Комбинаторика. Классические алгоритмы решения комбинаторных задач

• 1 слайд

  Комбинаторика. Классические алгоритмы решения комбинаторных задач
  Карандаева А.В.
  МДИ-113
  

• 2 слайд

  «Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься»
  

• 3 слайд

  КОМБИНАТОРИКА – это раздел математики, посвященный задаче выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами.
  

• 4 слайд

  Классические алгоритмы (методы) решения комбинаторных задач
  Метод перебора возможных вариантов;
  Табличный метод;
  Построение дерева возможных вариантов решений;
  Построение граф-схемы.
  

• 5 слайд

  Метод перебора возможных вариантов
  Задача 1. Для своих двух книг Маша купила три разные обложки. Сколькими различными способами она может обернуть книги купленными обложками?
  
  Ответ: Для решения обозначим обложки буквами а, б, в. Составим из букв всевозможные пары: аб, ав, бв, ба, ва, вб. Всего получилось 6 способов.
  

• 6 слайд

  Задача 2. Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
  
  Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
  Метод перебора возможных вариантов
  

• 7 слайд

  Задача 3. В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.
  
  Ответ:
  Вариант 1: 1. Иванов, 2. Громов, 3. Орлов.
  Вариант 2: 1. Иванов, 2. Орлов, 3. Громов.
  Вариант 3: 1. Орлов, 2. Иванов, 3. Громов.
  Вариант 4: 1. Орлов, 2. Громов, 3. Иванов.
  Вариант 5: 1. Громов, 2. Орлов, 3. Иванов.
  Вариант 6: 1. Громов, 2. Иванов, 3. Орлов.
  Метод перебора возможных вариантов
  

• 8 слайд

  Табличный метод
  Задача 1. Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?
  
  Решение: Составим таблицу: слева первый столбец – первые цифры искомых чисел, вверху первая строка – вторые цифры.
  
  
  
  
  Ответ: 28.
  
  

• 9 слайд

  Задача 2. В школьной столовой приготовили на завтрак плов (П), кашу (К), блины (Б), а из напитков – сок (С), чай (Ч) и молоко (М). Сколько различных вариантов завтрака можно составить?
  
  Решение:
  
  
  
  
  Ответ: 9 вариантов.
  
  
  Табличный метод
  

• 10 слайд

  Метод построения дерева возможных вариантов решений
  Задача 1. Учитель попросил Олега разложить на полке 3 волшебных шара – желтый, красный, синий. Сколькими способами Олег может это сделать?
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ: 6 способами.
  
  

• 11 слайд

  Задача 2. Катя собирается на каникулы. Она может поехать с бабушкой или с родителями. Если Катя поедет с бабушкой, то она сможет провести каникулы или на даче, или в городе, или в деревне. Если она поедет с родителями, то она сможет провести каникулы или отдыхая в санатории, или путешествии по горам, или путешествуя на теплоходе. Сколько разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои каникулы?
  Метод построения дерева возможных вариантов решений
  

• 12 слайд

  Каникулы Кати
  Бабушка
  Родители
  Дача
  Город
  Деревня
  Санаторий
  Горы
  Теплоход
  Ответ: 6 вариантов
  

• 13 слайд

  Метод построения граф-схемы
  Задача 1. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
  
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ: сыграно 6 партий
  А
  Б
  Г
  В
  

• 14 слайд

  Задача 2. Вася, Коля, Петя, Аня и Наташа – лучшие лыжники в пятом классе. Для участия в соревнованиях нужно выбрать из них одного мальчика и одну девочку. Сколькими способами это можно сделать?
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ: 6 способов.
  Метод построения граф-схемы
  В
  К
  А
  Н
  П
  

Реферат

«Комбинаторика. Классические алгоритмы решения комбинаторных задач»

2018 г.

Содержание
Введение……………………………………………………..…………………...	3
1 Определение комбинаторики…..…………..……………………………….....	5
2 Методы решения комбинаторных задач.……………….………………….....	5
2.1 Метод перебора возможных вариантов….…………………..….………..	8
2.2 Табличный метод…….…………………………………………………….	14
2.3 Метод построения дерева возможных вариантов………………………..
2.4 Метод построения граф-схемы……………………………………………
Заключение……………………………………………………………………….	23
Список использованных источников…………………………………………...	25

Введение

В обычной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор возможных вариантов или подсчитать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Раздел математики, в котором изучают комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Комбинаторика – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторного анализа является изучение комбинаторных конфигураций. Это изучение включает в себя вопросы существования комбинаторных конфигураций, алгоритмы их построения, оптимизацию таких алгоритмов, а также решение задач перечисления, в частности определение числа конфигураций данного класса. Простейшим примером комбинаторных конфигураций являются перестановки, сочетания и размещения.

