, необходимые для построения сечений.

1.2 Центральное проецирование.

1.3 Параллельное проецирование.

1.4 Построение сечения методом следов.
      1.4.1 Применение метода следов для задач о сечении куба………………...
     1.4.2 Применение метода следов для задач о сечении пирамиды………….

Глава 2. Практическая часть.

2.1  Математический конструктор 1С..

2.2. Создание компьютерных интерактивных моделей по построению сечений во многогранниках (пирамида и куб) с помощью Математического конструктора 1С  

Заключение.

Используемая литература.

Введение

Обучаясь в 10 классе, я поняла, что нельзя откладывать  подготовку к ЕГЭ по математике на 11 класс. Материал по геометрии  в 10 классе довольно сложный. Уроков на глубокое освоение этих знаний в учебном плане школы недостаточно. Поэтому необходимо самостоятельно углубленно изучать геометрию, что можно сделать, работая над проектом. Тема «Построение сечений многогранников» изложена в учебнике Атанасян Л. С. «Геометрия 10-11 класс» довольно сжато, рассмотрен только вопрос  о построении следа секущей плоскости в случае расположения двух  из трех точек в одной плоскости. Теоретических знаний из учебника недостаточно для того, чтобы успешно справиться с геометрической задачей второй части ЕГЭ. Многие задачи для подготовки к ЕГЭ о построении сечений многогранников содержат условие о том, что данные три точки не лежат в одной плоскости. Поэтому я решила глубже изучить   метод следов  и создать компьютерное интерактивное пособие по данному материалу. Поскольку для многих ребят важно набрать высокий балл за ЕГЭ по математике, думаю, что моя работа пригодиться им для подготовки к решению стереометрической задачи второй части ЕГЭ. Поэтому тему своего проекта я считаю актуальной, очень нужной. Новизна проекта заключается в  возможности изучения теоретических основ построения сечения методом следов и разборе трудных случаев построения сечений, которые не рассматриваются в учебнике Атанасян Л.С. «Геометрия 10-11 класс», но встречаются в задачах для подготовки к ЕГЭ.

Из методов построения сечений и способов задания секущей плоскости я выбрала для проекта метод следов и секущую плоскость, заданную тремя точками, не лежащими на одной прямой, как наиболее часто встречающиеся в задачах ЕГЭ.

ПРОБЛЕМА ПРОЕКТА: Построение методом следов сечения многогранника, проходящего через три точки, не лежащие на одной прямой.

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА: научиться строить сечения многогранников методом следов секущей плоскости; изготовить учебные пособия в виде компьютерных приложений Математического Конструктора 1С.

ЗАДАЧИ ПРОЕКТА:

·        Изучить метод следов секущей плоскости и усвоить способ деятельности, позволяющий строить сечение многогранника ;

·        Разработать алгоритм построения сечения многогранника по методу следов;

·        Применить метод следов секущей плоскости для задач о сечении пирамиды и куба;

·        Осуществить анализ и отбор самой важной  информации для краткого руководства (буклета) и создания компьютерных приложений;

·        Разработать компьютерные приложения Математический Конструктор 1С

Глава 1. Теоретическая часть

1.1. Пересечение многогранников плоскостью .

Краткие теоретические сведения, необходимые для построения сечений.

 Сечение многогранника плоскостью – многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данному многограннику и плоскости, плоскость при этом называется секущей плоскостью.

·        Построить сечение многогранника плоскостью – это значит построить многоугольник все вершины и стороны, которого – соответственно следы секущей плоскости на ребрах и гранях многогранника.

·        Основная плоскость-плоскость, выбранная для проекций точек (диагональная, плоскость симметрии или плоскость основания многогранника).

·        Следом плоскости  α на плоскости β называют прямую, по которой плоскость   α  пересекает плоскость β .

·        Следом прямой Ɩ на плоскости α называют точку пересечения прямой  Ɩ с плоскостью α .

·        След плоскости на грани можно провести при наличии двух следов на прямых, содержащих стороны  грани.

·        Если точки Р, Q и R принадлежат секущей плоскости и не лежит на одной прямой, а их проекции на плоскость, выбранную в качестве основной,— точки Р', Q' и R', то точки пересечения соответственных прямых, т. е. точки S1 = PQ ∩ P'Q', S2 =  PR∩P'R' и S3 =  =RQ∩R'Q', лежат на одной прямой. Эта прямая является основным следом секущей плоскости.

