Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока к занятиям летней математической школы. "Способы вычисления определителей матрицы"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока к занятиям летней математической школы. "Способы вычисления определителей матрицы"

библиотека
материалов

Методы вычисления определителей

В общем случае правило вычисления определителей formules_128.png-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы formules_422.png второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

opredelitel_vtorogo_porjadka_809.png

З

Пример

адание. Вычислить определитель второго порядка formules_810.png

Решение. formules_811.png

Ответ. formules_827.png

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.



Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

matricy_pravilo_treugolnika_812.gif

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

formules_813.png

formules_814.png

З

Пример

адание. Вычислить определитель formules_815.png методом треугольников.

Решение. formules_816.png

formules_817.png

Ответ. formules_826.png



Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

formules_818.png

formules_819.png

З

Пример

адание. Вычислить определитель formules_815.png с помощью правила Саррюса.

Решение. formules_820.png

formules_821.png

Ответ. formules_826.png



Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

З

Пример

адание. Разложив по первой строке, вычислить определитель formules_822.png

Решение. formules_823.png

formules_824.png

Ответ. formules_825.png

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

З

Пример

адание. Вычислить определитель formules_822.png

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

formules_828.png

formules_829.png

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. formules_825.png

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.



Разложение определителя по элементам строки или столбца

З

Пример

адание. Вычислить определитель formules_831.png , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

formules_832.png

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

formules_833.png

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

formules_834.png

formules_835.png

Ответ. formules_836.png

П

Замечание

оследний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

З

Пример

адание. Вычислить определитель formules_837.png приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент formules_839.png будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

formules_838.png

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента formules_839.png , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

formules_840.png

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен formules_841.png , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

formules_842.png

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:

formules_843.png

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

formules_844.png

formules_845.png

Ответ. formules_855.png



Теорема Лапласа

П

Теорема

усть formules_846.png - определитель formules_128.png-го порядка. Выберем в нем произвольные formules_847.png строк (или столбцов), причемformules_848.png . Тогда сумма произведений всех миноров formules_847.png-го порядка, которые содержатся в выбранных formules_847.pngстроках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

З

Пример

адание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель formules_849.png

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки - вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

formules_850.png

formules_851.png

formules_852.png

Ответ. formules_853.png


Автор
Дата добавления 03.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров241
Номер материала ДВ-224845
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх