Методы вычисления определителей
В общем случае правило вычисления определителей -го порядка является довольно громоздким. Для определителей
второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка,
надо от произведения элементов главной диагонали отнять
произведение элементов побочной диагонали:
Задание. Вычислить
определитель второго порядка
Решение.
Ответ.
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие
правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены
прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго
определителя - соответствующие произведения берутся со знаком
"минус", т.е.
Задание. Вычислить
определитель методом треугольников.
Решение.
Ответ.
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и
произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных,
берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и
диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
Задание. Вычислить
определитель с помощью правила Саррюса.
Решение.
Ответ.
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки
определителя на их алгебраические дополнения.
Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец,
по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Задание. Разложив
по первой строке, вычислить определитель
Решение.
Ответ.
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению
определителя более низкого порядка.
Задание. Вычислить
определитель
Решение. Выполним
следующие преобразования над строками определителя:
из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную
на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются
пропорциональными.
Ответ.
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше
применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному
виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Задание. Вычислить
определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то
столбца.
Решение. Предварительно
выполним элементарные преобразования над строками определителя,
сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале
от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от
четвертой - три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный определитель третьего порядка также разложим по
элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом
столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей -
вторую:
Ответ.
Последний и предпоследний определители можно было бы и не
вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат
пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами
определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение,
согласно свойствам определителя,
равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Задание. Вычислить
определитель приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала
делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет
выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и
второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к
тому, что он сменит знак на противоположный:
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента , для этого
из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую,
будем иметь:
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов,
стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью
строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для
этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к
четвертой - две вторых строки, получаем:
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем
нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке
прибавляем третью:
Ответ.
Теорема Лапласа
Пусть - определитель -го порядка. Выберем в нем произвольные строк (или
столбцов), причем . Тогда сумма произведений всех миноров -го порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах),
на их алгебраические дополнения равна
определителю.
Задание. Используя
теорему Лапласа, вычислить определитель
Решение. Выберем
в данном определителе пятого порядка две строки - вторую и третью, тогда
получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
Ответ.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.