Учебное пособие по алгебре на тему "Парабола"

Попов С.В.

ГБПОУ «Колледж автоматизации и информационных технологий№20»

Москва

[e-mail]

Урок 3. Парабола

         Раздел 1. Элементарная парабола. На этом уроке мы исследуем поведение т.н. кривой второго порядка - параболы, которая задается следующим образом: y(x) = Ax² + Bx + C. Мы начнем ее исследование с частного случая, когда коэффициенты a, b и c равны соответственно a = 1, b = c = 0, т.е. функция задается весьма просто y(x) = x². График параболы, заданной на интервале [-10, 10] приведен на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Простая парабола, заданная на интервале [-10, 10]

Видно, что это симпатичная кривая, которая полностью располагается в первой и второй четверти прямоугольной системы координат. Это вполне объяснимо, т.к. возведение в квадрат превращает любое ненулевое значение в положительное, а нулевое – не изменяет. Также понятно, что значения функции неограниченны, при неограниченном увеличении аргумента. Помимо этого, можно отметить точную симметрию графика относительно оси ординат. Про такие функции, которые симметричны относительно оси ординат, потому что совпадают их значения, вычисленные для аргументов с одинаковыми абсолютными значениями, говорят, что они четные. Таким образом, парабола – функция четная. Действительно, для любого числа a имеем y(a) = y(-a) = a². Минимальное значение простейшей параболы – нулевое, что тоже очевидно.

Практическое занятие 1.

         Теперь ту же кривую мы построим на планшете по точкам, методом, который позволяет строить любой график в достаточно ограниченном интервале. Метод обладает наглядностью, но не дает достаточной точности, поэтому его можно использовать лишь в иллюстративных целях. С другой стороны, при компьютерном построении графиков используется именно этот метод, т.к. на компьютере можно получить практически неограниченную точность.

         Иллюстрация. Построение траекторий космических аппаратов происходит по точкам в данном случае на временной оси. Представьте, что вы отправляете космический корабль с космонавтами Борей и Мишей  не очень далеко, допустим, на Луну с посадкой и возвращением домой. Тогда в компьютере вы должны несколько раз «пролететь» этот маршрут туда и обратно, чтобы быть уверенным, что Боря и Миша вернутся благополучно. В данном случае полет моделируется на мощных компьютерах, когда в каждую секунду полетного времени положение Луны и корабля вычисляется с точностью до нескольких метров. Только в этом случае имеется гарантия, что корабль не промахнется мимо Луны и не улетит за пределы Солнечной системы.

         Продолжение практического занятия. Построим с помощью планшета только первую и вторую четверти прямоугольной системы координат так, чтобы на оси абсцисс можно было откладывать значения в интервале [-5 см, 5 см], а на оси ординат – от нуля до 25 см. После этого вычисляем значения функции для заданных аргументов. Чтобы проиллюстрировать особенности построения графиков по точкам, построим вначале параболу, задавая лишь целочисленные значения аргумента (см. Табл. 3.1). Для этого откладываем на оси абсцисс значения, считая, что одно деление равно 1 см (см. левую колонку Табл. 3.1). Затем напротив каждого деления на оси абсцисс мы откладываем наверх столько сантиметров, сколько приведено в соответствующей строке Табл. 3.1. Эти координаты определяют единственную точку графика. Проделав такую процедуру со всеми одиннадцатью точками из Табл. 3.1, получим одиннадцать точек на планшете. Теперь, соединив прямыми линиями соседние точки, получим график параболы наподобие, изображенного на рис. 3.2а. Видно, что по вертикали расстояния между точками увеличиваются по мере увеличения значений абсцисс. Это увеличение расстояния приводит к увеличению погрешности при построении графика. Поэтому приходится уменьшать расстояние между абсциссами, как это сделано в Табл. 3.2, где значения абсцисс выбраны с шагом 0,5. Попробуйте построить эти точки на планшете и соедините соседние прямыми линиями. В результате у вас должен получиться график, наподобие того, который приведен на рис. 3.2б. Видно, что число точек здесь в два раза больше, чем у первого графика, и расстояния между ординатами точек меньше. Т.е. второй способ построения дает большую точность за счет увеличения числа точек абсцисс, или, как говорят профессионалы-математики, за счет уменьшения шага сетки.

