Конспект лекций (раздаточный материал) по учебной дисциплине "Математика: Геометрия" по теме " Параллельность прямых и плоскостей" (часть 3)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО   ОБРАЗОВАНИЯ

 «ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»

  Волжский социально-педагогический колледж

Математика:Геометрия (10-11кл., 1 курс СПО)   

Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу

 «Параллельность прямых и плоскостей» (часть3)  

Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна

Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП

Должность: Преподаватель 

Параллельные плоскости.
Мы знаем, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой (аксиома А3). Отсюда следует, что две плоскости либо пересекаются по прямой (рис.а), либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точки (рис.б). Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Представление о параллельных плоскостях дают пол и потолок комнаты, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола. Параллельность плоскостей α и β (обозначается так: α || β.). Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей. Теорема: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство Рассмотрим две плоскости α и β (рис. 29). В плоскости α лежат пересекающиеся в точке М прямые а и b, а в плоскости β  — прямые а1 и b1,причем а || а1 и b || b1. Докажем, что α || β. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости а || β и b || β. Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой с. Отсюда следует (по свойству 1°, п. 6), что прямые а и с параллельны. Но плоскость α проходит также через прямую b, параллельную плоскости β. Поэтому b || с. Таким образом, через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и, следовательно, α || β. Теорема доказана.			|| . Рис. 29
Свойства параллельных плоскостей
1°. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Наглядным подтверждением этого факта служат линии пересечения пола и потолка со стеной комнаты — эти линии параллельны. Для доказательства данного свойства рассмотрим прямые а и b, по которым параллельные плоскости α || β пересекаются с плоскостью γ (рис. 30). Докажем, что прямые а и b. Эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости γ) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то плоскости α || β имели бы общую точку, что невозможно, так как эти плоскости параллельны. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, т. е. прямые а и b параллельны.		Рис. 30
2°. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Для доказательства этого свойства рассмотрим отрезки АВ и CD двух параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями  α и β (рис. 31). Докажем, что  АВ = CD. Плоскость γ, проходящая через параллельные прямые АВ и CD, пересекается с плоскостями α и β  по параллельным прямым АС и BD (свойство 1°). Таким образом, в четырехугольнике ABDC противоположные стороны попарно параллельны, т. е. ABDC — параллелограмм. Но в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому АВ и CD равны.		Рис. 31
Вопросы и задачи по теме «Параллельность плоскостей»
49. Прямая m пересекает плоскость α в точке В. Существует ли плоскость, проходящая через прямую m и параллельная плоскости α?
50. Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.
51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β.
52. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α.
54. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.
55. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную плоскости α. Решение. Рассмотрим произвольную плоскость β, параллельную плоскости α. Через какую-нибудь точку В плоскости β проведем прямую b, параллельную прямой а. Так как прямая а пересекает плоскость α, то прямая b также пересекает эту плоскость. Следовательно, прямая b пересекает плоскость β (а не лежит в ней). Поэтому прямая a также пересекает плоскость β.
56. Плоскости α и β параллельны, А — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.
63. Параллельные плоскости   α.и β пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках A1 и A2, а сторону АС этого угла — соответственно в точках В1 и В2. Найдите: а) АА2 и АВ2, если A1A2 = 2A1A, A1A2=12 см,     АВ1 =5 см; б) А2В2 и AA2, если A1B1= 18 см, АА1 =24см, АА2 = 3/2 А1А2.
Задачи на построение сечений
Среди типовых задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, большое место занимают задачи на  сечения различными плоскостями. Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью. Секущая плоскость - любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника (тетраэдра, параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки,  сечением многоугольника, т.е. сечение многогранника – многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым пересекает грани многогранника секущая плоскость. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 38). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники (рис. 39, а), пятиугольники (рис. 39, б) и шестиугольники (рис. 39, в).
При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны (свойство 1°). Так, на рисунке 39, б секущая плоскость пересекает две противоположные грани (левую и правую) по отрезкам АВ и CD, а две другие противоположные грани (переднюю и заднюю) — по отрезкам АЕ и ВС, поэтому АВ || CD и АЕ || ВС.  По той же причине на рисунке 39, в АВ || ED, AF || CD, ВС || EF. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.
Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра и параллелепипеда.              Задача 1. На ребрах АВ, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки М, N и Р (рис. 40, а). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP Решение. Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и ВС до их пересечения в точке Е (рис. 40, б), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро АС в некоторой точке Q. Четырехугольник MNPQ — искомое сечение. Если прямые NP и ВС параллельны (рис. 40, в), то прямая NP параллельна грани ABC, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ME, параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра АС с прямой ME. Задача 2. Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC (рис. 41, а). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию ABC Решение. Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC, то она параллельна прямым АВ, ВС и СА. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC (утверждение 1°). Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку АВ, и обозначим буквами Р и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB (рис. 41, б). Затем через точку Р проведем прямую, параллельную отрезку А С, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR — искомое сечение.  Рис .41
