Конспект открытого урока по алгебре и началам анализа "Тригонометрические уравнения"

Открытый  урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

     Тип урока: урок закрепления  и систематизации знаний.

     Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений    различных типов.

Задачи урока.

     1. Образовательные:

- закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

- обобщение и систематизация материала;

-  создание  условий для  контроля и самоконтроля  усвоения знаний и умений;

- исторические  сведения.

     2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике.

    3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке:

индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

     Методы обучения:

 частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, самопроверка, взаимопроверка.

     Оборудование и источники информации: компьютер, проектор, системно-обобщающая схема (приложение 1);

 на партах  учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы учета знаний,  лист бумаги для проведения теста , комплект «Математическая игра-лотерея»,  карточки заданий с уравнениями, карточки с домашними заданиями.

    1. Организационный момент.(3 мин)

     Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики, как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

   Учитель: «Сегодня у нас очередной урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

    Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».

    2. Повторение теории.

      Вопросы к классу:

      1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

      2). Каков  алгоритм решения тригонометрических уравнений?

      3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

      Учитель: «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений,  повторим основные формулы». На столах находится раздаточный материал –это приложения, справочный материал, карточки заданий и математическое информационное  лото .

Ученики работают с опорным конспектом (приложение №1).

       3. Выполнение устного теста.(3 мин)

Работа выполняется на листах

Имеет ли смысл выражение (ответ объясните):
а)  (нет);
б)  (да);
в)  (нет);
г)  (нет);
д)  (да).
Ученики осуществляют контроль  в ходе самопроверки (правильные ответы на слайде).

4. Математическая лотерея(5 мин). Работа парная, меняются листами и проверяют друг у  друга правильность подбора ответов,(выставляются оценки на листах учета знаний)

 Учитель: «Найдите правильные ответы к вопросам на листочках, т. е. разложите ответы под вопросами-заданиями и   прочитайте   историческую информацию».

(Приложение 2. Математическое лото, 3 страницы).

Принцип действия лото: перед учащимися лист с вопросами-заданиями, и разрезанные информационные двусторонние прямоугольнички

Листок с ответами  с обратной стороны заклеивается табличками с информацией, разрезаются на прямоугольнички, которые прикладываются под  соответствующими вопросами. Учащимся предлагается вначале установить соответствие вопросов и ответов, а затем перевернуть таблички и прочитать «историческую» математическую информацию.

Лист с заданиями  на математическом лото.

  5. Работа в группах.(20 мин)

Учитель обращается к учащимся:

«Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений»

Ответы учащихся:

•      Введение новой переменной.

•      Разложение на множители.

•      Деление обеих частей уравнения на cos(mx)  для однородных уравнений первой степени.

•      Деление обеих частей уравнения на cos²(mx)  для однородных уравнений второй степени.

•      Метод предварительного преобразования с помощью формул

Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает  каким  рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению. Время на решение 15-20 минут.

1 группа готовит решение уравнения а),

2 группа-уравнение б )

3 группа –уравнение в)

4 группа –уравнение г)

«А по пятому уравнению д) попрошу обратить внимание группе учащихся»( можно разделить 2 –м учащимся решить одним из прилагаемых способов, а второй группке-другим способом). Если не успевают на уроке –задать  на дом, с последующим объяснением на уроках.

Математическая эстафета «Кто быстрее?»

Каждая группа получает карточки с уравнениями, они -  находятся в файлах ,на столах. Решив уравнение,  один из учащихся группы выходит,  изначально   записывает ответ на доске , а потом  проверяет решение со слайда.

Карточка с уравнениями.( на столах- карточки без ответов)

Уравнение	Ответы
а)sin2x + 4cos x = 2,75;
в) 2 sin х · cos х - cos2x = 0;
г) 5 sin2x + sin х · cos х – 2 cos2x = 2;
д)cos x – sin x=1 (желательно решить 2-мя способами): 1 способ.Введением вспомогательного угла, т. е. представить в виде (cos x– sin x)=1,разделить обе части уравнения на корень из двух, представить в виде формулы синуса разности и довести до конца. 2 способ: преобразование разности в произведение. Представить уравнение в виде                sin ( - x) - sin x = 1, далее применить формулу разности синусов, довести до конца решение вторым способом.	x = – +2 πn, n∈Z.