                         Таблица 3.1                                               Таблица 3.2

Аргумент	Значение функции		Аргумент	Значение функции
-5	25		-5	25
-4	16		-4,5	20,25
-3	9		-4	16
-2	4		-3,5	12,25
-1	1		-3	9
0	0		-2,5	6,25
1	1		-2	4
2	4		-1,5	2,25
3	9		-1	1
4	16		-0,5	0,25
5	25		0	0
			0,5	0,25
			1	1
			1,5	2,25
			2	4
			2,5	6,25
			3	9
			3,5	12,25
			4	16
			4,5	20,25
			5	25

Рис. 3.2а. График параболы, построенный по точка с шагом 1

Рис. 3.2б. График параболы, построенный по точка с шагом 0,5. 

         Вопрос. О какой сетке идет речь в данном случае? (Ответ: рыболовной, волейбольной, для ловли лесных зверушек, задаваемой вертикальными и горизонтальными линиями в прямоугольной системе координат).

         Иллюстрация. Траектория космического корабля, на котором полетят к Луне Боря и Миша, описывается гораздо более сложной функцией. Поэтому она рассчитывается более сложными способами, когда шаг сетки (по оси времени) переменный и зависит от кривизны траектории. На более прямолинейных участках шаг больше, на кривых, когда корабль меняет направление, он меньше.

         Вопрос. Подумай, на каком участке параболы можно увеличить шаг, чтобы сэкономить машинное время при построении графика.

         Мы достаточно легко справились с элементарной параболой, можем построить ее график по точкам, при этом выяснили ее несколько свойств. Поэтому вы с легкостью справитесь с таким самостоятельным заданием.

         Задание 1. 1. Перечислите все свойства элементарной параболы, которые кажутся вам наиболее существенными.

         2. Какие особенности отметили вы при построении элементарной параболы по точкам.

ПЕРЕМЕНКА!!!

Задачка: В вашем распоряжении пять двоек и любые знаки математических действий. Вы должны с помощью только этого цифрового материала, используя его полностью и применяя знаки математических действий, выразить следующие числа: 15, 11, 12321.

Ответ: Число 15 можно записать так:

                   (2+2)² - 2/2 = 15;

                   22/2 + 2x2 = 15;

                   (2х2)² - 2/2 = 15;

                   22/2 + 2² = 15;

                   2⁽²⁺²⁾-2/2 = 15;

                   22/2+ 2 + 2= 15.

Число 11: 22/2 + 2-2 = 11

Число 12321: (222/2)² =111² =111x111 = 12321.

         Раздел 2. Несколько усложненная парабола. Следующая функция, которую мы будем исследовать, получается из элементарной параболы введением коэффициента. А именно, исследуем функцию y(x) = ax² при различных значениях a. Коэффициент a вносит существенные изменения в поведении функции как количественные, так и качественные. Чтобы пояснить, что мы имеем в виду, приведем примеры графиков этих функций, отличающиеся значениями коэффициента a (см. рис. 3.3). А теперь мы поясним эти графики так, чтобы было понятно значение коэффициента a.

Рис. 3.3. Параболы, заданные на интервале [-10, 10] с различными коэффициентами

         1. Вначале сравним два графика y = x² и y = -x². Понятно, что первый график y = x² располагается над осью абсцисс, неограниченно растет при увеличении модуля аргумента, симметричен относительно оси ординат, имеет минимальное значение в точке x = 0. C другой стороны, график y = -x² располагается под осью абсцисс, неограниченно уменьшается при увеличении модуля аргумента, симметричен относительно оси ординат, имеет максимальное значение в точке x = 0. Эти свойства сведены в таблицу 3.3.

Таблица 3.3

График функции y = x2	График функция y = -x2
Располагается над осью абсцисс	Располагается под осью абсцисс
Имеет минимум в точке x = 0	Имеет максимум в точке x = 0
Достигает максимума на границах интервала, на котором задана функция.	Достигает минимума на границах интервала, на котором задана функция.
Неограниченно растет при увеличении модуля аргумента. (Рога параболы направлены вверх).	Неограниченно убывает при увеличении модуля аргумента. (Рога параболы направлены вниз).
Симметричен относительно оси ординат	Симметричен относительно оси ординат
Графики функции y = x2 и y = -x2 симметричны относительно оси абсцисс.

На рис. 3.3 графики функций y = x² и y = -x² располагаются ближе всего к оси абсцисс, только первый – над осью, а второй – под осью, оба графика изображены сплошными линиями одного (красного) цвета.

         2. Следующая пара графиков, которые мы исследуем, определяются двумя функциями y = 2x² и y = -2x². На рис. 3.3 график первой функции располагается непосредственно над графиком функции y = x² , график второй – непосредственно под графиком функции y = -x², графики изображены штриховой линией одного (синего) цвета. Почему график функции y = 2x² располагается выше графика функции y = x², достаточно понятно. Это происходит, потому что при одном аргументе значение функции y = 2x² в два раза больше значения функции y = x². Аналогично, график функции y = -2x² располагается ниже графика функции y = x², тоже ясно: при одном аргументе значение функции y = -2x² в два раза меньше значения функции y = -x².

         3. Наконец последняя пара графиков, которые мы исследуем, определяется функциями y = 4x² и y = -4x². На рис. 3.3 график первой функции располагается непосредственно над графиком функции y = 2x² , график второй – непосредственно под графиком функции y = -2x², графики изображены сплошной линией одного (зеленого) цвета. Почему график функции y = 4x² располагается выше графика функции y = 2x², достаточно понятно. Это происходит, потому что при одном аргументе значение функции y = 4x² в два раза больше значения функции y = 2x². Аналогично, график функции y = -4x² располагается ниже графика функции y = 2x², тоже ясно: при одном аргументе значение функции y = -4x² в два раза меньше значения функции y = -2x².

         Таким образом, мы убедились в таком факте, который приведем без доказательства в силу его очевидности. Иллюстрацией к этому факту служит рис. 3.3.

         Теорема 3.1. График функции y = ax² с ростом модуля аргумента при положительном a растет тем быстрее, а при отрицательном a убывает тем быстрее, чем больше модуль коэффициента a.  

         Таким образом, можно говорить, что при положительном коэффициенте a рога параболы y = ax²  задираются тем круче, чем больше значение a. А при отрицательном a парабола y = ax² симметрична относительно оси абсцисс параболе y = |a|x².

Практическое занятие 2.

         На этом занятии с помощью планшета по точкам постройте четыре параболы y = x², y = -x², y = 2x² и y = -2x² на интервале [-5, 5] с шагом 1. За единицу на оси абсцисс необходимо взять 1 см. Так как эти параболы не поместятся на планшете, если мы будем считать на оси ординат одно деление равным 1 см, то будем считать, что одно деление на оси ординат равным 0,25 сантиметра. Тогда максимальное значение функции y = 2x² будет располагаться на расстоянии 0,25 × 2 × 25 = 12,5 см от оси абсцисс сверху, а минимальное значение функции y = -2x² на таком же расстоянии от оси абсцисс, но снизу. В итоге, все четыре графика вполне поместятся на планшете. В результате должно получиться нечто похожее графикам, изображенным на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Графики четырех парабол

ПЕРЕМЕНКА!!!

Задачка: Можно ли пятью двойками выразить число 28?.

Ответ: 22 + 2 + 2 + 2 = 28.

         Раздел 3. Парабола поехала в сторону. Теперь пришла очередь исследовать функцию, которая имеет вид y(x) = (x + b)², где b есть константа. Внешне она мало, чем отличается от элементарной параболы, но аддитивный член b под знаком возведения в степень вносит существенные отличия. Оказывается, что парабола может перемещаться вправо или влево. Но вначале рассмотрим примеры парабол с различными значениями b, которые изображены на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Парабола перемещается по горизонтали

         На этом рисунке, мы без труда узнаем график элементарной параболы y = x², который симметричен относительно оси ординат, располагается выше оси абсцисс и имеет минимум в точке x = 0.

         Далее рассмотрим графики двух функции y = (x + 2)² и (x – 2)². Нулевые (они же минимальные) значения для этих функций будут при значениях аргументов соответственно x = -2 и x = 2. То есть первая парабола (x + 2)² получается из элементарной путем смещения последней на две единицы влево, а вторая (x - 2)² – на две единицы вправо. На рисунке эти две параболы изображены штриховыми синими линиями.

         Графики функций y = (x + 4)² и (x – 4)² по сравнению с графиком элементарной параболы уехали еще дальше – на 4 единицы соответственно влево и вправо. Они изображены на рис. 3.5. сплошными фиолетовыми линиями, и их минимумы располагаются соответственно в точках -4 и 4.

         Не вызывает сомнения факт, который формулируется следующим образом.

