Исследовательская работа по математике "Красота симметрии в жизни и в быту"

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с. Алымовка»

Исследовательская работа

по математике

«Красота симметрии в жизни и в быту»

Докладчик: Тихонова Виктория Евгеньевна

9 класс

Руководитель: Жарникова Любовь Алексеевна

2016 г.

Оглавление

1.Введение

2. Что такое симметрия? Ее виды в геометрии

3. Симметрия в природе

4. Симметрия в технике

5. Симметрия в архитектуре

6. Применение симметрии человеком

7. Заключение

8. Литература

9. Приложения

1. Введение.

В школе изучается тема «Симметрия». Услышав этот термин я заинтересовалась и решила взять ее для исследования. Мне захотелось побольше узнать по этому вопросу, ведь я не раз слышала слово «симметрия» в жизни  и в быту. Приступив к исследованию, я заметила, что симметрия не только математическое понятие, она проявляется как нечто прекрасное в живой и неживой природе, а так же в творениях человека. При проведении своего исследования я поставила перед собой следующие вопросы:

• Как проявляется гармоничность симметрии в природе, в технике и архитектуре?
• Какие виды симметрии  встречаются?
• Как применяет красоту симметрии в своих творениях человек?

Поэтому тему своей работы я назвала «Красота симметрии  в жизни и в быту».

2. Что такое симметрия? Ее виды в геометрии

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого ор­ганизма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие ве­ликие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия по­нятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любо­вался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, живот­ными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: “Симмет­рия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким обра­зом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное.

Осевая симметрия.

Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендику­лярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симмет­рии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Центральная симметрия.

Две точки А и А₁ называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА₁. Точка О считается симметричной са­мой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Зеркальная симметрия (приложение 1)

Зер­каль­ной сим­мет­ри­ей (сим­мет­ри­ей от­но­си­тель­но плос­ко­сти α) на­зы­ва­ет­ся такое отоб­ра­же­ние про­стран­ства на себя, при ко­то­ром любая точка B пе­ре­хо­дит в сим­мет­рич­ную ей от­но­си­тель­но плос­ко­сти α точку B₁.

3.Симметрия в природе

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрий (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии. 

Внешняя симметрия может выступить в качестве основания классификации организмов (сферическая, радиальная, осевая и т.д.) Микроорганизмы, живущие в условиях слабого воздействия гравитации, имеют ярко выраженную симметрию формы.

На явления симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием учения о гармонии (V век до н.э.). В XIX веке появились единичные работы, посвящённые симметрии в растительном и животном мире.

Симметрия у растений

Специфика строения растений и животных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. 

Для растений характерна симметрия конуса, которая хорошо видна на примере любого дерева. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Дерево поглощает из почвы влагу и питательные вещества за счёт корневой системы, то есть внизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть наверху. Поэтому направления "вверх" и "вниз" для дерева, существенно различны. А направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы: по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступают воздух, свет, и влага. В результате появляется вертикальная поворотная ось и вертикальная плоскость симметрии. (приложение 2)

У цветковых растений в большинстве проявляется радиальная и билатеральная симметрия. Цветок считается симметричным, когда каждый околоцветник состоит из равного числа частей. Цветки, имея парные части, считаются цветками с двойной симметрией и т.д. Тройная симметрия обычна для однодольных растений, пятерная – для двудольных.  

Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины). Интересно, что в цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка, которая принципиально невозможна в периодических структурах неживой природы. (приложение 3)

Симметрия у животных

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. (приложение 4)

Сферическая симметрия имеет место у радиолярий и солнечников, тела которых сферической формы, а части распределены вокруг центра сферы и отходят от неё. У таких организмов нет ни передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые половинки.

При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Это кишечнополостные, иглокожие, морские звёзды. 

При зеркальной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны – брюшная и спинная – друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих.

Билатеральная (зеркальная) симметрия – характерная симметрия всех представителей животного мира. Эта симметрия хорошо видна у бабочки; симметрия левого и правого проявляется здесь с почти математической строгостью. (приложение 5). Можно сказать, что каждое животное (а также насекомое, рыба, птица) состоит из двух половин – правой и левой. Так, правое и левое ухо, правый и левый глаз, правый и левый рог и т.д.  

(приложение 6)

Симметрия у человека

Человеческое тело обладает билатеральной симметрией (внешний облик и строение скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом. Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. (приложение 7)

Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделён на две половины. Эти две части – два полушария – плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого 

Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое - левую сторону.

Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Достаточно обратить внимание на действия наших рук, чтобы увидеть начальные признаки функциональной симметрии. Лишь немногие люди одинаково владеют обеими руками; большинство же имеет ведущую руку. 

4.Симметрия в технике

Симметрию можно наблюдать и в технике. Технические объекты — самолеты, мосты, автомашины, ракеты, молотки, гайки — практически все они от мала до велика обладают той или иной симметрией. (приложение 8)

В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению.

В технике существует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми. В подтверждение этого постулата приведем слова генерального авиаконструктора О.К. Антонова: «Мы прекрасно знаем, что красивый самолет летает хорошо, а некрасивый плохо, а то и вообще не будет летать. Это не суеверие, а совершенно материалистическое положение… конструктор может идти часто от красоты к технике, от решений эстетических к решениям техническим».