1.2 Центральное проецирование. При центральном проецировании необходимо выбрать точку, которая будет центром проекции (точка S)и плоскость, на которую будет построена  проекция- основная плоскость α. Центральное проецирование применяется при построении сечений  пирамид.

Построение центральной проекции точки А на плоскость α	1) Через заданные точки S и A провести луч SA; 2) Центральной проекцией точки А будет точка пересечения проецирующего луча SA с плоскостью α.
Построение  точки пересечения данной прямой AB с плоскостью α  при центральном проектировании.       ( AB не параллельна α )	1) Построить центральную проекцию прямой  А В на плоскость α; 2)Построить точку пересечения прямой  А В и центральной проекции прямой-     A1 B1 –точку М. 3) Так как прямая AB и ее проекция  A1 B1   лежат в одной плоскости ,образованной  пересекающимися прямыми SA и SB,  то точка их пересечения M и есть искомая. Точка М это след прямой AB на плоскости α.

  1.3 Параллельное проецирование. При параллельном проецировании выбираются направление проецирования и плоскость проецирования- основная плоскость. Через данные точки проводятся параллельные прямые до пересечения их с  основной плоскостью. Точки пересечения этих прямых с плоскостью и являются параллельными проекциями данных точек. Параллельное проецирование применяется при построении сечений  призм.

Чтобы построить точку пересечения данной прямой AB с плоскостью α  при параллельном проецировании.( AB не параллельна α )? 1.      Строим проекции данных точек А, В на плоскость α – точки A1, B1  . Строим проекцию прямой AB на плоскость- прямую A1 B1   . 2.      Так как прямая AB и ее проекция A1 B1   лежат в одной плоскости, образованной параллельными прямыми AA1   и  BB1 ,  то точка их пересечения M и есть искомая. Точка М это след прямой AB на плоскости α.

1.4 Построение сечения методом следов

  Алгоритм построения сечения многогранника по методу следов.

1.4.1 Применение метода следов для задач о сечении куба

Пример 1. В кубе ABCD A₁ B₁ C₁ D1 с ребром, равным 8 см, точки P,M,T середины ребер A₁ B₁ , С₁ С, AD. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки.

Решение.

1.     Выбираю параллельное проецирование. Строю проекции данных точек на плоскость ABC. Точки S,T,C- соответственно проекции точек P,T,M на плоскость ABC. 2.     Точка K-точка пересечения прямой PM и ее проекции SC на плоскость ABC.    Точка K-след прямой PM на плоскости ABC. 3.     Прямая КT-след секущей плоскости на плоскости ABC. KT ∩DC=E. 4.     KT пересекает ребро AB  в точке F.   KT   ∩ AB =F. 5.     Точка F  принадлежит плоскости  A 1AB.  FP-след секущей плоскости         в пл.       A 1AB.    AA1  ∩  FP=H. 6.     BB1∩FP=O.                                                                                                                   Точка O принадлежит BB1 C1 . OM- след секущей плоскости     в пл. BB1 C1 . OM ∩ B1C1  =R.                THPRME-искомое сечение. (Поэтапное решение Прил.2 табл.1)

1.4.2  Применение метода следов  для задачи о сечении пирамиды

Пример 2.  Даны точки M и N, лежащие на боковых гранях ASD ,DSC четырехугольной пирамиды соответственно, и точка P – на ее боковом ребре SB . Построить сечение пирамиды плоскостью  MNP .

Решение.

1.      Выбираю метод проецирования- центральное . 2.      S - центр проецирования. 3.      Плоскость основания ABC- основная плоскость. 4.      Строю центральные проекции точек M, N,  P  на плоскость основания ABC- это точки M0  ,N0 , B. 5.      Строю точки   пересечения  прямых MN и MP и их центральных проекций M0 N0 и M0 B - это точки   K1 и  K2  . 6.      Точки K1 и  K2  - следы прямых MN и MP на плоскости основания пирамиды.

1.      Прямая K1 K2  - след секущей плоскости на плоскости основания. 2.      Прямая K1 K2 пересекает ребра DC и BC в точках N1 и  N2 соответственно . 3.      Точки P и N2  лежат в плоскости грани SBC , PN2  -след секущей плоскости в плоскости грани SBC. 4.      Точки N1 и N лежат в плоскости грани SDC ,            SD ∩ N N1 =M1  , 5.      Точки M1 и M лежат в плоскости грани SAD,                 SA ∩ M M1 =P1 . 6.      M1 N1 N2 PP1 - искомое сечение.

Глава 2. Практическая часть.

2.1.          Математический конструктор 1С

Целью моего проекта, как было сказано во введении, является не только научиться строить сечения многогранников методом следов секущей плоскости, но и  изготовить учебные пособия в виде компьютерных приложений. В качестве основного компьютерного инструмента я взяла Математический Конструктор компании 1С.

Программная среда «Математический конструктор» предназначена для создания интерактивных математических моделей, сочетающих в себе конструирование, моделирование, динамическое варьирование, виртуальный эксперимент.

Интерактивные динамические системы признаны во всем мире самым эффективным средством обучения математике с применением информационно-компьютерных технологий. В отличие от традиционного рисунка – геометрического чертежа или графика функции, выполненных на листе бумаги или с помощью «обычных» систем компьютерной графики, построение, созданное с помощью такой системы, – это модель, сохраняющая не только результат построения, но и его исходные данные, алгоритм и зависимости между объектами. При этом все данные легко доступны для изменения (можно перемещать мышью точки, варьировать размеры, вводить с клавиатуры новые значения числовых данных и т.п.). И эти изменения тут же, в динамике, отражаются на экране компьютера.

«Математический конструктор» – ведущая российская разработка мирового класса в области интерактивных динамических систем для школьников. Программная среда разработана с учетом требований, предъявляемых российской школой и российской традицией преподавания математики, использует уникальный опыт лучших педагогов-математиков и пожелания российских пользователей. Динамический наглядный механизм «Математического конструктора» предоставляет младшим школьникам возможность творческой манипуляции с объектами, а ученикам старшей школы – полнофункциональную среду для конструирования и решения задач.

2.2. Создание компьютерных интерактивных моделей по построению сечений во многогранниках (пирамида и куб) с помощью Математического конструктора 1С

Перед тем, как приступить к созданию компьютерных интерактивных приложений (апплетов) я сначала подобрала сборник различных заданий по построению сечений в пирамидах и кубах.

И на основе этих примеров я создала интерактивные апплеты в Математическом конструкторе 1С. Процесс работы данных апплетов можно рассмотреть, запустив их из «рабочей папки» моего проекта на компьютере.
Вот пример нескольких из данных апплетов:

Рассмотрим пошаговое создание одного из них.

1.     Создать (изобразить на холсте конструктора) начальное положение объемной фигуры и расположения на ней трех заданных точек, а также в виде элемента «текст» условие («дано») данного задания.

2.     Самостоятельно построить сечение данного многогранника методом следов.

3.     Выделить построение сечение (отрезки, образующие сечение) и сохранить его как «ответ» - «проверка»

4.     Убрать все построенные дополнительные элементы (лучи, отрезки, точки и т.д.), оставив только начальные данные задания и кнопку «ответ» - «проверка».

5.     Сохранить данное построение в виде интерактивного компьютерного приложения – апплета на компьютере.

Заключение

Итогом моего проекта является приобретение навыка построения сечения многогранников методом следов. Мною было создано краткое руководство для подготовки к ЕГЭ и  изготовлены учебные пособия – интерактивные компьютерные апплеты(приложения) по данной теме. В буклете размещена самая важная информация о том,  как построить сечение многогранника методом следов. Мне удалось обобщить рекомендации, встреченные в различной литературе и создать алгоритм, пользуясь которым можно успешно строить сечения многогранников. Во всех рассмотренных примерах для построения сечения применялся метод следов, секущая плоскость задавалась тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Проектная деятельность позволила мне: развить умения работать с информацией, освоить навыки оформительской деятельности, развить художественный вкус,  анализировать свою деятельность. Умения, которые я приобрела, создавая проект, пригодятся мне в моей будущей деятельности.

     Я считаю, что цель и поставленные перед проектом задачи мною полностью достигнуты.

Используемая литература

1.     Атанасян  Л.С. и др. Геометрия. 10-11 классы. Учебник.    (2013, 255с.) 

2.     Атанасян  Л.С. и др. Геометрия. 10-11 классы. Сборник задач.  

3.     Потоскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости.Построение сечений многогранников. Тольятти, 2004.

4.     Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для

общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

5.     Математический конструктор 1С: http://obr.1c.ru/mathkit/

6.     Материалы сайтов:  https://statgrad.org/, http://reshuege.ru/