         Теорема 3.2. График функции y = (x + b)² получается из графика элементарной параболы перемещением последней влево на b единиц, если b > 0 и вправо на b единиц, если b < 0.

Практическое занятие 3.

         На этом занятии с помощью планшета по точкам постройте четыре параболы y = x², y = (x + 3)², y = (x - 3)² на интервале [-5, 5] с шагом 1. За единицу отсчета на оси абсцисс необходимо взять 1 см. за единицу отсчета по оси ординат возьмите 0.25 см, тогда все графики будут помещаться на планшете. В результате должно получиться нечто похожее графикам, изображенным на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Построение параболы по точкам

ПЕРЕМЕНКА!!!

Задачка: Вы, конечно, знаете, что пятью тройками и знаками действий можно написать число 100 вот так: 33 3 + 3/3 = 100. Но можно ли написать пятью тройками 10? Как вы думаете?

Ответ: 33/3-3/3 = 10.

         Раздел 4. Парабола поехала вверх вниз. Ну и естественно, если парабола может перемещаться в сторону, то возникает вопрос, а может ли она перемещаться вверх и вниз. Для ответа на этот вопрос мы исследуем поведение функции y(x) = x² + c, где с есть константа. Видно, что она получена из элементарной параболы добавлением постоянного слагаемого. Казалось бы, что она мало, чем отличается от элементарной параболы, но аддитивный член c позволяет ей перемещаться вверх и вниз по оси ординат. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим примеры парабол с различными значениями c, которые изображены на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Перемещение параболы по вертикали

Рис. 3.8. Построение парабол по точкам

На этом рисунке, мы без труда узнаем график элементарной параболы y = x², который симметричен относительно оси ординат, располагается выше оси абсцисс и имеет минимум в точке x = 0.

         Далее рассмотрим графики двух функции y = x² + 4 и x² – 4. нетрудно предвидеть их вид относительно элементарной параболы. Понятно, что график функции y = x² + 4 получается из элементарной параболы перемещением ее на 4 единицы вверх по оси ординат, а график функции y = x² – 4 на 4 единицы вниз. Это легко увидеть на рис. 3.7.

         Видно, что минимальные значения этих графиков остаются при нулевом значении аргумента. Но, если для элементарной параболы минимальное значение нулевое то для параболы y(x) = x² + c оно равно c/ Поэтому, когда с положительное, по парабола получается из элементарной перемещением на с единиц вверх, а когда отрицательное, то на с единиц вниз.

         Интересное в поведении этой параболы, это то, что впервые мы получаем случай, когда она дважды пересекает ось абсцисс (при отрицательном c). Если все рассмотренные ранее случаи характеризовались лишь касанием параболы оси абсцисс в единственной точке, то этот случай приводит к такому интересному факту, который нам потребуется при исследовании корней квадратного уравнения.

          Не вызывает сомнения факт, который формулируется следующим образом.

         Теорема 3.3. График функции y = x² + c получается из графика элементарной параболы перемещением последней вверх на c единиц, если c > 0 и вниз на c единиц, если c < 0.

Практическое занятие 4.

         На этом занятии с помощью планшета по точкам постройте четыре параболы y = x², y = x² + 4, y = x² - 4 на интервале [-5, 5] с шагом 1. За единицу отсчета на обеих осях можно взять 1 см, в этом случае все графики поместятся на планшете. В результате должно получиться нечто похожее на графики, изображенные на рис. 3.8.

Выводы

         Если квадратичная функция имеет вид y(x) = a(x + b)² + c и задана на множестве (-¥, ¥), то свойства ее графика определяются коэффициентами a, b, c следующим образом (см. Таблицу 3.4).

                                                                                     Таблица 3.4

Коэффициенты и их значения	Свойство параболы
a > 0	Ветви параболы направлены вверх, парабола имеет единственный минимум.
a < 0	Ветви параболы направлены вниз, парабола имеет единственный максимум
b > 0	Экстремум параболы располагается в точке x = -b.
b < 0	Экстремум параболы располагается в точке x = |b|.
При любом значении коэффициента c	Экстремум параболы имеет значение c. Этот коэффициент и направление ветвей параболы определяют число пересечений с осью абсцисс. Число пересечений может быть равным 0, 1 или 2.

         Таким образом, для графика функции y(x) = a(x + b)² + c коэффициент a определяет направление ветвей параболы и их крутизны; коэффициент b – положение ее экстремума и с – значение этого экстремума.

