Конспект урока математики по теме "Логарифмы и их свойства"

Министерство образования Московской области

Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области

«Государственный гуманитарно-технологический университет»

Промышленно-экономический колледж

Методическая разработка урока математики

на тему: «Логарифмы и их свойства»

для студентов 1 курса

Автор:  Савинова Лариса Николаевна –

преподаватель Промышленно-экономического колледжа

г.  Орехово-Зуево

Цели урока: 

Дидактические:

–          дать понятие логарифма с произвольным основанием;

–          овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы логарифмирования и потенцирования, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;

–          дать понятие натурального и десятичного логарифма;

–          овладеть умением вычислять логарифмы с помощью микрокалькулятора.

Развивающая: содействовать развитию у обучающихся математического мышления, умений анализировать, выделять главное, обобщать.

Воспитательная:

Развивать продуктивное мышление студентов при выводе формул и выполнении упражнений. Продолжать формирование умения правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию, что является важнейшей чертой характера будущего специалиста среднего звена. Развивать умение быстро и правильно производить вычисления «в уме», с помощью микрокалькулятора.

Тип и продолжительность занятия: комбинированный урок, 90 минут.

Форма проведения и организации обучения: беседа, фронтальная и индивидуальная,  устная и письменная.

Метод обучения: объяснительно-иллюстрированный,  репродуктивный, частично-поисковый.

Обеспечение занятия

1.            Раздаточный материал: карточки-задания для опроса.

2.            Наглядные пособия: плакат «Логарифмы».

3.            ТСО: мультимедийный проектор, ПК.

4.            Вычислительные средства: микрокалькуляторы.

Знания и навыки студентов:

Студенты должны знать:

–               определение логарифма числа;

–               основное логарифмическое тождество;

–               свойства логарифмов;

–               формулы перехода от одной системы логарифмов к другой;

–               определения натурального и десятичного логарифма числа;

уметь:

–               вычислять значения простейших логарифмических выражений, используя определение и свойства логарифма;

–               вычислять логарифмы, используя микрокалькулятор.

Используемые учебники и учебные пособия: 

1.        Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 5-е изд., испр. – М.: Изд. центр «Академия», 2012. – 256 с.

2.        Башмаков М.И. Математика. Задачник: учебное пособие для образоват. учреждений нач. и сред.проф. образования / М.И. Башмаков. – 3-е изд. стер. М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 416 с.

Мотивация познавательной деятельности студентов

Рассказать студентам о том, какую важную роль играют логарифмы в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах. При этом подчеркнуть значение десятичных и натуральных логарифмов. Поэтому студенты должны хорошо усвоить понятие логарифма с произвольным основанием, основные формулы тождественных преобразований.

Качество усвоения учебного материала данной темы непосредственно связано с качеством усвоения последующих тем.

Последовательность изложения нового материала.

1.           Логарифм. Основное логарифмическое тождество.

2.           Свойства логарифмов. Формулы перехода.

3.           Логарифмирование и потенцирование.

4.           Десятичные и натуральные логарифмы. Вычисление логарифмов на микрокалькуляторе.

План занятия

1.            Организационный момент. (3 мин.)

2.            Проверка знаний, умений и навыков студентов. (17 мин.)

3.            Изучение нового материала. (40 мин.)

4.            Закрепление изученного материала. (15 мин.)

5.            Подведение итогов занятия. (3мин.)

6.            Домашнее задание. (2 мин.)

7.            Подведение итогов урока, рефлексия. (5 мин.)

1 этап. Организационный момент

Слайд 1, 2. Ознакомление с темой, целями и планом урока.

2 этап.  Проверка знаний, умений и навыков студентов

Проводится комбинированный опрос. Шесть студентов отвечают по карточкам-заданиям: двое – у доски, четверо – за партами. С остальными студентами проводится фронтальная беседа по материалу темы «Степень и ее свойства. Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства».

Карточка 1.

1)           Найти наименьшее целое решение неравенства .

2)           Пусть - решение системы .  Найдите значение .

Карточка 2.

1)           Найдите наибольшее целое решение неравенства  .

2)           Решить уравнение   .

Карточка 3.

1)          Решить неравенство .

2)          Пусть - решение системы .  Найдите значение произведения  .

Карточка  4.

1)          Найти сумму натуральных решений неравенства  .

2)          Решить уравнение  

Карточка  5.

1)          Решить неравенство  .

2)          Решить уравнение .

Карточка  6.

1)          Найти наименьшее целое решение неравенства 

2)          Найдите произведение корней уравнения:  

Фронтальная беседа проводится по следующим вопросам:

–               Что такое степень с натуральным показателем? Каковы ее свойства?

–               Дать определение степени с рациональным показателем и записать ее свойства.

–               Привести примеры четной и нечетной степенной функции.

–               Что такое показательная функция?

–               При каком условии показательная функция возрастает, убывает?

–               Какие из показательных функций возрастают, какие – убывают? 

        Слайд 3:  ?

–               Что такое показательное уравнение?

–               Какие из следующих уравнений являются показательными: (Слайд 4)

       ?

–               Перечислить основные способы решения показательных уравнений.

–               Что такое показательные неравенства? Как они решаются?

–               Какими способами можно решить системы показательных уравнений?

–               Слайд 5. Решить устно примеры:

3 этап.  Изучение нового материала

1. Логарифм. Основное логарифмическое тождество

Нам известно показательное уравнение , где а – любое заданное положительное и не равное единице число (). При  уравнение не имеет решений; при  показательное уравнение имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают .

Логарифмом положительного числа b по основанию а, где  называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b, т.е.

.

