Исследовательская работа по теме "Математические софизмы"

Администрация города   Нижнего Новгорода

Департамент образования

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа №181»

---------------------------------------------------------------------------------------------------

603124, город Нижний Новгород, улица Лесной городок, дом 6-а тел. [phone]

Исследовательская работа

Математические софизмы

Выполнил: Мокрушенко Георгий

                  ученик 6 «А» класса

                  МБОУ «Школа №181»

Научный руководитель: Грязева

                   Наталья Викторовна

                   учитель математики

Нижний Новгород

2017

СОДЕРЖАНИЕ.

1.  Введение…. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.  Что такое софизмы . . . . . . …. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4

3.  Экскурс в историю. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.  Арифметические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.  Алгебраические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6.  Геометрические софизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7.  Прочие софизмы.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  12

8.  Исследовательская часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9.  Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

10.  Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

11. Приложение 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Введение

«История ошибок человеческого ума,
   возможно, так же важна,
 как исто­рия его движения вперед к истине».

П. Теннери

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести  много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел?

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой – «Математические софизмы: обман или путь к открытию?». Речь в ней пойдет о софизмах.  

Неслучайно я выбрал именно софизмы. Во-первых, я очень люблю решать задачи и разгадывать математические ребусы, а математические софизмы - это «задачи-ловушки», которые помогают развивать логическое мышление. Во-вторых, мне было интересно узнать, что некоторые заведомо ложные утверждения, оказывается, можно доказать.

В процессе работы  я выяснил, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой, так и то, что прямой угол равен тупому.

Теме софизмов посвящено много публикаций и книг, таких как, книга для учащихся 7-11 классов Мадера А.Г и Мадера Д.А. «Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям», книга Литцмана В. «Где ошибка?» и множество других замечательных авторов, среди которых не могу не упомянуть нашего земляка Михаила Андреевича Давыдова, который в своей книге «Красота математики» посвятил одну из глав математическим софизмам.

Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм - это ложь, обряженная в одежды истины (как остроумно заметил писатель Даниил Гранин), а так как не каждый может это распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.

Цель моего исследования – понять, что такое математические софизмы, научиться их разгадывать. Для достижения данной цели передо мной стояли следующие задачи:

·        узнать, как и откуда появились софизмы

·        привести примеры софизмов

·        разобрать несколько примеров

·        понять, как найти ошибку в них

• проведя разбор софизмов, сделать вывод

Что такое софизмы

Определение софизма в различных толковых словарях и энциклопедиях подобны. Рассмотрим самые известные из них.

Софизм — логически порочное умозаключение, в котором ложные посылки выдаются за истинные или делается вывод с нарушением законов логики (Большая советская энциклопедия, том 40, стр.136).

Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (Толковый словарь русского языка С. И. Ожегова).

 Софизм — мудрствованье, ложный вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. Софистическое рассуждение — ложное, ошибочное, под видом истинного (Толковый словарь В. И. Даля).

Софизм — формально правильное, но ложное по существу умозаключение, основанное на натяжке, на преднамеренно неправильном подборе исходных положений в цепи рассуждений (Толковый словарь русского языка Д. Н. Ушакова).

Таким образом, анализируя определения софизма из различных энциклопедий и толковых словарей, можно выделить основные существенные признаки:

ü это утверждение (умозаключение)

ü формально — правильное

ü по существу — ложное

ü ошибка допущена и замаскирована намеренно.

 Софизмы встречаются в различных областях знаний, но выделенные критерии всегда присутствуют. Поэтому определение математического софизма не будет существенно отличаться от всех вышеперечисленных. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скры­то выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям, «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. И.П. Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка - это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок, в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Экскурс в историю

Софистика – направление философии, которое возникло в V-IV вв. до н.э. в Греции и стало очень популярным а Афинах. Софистами называли платных «учителей мудрости», которые учили граждан риторике, искусству слова, приемам ведения спора, красноречию. Одним из представителей софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а это и есть гражданское искусство».