.
5.Симметрия в архитектуре

 Принцип симметрии играет важную роль и в архитектуре. «Архитектура – по словам Н.В. Гоголя – это летопись мира». Она несет в себе уникальную информацию о жизни людей в давно прошедшие исторические эпохи. (приложение 9)
Термин  «симметрия» в разные исторические эпохи использовался для обозначения разных понятий. Для греков симметрия означала соразмерность. Считалось, что две величины являются соразмерными, если существует третья величина, на которую эти две величины делятся без остатка. Здание (или статуя) считалось симметричным, если оно имело какую-то легко различимую часть, такую, что размеры всех остальных частей получались умножением этой части на целые числа, и таким образом исходная часть служила видимым и понятным модулем. Ещё в Древности греки строили пирамиды строго симметрично. Те же развалины Парфенона на Акрополе служат доказательством этого.
Симметрия в Средневековье присутствовала в романском стиле (сооружения в  форме креста), в готике (архитектурные  конструкции имели прямоугольный  или крестообразный вид). На смену  готике пришёл стиль «барокко», который  использовал асимметрию. Но смену  этому стилю приходит «классицизм» – самый симметричный из всех известных  стилей. Практически поворот на 180 градусов произошел при смене  классицизма модерном. Стиль «модерн» использует асимметрию – волнообразное  построение архитектурных композиций. В настоящее время каких-либо стилей нет, каждый архитектор работает в своей манере.
Композиция  в русской традиционной архитектуре в значительной степени основывалась на специфическом применении симметрии, широко применялись как классическая, так и неклассические симметрии. Применение симметрии основывалось на особенностях зрительного восприятия сооружений в натуре. Поэтому на чертежах и планах симметрия может отсутствовать.
В искусстве  симметрия играет огромную роль, многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия.
Немалую роль симметрия играет в  архитектурной композиции — закономерное расположение частей формы относительно друг друга. История архитектуры полна всеми видами симметричных преобразований, основными из которых являются отражение, поворот и перенос.

6. Применение законов симметрии человеком

Увидев проявление симметрии в природе, мне захотелось узнать, применяет ли человек эти закономерности в своих творениях.

Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле — как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Г. Вейль под симметрией понимал «неизменность какого-либо объекта, при определенного, рода преобразованиях; предмет является симметричным, в том случае, когда его можно подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования». Определенную главу Г. Вейль посвятил орнаментной симметрии. Упорядоченность и подчиненность определенному набору правил мы обнаруживаем в узорах и орнаментах (приложение 10).

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.).

В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. Примеров использования симметрии в архитектуре множество, одним из них является прекрасный Новосибирский театр оперы и балета. И даже у нас, в нашем селе есть здания, имеющее симметрию. Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике - это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо. Также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

Симметрию можно заметить даже там, на что никогда не обращал внимание. Например, если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

В музее нашей школы я нашла множество предметов быта, используемые нашими предками, в которых ярко выражена симметрия. (приложение 11)

 Выводы

В ходе исследования я рассмотрела  несколько  направлений:

Симметрия в природе;

Симметрия в растениях и животных;

Симметрия в архитектуре;

Симметрия в технике

Вопросы, рассмотренные мной, показали, что симметрия   является одним из принципов гармонического построения мира. «Сфера влияния» симметрии поистине безгранична. Всюду она определяет гармонию природы, мудрость науки и красоту

-Симметрия присутствует и в прошлом и в будущем

 -Симметрия – это не только математическое понятие.

-Симметрию заимствовали из природы. А так как человек – это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии.

-Симметрия в живой природе: в животном и растительном мире, – передается генетически из поколения в поколение.

-Она противостоит хаосу, беспорядку.

 -Симметрия –  гармония и красота, равновесие, устойчивость.

7.Заключение

Человеческие представления о красивом формируются  под влиянием того, что человек видит в живой природе. В различных своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И человек в живописи, скульптуре, архитектуре, декоративно- прикладном  искусстве  применяет эти же принципы.  Одним из основополагающих принципов красоты при этом  является  симметрия.

Трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии, которая объясняет наличие определенного порядка, закономерность в расположении частей чего-либо.

               Есть ли жизнь без симметрии?

На этот вопрос можно ответить словами классиков современного естествознания и мыслителей:

«Принцип симметрии охватывает все новые и новые области..»              Бернадский В.И                                                                                

Красота тесно связана с симметрией                                                            Вейль Г.

 А как бы нам жилось без симметрии?

Точнее, какую роль играет симметрия в нашем мире? Неужели она лишь украшает его?

 Без симметрии наш мир выглядел бы совсем по-другому. Ведь это именно на симметрии основаны многие законы сохранения. Например, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются следствиями пространственно-временных симметрий, которые являются, как математическими, так и физическими симметриями. И без этих симметрий не было бы законов сохранений, которые во многом управляют нашим миром.

Так что симметрия – пожалуй, чуть ли не самая главная вещь во Вселенной.

9.Список использованной литературы:

1. Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. сред.шк./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк. – 5-е изд. – М.:Просвещение, 1991. – 255с.: ил. – ISBN 5-09-004368-х.
2. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. М.: Мысль, 1974
3. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Ленинград: Недра, 1985. С.103
4. Фройденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. – М.: Мир, 1977
5. Волошинов А.В. Математика и искусство М.: Просвещение, 1992.
6. Герман Вейль Симметрия. М.: Наука, 1968.
7. Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве Москва, 1972г.
8.   Интернет
9. http://irinmorozova.narod.ru/best.htm , 
10. http://www.milogiya2007.ru/simmetr01.htm 
11.        http://fio.ifmo.ru/archive/group19/c1wu9/str01a.htm

10. Приложения

Приложение 1

Приложение 2                                                                     Приложение 3

                               

Приложение 4

Приложение 5                                                                               Приложение 6

 

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Приложение 10

                        

Приложение 11

                              

Поняти                          

е симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого ор­ганизма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 обра­зом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.