Исследовательская работа по математике

Районная научно – практическая конференция молодых исследователей

«Первый доклад»

Высота, как одна из характеристик трудно доступных предметов.

(доклад)

Автор: Бердникова Яна Андреевна

ученица 5 класса

МАОУ «Киевская СОШ»

Руководитель: Петренко Людмила Валентиновна

учитель математики и информатики

МАОУ «Киевская СОШ»

высшая квалификационная категория

с.Киево, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………………………...…3

Глава I. Теоретические основы исследования

               1.1 История возникновения и применения математики в    

древности.…………………………………………………………....4

               1.2 Различные способы определения высоты предмета………...........4-9

Глава II. Практическая часть…………………………………….……………….10-12

Заключение………………………………….………………………………..........13           

Список литературы………………………………………………………………..14

Приложения

Приложение 1 ………………..………………………………………………….....15

Приложение 2………………………………………………………………………16-21

Введение

«Время от времени следует производить

самые дикие эксперименты. Из них почти

никогда ничего не выходит, но если они

удаются, то результат бывает потрясающим»
Эразм Дарвин

В современном мире мы определяем значения различных величин (длину, массу, температуру и т.п.) с помощью различных инструментов и приборов. Так, в своей профессиональной деятельности строители, архитекторы, лесоводы, военные для определения высоты объекта используют специальные сложные и дорогостоящие приборы – высотомеры. Возникает вопрос: а можно ли определить высоту столба или дерева без высотомера? Такое умение нужно многим людям, находящимся в лесу: туристам, охотникам, лесникам. Этому умению обучают скаутов. Яков Исидорович Перельман, автор множества популярных книг по математике, «доктор занимательных наук», в войну в Ленинграде был лектором-инструктором по подготовке военных разведчиков. Он разработал несколько тем, касавшихся, главным образом, умения ориентироваться на любой местности и в любую погоду, не пользуясь при этом никакими техническими средствами, инструментами и приборами, а полагаясь только на то, что было «под руками».

Тема нашей работы «Высота, как одна из характеристик трудно доступных предметов».

            Актуальность: Данная тема является дополнением и углублением изучения методов измерения высоты предмета в курсе математики и физики.

            Проблема: Как измерить высоту предмета без специального оборудования?

Объект исследования: дерево и здание школы.                                                                                            

            Предмет исследования: способы измерения высоты дерева и школы.

            Цель работы – определение высоты дерева и школы разными способами без

специальных приборов.

            Задачи:

1. Найти всевозможные способы определения высоты дерева и здания школы без  измерительных приборов, не влезая на них и не срубая дерева.

2. Отобрать наиболее приемлемые и простые способы определения высоты.

3. Экспериментально проверить использование различных способов определения высоты предмета.

4. Сопоставить результаты исследований и найти наиболее точный способ определения высоты предмета.

Гипотеза: Если  овладеть  различными способами измерения высоты, то можно определить высоту любого тела и предмета.

Методы исследования: теоретический и эмпирический.

Этапы исследования:

1.      Изучение литературы и ресурсов Интернета по теме исследования.

2.      Изучение способов измерения высоты предмета.

3.      Проведение исследования.

Глава I. Теоретические основы исследования

1.1  История возникновения и применения математики в древности

При проведении исследования мы познакомилась с историей возникновения математики и выяснила, что изначально потребность в этой науке возникла из повседневных нужд древнего человека. Необходимо было делать простейшие расчеты при строительстве, земледелии, разведении животных, торговле. Но потом, математика стала основным средством познания окружающего мира и полезным инструментом для других наук. Огромное количество великих открытий и изобретений, без которых сейчас мы не могли бы обойтись, сделаны благодаря использованию математических знаний.

Мы рассмотрели основные древние цивилизации, а также великих ученых математиков, которые внесли большой вклад в развитие этой науки.

Например, в географии 5 класса мы изучали тему: «Относительная высота». Греческий философов Фалес, один из семи мудрецов древности, придумал остроумный способ определения относительной высоты. Однажды египетский фараон Амазис предложил ему определить высоту пирамиды Хеопса, самой высокой пирамиды Египта. Фалес веревкой измерил одну из сторон квадратного основания пирамиды. Затем измерил длину тени пирамиды в тот момент, когда его собственная тень была равна его росту. Далее он прибавил к длине тени пирамиды половину длины основания. Так он узнал высоту пирамиды. [3]

   Результаты нашей работы мы разместили на страницах, созданного нами буклета. Этот буклет мы распространили среди учеников и учителей нашей школы. (Приложение 1)

1.2 Различные способы определения высоты предмета

Существуют основные способы измерения высоты предмета без специальных приборов.