         Софисты считали, что истина субъективна, то есть у каждого человека своя истина, человек сам создает себе истину и сам же её оценивает, поэтому в суждениях об истине очень много личного. Справедливость, как и истина, у каждого человека тоже своя, а значит, о каждой вещи можно судить двояко, то есть о каждой вещи есть два противоположных мнения. Софисты учили людей оценивать одно и то же событие, как положительное и как отрицательное одновременно, таким образом,  они приучали людей к широте взглядов.

Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.

Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:

·        логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»,  «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа».

·        терминологические – неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы треугольника = π» в смысле «Сумма углов треугольника = π»,  «Сколько будет: пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т.е. 5 + (2*2)) или 14 (т.е. (5 + 2) * 2).

• ошибки в применении формул. Например, «Чётное и нечётное»: 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, так же, как и 2 + 3, значит, оба числа нечётные.

Примеры софизмов

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает  развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: арифметические, алгебраические  и геометрические.

Арифметические софизмы

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах  и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда.

1. 4 руб. = 40000 коп

Возьмем верное равенство 2руб. = 200 коп. и возведем его по частям в квадрат. Получится 4 руб. = 40000коп.

Вопрос: В чем ошибка?

Ответ: Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.

Точно так же можно показать, к примеру, что1 руб. = 10 коп.

Так как ¼ руб. = 25 коп., то √ ¼ руб. = √ 25 коп., следовательно: ½ руб. = 5 коп. или 1 руб. = 10 коп.

В данных математических софизмах нарушены правила действий с именованными величинами.

2. Два умножить на два будет пять
                         2 · 2 = 5

Имеем числовое равенство (верное):  4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель.

Получим: 4 · (1 : 1) = 5 · (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5.

Вопрос: Где здесь ошибка?

Ответ: Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5.

3. Два равно трем
                2 = 3

Возьмем два верных равенства:
10 - 10 = 0

15 - 15 = 0

Так как правые части равны, то приравняем левые: 10 - 10 = 15 - 15

                                                                                        2· (5 - 5) = 3· (5 - 5)

                                                                                        2 = 3

Вопрос: В чем ошибка?

Ответ: Ошибка в том, что на ноль (5 - 5) делить нельзя.

4. Единица равна двум
                   1 = 2

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости ра­венства

1 - 3 = 4 - 6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1 – 3  +  = 4 – 6 + ,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1 - ) = (2 - )

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1 -  = 2 -  

откуда следует, что 1 = 2.

5. Пять равно одному
                  5 = 1

Для доказательства, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3:

5 – 3 = 2 и 1 – 3 = - 2.

При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа:
 2² = 4 и (- 2)² = 4.
Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1.

Вопрос: Где ошибка?

Ответ: Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

6. Четыре равно пяти
               4 = 5

Рассмотрим верное числовое равенство:

16 – 36 = 25 – 45

16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25

(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2;    4 – 4,5 = 5 – 4,5;

4 = 5.

Вопрос: В чём ошибка?

Ответ: (4 – 4,5) · 2 = (5 – 4,5) · 2 , только тогда, когда  |4 – 4,5| = |5 – 4,5|.

Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Все, мною рассмотренные до этого софизмы о равенстве чисел, можно рассмотреть в общем случае:

1. Все числа равны между собой

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а²- 2ab + b =  b - 2ab +  а²

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а - b)² = (b - а)²   

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

а - b = b - a

или 2а = 2b, или окончательно

a = b.

Или, 2. Неравные числа равны

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а - b = с. Умножив обе части этого равенства на а - b, получим

(а - b)² = c(a - b),

a раскрыв скобки, придем к равенству

a² - 2ab + b² = ca - cb,

из которого следует равенство

а² - аb - ас = аb –b ² - bc.

Вынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а – b - с) = b(а – b - с)

Разделив последнее равенство на (а – b - с), получаем, что

а = b,

другими словами, два неравных между собой произвольных числа а и b равны.
В данных софизмах рассмотрены наиболее популярные ошибки: неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения и деление на 0.

Приведу еще несколько примеров алгебраических софизмов, решение которых мне пока сложно постичь до конца в силу малого багажа  знаний.

