Конспект по математике на тему: "Линейные дифференциальные уравнения второго порядка" для студентов 2 курса

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: где  – некоторые действительные числа, некоторая функция.

Если уравнение  , то   называется однородным; в противном случае – неоднородным.

   – дифференциальное уравнение второго порядка

  –   характеристическое уравнение дифференциального уравнения

Теорема

1.    Пусть характеристическое уравнение   имеет действительные корни: , причем  . Тогда общее решение дифференциального уравненияимеет вид

                        , где  - некоторые числа.

2.   Если характеристическое уравнение  имеет один корень

 λ ( кратности 2), то  общее решение уравнения   имеет вид

                       , где  - некоторые числа

3.    Если характеристическое уравнение   не  имеет действительных корней, то общее решение уравнения

   имеет вид

, где  - некоторые числа,

Пример

Найти частное решение уравнений при указанных начальных условиях.

Решение

  - характеристическое уравнение                  

  ,

   – общее решение ДУ.

Найдем частное решение из условия.

Найдем С₁ и С₂.

,  , решаем систему уравнений

 и получим

 – частное решение данного ДУ.

Ответ:  

   -  характеристическое уравнение                                        

 – общее решение

Найдем частное решение из условия.

Найдем С₁ и С₂.

  –  частное решение.

Ответ:

 -  характеристическое уравнение

не имеет действительных корней.

 – общее решение.

Найдем частное решение из условия.

Найдем С₁ и С₂.

Так как

Найдем

 Учитывая, что  

Ответ:

 Упражнения.

Решить:

                       

                             

                          

                          

Найти решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям: