Конспект по алгебре на тему: "Показательная функция" (1 курс)

  Тема. Показательная функция

В практике часто используются функции y=2^x, y=10^x, y= (12)^x, y= (0,1)^x и т. д.,  т. е. функция вида y=a^x, где a — заданное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Функция, заданная формулой y=a^x (где a>0, a≠1), называется показательной функцией с основанием a.

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. область определения — множество R действительных чисел.

2. Область значений — множество R₊ всех положительных действительных чисел.

3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.

4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства  

 

Графики показательных функций изображены на рисунках:

(общий вид этих функций)

1) для случая a>1                                     2) для случая 0<a<1

                             

Практическая часть

Построим графики функций y=2^x и , использовав рассмотренные свойства и найдя несколько точек, принадлежащих графику.

Пример: y=2^x 

Отметим, что график функции y=2^x проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ox.

Если x <0 и убывает, то график быстро приближается к оси Ox (но не пересекает её); если x>0 и возрастает, то график быстро поднимается вверх.

Такой вид имеет график любой функции y=a^x, если a>1.

Пример:  

График функции  также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ox.

 

Если x>0 и возрастает, то график быстро приближается к оси Ox (не пересекая её); если x <0 и убывает, то график быстро поднимается вверх.

Такой же вид имеет график любой функции y=a^x, если 0<a <1.