Большой вклад в систематическое развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем (диссертация "Комбинаторное искусство"), Я. Бернулли (работа "Искусство предположений"), Л. Эйлером. Можно считать, что с появлением работ Я. Бернулли и Г. Лейбница комбинаторные методы выделились в самостоятельную часть математики.

Возвращение интереса к комбинаторному анализу относится к 50-м годам ХХ в. в связи с бурным развитием кибернетики и дискретной математики и широким использованием электронно-вычислительной техники. В этот период активизировался интерес к классическим комбинаторным задачам.

Классические комбинаторные задачи – это задачи выбора и расположения элементов конечного множества, имеющие в качестве исходной некоторую формулировку развлекательного содержания типа головоломок.

Существуют такие классические алгоритмы (методы) решения комбинаторных задач, как метод перебора возможных вариантов, табличный метод, построение дерева возможных вариантов решений, построение граф-схемы.

1 Определение комбинаторики

В сказках, старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. С какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье? Конечно, с проблемой выбора дальнейшего пути движения.

А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был наилучшим.

Оказывается, существует целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать оптимальную. Комбинаторика позволяет ответить на вопросы: сколькими способами, сколько вариантов и так далее. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Можно научить маленького человека считать, как счетная машина, проштудировать с ним горы энциклопедий. И это будет только определѐнное количество информации, которой ребенок не сумеет воспользоваться. Гораздо важнее воспитать его мышление так, чтобы он сам сумел находить и отбирать нужную информацию. Вот комбинаторика и формирует такие качества мышления, как системность, вариативность, гибкость. Все эти качества характеризуют комбинаторный стиль мышления.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации, подчинѐнные тем или другим условиям, из заданных объектов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач. Решение комбинаторных задач таит в себе большие развивающие возможности: на их основе совершенствуются приемы умственной деятельности, формируется важная для человека способность комбинировать. Задачи по комбинаторике включают в математические олимпиады и конкурсы.

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В карты и кости выигрывались золото и бриллианты, дворцы, породистые кони и дорогие украшения.

Широко были распространены всевозможные лотереи. Одним из первых занялся подсчетом числа возможных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывающую, сколькими способами могут выпасть r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами.

Вот одна из комбинаторных задач: У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у двух других – пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

Можно найти два варианта решения:

1) 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей;

2) 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей.

При решении комбинаторных задач можно использовать разные методы.

2 Методы решения комбинаторных задач

Существуют такие методы решения комбинаторных задач, как:

- метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления);

- табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение);

- построение дерева возможных вариантов решений;

- построение граф-схемы.

2.1. Метод перебора возможных вариантов

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.

Способ перебора может применяться в простых задачах, например в таких, как эта:

Задача 1. Для своих двух книг Маша купила три разные обложки. Сколькими различными способами она может обернуть книги купленными обложками?

Ответ: Для решения обозначим обложки буквами а, б, в. Составим из букв всевозможные пары: аб, ав, бв, ба, ва, вб. Всего получилось 6 способов.

Задача 2. Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Задача 3. В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.

Ответ:

Вариант 1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.

Вариант 2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.

Вариант 3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.

Вариант 4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.

Вариант 5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.

Вариант 6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.

Задача 4. В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?

Ответ: 1) Таня - Петя, 2) Таня - Коля, 3) Таня - Витя, 4) Таня - Олег, 5) Оля - Петя, 6) Оля - Коля, 7) Оля - Витя, 8) Оля - Олег, 9) Наташа - Петя, 10) Наташа - Коля, 11) Наташа - Витя, 12) Наташа - Олег, 13) Света - Петя, 14) Света - Коля, 15) Света - Витя, 16) Света - Олег. А теперь рассмотрим варианты организованного перебора.

2.2 Табличный метод

Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.

Задача 1. Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - первые цифры искомых чисел, вверху первая строка - вторые цифры.

Ответ: 28.

Задача 2. Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху первая строка - имена мальчиков.

Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы. Всего 12 вариантов.

Задача 3. В школьной столовой приготовили на завтрак плов (П), кашу (К), блины (Б), а из напитков – сок (С), чай (Ч) и молоко (М). сколько различных вариантов завтрака можно составить?

Ответ: 9 вариантов.

2.3. Метод построения дерева возможных вариантов решений

Подбирая различные комбинации, можно запутаться. В этом случае приходит на помощь метод построения дерева возможных вариантов решений. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название.

Если его правильно построить, ты не упустишь ни один из возможных вариантов решения.

Рассмотрим задачу 1. Учитель попросил Олега разложить на полке 3 волшебных шара - жѐлтый, красный, синий. Сколькими способами Олег может это сделать?

