Исследовательская работа по геометрии "Неевклидова Геометрия"

Министерство просвещения ПМР

Муниципальное учреждение «УНО г. Бендеры»

МОУ «Бендерский теоретический лицей»

Секция: геометрия

Тема

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Выполнили:

Коваджи Анастасия Юрьевна , 8 Г класс

Костинская Дарья Викторовна , 8 Г класс

Руководитель: Кожухарова Татьяна Александровна, учитель математики

г. Бендеры, 2016

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ. 3

1.1. Немного истории. 5

1.2 Николай Лобачевский - создатель неевклидовой геометрии. 8

ГЛАВА 2. ЕВКЛИД, ЛОБАЧЕВСКИЙ.. 11

2.1. Две геометрии – один мир. 11

2.2 Сравнение доказательств некоторых теорем геометрии Евклида и Лобачевского  14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 20

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 21

Приложения. 22

ВВЕДЕНИЕ

«Ученый должен идти по непроторенным путям,

несмотря на препятствия».

Н.И. Лобачевский

Изучая геометрию Евклида в школе, всегда возникал вопрос, существует ли другая геометрия? Рассматривая этот вопрос, мы узнали, что

любая теория современной науки считается верной, пока не создана следующая.  Мы всегда находим этому подтверждения в примерах из истории. Так химия выросла из алхимии, а квантовой физике предшествовала физика Ньютона. Геометрия не исключение, что нас и заинтересовало.

Мы выдвинули гипотезу, что существует ли неевклидова геометрия и ее отличия от школьной. Нам стала интересна ее история возникновения.

Мы поставили перед собой цель: провести параллель между геометрией древнегреческого математика Евклида и русского математика Лобачевского.

Объект нашего исследования стали теоремы, аксиомы и чертежи. В то же время неевклидова геометрия является важной частью математики и активно используется в самых разных ее областях.

Актуальность исследования состоит в том, что новые результаты чаще всего появляются благодаря поиску аналогий различных утверждений. Зачастую аналог даже элементарной задачи геометрии Евклида оказывается далеко нетривиальным в неевклидовой геометрии. В то же время получаемые результаты оказываются красивыми и интересными.

Задача: изучить литературу и интернет ресурсы по данной теме, рассмотреть различие между геометрией Евклида и Лобачевского.

   Методы исследования:

·         теоретические: метод сравнительно-исторического анализа литературы, восхождение от абстрактного к конкретному;

·        математические: статистические методы, метод визуализации данных, метод оценивания и сравнения.

Проблемы исследования: Почему возникла неевклидова геометрия? Реальна ли неевклидова геометрия в смысле соответствия физическому пространству? Существует ли поверхность, на которой справедлива эта геометрия? В чём заключаются различия двух геометрий?

Социальная актуальность работы:

· необходимость формирования другого взгляда на привычные вещи;

· необходимость развития математического и творческого мышления у старшеклассников

Главная идея этой работы – найти сходство и различия двух геометрий, убедиться в непротиворечивости неевклидовой геометрии.

Практическое применение: данная работа и её результаты могут быть использованы в качестве дополнительного материала на уроках геометрии и алгебры, на факультативах по данным предметам.

ГЛАВА 1. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

1.1. Немного истории

Историю учения об основаниях геометрии естественно начинать с «Начал» Евклида; ни один более ранний учебник геометрии до нас не дошел в первую очередь из-за того, что высочайшая репутация сочинения Евклида буквально стерла память обо всех его предшественниках. Книга Евклида начинается с определений, затем следуют постулаты и аксиомы.

Евклид

Сейчас нам трудно понять какие причины, вынудившие Евклида разбить все множество не доказываемых предложений на постулаты и аксиомы, так и само различие между постулатами и аксиомами. Для нас, однако, интересны в первую очередь постулаты Евклида, а именно 5-й, который звучит неожиданно сложно, в сов­ременной терминологии он гласит: если две прямые образуют с третьей прямой внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то эти прямые пересекаются, причем с той стороны от третьей прямой, с какой названная сумма углов будет меньше двух прямых углов (рис. 1)

Думается, что Ев­клид включил 5-й постулат в число не доказываемых предложений «не от хорошей жизни»: он сам пытался его, видимо, доказать, но не смог этого сделать и потому вынужден был постулиро­вать соответствующий факт.

Попытки доказательства продолжались буквально тысячелетиями, но все они неизбежно оканчивались провалом.

И. Ламберт

Существенный прогресс в рассматриваемой области был дос­тигнут лишь в XVIII столетии — более чем через 2000 лет после Евклида! Естественным путем доказательства 5-го постулата представляется путь «приведения к абсурду»: исследователь пред­полагает, что 5-й постулат не справедлив, и на этом пути приходит к абсурдному предложению, невозможность которого и доказывает ложность исходной предпосылки, отрицающей 5-й постулат. По этому пути шли многие авторы, но дальше всего здесь продвину­лись итальянский монах-иезуит Д. Саккери  (1667—1733) и видный немецкий математик И. Ламберт (1728—1777).

К. Швейкарт

К. Швейкарт

Первым человеком, публично высказавшимся о невозможности доказательства 5-го постулата, т. е. о возможности геометри­ческой системы, в которой этот постулат (а значит, и аксиома па­раллельных) просто не выполняется, был не математик, а профессор-юрист Харьковского университета, немец К. Швейкарт (1780—1857). Горячий поклонник математики, Швейкарт сам попробовал идти тем же путем, что Саккери и Ламберт (ра­боты которых ему известны не были), но он сделал из своих рас­суждений принципиально иной вывод, чем его предшественники. Швейкарт предположил, что наряду с обычной, евклидовой геомет­рией существует также необычная геометрия с другой теорией параллельных.

На Земле эта геометрия места не имеет, но, может быть, она выполняется где-то в других мирах, на далеких звез­дах? На этом основании Швейкарт назвал новую геометрию аст­ральной (т. е. «звездной»).

Он выписал довольно много теорем аст­ральной геометрии, не имеющих места в обычной (евклидовой) геометрии.

Рис.2

Так, например, Швейкарт выяснил, что в астральной геометрии существует «самый большой» (по площади и по линей­ным размерам) треугольник, больше которого ни один треуголь­ник быть не может (этот «треугольник» уместнее было бы назвать «трехсторонником», ибо углов-то у него как раз и нет: все его стороны неограниченно приближаются одна к другой, но общих точек они не имеют (рис.2).

Гораздо подробнее исследовал новую геометрию племянник Швейкарта Ф. Тауринус (1794—1874), узнавший о ней от дяди. В 20-х годах XIX в. он опубликовал в Кельне за свой счет две брошюры: «Теория параллельных линий» (1825). Но Саккери, Ламберт, Тауринус были лишь предшественниками неевклидовой геометрии, а не ее создателями. Первое развернутое изложение воображаемой, как ее назвал автор, в которой не выполняется 5-ый постулат, было опубликовано в 1829-1830 гг. Николаем Ивановичем Лобачевским в двух обширных статьях.

Гаусс, ценивший исследования Лобачевского чрезвычайно высоко, критиковал термин «воображаемая геометрия», поскольку новая геометрия в определенном смысле равноправна с евклидовой и название «воображаемая» создает о ней превратное мнение; сам он называл новую геометрию неевклидовой — и именно его термин утвердился в истории науки. Лобачевский, видимо, сам понимал, что предложенный им термин неудачен, и поэтому впоследствии заменил его термином пангеометрия, для этого названия имелись серьезные основания, од­нако ныне этот термин почти забыт.

1.2 Николай Лобачевский - создатель неевклидовой геометрии.

Выпускник, а позже профессор и ректор Казанского универ­ситета Н. И. Лобачевский начал с того же, с чего и многочисленные его предшественники,— с попытки доказать 5-й постулат Евклида методом «от противного» или «приведения к абсурду». Но чем дальше исследовал он следствия из предположения о ложности 5-го постулата, тем больше убеждался, что никаких противоречий здесь не возникает и возникнуть не может, что геометрическая система, построенная на предположении о ложности этого посту­лата, столь же логически совершенна, как евклидова геометрия. Никак не позже 1826г. его убеждения в этом полностью сфор­мировались; в этом году он представил Совету Казанского уни­верситета обстоятельное исследование «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», доложенное на Совете и подготовленное к печати. К сожалению, первоначальный текст этого исследования до нас не дошел: Совет поручил высказать о нем мнение трем профессорам универ­ситета, которые идеи Лобачевского не поняли и из хорошего отношения к коллеге предпочли попросту «потерять» его доклад. Однако уже в 1829—1830 гг. Лобачевский напечатал в «Казанском вестнике» статью в двух частях «О началах геометрии».

М. Остроградский

Увы, судьба Лобачевского и его геометрии оказалась вовсе не простой. До конца дней своих Лобачевский ни от кого не услышал слов поддержки и одобрения. Российская (Петербургс­кая) академия наук устами одного из авторитетнейших своих чле­нов, Михаила Васильевича Остроградского (1801 - 1862), талантливого ученого, которому, однако, были глубоко чужды и элементарная геометрия, и проблемы обоснования математики, отозвалась о его творчестве уничижительно. Это дало основание безымянным журналистам развернуть настоящую травлю велико­го ученого. Выпущенное Лобачевским за свой счет в Германии (на немецком языке) замечательное сочинение «Геометрические исследования по теории параллельных линий» получило в автори­тетном немецком реферативном журнале столь же нелепый изде­вательский отзыв, как и статьи о Лобачевском в русских жур­налах. При этих условиях особенного уважения заслуживает стой­кость Лобачевского, хорошо понимавшего ценность сделанного им открытия и вплоть до смерти продолжавшего заниматься соз­данной им наукой, которой были посвящены его многочисленные статьи и книги (на русском, немецком и французском языках). Отрицательно отозвался о трудах Лобачевского не понявший их и другой выдающийся русский математик (впоследствии вице-президент академии наук) Виктор Яковлевич Буняковский (1804—1889), сам потративший много усилий на доказательство 5-го постулата; однако он с уважением отзывался об эрудиции и талантах Лобачевского.