Задача 3. На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC. Решение. Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В и С. В самом простом случае, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (см. рис. 39, а), нужно провести отрезки АВ, ВС и СА, и получится искомое сечение — треугольник ABC. Если три данные точки А, В и С расположены так, как показано на рисунке 39, б, то сначала нужно провести отрезки АВ и ВС, а затем через точку А провести прямую, параллельную ВС, а через точку С — прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Е и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение — пятиугольник ABCDE — построено. Более трудный случай, когда данные точки А, В и С расположены так, как показано на рис.39, в. В этом случае можно поступить так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую АВ и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая АВ, до пересечения с этой прямой в точке М. Далее через точку М проведем прямую, параллельную прямой ВС. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведем прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF — построено.
69. Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.
70. Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.
Параллелепипед
Параллелепипед – многогранник, поверхность которого состоит из 6 параллелограммов. Параллелепипед  у которого все грани прямоугольные - прямоугольный. Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА1, ВВ1, СС1 и DD1 параллельны (рис. 36, а). Четырехугольники    АВВ1А1, ВСС1В1, CDD1С1, DAA1D1    (1) также являются параллелограммами, так как каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны, например, в четырехугольнике АВВ1А1 стороны АА1 и ВВ1 параллельны по условию, а стороны АВ и А1В1 — по свойству линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей (свойство 1°). Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов (1), называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA1B1C 1D1 (или А D1). Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными. На рисунке 36, б противоположными являются грани ABCD и A1B1ClD1,  АВВ1А1 и DCClD1, ADD1A1 и ВСС1В1.  Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.                        На рисунке 36, б диагоналями являются отрезки АС1, BD1, СА1 и DB1. Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами. Так, если в качестве оснований выбрать грани ABCD и AlB1C1D1, то боковыми гранями будут параллелограммы (1), а боковыми ребрами — отрезки АА1, ВВ1, СС1 и DD1. Параллелепипед изображается обычно так, как показано на рисунке 36, б. При этом изображениями граней являются параллелограммы; невидимые ребра и другие невидимые отрезки, например диагонали, изображаются штриховыми линиями. Рассмотрим два свойства параллелепипеда. 1°. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Докажем, например, параллельность и равенство граней АВВ1А1 и DCC1D1 параллелепипеда ABCDA1BlC1D1 (рис. 37, а). Так как ABCD и ADD1A1 — параллелограммы, то АВ || DC и АА1 || DD1. Таким образом, две пересекающиеся прямые АВ и АА1 одной грани соответственно параллельны двум пересекающимся прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани АВВ1А1 и DCC1D1параллельны. Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то АВ = DC и AA1= DD1. По этой же причине стороны углов А1АВ и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны.   2°. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого А1С и D1B являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1B1D1(см. рис. 37, а). Так как A1D1|| ВС и A1D1 = ВС (объясните почему), то A1D1CB — параллелограмм. Поэтому диагонали А1С и D1B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам. Далее рассмотрим четырехугольник AD1C1B (рис. 37, б). Он также является параллелограммом (докажите это), и, следовательно, его диагонали АС1 и D1B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D1B является точка О. Таким образом, диагонали А1С, D1B и АС1 пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Наконец, рассматривая четырехугольник A1B1CD (рис. 37, в), точно так же устанавливаем, что и четвертая диагональ DB1 параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам. Построение сечений параллелепипеда При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны (свойство 1°). Так, на рисунке 39, б секущая плоскость пересекает две противоположные грани (левую и правую) по отрезкам АВ и CD, а две другие противоположные грани (переднюю и заднюю) — по отрезкам АЕ и ВС, поэтому АВ || CD и АЕ || ВС.  По той же причине на рисунке 39, в  АВ || ED, AF || CD, ВС || EF. Напомним также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами  параллелепипеда , после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани. Задача 3. На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC. Решение. Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В и С. В самом простом случае, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (см. рис. 39, а), нужно провести отрезки АВ, ВС и СА, и получится искомое сечение — треугольник ABC. Если три данные точки А, В и С расположены так, как показано на рисунке 39, б, то сначала нужно провести отрезки АВ и ВС, а затем через точку А провести прямую, параллельную ВС, а через точку С — прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Е и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение — пятиугольник ABCDE — построено. Более трудный случай, когда данные точки А, В и С расположены так, как показано на рис.39, в. В этом случае можно поступить так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую АВ и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая АВ, до пересечения с этой прямой в точке М. Далее через точку М проведем прямую, параллельную прямой ВС. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведем прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF — построено.

Краткое описание документа:

Конспект лекций по геометрии составлен в соответствии с программой курса «Геометрия» (по учебнику для 10-11 классов. Атанасян Л.С.) для СПО (10-11 класс) и может быть использован в учебном процессе для активизации деятельности студентов как в аудиторной, так и для самостоятельной работы. Содержит материал, достаточный для успешного прохождения студентами текущей и промежуточной аттестации по вопросам данной темы. Может успешно применяться в качестве раздаточного материала, что особенно актуально при отсутствии или недостаточном количестве учебников при проведении теоретических занятий.