3. Всякое число равно своему удвоенному значению.
Запишем очевидное для любого числа а тождество

а² - а² = а² - а².

Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разло­жим на множители по формуле разности квадратов, получив

а(а - а) = (а + а)(а - а).                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

Разделив обе части на а - а, получим а = а + а, или

а =2а.

 Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

4. Из двух неравных чисел первое всегда больше второго.

Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b.
Имеем:

(a – b)²  >  0, т.е. a²  – 2ab – b² > 0,
или a²  + b²  > 2ab.

К обеим частям этого неравенства прибавим  – 2b².
Получим:

а² – b²  > 2ab – 2b², или  (a + b) (a – b) > 2b (a – b).

После деления обеих частей на (a – b) имеем:

a + b > 2b, откуда следует, что a > b.

Геометрические софизмы

       Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

1. Софизм об исчезающем квадрате.

  Большой квадрат составлен из четырёх одинаковых четырёхугольников и маленького квадрата (рис. 1).

Рис.2

Рис.1

 Если четырёхугольники развернуть (рис. 2), то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится.

В чём же тут ошибка?                                                                

Посмотрим внимательно на ход действий.

Одинаковая ли площадь у обоих квадратов?  Нет, так как сторона и площадь нового квадрата меньше стороны и площади того, который был вначале. При решении данного софизма я воспользовался разрезанием этого квадрата, сложив части, и сравнив с исходным квадратом, получил, что он действительно становится меньше.

2. Задача о треугольнике.

Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей (Рис.1)

Рис.1

После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка (Рис. 2).

Рис.2

Однако же, если посмотрим внимательно на чертежи, то заметим, что гипотенузы больших треугольников не совпадают.

Ошибка станет хорошо видна, если провести точное построение. На самом деле новая фигура не будет треугольником. Это будет ломаный четырехугольник (Рис.3)

Рис.3

Прочие софизмы

Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Логические софизмы

Логические софизмы – это софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных рассуждениях.

1. Нет правил без исключений

Это предложение, очевидно, само является правилом, сле­довательно, и из этого утверждения имеются исключения. Тем самым мы приходим к противоречию.

2. Не знаешь то, что знаешь
Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».  

3. Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?

Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

4. Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

5. Равен ли полный стакан пустому?

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

6. Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

7. Некто А говорит В: «Я солгал в своей жизни только три раза».

На это В отвечает: «Тогда ты лжешь теперь в чет­вертый раз».

Это заключение противоречиво: либо А дей­ствительно до сих пор солгал только три раза и тогда он, сейчас говорит правду, либо он лгал больше, чем три раза, и тогда в данный момент он солгал более, чем в четвертый раз.

8.  Крокодил

У одной египтянки крокодил похитил ребенка. Египтянка просила вернуть ребенка, и крокодил обещал ей это, если она правильно укажет, как поступит крокодил.

Мать ребенка сказала: «Ты не возвратишь мне моего ребенка»

На это крокодил ответил: «Если ты действительно права,  то ты, как сама говоришь, не получишь назад ребенка; если же твое высказывание неверно, то, согласно нашему уговору, ты  не получишь ребенка. В любом случае ребенок должен остаться у меня»

 «Наоборот, - возразила женщина,- если мое высказывание, верно, то я получу ребенка в силу нашего условия; если же я ошиблась, то это означает, что ты сам вернешь мне ребенка. В каждом из случаев я должна полу­чить ребенка назад»

Кто из них прав?

9.    Кто виноват?

Некто купил шапку, которая оказалась для него негодной, она была слишком мала.

Кто виноват, шапка или голова?

Шапка во всяком случае не виновата, так как если бы голова была меньше, она бы подошла.

Следовательно, вино­вата голова!

Но это также неверно. Если бы шапка была больше, то она была бы годна.

Следовательно, ни шапка, ни голова не виноваты.

10. Хитрый хозяин

В приведенных ниже стишках, взятых из одного английского журнала, выходившего в прошлом веке, рассказывается о хитром хозяине гостиницы, сумевшем разместить в девяти номерах десять гостей так, что каждому из них досталось по отдельной комнате.