ПЕРЕМЕНКА!!!

Задачка: Какое наименьшее целое положительное число можете вы написать двумя цифрами?

Ответ: Наименьшее целое число, какое можно написать двумя цифрами, не 10, как думают, вероятно, иные читатели, а единица, выраженная таким образом: 1/1, 2/2, 3/3, 4/4 ... 9/9.

Знакомые с алгеброй прибавят к этим выражениям еще и ряд других обозначений: 1°, 2°, 3°,..., 9° потому что всякое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

Раздел 5. Общий случай. Теперь мы можем исследовать поведение графика функции y(x) = Ax² + Bx + C, преобразовав ее к уже знакомому виду a(x + b)² + c в предположении, что A ¹ 0. Для этого выполняем следующие действия.

1.                 Пользуясь тем, что коэффициент A ¹ 0, выносим A за скобку, и получаем выражение A(x² + ) + C.

2.                 В скобках одновременно прибавляем и вычитаем выражение , получаем выражение A(x² + +  - ) + C.

3.                 Эквивалентно преобразуя результирующее выражение, получаем A(x² + + ) + C - .

4.                 Выражение в скобках представляет собой полный квадрат (x + )². Поэтому все выражение приобретает вид A(x + )² + C - . Теперь обозначив A через a,  через b и C -  через c, получаем для первоначальной функции y(x) = Ax² + Bx + C  искомое выражение y(x) = a(x + b)² + c.

         Исследуем поведение графика этой функции в зависимости от значений коэффициентов A, B и C. Нас в первую очередь будет интересовать число пересечений ее графика с осью абсцисс, т.к. именно оно определяет число решений квадратного уравнения Ax² + Bx + C = 0. Действительно, решение уравнения обозначает такое значение аргумента, для которого значение функции нулевое. Но именно эти точки являются точками пересечения или касания параболы с осью абсцисс.

         Нами было установлено, что таких точке может быть либо ни одной, либо одна, либо две. И на их число влияют только два коэффициента a и c, т.е. A = a и C -  = b. Рассмотрим все возможные случаи.

1. A > 0. В этом случае ветви параболы направлены вверх, т.е. она обладает единственным минимумом и число пересечений с осью абсцисс определяется знаком b, т.е. C - . Преобразуем выражение C -  к виду . Возможны три случая.

Если выражение  = 0, то парабола единственный раз касается оси абсцисс. В силу того, что A > 0, имеем 4AC – B² = 0. Здесь уместно вспомнить, что в алгебре выражение D = B² – 4AC называется дискриминантом. Тем самым, мы получили, что если A > 0 и дискриминант D = 0, то имеется в точности одна точка касания параболы с осью абсцисс, т.е. уравнение Ax² + Bx + C = 0 имеет в точности одно решение.

Если выражение  > 0, то парабола полностью располагается над осью абсцисс. В силу того, что A > 0, имеем 4AC – B² > 0. Тем самым,  если A > 0 и дискриминант D < 0, то парабола не имеет пересечений или касания с осью абсцисс, т.е. уравнение Ax² + Bx + C = 0 не имеет ни одного решения.

         Если выражение  < 0, то минимум параболы располагается под осью абсцисс. В силу того, что A > 0, имеем 4AC – B² < 0. Тем самым,  если A > 0 и дискриминант D > 0, то парабола имеет в точности два пересечения с осью абсцисс, т.е. уравнение Ax² + Bx + C = 0 имеет в точности два решения.

2.                 A > 0. В этом случае ветви параболы направлены вниз, т.е. она обладает единственным максимумом и число пересечений с осью абсцисс определяется знаком b, т.е. . Возможны три случая.

Если выражение  = 0, то парабола единственный раз касается оси абсцисс. В силу того, что A < 0, имеем 4AC – B² = 0. Тем самым, если A < 0 и дискриминант D = 0, то имеется в точности одна точка касания параболы с осью абсцисс, т.е. уравнение Ax² + Bx + C = 0 имеет в точности одно решение.

Если выражение  < 0, то парабола полностью располагается под осью абсцисс. В силу того, что A < 0, имеем 4AC – B² > 0. Тем самым,  если A > 0 и дискриминант D < 0, то парабола не имеет пересечений или касания с осью абсцисс, т.е. уравнение Ax² + Bx + C = 0 не имеет ни одного решения.