	Способ измерения	Описание работы
1.	При помощи журнала  или записной книжки. А	В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты вы можете использовать и свою карманную записную книжку, если она снабжена карандашом. Она поможет вам построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжку надо держать возле глаз так, как показано на фото. Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигается над верхним обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки А, видеть верх здания покрытой кончиком карандаша. Тогда, вследствие подобия треугольников и, высота здания определится по пропорции АМ/ВС=(МС+СЕ)/СЕ.
2.	Использование зеркала (или лужи)	Оборудование: рулетка и зеркало. Чтобы воспользоваться этим методом нужно знать закон отражения света и свойство подобия треугольников. Ход работы: 1.      Необходимо положить зеркало на землю. 2.      Найти положение, при котором в зеркале видно отражение края крыши школы, а с другой стороны отражение человека. 3.      Измерить расстояния:  от человека до зеркала, от школы до зеркала; рост человека. 4.                 Составить простое соотношение:  H/h=L/l,  где H - высота школы,  h – высота человека L – расстояние от зеркала до школы l – расстояние от зеркала до человека 5.                 Вычислить H : H = h*L/l 6.                 Повторить измерения при разных значениях L несколько раз, для увеличения точности эксперимента.
3.	Использование треугольника с углом 45 градусов (в качестве треугольника можно свернуть обычный лист бумаги так, чтобы  один угол был равен 45 градусам. Охотники могут заменить треугольник ружьем с ремнем. )	Оборудование: треугольник с углом 45 градусов или любой предмет его заменяющий. Необходимо построить равнобедренный треугольник, одним из катетов которого является школа. Ход работы: 1.      Отойти от школы на такое расстояние пока линия крыши школы не совместится с линией гипотенузы треугольника и вашего глаза. Держа треугольник вертикально, посмотреть вдоль гипотенузы и увидеть крышу школы. 2.      Измерить расстояние L от школы до человека. 3.      Прибавить к полученному числу рост человека до уровня глаз h, это и будет высота школы H.
4.	Метод скаутов. Используя карандаш (ручку или палочку)	Оборудование: карандаш, рулетка. Этот метод основан на простом измерении. Ход работы: 1.      Поставить одного человека рядом с углом школы. 2.      Второму отойти от школы так, чтобы видеть школу целиком. 3.      Перед собой вытянуть руку с карандашом, зажатым в кулаке. Прищурить один глаз, и расположить карандаш так, чтобы он полностью совпал с размерами школы. 4.       Повернуть кулак на 90 градусов так, чтобы карандаш оказался параллелен земле, при этом основание карандаша должно по- прежнему совпадать с основанием школы.               5.       Попросить первого человека отойти от школы в сторону на которую указывает основание карандаша. Как только он достигнет точки острия карандаша, остановиться. 6.      Измерить расстояние от школы до первого человека L – это и будет высота школы H.
5.	Используя фотографию	Оборудование: фотоаппарат. Для получения результата используем метод сравнения размеров. Ход работы: 1.      Поставить одного человека рядом со стеной школы. 2.      Держа фотоаппарат вертикально сфотографировать. 3.      По готовой фотографии измерить высоту человека, и школы. 4.      По формуле определить высоту школы: H = h*L/l, где H - высота школы,   h –рост человека l - рост человека на фотографии L – высота школы на фотографии
6.	Используя тень предмета	Оборудование: рулетка. Необходимое условие для применения этого метода – солнечный день. Для получения результата используем метод сравнения размеров. Ход работы: 1.                 Измерить длину тени от школы и от человека, рост которого нам известен. 2.                 По формуле определить высоту школы: H = h*L/l, где H - высота школы,         h –рост человека l – длина тени от человека L – длина тени от школы
7.	Используя статистический метод	Оборудование: метровая линейка. Самый простой, но и самый ненадежный метод исследования. Ход работы: 1.      Поставить человека рядом с измеряемым предметом, держащего вертикально метровую линейку. 2.      Предложить оценить высоту школы на глаз как можно большему количеству людей, сравнивая его с метровой линейкой. 3.      Рассчитать высоту школы H как среднее арифметическое полученных данных. 4.      Результаты занести в таблицу: № п/п H 1 H1 2 H2 3 H3 4 H4 5 H5 Ср. арифм. =(h1+h2+ h3+h4+h5)/5
8.	Используя воздушный шарик, наполненный гелием	Оборудование: воздушный шарик, наполненный гелием, длинная нить, метровая линейка. Самый интересный и веселый метод измерения. Необходимо сравнить высоту школы с длиной нити. Обязательное условие – отсутствие ветра. Ход работы: 1.      Привязать к шарику нить и отпускать шарик до тех пор, пока он не достигнет верхушки школы. 2.      Вернуть шарик назад и измерить длину нити – это и будет высота школы H.
7.	Метод математического маятника	Прикрепим к нити с одного конца груз и закинем нить так, чтобы она концом с камушком намоталась на поручень защитного ограждения на крыше. К свободному концу прикрепим сферический груз в таком месте, чтобы при его отпускании он висел близко к земле. Получим, таким образом, математический маятник. Выведем маятник из положения равновесия, отклонив груз на малый угол относительно вертикали, проходящей через точку подвеса. Замерим время t, необходимое для определённого числа колебаний (обозначим это число колебаний через n). Находим период колебаний по формуле: Теперь воспользуемся формулой периода колебаний математического маятника: Исходя из формулы 1 и 2, вычислим значение неизвестной  : Очевидно, что H=l, где H – высота школьного здания.  Подставим численные значения всех вошедших в последнюю формулу величин, принимаю g = 9,8 м/с2:     Примечание:  Формула периода колебаний математического маятника могла появиться только после 1657 г., когда Х.Гюйгенс изобрел маятниковые часы.
10.	Пиратский метод	Возьмём катушку ниток, прикрепим к свободному концу мотка ниток груз, а катушку наденем на карандаш. Во время эксперимента карандаш нужно держать максимально близко к земле, а катушке – дать возможность вращаться, разматывая при этом нитку. Встав максимально близко к стене школы, бросим груз вертикально вверх. В момент достижения грузом стены школы на размотавшуюся нить наносим штрих маркером. После спуска конструкции измеряем с помощью рулетки длину нити от её кончика до ближнего к нему кончика метки.
11.	При помощи рейки известной длины	Установим рейку перпендикулярно земле на расстоянии S от стены школы. Глаз наблюдателя расположим в точке А Направим рейку так, чтобы один конец соприкасался с глазом, а другой был направлен на верхний край стены. Высота школы равна: ВС=(TL*AB)/AL
12.	При помощи шеста, равного росту измеряющего.	В этой задаче используется шест. Место для шеста выбрать так, чтобы лежа, могли видеть край крыши здания на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Шест перпендикулярен поверхности, на которой лежит человек. Тогда образованный треугольник прямоугольный, и угол, где глаза равен 45° и, следовательно, расстояние от макушки человека до здания равно высоте здания.