Начать можно и с жѐлтого, и с красного, и с синего шара. Дерево вариантов будет выглядеть так:

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Каждый первый шар - это "корень" дерева, а ветви дерева - это различные варианты расположения шаров. По этой схеме несложно посчитать, что возможных комбинаций всего 6.

Схему-дерево возможных рассуждений можно располагать по-разному (корень вверху или внизу).

Задача 2. Катя собирается на каникулы. Она может поехать с бабушкой или с родителями. Если Катя поедет с бабушкой, то она сможет провести каникулы или на даче, или в городе, или в деревне. Если она поедет с родителями, то она сможет провести каникулы или отдыхая в санатории, или путешествия по горам, или путешествуя на теплоходе. Сколько разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои каникулы?

Решение:

ВСЕГО: 6 вариантов

2.4. Метод построения граф-схемы

Все видели схему станций метрополитена, трамвайных путей или карту железнодорожных сообщений. Точки — города, отрезки или дуги, которые их соединяют — железнодорожные пути. Такие схемы и называют графами.

Итак, если произвольные точки пространства соединены между собой отрезками или дугами (не обязательно все), то такое соединение (схема) называется графом.

Граф – это набор точек, некоторые из которых соединены линиями.

Эти точки называются вершинами. Соединяющие их линии называются

ребрами графа. Граф – это геометрическая фигура, состоящая из точек (вершины графа) и линий, их соединяющих (рѐбра графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей и т.д.), а с помощью рѐбер - определѐнные связи между элементами. Для удобства иллюстрации условия задачи, вершины графа могут быть заменены кругами или прямоугольниками.

Задача 1. В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход. Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.

Это пример полного графа

Ответ: 6 дорожек

Задача 2. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Ответ: сыграно 6 партий

Задача 3. Вася, Коля, Петя, Аня и Наташа - лучшие лыжники в пятом классе. Для участия в соревнованиях нужно выбрать из них одного мальчика и одну девочку. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Эту задачу можно решить с помощью следующей схемы.

Ответ: 6 способов.

Итак, комбинаторика изучает, сколько различных комбинаций можно составить из данных объектов по определѐнным правилам.

Заключение

Комбинаторика – это большой и важный раздел математики, изучающий множества целых чисел и перестановки внутри этих множеств.

Задачу можно назвать комбинаторной, если ее решением является перебор элементов некоторого конечного множества.

Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать, таким образом, что он начинался бы словами:

* Сколькими способами…?

* Сколько вариантов…?

Для того чтобы решить задачу по комбинаторике, необходимо сначала понять её смысл, то есть, представить мысленно процесс или действие, описанное в задаче.

Список использованных источников

1. Виленкин, Н. Я. Комбинаторика / Н. Я. Виленкин. – М. : Наука, 1969. – 328 с.

2. Егоров, А. А. Логика и комбинаторика / А. А. Егоров. – М. : Бюро Квантум, 2002. – 127 с.

3. Ежов, И. И. Элементы комбинаторики / И. И. Ежов. – М. : Наука, 1977. – 80 с.

4. Сачков, В. Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики / В. Н. Сачков. – М. : МЦНМО, 2004. – 424 с.

5. Яковлев, И. В. Комбинаторика для олимпиадников / И. В. Яковлев. – М. : МЦНМО, 2016. – 80 c.

Краткое описание документа:

В обычной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор возможных вариантов или подсчитать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Раздел математики, в котором изучают комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Комбинаторика – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторного анализа является изучение комбинаторных конфигураций. Это изучение включает в себя вопросы существования комбинаторных конфигураций, алгоритмы их построения, оптимизацию таких алгоритмов, а также решение задач перечисления, в частности определение числа конфигураций данного класса. Простейшим примером комбинаторных конфигураций являются перестановки, сочетания и размещения.

Большой вклад в систематическое развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем (диссертация "Комбинаторное искусство"), Я. Бернулли (работа "Искусство предположений"), Л. Эйлером. Можно считать, что с появлением работ Я. Бернулли и Г. Лейбница комбинаторные методы выделились в самостоятельную часть математики.

Возвращение интереса к комбинаторному анализу относится к 50-м годам ХХ в. в связи с бурным развитием кибернетики и дискретной математики и широким использованием электронно-вычислительной техники. В этот период активизировался интерес к классическим комбинаторным задачам.

Классические комбинаторные задачи – это задачи выбора и расположения элементов конечного множества, имеющие в качестве исходной некоторую формулировку развлекательного содержания типа головоломок.

Существуют такие классические алгоритмы (методы) решения комбинаторных задач, как метод перебора возможных вариантов, табличный метод, построение дерева возможных вариантов решений, построение граф-схемы.