В. Буняковский

 Впрочем, были два читателя, которые полностью Лобачевского поняли и весьма высоко ценили, жаль только, что Лобачев­ский об этом так никогда и не узнал. Вышедшие в свет в 1840г. замечательные «Геометрические исследования» привлекли напря­женное внимание Гаусса; поскольку в этой книге упоминались предшествующие русские публикации Лобачевского. Гаусс даже специально выучил русский язык, чтобы иметь возможность с ними познакомиться.

В переписке Гаусс неоднократно с глубоким ува­жением упоминает труды Лобачевского; с презрением писал он (но тоже, к сожалению, только в письме) о нелепом реферате на «Геометрические исследования», автор которого абсолютно не понимал того, о чем взялся судить.

По инициативе Гаусса Лоба­чевский был выбран иностранным членом высоко престижного Геттингенского научного общества.

Гаусс

Однако, получив извещение об этом, он не знал, что инициатором его избрания был Гаусс, и не подозревал, что это избрание выражает одобрение его науч­ному творчеству. После смерти Гаус­са его письма были изданы, и высокая оценка в этих письмах никому тогда еще неизвестного русского математика послужила трамплином для признания Лобачевского, однако произошло это, к сожалению, уже после смерти казанского геометра.        

Лобачевский детально разработал свою геометрию, нашел тригонометрические соотношения между сторонами и углами треугольника, изучил простейшие кривые–аналоги окружностей, предельную линию (окружность бесконечно большого радиуса) и эквидистанту (образована точками, удаленными от прямой на постоянное расстояние), ввел различные системы координат, нашел формулы для вычисления площадей и объемов.

Публикация писем и научных дневников Гаусса позволила также установить, что и он, как и Лобачевский, полностью осознал логическую непротиворечивость дедуктивной системы, названной им неевклидовой геометрией. Разумеется, продвинулся он в рассматриваемой области гораздо меньше, чем Лобачевский, отдавший всю жизнь разработке новой геометрии. Но причина, но чему неевклидову геометрию никто никогда не именует «геометри­ей Гаусса», заключается не только (и не столько) в этом. Гаусс, хорошо понимавший, насколько новые идеи обогнали свое время и как трудно им найти признание (две геометрии — откуда это?), ничего не напечатал по неевклидовой геометрии и категорически запретил всем, знакомым с его взглядами, разглашать эти взгляды.

Итак, Лобачевский, несмотря на все препятствия, на все неприятности, пытался доказать свою правоту. Открыл людям геометрию, датой основания которой принято считать 1829 г, которую невозможно воспринять зрительно, понять которую можно лишь включив свою фантазию.

ГЛАВА 2. ЕВКЛИД, ЛОБАЧЕВСКИЙ

2.1. Две геометрии – один мир

Поскольку пятый постулат в геометрии Лобачевского отличается от этого же постулата в геометрии Евклида, то во всех доказательствах  теорем, в которых используется данная аксиома  о параллельных прямых, имеются различия.

Мы провели сравнительный анализ евклидовой и неевклидовой геометрий, и вот какие результаты мы получили:

	Геометрия Евклида	Геометрия Лобачевского
Критерии сравнения:
	Параболическая	Гиперболическая
Модель планиметрии	плоскость	плоскость
Аксиома о ║- ных прямых (Пятый Постулат)	Через точку А, не лежащую на данной прямой с, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не ∩ её	Через точку М, не лежащую на данной прямой D, проходит ∞ много прямых, не ∩ D и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние d1, d2, которые и называются ║- ыми прямой D. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек).
Кривизна	Кривизна = 0	Кривизна < 0
∑ внутренних ∟-лов ∆-ника	Всегда = 180º	Меньше 180º и может быть сколько угодно близкой к нулю
Подобные ∆-ники	2 ∆-ника называются подобными, если их ∟- лы соответственно равны и стороны одного ∟- ла сходственным сторонам другого.	В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных ∆-ков; ∆-ки равны, если их ∟-лы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому, как прямой ∟ выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного ∆-ка с данной ∑ ∟- ов.
Признаки равенства ∆-ков	Существует 3 признака равенства ∆-ков. А если углы одного ∆-ка соответственно равны углам другого ∆-ка, то эти ∆-ки подобны.	В геометрии Лобачевского имеет место 4-ый признак равенства ∆-ков: если углы одного ∆-ка соответственно равны углам другого ∆-ка, то эти ∆-ки равны.
∑ ∟-лов ∆-ника	∑ ∟-лов ∆-ника всегда равна180º.	∑ ∟-лов ∆-ника непостоянна и всегда меньше 2d.
∑ ∟-лов четырёхугольника	∑ ∟-лов четырёхугольника всегда равна 360º.	∑ ∟-лов выпуклого четырёхугольника меньше 4d.
Внешний ∟ ∆-ка	Внешний ∟ ∆-ка равен ∑ внутренних, с ним не смежных углов.	Внешний ∟ ∆-ка  больше ∑ внутренних, с ним не смежных углов.
Расположение прямых на плоскости	2 случая взаимного расположения прямых на плоскости: прямые, ∩-ся, ║- ны.	3 случая взаимного расположения двух прямых: прямые ∩-ся, ║- ны или расходятся.
Определение ║- ных прямых	║- ыми называются 2 прямые, расположенные в одной плоскости и не встречающиеся.	Прямые называются ║- ыми прямой а, если: 2 прямые не ∩-ют прямой а, любая прямая, -ая  в одной паре вертикальных ∟-ов с вершиной А и образованных b и с ∩ а, любая прямая, - ая в другой паре вертикальных ∟- ов с вершиной А и образованный b и с не ∩ а. В последнем случае говорят, что прямые являются расходящимися. К любой из них можно восстановить ┴-ры, которые не достигают другой прямой.
	Прямые l и m можно изобразить в виде искривленных линий. Тогда легче представить, что они действительно нигде не встретятся с прямой BC.	Прямые l и m – первые прямые пучка, не встречающие прямую BC, - Лобачевский называет ║- ыми ей.
Величина угла между  ┴-ом и ║- лью.	∟ между ┴-ом и ║- лью всегда, как известно, равен 90º.	∟ между ┴-ом и каждой из 2ух ║- ей к прямой всегда будет меньше 90º. Более того, величина этого "угла ║- ти", как называет его Лобачевский, непостоянна: она меняется в зависимости от длины ┴-ра, опущенного из точки на первоначальную прямую. Когда длина ┴-ра, уменьшаясь, стремится к нулю, ∟ ║-сти, возрастая, стремится к 90º, а когда ┴-яр растет до ∞, ∟ становится равным нулю.

Таким образом, чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Сравнение доказательств некоторых теорем геометрии Евклида и Лобачевского

Рассмотрим некоторые доказательства теорем Евклида и Лобачевского. Исследуем, прежде всего, связь постулатов Евклида и Лобачевского с вопросом о сумме углов треугольника. Покажем, что постулат Евклида равносилен предположению, что сумма углов треугольника равна двум прямым, а постулат Лобачевского – что сумма углов меньше 2-х прямых.

Теорема о сумме углов треугольника

Геометрия Евклида

Теорема. Сумма углов треугольника равна 2d. Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Докажем, что ∟A + ∟B + ∟C = 180°. Выполним дополнительное построение : через вершину B проведём прямую a, параллельную стороне AC. a || AC (при секущей AB) => ∟2 = ∟5 (накрест лежащие) a || AC (при секущей BC) => ∟3 = ∟4 (накрест лежащие) ∟B – развернутый => ∟ B = 180°. ∟B = ∟5 + ∟1 + ∟4. Из выше следующих равенств получаем : ∟5 + ∟1 + ∟4 = 180°. ∟2 = ∟5 ∟3 = ∟4                           => ∟1 +∟ 2 + ∟3 = 180° => ∟A + ∟B + ∟C = 180°. ∟5 + ∟1 +∟ 4 = 180° Что и требовалось доказать.

Геометрия Лобачевского

Теорема. Сумма углов треугольника меньше 2d. Доказательство. Предположим, что сумма углов треугольника ABC равна 2. Пусть угол BAC – наименьший угол треугольника ABC (если треугольник равносторонний, то возьмём один из равных углов). AD – медиана к стороне BC. Отложим отрезок DB1 = AD. Рассмотрим треугольники ADB и DB1C : BD = DC (AD – медиана) AD = DB1 (по построению) Из этих равенств следует, что треугольник ADB = треугольнику DB1С => ∟DB1C = ∟BAD; угол ABC = углу B1CD. Таким образом, у треугольника AB1C (первый выводной треугольник) сумма трёх углов равна также 2. Из первого выводного треугольника получаем аналогичным построением второй выводной треугольник и в нём сумма трёх углов тоже равна 2. Продолжая, мы получим ряд выводных треугольников; в n-м треугольнике сумма углов равна 2, а сумма углов с вершинами в концах удвоенной медианы (n-1)-го выводного треугольника. Если взять n достаточно большим, то можно сделать меньше, т.е. третий угол этого треугольника будет больше 2; мы получаем противоречие. Теперь докажем, что сумма углов треугольника меньше 2d. Пусть АВС – произвольный треугольник. По теореме Саккери-Лежандра АВС ≤ 2d. Если предположить, что АВС = 2d, то окажется справедливым пятый постулат, что противоречит аксиоме. Следовательно, АВС<2d. Что и требовалось доказать.