Их было десять чудаков

Тех путников усталых,

Что в дверь решили постучать

Таверны «Славный малый».

-Пусти, хозяин, ночевать"

Не будешь ты в убытке,

Нам только ночку перестать,

Промокли мы до нитки.

Хозяин тем гостям был рад,

Да вот беда некстати:

Лишь девять комнат у него

И девять лишь кроватей.

-Восьми гостям я предложу

Постели честь по чести,

А двум придется ночь проспать

 В одной кровати вместе.

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица:

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго

Просил пройти он в номер «А»

И подождать немного.

Спал третий в «Б», четвертый в «В»,

В «Г» спал всю ночь наш пятый,

В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег

С шестого по девятый.

Потом вернувшись снова в «А»,

Где ждали его двое,

Он ключ от «И» вручить был рад

Десятому герою.

Хоть много лет с тех пор прошло,

Неясно никому,

Как смог хозяин разместить

Гостей по одному.

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами.

Понять, что, как и почему

Вы постарайтесь сами.

Постараюсь его доказать.
Для этого поставим в соответствие каждой букве, начиная с Б, цифру (число) начиная с 3.
Получим

А   Б   В  Г  Д  Е  Ж  З  И

      3   4   5   6   7   8   9

Тогда, разместив 1 и 2 постояльца в комнатах А и И, все равно 10-й постоялец остается без комнаты.

12. А вот софизм - песенка английских студентов.

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

Исследовательская часть

Начиная работу над данным проектом, было проведено анкетирование среди учеников 6 «А» и 6 «В» класса.

1. Укажите ваш пол.

o   М               

o   Ж

2.Знакомо  ли вам понятие математический софизм?

o   Да              

o   Нет

3. Если, отвечая на предыдущий вопрос, вы ответили 

    положительно, постарайтесь дать определения этих

    понятий.
4. Приводились ли примеры софизмов и парадоксов на уроках математики?  

o   Да               

o   Нет

   (Ответ при условии положительного ответа на предыдущий вопрос)  

 5. Хотели бы вы больше узнать о математических парадоксах и софизмах?

o   Да                 

o    Нет

Результаты анкетирования, показаны в приложении 1.

Заключение

Переходя к заключению, могу сказать, что тема нашей работы далеко не исчерпана. Существует огромное множество разных видов софизмов. И те софизмы, что мы рассмотрели – всего лишь небольшая их часть. Из года в год появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих быстро забудут. Ведь софизмы - это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений.
         Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, мне приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться и всматриваться, обращаться за помощью к родителям и к учителю. Конечно, большинство из них еще остаются за гранью моего понимания, но от этого софизмы становятся еще более интересными и притягательными. Хорошо развитое логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной жизни.
          Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Им можно заниматься как целенаправленно, так и в свободное время для собственного удовольствия, как например решение кроссвордов.

И, напоследок, я вам хочу предложить один из услышанных мною не так давно современных софизмов, который я назвал бы, «Задачка от блондинки»:
Я у тебя взяла 100 рублей. Пошла в магазин и потеряла их. Встретила подругу, взяла у нее 50 рублей. Купила 2 шоколадки по 10 рублей. У меня осталось 30 рублей. Я их отдала тебе. И осталась должна 70. И подруге 50. Итого 120 рублей. Плюс 2 шоколадки. Итого 140 рублей!

                  Где 10 рублей? ...

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.    Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям: Кн.для учащихся 7-11 кл./ А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. М. : Просвещение, 2003. -  112 с.

2.    Где ошибка?/ Вальтер Литцман. М., Фитматгиз, 1962 г., 192 стр. с илл.

3.    Красота математики…………………..

4.    Математические софизмы: обман или путь к открытию?// Южакова Е. А., Сизова М. Ю. Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 95-98.

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ:

1.    http://www.razlib.ru/matematika/matematicheskie_golovolomki_i_razvlechenija/p16.php

2.    http://anadra.ru/sitemath/41.html

3.    http://anadra.ru/sitemath/51.html

4.    http://irishka.forum2x2.ru/t25-topic