Глава II. Практическая часть: проведение эксперимента

В результате наших измерений мы можем сделать вывод, что высота дерева приблизительно составляет 9м 48см. Из используемых нами способы наиболее неточный результат показал Метод Фалеса и Метод Ж.Верна, по причине того, что тень на снегу не просматривается достаточно четко или солнце часто скрыто за облаками. Остальные методы показали близкие результаты.

Измерение высоты школы мы проводили 9 способами. По результатам выбранных способов примерная высота школы составила 9 м 58 см метров. Сравнив результат наших измерений с точной высотой школы H=9м 62см, взятой из Технического паспорта школы, приходим к выводу, что наиболее точным способом является Метод скаутов  H=9 м 56 см, но и остальные методы показали близкие результаты.

Таблица 1 «Измерение высоты дерева»

Метод	Формула	Измерения	Результат
Метод Фалеса	H=	Тень дерева  11м 45см Высота человека 1 м 36см Тень человека 1м 60см	9м  73 см
Метод Ж.Верна	H=	Высота шеста 90 см Расстояние  от мак.чел. до дер. 12 м 35см Расстояние  от мак.чел. до шеста 1м 17 см	9 м 50  см
С помощью равнобедр. прямоуг. треуг.	H= расстояние от человека до дерева +высота человека до глаз	Расстояние от чел. до дер.  8 м 10см Высота чел. до глаз 1м 25 см	9 м 35 см
С помощью зеркала	H =	Расстояние от дер. до зеркала 14м 25см Рост чел. до глаз 1м25см Расстояние от чел. до зеркала 1м 85 см	9 м 63 см
Фотография	H=  Высота дерева на фото . рост человека                Высота человека на фото	Высота  дерева на фото 16см 1 мм Рост чел. 1м 36см Высота чел. на фото 2см 3мм	9м 52 см
Пиратский метод	-	-	9м 61см
Способ скаутов	-	-	9м 30см
Гелевый шарик	-	-	-
Статистический способ	H=(h1+h2+ h3+h4+h5)/5 h1-значение высоты 1 первого измерния h2-значение высоты 2 первого измерния h3-значение высоты 3 первого измерния h4-значение высоты 4 первого измерния h5-значение высоты 5 первого измерния	h1= 9м50см h2= 9м h3= 9м h4= 9м h5= 9м50см	9м20см