Теорема о внешнем угле треугольника

Геометрия Евклида

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных углов. Доказательство. 1) ∟1 + ∟2 + ∟3 = 180° ∟3 + ∟4 = 180° 2) ∟1 + ∟2 = 180°- ∟3  ∟4 = 180° - ∟3                  => ∟4 = ∟1 + ∟2. Что и требовалось доказать.

Геометрия Лобачевского

Теорема. Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов. Доказательство. Пусть δ -внешний угол треугольника, смежный с внутренним углом α, и пусть β и γ –остальные внутренние углы; тогда : 1)  α + β + γ < 180°      δ + α = 180° 2) β + γ < 180° - α     δ = 180° - α           => β + γ < δ Что и требовалось доказать.

Теорема о сумме углов четырёхугольника

Геометрия Евклида

Теорема. Сумма углов любого четырехугольника равна 360°. Доказательство. Пусть ABCD данный выпуклый четырёхугольник. Дополнительно построение : AC – диагональ; ∆ABC, ∆ADC. ∆ABC : ∟A + ∟B + ∟C = 180° ∆ADC : ∟A + ∟D + ∟C = 180°      => ∟A + ∟B + ∟C + ∟D = = 2 * 180° = 360° Что и требовалось доказать.

Геометрия Лобачевского

Теорема. Сумма углов выпуклого четырёхугольника меньше 4d. Доказательство. Мы построим доказательство, аналогичное евклидовому доказательству. Пусть ABCD данный выпуклый четырёхугольник. Дополнительно построение : AC – диагональ; ∆ABC, ∆ADC. ∆ABC : ∟A + ∟B + ∟C < 2d ∆ADC : ∟A + ∟D + ∟C < 2d          => ∟A + ∟B + ∟C + ∟D < 2d*2 < 4d. Что и требовалось доказать.

Четвёртый признак равенства треугольников или первый признак подобия.

Геометрия Евклида

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. (Первый признак подобия треугольников) Доказательство. 1) Пусть ∆ABC, ∆A1B1C1 ∟A = ∟A1; ∟B = ∟B1; ∟C = 180° - (∟A +∟B) = 180° - (∟A1+∟B1) = ∟C1 2) Дополнительное построение BA2 = A1B1, A2C2 || AC A2C2 ∩ BC = C2 3) Рассмотрим ∆A1B1C1, ∆A2BC2 : BA2 = A1B1 (по построению) ∟A2 = ∟A1 (∟A = ∟A1 [по условию];∟A= ∟A2 [соотв., A2C2 || AC, BA секущая])       => ∟B = ∟B1 (по условию)                                                                                                          => ∆A1B1C1 = ∆A2BC2 => ∟C2 = ∟C1             4) По определению подобных треугольников следует, что ∆A2BC2 ~  ∆A1B1C1, значит ∆ABC ~ ∆A1B1C1. Что и требовалось доказать.

Геометрия Лобачевского

Теорема. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. 1) Пусть ∆ABC; ∆A1B1C1 ∟A = ∟A1; ∟B = ∟B1; ∟C = ∟C1. Докажем, что AB = A1B1. 2) Предположим, что AB ≠ A1B1, допустим, что AB > A1B1. На луче AB возьмём B2, так чтобы AB2 = A1B1, на луче AC возьмём C2 так, чтобы AC2 = A1C1 3) ∆AB2C2; ∆A1B1C1 ∟A = ∟A1 (по условию)                             I призн. AB2 = A1B1 (по построению)         => ∆AB2C2 = ∆A1B1C1 => ∟1 = ∟2; ∟4 = ∟5. AC2 = A1C1 ( по построению) 4) ∟2 = ∟3 (по условию) ∟1 = ∟2 (по доказанному)       => ∟1 = ∟3 5) ∟4 = ∟5 (по доказанному) ∟5 = ∟6 (по условию)                => ∟4 = ∟6 6) По предположению AB>A1B1, поэтому A – B2 – B, B2C2 ∩ AB = B2 ∆ABC B2C2 || BC (∟1 = ∟3 соответственные). Следовательно, B2C2 ∩ AC = C2 (по аксиоме Паша) => A – C2 – C. Следует, что BB2C2C – выпуклый четырёхугольник. 7) ∟1 = ∟3; ∟4 = ∟6 = > ∟B + ∟B2 + ∟C2 + ∟C = 4. Таким образом, приходим к противоречию с предыдущей теоремой. Значит, AB = A1B1. 8) ∆ABC; ∆A1B1C1 ∟A = ∟A1 ( по условию)                     II призн. ∟B = ∟B1 (по условию)      => ∆ABC = ∆A1B1C1 AB = A1B1 Что и требовалось доказать.