    Проводится  обсуждение и взаимопроверка работ. Если ответ  в  уравнении не совпадает с правильным ответом, то на слайде рассматривается решение уравнения и исправляются ошибки .

 6. Решение уравнения  несколькими способами – уравнение д)

(решение представлено на слайде)-5-7 мин

              cos x – sin x=1

   1 способ. Введение вспомогательного угла

              cos x – sin x=1,                                                

(cos x– sin x)=1,

sin cos x – cos sin x=,

sin( – x)= .

 x = 2 πn, n∈Z;                             

  x = – +2 πn, n∈Z.

2 способ. Преобразование разности в произведение.                                                                           

               cos x – sin x=1,

               sin ( - x) - sin x = 1,

               2 sin ( - x) cos = 1,

                sin(x - )= -,

                 x = 2 πn, n∈Z;                             

                 x = – +2 πn, n∈Z.

        7. Решение упражнений на систематизацию уравнений. (3 мин)-самопроверка

        Ученикам предлагаются блоки уравнений на сравнение, обобщение, выделение главного.

Нельзя?!

1) sin x + cos x = 0

2) sin2 x - 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0

3) 4 sin x cos x - cos2 x= 0

Можно ?!

Ответ: 1 - однородное уравнение первой степени, решается методом деления

на  cos x (sin x);

             2 - однородное уравнение второй степени, решается методом деления

на  cos² x (sin² x);

             3 -  нельзя  делить  на cos² x,  это приведет к потере корней.

Найти лишнее в этом блоке уравнение и раскрыть идею его решения.(3 мин)

1) sin4 x + sin2 x = 0

2)arcsin(x + 1) =

3)  8 cos 6x +4 cos x = 0

Ответ: 1, 3 - уравнения, решающиеся методом разложения на множители;

                      2 -  лишнее уравнение в этом блоке, содержит обратную

                         тригонометрическую   функцию. Так как   x + 1=, x = -.

               8. Подведение итогов урока.(1-2 мин)

      Учитель: «Сегодня на уроке мы повторили решение разных типов тригонометрических уравнений, решали уравнения различными методами, ознакомились с информацией на математическом лото, систематизировали знания».

      Проводится рефлексия. Лист учета знаний ученики сдают учителю, за работу

 на уроке выставляется оценка в журнал.

    9. Домашнее задание.

     Решение уравнений  по индивидуальным карточкам(Приложение 4), а отдельной группе подготовить решение систем уравнений №175(в, б) и №176 б),с объяснением у доски.

Приложение №2- Таблица значений для синусов-косинусов, тангенсов-котангенсов.

Приложение 4. Карточки с домашними заданиями.

Вариант 1	Вариант 2
1) sin x + cos x = 0	1) sin4 x + sin2 x = 0
2) sin2 x - 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0	2)arcsin(x + 1) =
3) 4 sin x cos x - cos2 x= 0	3)  8 cos 6x +4 cos x = 0
4) sin4 x + sin2 x = 0	4) sin2 x - 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0
5)  sin x · cos3x + cos x ·sinx >	5)   cos (2x  -

Ф.И учащегося____________________________________________________________

№	Название этапа	Критерии оценки	Оценка
1	o  Устный тест	За каждый верный ответ 1 балл
2	o  Математическое лото	8-9 баллов – оценка «5», 6-7 баллов – оценка «4», 5 баллов – оценка «3», менее 5 баллов –оценка «2».
3	o  Решение уравнений из тестов ЕГЭ. Математическая эстафета «Кто быстрее?».	Правильно решено-оценка 5, есть недочеты в решении- оценка 4, (есть фрагмент правильного решения-добавляется полбалла к общей оценке)
4	o   Решение уравнения д) несколькими способами	Индивидуальная оценка знаний, прибавляется балл к общей оценке.
5	o  Можно или нельзя?	Индивидуальная оценка знаний, прибавляется полбалла к общей оценке.
6	o  Найди лишнее уравнение и реши его.	Индивидуальная оценка знаний, прибавляется полбалла к общей оценке.
	o  Средний балл