Таблица 2 «Измерение высоты школы»

Метод	Формула	Измерения	Результат
Метод Фалеса	H=                    Тень человеа	Тень дерева  14м 42см Высота человека  1 м 36см Тень человека 1м 95см	10м6см
Метод Ж.Верна	H=	Высота шеста 90см Расстояние от мак.чел. до шк. 16 м 4 см Расстояние от мак.чел. до шеста 1м 60 см	9 м 23 см
С помощью равнобедр. прямоуг. треуг.	H= расстояние от человека до школы +высота человека до глаз	Расстояние  от чел. до шк.  8 м 40 см Высота чел. до глаз 1м 30 см	9м 70см
С помощью зеркала	H =	Расстояние от шк. до зеркала 20 м 55 см Рост чел. до глаз 1м 30см расстояние от чел. до зеркала 2м 85см	9 м 37см
Фотография	H=  Высота школы на фото . рост человека                Высота человека на фото	Высота  школы на фото 7см Рост чел.1м 36см Высота чел. на фото 1см	9м 52 см
Пиратский метод	-	-	9м36см
Способ скаутов	-	-	9м56см
Гелевый шарик	-	-	9м 76см
Статистический способ	H=(h1+h2+ h3+h4+h5)/5 h1-значение высоты 1 первого измерния h2-значение высоты 2 первого измерния h3-значение высоты 3 первого измерния h4-значение высоты 4 первого измерния h5-значение высоты 5 первого измерния	h1= 9м50см h2= 10м h3= 10м h4= 8м h5= 8м	9м 10см

Заключение

В ходе нашего исследования мы пришли к следующим выводам:

1. Мы рассмотрели 12 способов определения высоты дерева с помощью подручных средств без специальных приборов и инструментов. Все эти способы основаны либо на определении понятия длины отрезка и измерения, либо на свойствах подобных фигур.
2. Если не учитывать результат определения высоты «на глаз» - статистический, как самый ненадежный, то наиболее приемлемые и простые способы определения высоты Метод скаутов.
3. В ходе эксперимента нами были проверены 9 способов измерения высоты предмета.

Самым доступным способом мы считаем метод карандаша. Он требует

минимум оборудования и всего одно измерение.

Поставленная цель: определить высоту дерева и школы разными способами без

специальных приборов была достигнута. А так же проведенные нами статистические исследования помогли убедиться в правильности выдвинутой гипотезы: Если мы овладеем различными способами измерения высоты, то сможем определить высоту любого тела и предмета.

Практическая значимость работы в том, что она может быть использована школьниками для повышения своего образовательного уровня, а также при сдачи ГИА по математике.

                                                                          13

Литература                                                     

1.                  Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: КомКнига, 2007.-262с.

2.                  Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.

3.                  Летягин А.А.География. Начальный курс: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций /А.А.Летягин; под ред. В.П.Дронова. – 4 изд., дораб. И доп. – М.: Вентана – Граф, 2016. – 160с. : ил.

4.                  Сергеев И.Н., Олехник с.Н., Гашков С.Б. Примени математику. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1989. – 240с.

5.                  http://ancient.gerodot.ru/topics/articles/article_diffa17.htm

Приложение 1

Приложение 2

Таблица 1 Проведение эксперемента: «Измерение высоты дерева»

Метод	Фото - отчет
Метод Фалеса
Метод Ж.Верна
С помощью равнобедр. прямоуг. треуг.
С помощью зеркала
Фотография
Пиратский метод
Гелевый шарик

Таблица 2 Проведение эксперемента: «Измерение высоты школы»

Метод	Фото - отчет
Метод Фалеса
Метод Ж.Верна
С помощью равнобедр. прямоуг. треуг.
Фотография
Способ скаутов
Гелевый шарик