    Таким образом, все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем относится именно к этому типу. Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Евклидова геометрия - «предельный» случай геометрии Лобачевского. Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир - не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы? В качестве примера можно привести тот факт, что видимый звездный свод - это не что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами, и ошибки достигали значительной величины. Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений геометрия Евклида дает ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Открытие геометрии Лобачевского оказало огромное влияние на развитие науки. Наиболее ярко оно выразилось в нашем представлении пространства, ведь до открытия геометрии Лобачевского мы и представить не могли, что существует другая геометрия. В отличии от «воображаемой» геометрии, Евклидова геометрия лишь весьма приблизительно, хоть и с высокой точностью, описывает окружающее нас пространство.

В нашей исследовательской работе цель была достигнута, так как были решены все поставленные задачи. В описании данной работы мы выяснили различия геометрии двух величайших математиков. Содержащиеся в работе сведения, дают нам возможность для рассмотрения ее в дальнейшем ее практического применения. Исследование расширило наши знания о нескольких математиках, а также в корне изменило наше мнение относительно геометрии, изучаемой в школе.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Евклид. Начала. Перевод и комментарии Д. Л. Мордухой-Волтовского. М.: Просвещение, 1950.

2.     Колесников М. Лобачевский // серия «Жизнь замечательных людей» - М. «Молодая гвардия», 1965

3.     Н. Лобачевский «Новыя начала геометрии с полной теорией параллельных»

4.     Лобачевский Н. И. Сочинения по геометрии. Т. ІІІ. Воображаемая геометрия. Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам. Пангеометрия / Николай Иванович Лобачевский. – М.– Л. : Гостехтеоретиздат, 1951.

5.     Лобачевский Н. И. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма / Николай Иванович Лобачевский; - М : Наука, 1976.

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ

1.     http://diafilmy.su/3720-n-i-lobachevskiy.html

2.     http://www.hrono.ru/biograf/bio_l/lobachevski.php

3.     http://all-biography.ru/alpha/l/lobachevskij-nikolaj-lobachevsky-nikolai

4.     http://www.apxu.ru/article/geoforma/whatt/geometria_loba4evckogo.htm

5.     http://geom.kgsu.ru/index.php?id=32&option=content&task=view

Приложения

Приложение 1.

Николай Лобачевский – Коперник геометрии.

Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии». Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель.

Итак, Коперник и Лобачевский — оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, и значение каждой из этих революций одинаково велико. И Н. Коперник и Н.И. Лобачевский создали теории, противоречащие господствующим, просуществовавшим целые тысячелетия. И каждому из них пришлось

Доказывать свою правоту. Современники считали их безумцами, не принимали их доказательств. Н. Коперник понимая, как трудно людям будет поверить в то, что Земля не является центром Вселенной, даже в предисловии к своей книге написал: «Принимая в соображение, какой нелепостью должно показаться это учение, я долго не решался напечатать мою книгу и думал, не лучше ли будет последовать примеру пифагорейцев и других, передававших своё учение лишь друзьям, распространяя его только путём предания».

Нужно иметь большую смелость, научное бесстрашие и преданность истине, чтобы сделать открытие, перечеркивающее учение, просуществовавшее тысячелетия. И Н. Коперник и Н.И. Лобачевский обладали такими качествами. Их теории стали колоссальным шагом вперёд и сокрушительным ударом по архаичным авторитетам.

Представления древних астрономов о строении Вселенной изложены в сочинении Птолемея «Мегалесинтаксис» (“Великое построение”).  

В основе системы мира Птолемея лежат четыре главных допущения (постулата):

1) Земля находится в центре Вселенной;

2) Земля неподвижна;

3) все небесные тела движутся вокруг Земли;

4) движения небесных тел происходят по окружностям с постоянной скоростью, т.е.  равномерно.

Система мира Птолемея называется геоцентрической. Солнце и Луна, планеты лежат внутри сферы, на поверхности которой расположены “неподвижные” звезды. Суточное движение всех светил объяснялось вращением всей Вселенной как одного целого вокруг неподвижной

Земли. К началу XVI в. система Птолемея была настолько сложна, что не могла уже удовлетворить тем требованиям, которые предъявлялись к  астрономии практической жизнью, в первую очередь мореплаванием. Нужны были более простые методы вычисления положений планет, и такие методы были созданы благодаря великому творению гениального польского ученого Николая Коперника, заложившему основы новой астрономии, без которых не могла бы возникнуть и развиваться современная астрономия.

Николай Коперник – автор гелиоцентрической системы мира, положивший начало первой научной революции. В своем главном сочинении «Об обращении небесных сфер», он пришёл к выводу, что не Земля, а Солнце должно быть неподвижным центром Вселенной. Исходя из этого предположения, Коперник весьма просто объяснил всю кажущуюся запутанность движений планет. Эти утверждения полностью противоречили господствовавшей на тот момент геоцентрической системе, созданной Птолемеем.