         Если выражение  > 0, то максимум параболы располагается над осью абсцисс. В силу того, что A < 0, имеем 4AC – B² < 0. Тем самым,  если A < 0 и дискриминант D > 0, то парабола имеет в точности два пересечения с осью абсцисс, т.е. уравнение Ax² + Bx + C = 0 имеет в точности два решения.

Из рассмотрения всех возможных случаев мы получаем такое утверждение.

Теорема 3.3. Уравнение Ax² + Bx + C = 0 при A > 0 имеет в точности два решения тогда и только тогда, когда дискриминант D = B² – 4AC больше нуля, в точности одно решение, когда дискриминант равен нулю, и не имеет решений, когда дискриминант меньше нуля.

y(x) = 2x² + 2x - 8     D = 68

Рис. 3.9а. Ветви параболы направлены вверх, имеется два пересечения с осью абсцисс

y(x) = 2x²+4x+2    D= 0

Рис. 3.9б. Ветви параболы направлены вверх, имеется единственное касание с осью абсцисс

y(x) = 2x² + 4x+ 7    D= -40

Рис. 3.9в. Ветви параболы направлены вверх, нет касания или пересечения  с осью абсцисс

y(x) = -2x² + 4x+ 7    D= 72

Рис. 3.9г. Ветви параболы направлены вниз, имеется две точки  пересечения  с осью абсцисс

y(x) = -2x² + 4x - 2    D = 0

Рис. 3.9д. Ветви параболы направлены вниз, имеется единственная точка  касания  с осью абсцисс

y(x) = -2x² + 4x - 6    D = -32

Рис. 3.9е. Ветви параболы направлены вниз, нет точек  касания  или пересечения с осью абсцисс

Пример 3.1. На рис.3.9а – 3.9е приведены все случаи расположения параболы относительно оси абсцисс в зависимости от дискриминанта и направления ветвей параболы.

ПЕРЕМЕНКА!!!

Задачка: Какое самое большое число можете вы написать четырьмя единицами?

Ответ: Обычно в ответ на вопрос задачи пишут 1111. Но это далеко не самое большее. Гораздо больше — в 250 миллионов раз — такое число:

Хотя оно изображено всего четырьмя единицами, оно заключает в себе, если его вычислить, более 285 миллиардов единиц!

Рис. 3.1. Простая парабола, заданная на интервале [-10, 10]

                 Таблица 3.1.                                  Таблица 3.2.

Аргумент	Значение функции		Аргумент	Значение функции
-5	25		-5	25
-4	16		-4,5	20,25
-3	9		-4	16
-2	4		-3,5	12,25
-1	1		-3	9
0	0		-2,5	6,25
1	1		-2	4
2	4		-1,5	2,25
3	9		-1	1
4	16		-0,5	0,25
5	25		0	0
			0,5	0,25
			1	1
			1,5	2,25
			2	4
			2,5	6,25
			3	9
			3,5	12,25
			4	16
			4,5	20,25
			5	25

Рис. 3.2а. График параболы, построенный по точка с шагом 1. 

Рис. 3.2б. График параболы, построенный по точка с шагом 0,5. 

Рис. 3.3. Параболы, заданные на интервале [-10, 10] с различными коэффициентами

y(x) = 2x² + 2x - 8     D = 68

Рис. 3.9а. Ветви параболы направлены вверх, имеется два пересечения с осью абсцисс

y(x) = 2x²+4x+2    D= 0

Рис. 3.9б. Ветви параболы направлены вверх, имеется единственное касание с осью абсцисс

y(x) = 2x² + 4x+ 7    D= -40

Рис. 3.9в. Ветви параболы направлены вверх, нет касания или пересечения  с осью абсцисс

y(x) = -2x² + 4x+ 7    D= 72

Рис. 3.9г. Ветви параболы направлены вниз, имеется две точки  пересечения  с осью абсцисс

y(x) = -2x² + 4x - 2    D = 0

Рис. 3.9д. Ветви параболы направлены вниз, имеется единственная точка  касания  с осью абсцисс

y(x) = -2x² + 4x - 6    D = -32

Рис. 3.9е. Ветви параболы направлены вниз, нет точек  касания  или пересечения с осью абсцисс

Краткое описание документа:

Часть третья учебного пособия посвящена исследованию квадратичной функции и ее графика. Большое количество примеров с решениями делает учебное пособие вполне самодостаточным и доступным для школьников.