Конспект и задания для самостоятельного решения "Неравенства"

Подготовка к ГВЭ

Решение неравенств

            линейное

                                                                                                        квадратное

Алгоритм решения

1) линейного неравенства;

2) квадратного неравенства;

3) рационального и дробно-рационального неравенства методом интервалов;

4) системы неравенств;

5) вычислительные ошибки

1. Решение линейных неравенств

Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b < 0), где а и b – любые числа, причем а ≠ 0.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Например, х + 5 < 17.

 Подставив вместо х значение 1, получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 – верное числовое неравенство. Значит, 

х = 1 – решение данного неравенства.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Свойство числовых неравенств

Если а > b и m > 0, то аm > bm;
Если а > b и m < 0 , то am < bm.

Алгоритм решения линейных неравенств

5(х – 3) > 2х - 3

1. Раскрыть скобки 5х – 15 > 2х – 3

2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный: 5х – 2х > -3 + 15

3. Привести подобные слагаемые: 3х > 12.

4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный

3х > 12 : 3
х > 4

5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели:

6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ:

Ответ: (4; +∞)

Решение квадратных неравенств.

Решаем квадратное уравнение

 x²–15x+50=0

D = b²–4ac = (–15)²–4∙1∙50 = 225–200 = 25

Находим корни:

Второй этап.

Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас строгое, то заштриховывать их не будем. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вверх, так как коэффициент при х² положительный:

Третий этап.

Определяем визуально положительные и отрицательные области, здесь мы их отметили разными цветами для наглядности, можно этого и не делать.

Записываем ответ.

2. Решить квадратное неравенство −2x²+4x−5≤0

Решение:

−2x²+4x−5≤0

2x²−4x+5≥0

D=16−4⋅2⋅5=−24

парабола не пересекает ось Ox

По рисунку видно, что график находится выше

оси абсцисс, значение функции положительно

при любом значении x

Ответ:  x∈(−∞;+∞) или x∈R

Решите неравенство  

.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение.

Решим неравенство:

Правильный ответ указан под номером 4.

 Метод интервалов

 Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов таков:

• 1. Находим нули квадратного трехчлена a·x²+b·x+c из левой части квадратного неравенства.
• 2. Изображаем координатную прямую и при наличии корней отмечаем их на ней. Причем если решаем строгое неравенство, то отмечаем их пустыми (выколотыми) точками, а если решаем нестрогое неравенство – то обычными точками. Они разбивают координатную ось на промежутки.
• 3. Определяем, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке и
• проставляем над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
• Если решаем квадратное неравенство со знаком > или ≥, то наносим штриховку над промежутками со знаками +, если же решаем неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества, которое и является искомым решением неравенства.
• Записываем ответ.

Пример 1. Решить неравенство: .
Разложим квадратный трехчлен на сомножители.

Неравенство примет вид:

Построим чертеж.

Рассмотрим эти интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.
1) . На этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение.
Например: 

2) . На этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию. Можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение.
Например: 

3) . На этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию. Можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение.
Например: 

Внесем эти данные в чертеж.
   Точки, удовлетворяющие неравенству обозначаются закрашенными, а неудовлетворяющие – не закрашенными.

Окончательный ответ: 

Пример 2: Решить неравенство .
Краткое оформление решения:



Ответ: .

Рациональные неравенства

Алгоритм решения дробно- рациональных неравенств методом интервалов.

1. Область допустимых значений  

2. Нули функции 

3. Определяем интервалы знако- постоянства.

4. Расставим знаки на промежутках(самостоятельно можно проверить знаки методом пробной точки)

5. Выбрать интервалы, удовлетворяющие заданным условиям.

Решить неравенство:

Множество решений этого неравенства совпадает со множеством решений исходного неравенства

Неравенство такого вида мы уже умеем решать методом интервалов.

1. 

2. Область допустимых значений  

3. Нули функции 

4. Определяем интервалы знак постоянства.

4 – выколотая точка, т.к. при  функция не существует, изобразим это на графике пунктирной линией.

5. Расставим знаки на промежутках. Самостоятельно можно проверить знаки методом пробной точки (Рис.2).

Теперь можно вернуться к неравенству и выбрать интервалы, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: 

Пример3.

Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение.

Решим каждое из неравенств:

1) 

2)  — верно для всех 

3) 

4)  — решений нет.

 Правильный ответ указан под номером 1.

Самостоятельно

1. На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

а)                              б)                          в)                              г)         

2. Для каждого неравенства укажите множество его решений

а)    б)     в) 

1)       2)       3)       4)

Решение:

3. Решите неравенство

Решение

4. Найдите множество решений неравенства

Решение