Когда Н.И. Лобачевский выступил на заседании Отделения физико-математических наук в Казанском университете, где он работал, 11 февраля 1826 года с докладом  «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных прямых», его даже не пытались понять. Особенно нелепо звучал для математиков вывод Лобачевского о том, что в «воображаемой геометрии» угол треугольника зависел от длины его сторон. Нет, в 1826 году идеи Лобачевского не нашли ни сочувствия, ни понимания у современников. Они не были наглядны! Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777- 1855 гг.), как выяснилось из опубликованных посмертно его записей и переписки, много раньше получил ряд соотношений неевклидовой геометрии, но запретил своим корреспондентам какие-либо высказывания о его взглядах. Он высоко оценил в своих письмах друзьям геометрические работы Лобачевского.

Почему Гаусс не опубликовал своих исследований по новой геометрии? Возможно, что еще не был уверен в отсутствии противоречий в неевклидовой геометрии или же, судя по его письмам, не хотел рисковать своим покоем. Лобачевский не сдается. Совершенно не понятый соотечественниками, Лобачевский постарался ознакомить со своей системой западноевропейских ученых. Он пишет статьи на немецком, французском языках, популяризируя взгляды неевклидовой геометрии.  

Как истинные ученые, Николай Коперник и Н.И. Лобачевский не могли ограничиться высказыванием гипотез, а посвятили много лет своей жизни получению наиболее ясных и убедительных доказательств своих утверждений. Используя достижения математики и астрономии своего времени, Коперник придал своим революционным взглядам на кинематику Солнечной системы характер строго обоснованной, убедительной теории. Следует заметить, что в его времена астрономия еще не владела методами, позволяющими непосредственно доказать вращение Земли вокруг Солнца (такой метод появился почти двести лет спустя). В его книге содержатся теоремы из планиметрии и тригонометрии,

необходимые автору для построения теории движения планет на основе гелиоцентрической системы. Николай Коперник очень красиво и убедительно доказывает, что Земля имеет шарообразную форму, приводя как доводы древних ученых, так и свои собственные. Лобачевский детально разработал свою геометрию, нашел тригонометрические соотношения между сторонами и углами треугольника, изучил простейшие кривые – аналоги окружностей – предельную линию (окружность бесконечно большого радиуса) и эквидистанту (образована точками, удаленными от прямой на постоянное расстояние), ввел различные системы координат, нашел формулы для вычисления площадей и объемов.  

И Н. Коперник и Н.И. Лобачевский изменили представление людей об окружающем мире с помощью математических формул и расчетов. На титульном листе книги Коперника «Об обращениях небесных сфер» стоит суровое предостережение: «Да не входит никто, не знающий математики». Наблюдения и расчет—вот главные методы их работы.

Приложение 2.

Учителя Лобачевского.

М.Бартельс

Выдающиеся математические способности Лобачевского поражали преподавателей. С восхищением отзывался о Лобачевском его учитель – профессор математики М.Ф. Бартельс. Сам Бартельс не занимался неевклидовой геометрией и к идеям Лобачевского отнёсся отрицательно. Немецкий геометр Феликс Клейн при подготовке своей монографии «Неевклидова геометрия» высказал предположение, что идеи Лобачевского получили первый толчок, когда Лобачевский узнал у Бартельса о работах Гаусса на эту тему.

Историки науки проверили эту гипотезу и пришли к мнению, что она бездоказательна и противоречит известным фактам, поэтому Клейн убрал из текста монографии упоминание о своей гипотезе. В настоящее время считается, что все основатели неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский и Бойяи) пришли к своим открытиям независимо

Ф.Броннер

Занятиями Лобачевского в области астрономии руководил профессор И. А. Литтров, физику преподавал профессор Ф. К. Броннер

Приложение 3.

Учёные о геометрии Лобачевского.

Н.Лобачевский

Открытие Н.И.Лобачевского было встречено полным непониманием со стороны его современников. Над ним смеялись, кто со злобой, кто с сочувствием; другие же просто игнорировали новую теорию. Исключение составляли, разве что, венгерский математик Я. Бояи (пришедший тремя годами позже к тем же выводам) и один из крупнейших математиков XIX века К.Ф. Гаусс. Лишь полвека спустя математики начали осознавать суть этого открытия.

Прошло еще несколько десятилетий и стало ясно, что открытие новой геометрии явилось едва ли не самым значительным событием в математике XIX века, оно во многом предопределило развитие всей науки. А при помощи моделей, созданных на основе геометрии Лобачевского другими учеными, в частности Клейном, Пуанкаре и Бельтрами, появилась возможность более простым способом доказать некоторые теоремы евклидовой геометрии.