 Формулу  (где ) называют основным логарифмическим тождеством. (Слайд 6)

На определение логарифма возможны три типа упражнений:

1.     на определение логарифма по данному числу и данному основанию;

2.     определение основания логарифмирования по числу и логарифму;

3.     определение числа по логарифму и основанию.

Примеры. Слайды 7 – 9. Заполнить пропуски:

1)        

2)        

3)        

4)        

5)        

6)        

7)        

8)        

9)         ;

10)    

11)     Вычислить

12)    

13)     Решить уравнение   .

2. Свойства логарифмов.

Формулы перехода от одного основания логарифма к другому.

Плакат «Логарифм. Свойства логарифмов» или Слайд 7 - 10.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом  и любых положительных чисел х и у выполнены равенства:

1.           ;

2.           ;

3.           логарифм произведения равен сумме логарифмов:

       ;

4.           логарифм частного равен разности логарифмов:

        ;

5.           логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени:

             для любого действительного числа р.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразований выражений, содержащих логарифмы. При этом используются формулы перехода от одного основания логарифма к другому основанию: (Слайды 11 – 13)

1.          

2.           .

3.          

4.           , где

5.           , где  

Доказательство: по определению логарифма Логарифмируем по основанию а: .

Примеры.

14)     ;

15)     ;

16)     ;

17)     ;

18)     .

3. Логарифмирование и потенцирование

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Если число х представлено алгебраическим выражением, содержащим числа a, b, c, ..., то найти логарифм этого выражения – значит выразить логарифм числа х через логарифмы чисел a, b, c, .... Нахождение положительного числа по его логарифму называют потенцированием.

Примеры.

19)      Прологарифмировать выражения:

Ответ.

20)      Пропотенцировать выражения:

Ответ.

4. Десятичные и натуральные логарифмы. Вычисление логарифмов на микрокалькуляторе.

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут: .

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию е, где – иррациональное число, и пишут: .

Натуральные и десятичные логарифмы связаны формулами: (Слайд 14)

Вычисление числа е на микрокалькуляторе проводится по программе:

1   SHIFT   e^x        Ответ: 2,718281829.

Вычисление числа lg b и ln b проводится по программе:

b    lg      и   b   lп .

Например, вычисляя lg 13 и  ln 13, набираем на микрокалькуляторе:

13   lg    Ответ: 1,113943352;

13   lп    Ответ: 2,564949358.

Чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию, достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов. Для этого используется формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию

Из этой формулы при с = 10 и с = е получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:

Например. С помощью микрокалькулятора вычислить  .

 Запишем данный логарифм следующим образом:

 или .

Вычисляем на микрокалькуляторе по программе:

80   lg    3   lg  =                            3,988692535

80   lп    3   lп  =                            3,988692535

4 этап.  Закрепление изученного материала

1.            Слайд 15. Предложить студентам ответить на вопросы:

–                Что называется логарифмом?

–                Записать на доске основное логарифмическое тождество.

–                Чему равен логарифм произведения?

–                Чему равен логарифм частного?

–                Чему равен логарифм степени?

–                Почему ?

–                Запишите формулы перехода логарифма от одного основания к другому.

–                Что такое десятичный логарифм и как он записывается?

–                Что такое натуральный логарифм и как он записывается?

2.            Решение упражнений.

1)            Слайд 16. Вычислить устно:

2)            По учебнику № 476, 479 устно.

3)            Слайд 17. Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

4)            По учебнику №  488 (устно), 489.

5)            Найти число х по определению логарифма: 

а)

б)

в)

6)          № 491 (а, в). Прологарифмируйте по основанию 3:

7)          № 492 (а, б). Прологарифмируйте по основанию 10:

5 этап.  Подведение итогов занятия

1.            На уроке изучили логарифмы и их свойства.  

2.            Обобщили понятие степени с действительным показателем и закрепили навыки действий со степенями.

3.            Вывели формулы перехода логарифма от одного основания к другому.

4.            Студенты развивали умение быстро и правильно вычислять логарифмы «в уме»  и с помощью микрокалькулятора.

5.            Студенты научились логарифмировать и потенцировать выражения.

6.            Закрепили умения вычислять логарифмические выражения, используя определение, свойства логарифма и формулы перехода.

7.            Внимание студентов было обращено на приемы оформления, рациональную запись решения, на умение пользоваться математической символикой в процессе решения упражнений.

8.            На занятии воспитывались аккуратность, внимательность при решении упражнений, способности доводить любое учебное задание до конца, правильно оценивать результаты своей работы, усиливалось внимание к развитию творческого мышления и повышению интереса к предмету «математика».

6 этап.  Домашнее задание

1.            Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256 с.:  с. 36-37 № 4-6.  

2.            Башмаков М.И. Математика. Задачник: учебное пособие для образоват. учреждений нач. и сред.проф. образования / М.И. Башмаков. – 3-е изд. стер. М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 416 с.: с. 24 № 2.1-А № 12-30, № 2.1 Б № 11-15.

7 этап.  Рефлексия. Подведение итогов занятия.

Обучающиеся оценивают свою работу на уроке по трём параметрам: активность, самочувствие, самостоятельность. Поводят итоги занятия.

1.            На уроке научились вычислять логарифмы.

2.            Урок способствовал развитию математического мышления студентов, формированию культуры устной математической речи, чувства самоконтроля.

3.            На занятии воспитывались способности доводить любое учебное задание до конца, правильно оценивать результаты своей работы, усиливалось внимание к развитию творческого мышления и повышению интереса к предмету «математика».

Краткое описание документа:

Галилео Галилей сказал: «Великая книга природы написана математическими символами.

Логарифмы появились в ХVI веке как средство для упрощения вычислений.

Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма.

Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках: в физике, биологии, астрономии, химии, экономике, а также в музыке и живописи, в психологии и других.

И сегодня они играют важную роль не только в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах.