Исследовательская работа на тему "Решение олимпиадных задач разными способами"

Управление образования Администрации города Глазова

Исследовательская работа

Решение олимпиадных задач разными способами

Баженов Георгий Константинович,

ученик 9 «Б» класса

                                                                  МБОУ «ФМЛ»

Руководитель: Масьярова

                                                                            Наталья Викторовна,

                                                                          учитель математики

                                                                  МБОУ «ФМЛ»

Глазов, 2017

Содержание

Оглавление

Содержание. 2

Введение. 3

Первый раздел. Решение задач одной математической дисциплины с помощью другой. 4

Задача №3. 6

Раздел №2 Решение задач из разных предметов по средствам математики. 8

Заключение. 10

Список литературы.. 11

Введение

В процессе изучения математики важно научится применять идеи и методы одной математической дисциплины к другой, а так же  в других предметах, таких как: физика, география, астрономия. Понимание взаимосвязи математических дисциплин поможет  лучше усвоить материал, сделает  знания более конкретными, глубокими и прочными.

Тема моей работы: « Уравнения. Тождества. Неравенства .»

На Республиканском этапе Всероссийской олимпиады школьников  по математике  встречается   алгебраическая задача, которая решается  и алгебраическим способом, и  геометрическим. Поэтому цель данной работы: изучение  и  решение задач различными способами.

Задачи:

1.Изучить разные способы решения математических задач.

2. Проанализировать различные способы решения задач.

3. Научиться применять знания при решении  задач на  уроках математики и других предметах. 

Объект исследования: способы решения задач.

Предмет исследования: различные задачи.

 

 

Первый раздел.

 Решение задач одной математической дисциплины  с помощью другой

Решение задач на геометрические неравенства легко связать с изучением неравенств, рассматриваемых в курсе алгебры.  Покажем это на примере задачи, взятой с Республиканского этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике (2016-2017 год).

Задача №1. Существует ли треугольник со сторонами x, y и z такой, что ?

Решение:Допустим, что  такой треугольник существует.Тогда пусть

 (по неравенству треугольника)

, а нужно доказать

Получили противоречие, следовательно, такого треугольника не существует.

Таким образом, различные соотношения между элементами треугольника доказывается средствами алгебры.

В 8 классе мы знакомимся с новым разделом математики – тригонометрией. Задачи, решаемые с помощью тригонометрических функции, это,  прежде всего задачи, приводящиеся к тригонометрическим уравнениям  и выражениям, решение которых поможет уяснить нам практическое значение тригонометрических уравнений. Причем нередко одна и та же задача может быть решена несколькими способами. Приведем пример.

Задача №2. Определить угол  при основании равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b и расстояние  q  от ортоцентра треугольника  до  вершины угла при основании. 

Первый способ геометрический.

Дано: ∆ABC- равнобедренный                AC=BC=b            CD- высота

          H- ортоцентр треугольника           AH=q

Найти:     угол CAB                

Решение:

AD=x,   CAB=a

По теореме Пифагора для  ∆АСD :      

∆ACD~ ∆AHD (по 2 углам)

Ответ:

                    
 

Второй способ тригонометрический.

Решение:

Ответ:

 

Сравнивая геометрическое  решение с тригонометрическим, замечаем, что последнее является более рациональным.

Чаще всего встречаются геометрические задачи, решаемые с помощью тригонометрических формул, но бывают задачи тригонометрические, которые решаются с помощью геометрии. Приведем пример. 

Задача №3.  А)Доказать геометрически тождество:           

                                          

Решение:

 Рассмотрим равнобедренный  ∆АВС, где   AC=BA=b, BC=a, BD-биссектриса угла ABC,  AD=BD=1.

По теореме о сумме углов треугольника найдём х:

По теореме косинусов  ∆АВD  

,  что и требовалось доказать.

Б) Найти cos72° (Воспользуемся этим же рисунком)

(по 2 углам)

                                         

Для  ∆АВС по теореме косинусов:

Ответ:

       Решение задач с помощью других математических дисциплин позволяет нам увидеть новые способы решения, зачастую более легкие, и развивает наше мышление.

 

Раздел №2

Решение задач из разных предметов по средствам математики

Математика нужна не только на уроках алгебры и геометрии. О ней не стоит забывать на других предметах. Приведем примеры.

Задача №4. Сила P разложена на две составляющие так, что  отношение их равно 1:2, а отношение  углов между каждой из составляющих и равнодействующей равно 1:3. Определить эти углы.

В это задаче мы пронаблюдали взаимосвязь физики  и геометрии.

      Решение:

 Для ∆АВD по теореме синусов:  

      , sin y≠0, sin3y≠0

 ( не удовлетворяет условию)           

          

          

Ответ: 30°, 90°.

Задача №5. При фотографировании обратной стороны Луны автоматическая межпланетная станция находилась от Луны на расстоянии,  приблизительно равном 65000 км. Под каким углом была видна в это время Луна и какую часть её сферы (в процентах)  можно было видеть с указанного расстояния? Радиус  Луны  равен 1738 км.

Решение:

   

, где а- радиус основания сегмента, h- высота сегмента.

По теореме косинусов для  ∆ОВС:

По теореме Пифагора для ∆ОСО₁:

Ответ: 4°; 25%.

Без знаний математических дисциплин нам не удалось бы решить данные задачи.

Заключение

Данная работа показывает, что при решении  задач алгебра, геометрия и тригонометрия взаимосвязаны и находят  широкое применение не только на уроках математики, но и физики, астрономии и др.

Алгебраический и тригонометрический способы решения применяются  к  различным типам  задач и  включают в себя почти полное отсутствие вспомогательных построений.  Геометрический  же способ решения, наоборот, даёт наглядность и  помогает с помощью одного рисунка решить несколько задач.  Поэтому решение одной и той же задачи различными способами  дает возможность  выявить наиболее рациональное решение, а также служит хорошим средством повторения пройденного.

 

Список литературы

1. Готман Э. Г. Уравнения, тождества, неравенства при решение геометрических задач: учебное пособие/ Э.Г. Готман.- Москва: Изд-во Просвещение, 1965.
2. Астрономические задачи с решениями: учебное пособие/ В.Г. Сурдин-М.: Москва, 2011.
3. Геометрия. 7-9 класс: учебник для общеобразовательных  учереждений  / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-20-е издание -М.: Просвещение, 2010.
4. Сборник задач по физке. 7-9 класс:  учебное пособие/ Е.Г. Московкина,  В. А. Волков.-М.: ВАКО, 2011.