Приложение 4.

Практическое применение геометрии Лобачевского.

Где применяется геометрия Н.И. Лобачевского? Вот вопрос, который часто приходится слышать от учащихся. Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов.

 Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Например, Земля создает вокруг себя искривленное пространство – время, которое называют полем тяготения. Геометрия искривленных пространств задается не аксиома как у Евклида, а способом определения расстояния между близкими точками, линейным элементом s. Изменяются метрические коэффициенты – изменяется s.

Н.И. Лобачевский проводил астрономические эксперименты. Он измерял сумму углов треугольника, вершинами которого были астрономическая обсерватория и две далёкие звезды. Но только учитывая эффекты теории относительности, можно было правильно поставить эксперименты.

В 1910 году хорватский математик Владимир Варичак (1856 - 1942) указал на аналогию между сложением релятивистских скоростей и сложением отрезков на плоскости Лобачевского.

Более глубокое исследование выполнил российский геометр и механик А.П. Котельников. В 1923 году он ввел понятие пространство скоростей релятивистской механики, оказавшееся точнейшей реализацией геометрии Н.И. Лобачевского. Пока скорости малы по сравнению со скоростью света, странная арифметика: «любая скорость» + «скорость света» = «скорость света». Реализуется такая арифметика именно в геометрии Н.И. Лобачевского.

Следующий шаг сделал российский физик Н.А. Черников, который применил геометрию Н.И. Лобачевского в физике высоких энергий. Он показал, что формулы векторы скоростей складываются как обычные векторы в евклидовом пространстве. Длины окружности, площади круга, дефекта углов треугольника в геометрии Н.И. Лобачевского точно соответствуют выражениям для импульса, кинетической энергии релятивистской частицы и формула E = mc2 для дефекта массы в частной теории относительности. Особенно эффективно пространство скоростей работает при решении задач о столкновениях частиц.

Таким образом, «воображаемая геометрия», открытая в 19 веке замечательным русским учёным Н.И Лобачевским до сих пор сохраняет своё значение для науки и практики. Его геометрия находит применение при изучении сверхбольших (космических) пространств. Недаром он назвал ее «пангеометрией», т. е всеобщей геометрией. Идеи Н.И. Лобачевского широко используются современными физиками при построении общей геометрической картины «физического мира».

Ученые Земли уже полвека пытаются разрешить загадку, в каком мире мы живем? Какой геометрией он описывается? От этого знания зависит судьба всей вселенной. Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет искривлено. Таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского.

Геометрия Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям.

Приложение 5.

Анкетирование учащихся

Прежде чем приступить к исследованию, мы решили провести социологический опрос. Ученикам 8-х классов МОУ «Бендерский теоретический лицей» были заданы 4 вопроса:

1.Сформулируйте аксиому параллельных прямых (рис. 1).

2. Что вы знаете о геометрии Лобачевского? (рис. 2)

3. Что вы знаете о геометрии Евклида? (рис. 2)

4.Чью геометрию мы изучаем в школе? (рис. 3)

Вот какие результаты мы получили:

             Рис. 1                                                    Рис. 2

Рис.3

Приложение 6.

Геометрия Лобачевского – не единственный пример неевклидовой геометрии. Существует другая геометрия Римана – геометрия на сфере. Особенности этой геометрии можно продемонстрировать на следующих задачах.

Задача 1. Из-за загрязнения окружающей среды и появления озоновых дыр ученые прогнозировали на западном полушарии Земли потепление. Они описали его приблизительные размеры с использованием параллель и меридиан. Найти сумму углов предполагаемой зоны потепления, чтобы в дальнейшем высчитать ее точную площадь.

Дано:
сфера(R;О), 
∠ α =45°      
ΔABC

Найти:
Сумму углов ΔABC, образованного двумя меридианами и параллелью.

Решение:

AC перпендикулярна DF; AB перпендикулярна DF (как меридианы) =>    ∠ β и ∠ α = 90° => ΔABC = ∠ α + ∠ β + ∠ 1 = (90°·2) + 45°= 225°.

Ответ:225^о

Как видно, одним из отличий геометрий Римана и Лобачевского – сумма углов треугольника. У Лобачевского она меньше 180°, а у Римана – больше.

Задача 2. Два спутника связи запустили на орбиту. Чтобы понять, пересекаются ли их зоны покрытия, необходимо доказать, что любые две прямые пересекаются. В сферической геометрии окружность максимального радиуса называется «прямой» линией.

Дано: 
сфера(R;О), 
две прямые на сфере

Доказать: любые прямые пересекаются

Доказательство:

Вторая «прямая» полностью лежит в одной из полусфер, потому что первая «прямая» делит сферу на две половины.

Поэтому её радиус (r) < R сферы, т.е. это не «прямая», а окружность => вторая «прямая» не является прямой => любые две «прямые» пересекаются на сфере, что и требовалось доказать.